2025版高考數(shù)學一輪復習練案26第四章平面向量數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入第一講平面向量的概念及其線性運算含解析新人教版

第四章平面對量、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入第一講平面對量的概念及其線性運算A組基礎鞏固一、單選題1．(2024·湖北省黃岡、華師附中等八校聯(lián)考)已知線段上A，B，C三點滿意eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，則這三點在線段上的位置關系是(A)[解析]依據(jù)題意得到eq\o(BC,\s\up6(→))和eq\o(AB,\s\up6(→))是共線同向的，且BC＝2AB，故選A.2．如圖，在正六邊形ABCDEF中，eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))等于(D)A．0 B．eq\o(BE,\s\up6(→))C．eq\o(AD,\s\up6(→)) D．eq\o(CF,\s\up6(→))[解析]由題圖知eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(CF,\s\up6(→)).3．如圖所示的方格紙中有定點O，P，Q，E，F(xiàn)，G，H，則eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))＝(D)A．eq\o(OH,\s\up6(→)) B．eq\o(OG,\s\up6(→))C．eq\o(EO,\s\up6(→)) D．eq\o(FO,\s\up6(→))[解析]在方格紙上作出eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))，如圖所示，則簡單看出eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(FO,\s\up6(→))，故選D.4．(2024·課標全國Ⅰ)設D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點，則eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝(A)A．eq\o(AD,\s\up6(→)) B．eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\o(BC,\s\up6(→)) D．eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))[解析]eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，故選A.5．(2024·遼寧丹東模擬)設平面對量a，b不共線，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋5b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，則(A)A．A，B，D三點共線 B．A，B，C三點共線C．B，C，D三點共線 D．A，C，D三點共線[解析]∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋5b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝(a＋5b)＋(－2a＋8b)＋3(a－b)＝2(a＋5b)＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))共線，即A，B，D三點共線，故選A.6．(此題為更換后新題)如圖，E，F(xiàn)是四邊形ABCD的對角線AC，BD的中點，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝c，eq\o(DA,\s\up6(→))＝d，則向量eq\o(EF,\s\up6(→))＝(C)A．eq\f(1,2)(a＋b)B．a(chǎn)＋eq\f(1,2)(b＋c)C.eq\f(1,2)(a＋c)D．a(chǎn)＋eq\f(1,2)b[解析]∵eq\o(DB,\s\up6(→))＝d＋a，∴eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(d＋a)，∴eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(DF,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(d＋a)－d＝eq\f(1,2)(a－d)，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a－d)－eq\f(1,2)(a＋b)＝－eq\f(1,2)(b＋d)．又∵a＋b＋c＋d＝0，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋c)．6．(此題為發(fā)覺的重題，更換新題見上題)如圖，已知AB是圓O的直徑，點C，D是半圓弧的兩個三等分點，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝(D)A．a(chǎn)－eq\f(1,2)b B．eq\f(1,2)a－bC．a(chǎn)＋eq\f(1,2)b D．eq\f(1,2)a＋b[解析]連接CD(圖略)，由點C，D是半圓弧的三等分點，得CD∥AB，且eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,2)a.二、多選題7．(2024·湖北棗陽白水中學期中改編)下列說法正確的是(BC)A．單位向量都相等B．模為0的向量與隨意向量共線C．平行向量肯定是共線向量D．任一向量與它的相反向量不相等[解析]對于A，單位向量的模相等，方向不肯定相同，所以A錯誤；對于B，模為0的向量為零向量，零向量和隨意向量共線，所以B正確；對于C，共線向量是方向相同或相反的非零向量，也叫平行向量，所以C正確；對于D，零向量與它的相反向量相等，所以D錯誤，故選B、C正確．8．(2024·廣東仲元中學期中改編)在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論錯誤的是(AC)A．|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|肯定成立B.eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))肯定成立C.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))肯定成立D.eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))肯定成立[解析]在平行四邊形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))肯定成立，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))肯定不成立，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))肯定成立，但|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|不肯定成立，故選A、C.三、填空題9．如圖所示，下列結(jié)論不正確的是②④．①eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(3,2)b；②eq\o(PT,\s\up6(→))＝－eq\f(3,2)a－eq\f(3,2)b；③eq\o(PS,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b；④eq\o(PR,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)a＋b.[解析]由a＋b＝eq\f(2,3)eq\o(PQ,\s\up6(→))，知eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(3,2)b，①正確；由eq\o(PT,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)a－eq\f(3,2)b，從而②錯誤；eq\o(PS,\s\up6(→))＝eq\o(PT,\s\up6(→))＋b，故eq\o(PS,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b，③正確；eq\o(PR,\s\up6(→))＝eq\o(PT,\s\up6(→))＋2b＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b，④錯誤．故正確的為①③.10．設a和b是兩個不共線的向量，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋kb，eq\o(CB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a－b，且A，B，D三點共線，則實數(shù)k的值等于－4．[解析]∵A，B，D三點共線，∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(BD,\s\up6(→)).∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋kb，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝a－2b，∴k＝－4.故填－4.11．(2024·河南三市聯(lián)考)若eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(λ＋1)eq\o(BP,\s\up6(→))，則λ＝－eq\f(5,2)．[解析]由eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(PB,\s\up6(→))可知，點P是線段AB上靠近點A的三等分點，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(3,2)eq\o(BP,\s\up6(→))，所以λ＋1＝－eq\f(3,2)，解得λ＝－eq\f(5,2).12．如圖所示，已知∠B＝30°，∠AOB＝90°，點C在AB上，OC⊥AB，若用eq\o(OA,\s\up6(→))和eq\o(OB,\s\up6(→))來表示向量eq\o(OC,\s\up6(→))，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(→))．[解析]易知eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(→)).四、解答題13．(1)設e1，e2是兩個不共線向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1－8e2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2.①求證：A，B，D三點共線；②若eq\o(BF,\s\up6(→))＝3e1－ke2，且B，D，F(xiàn)三點共線，求實數(shù)k的值；(2)已知a、b不共線，若向量ka＋b與a＋kb共線反向，求實數(shù)k的值．[解析](1)①證明：由已知得eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1－8e2，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(BD,\s\up6(→))，又eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BD,\s\up6(→))有公共點B，∴A，B，D三點共線．②由①可知eq\o(BD,\s\up6(→))＝e1－4e2，又eq\o(BF,\s\up6(→))＝3e1－ke2，由B，D，F(xiàn)三點共線，得eq\o(BF,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))，即3e1－ke2＝λe1－4λe2，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝3，,－k＝－4λ，))解得k＝12，(2)∵ka＋b與a＋kb共線反向，∴存在實數(shù)λ使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ<0)．∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝λ，,kλ＝1.))∴k＝±1.又λ<0，∴k＝－1.B組實力提升1．在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－4a－b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－5a－3b，則四邊形ABCD的形態(tài)是(C)A．矩形 B．平行四邊形C．梯形 D．菱形[解析]∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→)).又eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))不平行，∴四邊形ABCD是梯形．2．如圖，點O是正六邊形ABCDEF的中心，在分別以正六邊形的頂點和中心為始點或終點的向量中，與向量eq\o(OA,\s\up6(→))相等的向量有幾個(C)A．1 B．2C．3 D．4[解析]依據(jù)正六邊形的性質(zhì)和相等向量的定義，易知與向量eq\o(OA,\s\up6(→))相等的向量有eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(DO,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))，共3個．3．(2024·廣西玉林中學模擬)設D，E，F(xiàn)分別為△ABC三邊BC，CA，AB的中點，則eq\o(DA,\s\up6(→))＋2eq\o(EB,\s\up6(→))＋3eq\o(FC,\s\up6(→))＝(D)A．eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)) B．eq\f(3,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)) D．eq\f(3,2)eq\o(AC,\s\up6(→))[解析]∵D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點，∴eq\o(DA,\s\up6(→))＋2eq\o(EB,\s\up6(→))＋3eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＋2×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＋3×eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(AC,\s\up6(→)).4.(2024·四川成都七中一診)已知點O，A，B不在同一條直線上，點P為該平面上一點，且2eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))，則(B)A．點P在線段AB上B．點P在線段AB的反向延長線上C．點P在線段AB的延長線上D．點P不在直線AB上[解析]∵2eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))，∴2eq\o(OP,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))，即2eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))，∴點P在線段AB的反向延長線上，故選B.5．(2024·甘肅診斷)設D為△ABC所在平面內(nèi)一點，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－4eq\o(CD,\s\up6(→))，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝(B)A．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→)) B．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)) D．eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋e