專題11空間直線平面的垂直（分層訓練）教師版

專題11空間直線、平面的垂直A組基礎鞏固1．在正方體中，為棱的中點，則（）A．B．C．D．【答案】．C【解析】如圖，連結(jié)，易知平面，所以，又，所以平面，故，選C．2．已知互相垂直的平面交于直線l．若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則（）A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n【答案】．C【解析】選項A，只有當或時，；選項B，只有當時；選項C，由于，所以；選項D，只有當或時，，故選C．3．設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面（）A．若，，則B．若，則C．若則D．若，，，則【答案】．C【解析】選項中均可能與平面平行、垂直、斜交或在平面內(nèi)，故選．4．已知，表示兩條不同直線，表示平面，下列說法正確的是（）A．若則B．若，，則C．若，，則D．若，，則【答案】．B【解析】對于選項A，若，則與可能相交、平行或異面，A錯誤；顯然選項B正確；對于選項C，若，，則或，C錯誤；對于選項D，若，，則或或與相交，D錯誤．故選B．5．（2020屆河南省鄭州市高三第二次質(zhì)量預測）設是兩條不同的直線，是三個不同的平面，給出下列命題，正確的是（）．A．若，則B．，則C．若∥，，則D．∥，則∥【答案】C【解析】A．錯，因為沒說明垂直于兩平面的交線，B．錯，垂直于同一平面的兩個平面相交或平行，C．正確，因為平面存在垂直于的線，D．錯，因為與有可能相交．故選C。6．（線線垂直的條件判斷）在直三棱柱中，.以下能使的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為直三棱柱，所以，又因為，所以因為，平面，所以平面，所以，那么，要證，故只需要證明平面，即證，因為直三棱柱的側(cè)面都是長方形，當增加條件時，則可以得到，因為，，平面，所以平面，所以.故選B.7．（四川省宜賓市2019屆高三第三次診斷性考試數(shù)學試題）如圖，邊長為2的正方形中，分別是的中點，現(xiàn)在沿及把這個正方形折成一個四面體，使三點重合，重合后的點記為，則四面體的高為（）A． B．C． D．1【答案】B【解析】如圖，由題意可知兩兩垂直，∴平面，∴，設P到平面的距離為h，又，∴，∴，故，故選B.8．如圖，在正方體中，點是棱上的一個動點，平面交棱于點．下列命題正確的為_______________.①存在點，使得//平面；②對于任意的點，平面平面；③存在點，使得平面；④對于任意的點，四棱錐的體積均不變．【答案】①②④【解析】①當為棱上的一中點時，此時也為棱上的一個中點，此時//，滿足//平面，故①正確；②連結(jié)，則平面，因為平面，所以平面平面，故②正確；③平面，不可能存在點，使得平面，故③錯誤；④四棱錐的體積等于，設正方體的棱長為1.∵無論、在何點，三角形的面積為為定值，三棱錐的高，保持不變，三角形的面積為為定值，三棱錐的高為，保持不變.∴四棱錐的體積為定值，故④正確.故答案為①②④.9．在四棱錐中，底面是平行四邊形，，，是邊長為的等邊三角形，.（1）證明：平面平面；（2）在線段上是否存在一點，使得平面？說明理由.【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】（1）證明：在中，，，由余弦定理可得：故所以，即為等腰直角三角形取的中點，連接由，得連接，因為，所以平面所以又，，，所以即又所以平面，又平面所以平面平面（2）解：當為的中點時，平面證明如下：連接交于點因為底面為平行四邊形，所以為的中點又為的中點，所以因為平面，平面所以平面10.（2019北京文18）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點．（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；（Ⅲ）棱PB上是否存在點F，使得CF∥平面PAE？說明理由．【解析】（Ⅰ）因為平面ABCD，且平面，所以．又因為底面ABCD為菱形，所以．又平面，平面，，所以平面PAC．（Ⅱ）因為PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥AE．因為底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，且E為CD的中點，所以AE⊥CD．又，所以AB⊥AE．又平面，平面，，所以AE⊥平面PAB．又平面，所以平面PAB⊥平面．（Ⅲ）棱PB上存在點F，且為的中點，使得CF∥平面PAE．取F為PB的中點，取G為PA的中點，連結(jié)CF，F(xiàn)G，EG．因為，分別為，的中點，則FG∥AB，且FG=AB．因為底面ABCD為菱形，且E為CD的中點，所以CE∥AB，且CE=AB．所以FG∥CE，且FG=CE．所以四邊形CEGF為平行四邊形，所以CF∥EG．因為CF平面PAE，EG平面PAE，所以CF∥平面PAE．11．（2018全國卷Ⅱ）如圖，在三棱錐中，，，為的中點．(1)證明：平面；(2)若點在棱上，且，求點到平面的距離．【解析】(1)因為，為的中點，所以⊥，且．連結(jié)．因為，所以為等腰直角三角形，且⊥，．由知，⊥．由⊥，⊥知⊥平面．(2)作⊥，垂足為．又由(1)可得⊥，所以⊥平面．故的長為點到平面的距離．由題設可知，，．所以，．所以點到平面的距離為．

B組能力提升12．（2020屆湖南省永州市高三第三次模擬）如圖，在直三棱柱中，，，D，E分別為AB，BC的中點.（1）證明：平面平面；（2）求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）因為棱柱是直三棱柱，所以又，所以面又，分別為AB，BC的中點所以//即面又面，所以平面平面（2）由（1）可知////所以//平面即點到平面的距離等于點到平面的距離設點到面的距離為由（1）可知，面且在中，，易知由等體積公式可知即由得所以到平面的距離等于13．（2020屆全國名校高三模擬）在如圖所示的幾何體中，已知，平面ABC，，，若M是BC的中點，且，平面PAB．求線段PQ的長度；求三棱錐的體積V．【答案】（1）2；（2）2.【解析】取AB的中點N，連接MN，PN，，且，，、Q、M、N確定平面，平面PAB，且平面平面，又平面，，四邊形PQMN為平行四邊形，．解：取AC的中點H，連接QH，，且PQ=AH=2，四邊形PQHA為平行四邊形，，平面ABC，平面ABC，，，三棱錐的體積：．14．（2020·北京市西城區(qū)高三一模）如圖，在四棱柱中，平面，底面ABCD滿足∥BC，且(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)平面，平面，故.，，故，故.，故平面.(Ⅱ)如圖所示：分別以為軸建立空間直角坐標系，則，，，，.設平面的法向量，則，即，取得到，，設直線與平面所成角為故.15．（2020·黑龍江哈爾濱師大附中高三模擬（理））如圖，三棱柱中，平面，，，，，是的中點，是的中點.（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）是線段上一點，且直線與平面所成角的正弦值為，求二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）連結(jié)交于，連結(jié)，∵，，∴，.又，，∴，因此，四邊形為平行四邊形，即∵面，面，∴平面（Ⅱ）建立空間直角坐標系，如圖，過作，連結(jié)∵面，面，∴∵，，∴面∵面，∴面面，∵面，，面面，面，即為直線與平面所成角，記為，，∴，在中，，∴，，，，，設平面的法向量，，取，平面的法向量，因此，二面角的余弦值。16．（2020·陜西省西安中學高三三模（理））如圖所示，四棱錐中，底面為菱形，且平面，，是中點，是上的點.（1）求證：平面平面；（2）若是的中點，當時，是否存在點，使直線與平面的所成角的正弦值為？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.【答案