專題1集合與邏輯章節(jié)易錯題綜合-2022年2020必修一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末重難點(diǎn)總復(fù)習(xí)

【期末寶典】專題1：集合與邏輯章節(jié)易錯題綜合（解析版）一、單選題1．（2021·上海·格致中學(xué)高一期末）設(shè)X是一個集合，τ是一個以X的某些子集為元素的集合，且滿足：（1）X屬于τ，屬于τ；（2）τ中任意多個元素的并集屬于τ；（3）τ中任意多個元素的交集屬于τ；則稱τ是集合X上的一個拓?fù)洌阎蟈＝{a，b，c}，對于下面給出的四個集合τ：①τ＝{，{a}，{a，b}，{a，c}}；②τ＝{，，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ＝{，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}；④τ＝{，{a}，{c}，{a，b，c}}；其中是集合X上的拓?fù)涞募夕拥男蛱柺牵ǎ〢．② B．①③ C．②④ D．②③【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【思路點(diǎn)撥】利用集合X上的拓?fù)涞?個要求，依次判斷即可【精準(zhǔn)解析】①中由于，故①不是集合上的一個拓?fù)?；②中滿足拓?fù)浼系?個要求，故②是集合上的一個拓?fù)?；③中滿足拓?fù)浼系?個要求，故③是集合上的一個拓?fù)洌虎苤?故④不是集合上的一個拓?fù)洌灰虼思蟈上的拓?fù)涞募夕拥男蛱柺洽冖酃蔬x：D2．（2021·上海市奉賢中學(xué)高一期末）設(shè)所示有理數(shù)集，集合，在下列集合中：①；②；③；④；與相同的集合有（）A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【思路點(diǎn)撥】根據(jù)集合相等的含義，逐一分析①②③④，即可得答案【精準(zhǔn)解析】對于①：集合，則，解得，即，是一一對于，所以與集合相同.對于②：集合，則，也是一一對應(yīng)，所以與集合相同.對于③：集合，，一一對應(yīng)，，所以與集合相同.對于④：，但方程無解，則，與不相同．故選：D3．（2021·上海市延安中學(xué)高一期末）設(shè)全集，給出條件：①；②若，則；③若，則.那么同時滿足三個條件的集合的個數(shù)為（）A．個 B．個 C．個 D．個【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路點(diǎn)撥】集合中各元素的放置，由此可得出結(jié)論.【精準(zhǔn)解析】由題意可知，若，則，，；若，則，，.此時，、、、的放置有種；若，則；若，則，此時、的放置有種；若，則；若，則，此時，、的放置有種.、的放置沒有限制，各有種.綜上所述，滿足條件的集合的個數(shù)為.故選：C.4．（2021·上海·位育中學(xué)高一期末）對于集合、，定義集合運(yùn)算且，給出下列三個結(jié)論：（1）；（2）；（3）若，則；則其中所有正確結(jié)論的序號是（）A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【思路點(diǎn)撥】由韋恩圖分別表示集合，，，再逐一判斷（1）（2）（3）即可得正確選項(xiàng).【精準(zhǔn)解析】如圖：若，不具有包含關(guān)系，由韋恩圖分別表示集合，，，若，具有包含關(guān)系，不妨設(shè)是的真子集，對于（1）:圖中，，圖中，所以，故（1）正確；對于（2）：圖中，成立，圖中，，，所以成立，故（2）正確；對于（3）：若，則；故（3）正確；所以其中所有正確結(jié)論的序號是（1）（2）（3），故選：D.5．（2021·上?！の挥袑W(xué)高一期末）設(shè)，則且是的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．非充分非必要條件【標(biāo)準(zhǔn)答案】A【思路點(diǎn)撥】利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷.【精準(zhǔn)解析】若且，則成立；若，可取，，不滿足且；所以且是的充分不必要條件，故選：A6．（2021·上?！の挥袑W(xué)高一期末）設(shè)，對關(guān)于的方程組的解的說法正確的是（）A．對任意實(shí)數(shù)，該方程組的解集都是單元素集；B．至少存在一個實(shí)數(shù)，使得該方程組的解集為空集；C．至少存在一個實(shí)數(shù)，使得該方程組的解集為無限集；D．對任意實(shí)數(shù)，該方程組的解集都不是空集.【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路點(diǎn)撥】方程組的解可以看作是兩條直線是否相交及交點(diǎn)個數(shù)的問題即可求解.【精準(zhǔn)解析】對關(guān)于的方程組的解,即為直線與直線公共點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)時，兩直線無公共點(diǎn)，即方程組的解集為空集，故AD不正確；當(dāng)時，兩直線有且只有一個公共點(diǎn)，即方程組有且只有一個解，故B正確，C不正確.故選：B7．（2021·上海·華師大二附中高一期末）已知是R上的偶函數(shù)，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【標(biāo)準(zhǔn)答案】A【思路點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，以及充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【精準(zhǔn)解析】由題意，函數(shù)是R上的偶函數(shù)，若，則，則成立，即充分性成立；若，則或，即必要性不一定成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.【名師指導(dǎo)】本題考查充分不必要條件的判斷，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：（1）若是的必要不充分條件，則對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的真子集；（2）是的充分不必要條件，則對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的真子集；（3）是的充分必要條件，則對應(yīng)集合與對應(yīng)集合相等；（4）是的既不充分又不必要條件，對的集合與對應(yīng)集合互不包含．8．已知全集，集合，則圖中陰影部分表示的集合是（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路點(diǎn)撥】由集合描述求集合，結(jié)合韋恩圖知陰影部分為，分別求出、，然后求交集即可.【精準(zhǔn)解析】，，由圖知：陰影部分為，而，，∴或，即或，故選：C【名師指導(dǎo)】本題考查了集合的基本運(yùn)算，結(jié)合韋恩圖得到陰影部分的表達(dá)式，應(yīng)用集合的交并補(bǔ)混合運(yùn)算求集合.9．（2021·上海市行知中學(xué)高一期末）直角坐標(biāo)平面中除去兩點(diǎn)?可用集合表示為（）A．B．或C．D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路點(diǎn)撥】直角坐標(biāo)平面中除去兩點(diǎn)?，其余的點(diǎn)全部在集合中，逐一排除法．【精準(zhǔn)解析】直角坐標(biāo)平面中除去兩點(diǎn)、，其余的點(diǎn)全部在集合中，選項(xiàng)中除去的是四條線；選項(xiàng)中除去的是或除去或者同時除去兩個點(diǎn)，共有三種情況，不符合題意；選項(xiàng)，則且，即除去兩點(diǎn)?，符合題意；選項(xiàng)，則任意點(diǎn)都不能，即不能同時排除，兩點(diǎn)．故選：C【名師指導(dǎo)】本題考查了集合的基本概念，考查學(xué)生對集合的識別，屬于中檔題．10．已知非空集合M滿足：對任意，總有，且，若，則滿足條件的M的個數(shù)是A．11 B．12 C．15 D．16【標(biāo)準(zhǔn)答案】A【思路點(diǎn)撥】可得集合是集合的非空子集，且不同時出現(xiàn)，即可得到結(jié)論.【精準(zhǔn)解析】由題意，可得集合是集合的非空子集，共有個，且不能同時出現(xiàn)，同時出現(xiàn)共有4個，所以滿足題意的集合的個數(shù)為11個，故選A.【名師指導(dǎo)】本題主要考查了元素與集合的關(guān)系，以及集合的子集個數(shù)的判定及應(yīng)用，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.二、填空題11．（2021·上海交大附中高一開學(xué)考試）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)m的取值構(gòu)成的集合為___________.【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路點(diǎn)撥】先化簡集合M，然后再根據(jù)N?M，求出m的值，即可求解．【精準(zhǔn)解析】∵集合，∴集合，∵，，∴，或，或三種情況，當(dāng)時，可得；當(dāng)時，∵，∴，∴；當(dāng)，，∴；∴實(shí)數(shù)m的取值構(gòu)成的集合為，故答案為：12．（2021·上海市行知中學(xué)高一期末）以集合的子集中選出兩個不同的子集，需同時滿足以下兩個條件：（1）、都至少屬于其中一個集合；（2）對選出的兩個子集，其中一個集合為另一個的子集，那么共有_________種不同的選法.【標(biāo)準(zhǔn)答案】32【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意，集合A,B可以互換，不妨設(shè)元素少的為A，多的為B，則B必包含{a,b}，A為B的真子集，從而解得答案.【精準(zhǔn)解析】由題意，不妨設(shè)元素少的為A，多的為B，則B必含有a,b，A為B的真子集，若，A為B的真子集，則有種，若，A為B的真子集，則有種，若，A為B的真子集，則有種，若，A為B的真子集，則有種，共有3+7+7+15=32種.故答案為：32.13．（2021·上?！じ裰轮袑W(xué)高一期末）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，B＝{x|mx+1＝0}，若B?A，則實(shí)數(shù)m組成的集合為________．【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路點(diǎn)撥】解方程求得集合；分別在和兩種情況下，根據(jù)包含關(guān)系構(gòu)造方程，從而求得結(jié)果.【精準(zhǔn)解析】由題意，當(dāng)時，，滿足B?A當(dāng)時，或，解得：或?qū)崝?shù)組成的集合為故答案為：14．（2021·上海市大同中學(xué)高一期末）已知一個有四個數(shù)字元素的集合，的所有子集的元素和（空集的元素和認(rèn)為是零）的總和等于16192，則的元素之和等于______.【標(biāo)準(zhǔn)答案】2024【思路點(diǎn)撥】利用集合的非空子集個數(shù)先求出含每個元素的集合個數(shù)，在進(jìn)行求和即可．【精準(zhǔn)解析】解：設(shè)集合，

由一個集合中有n個元素，則它有個子集，非空子集有（?1）個可得：

含有元素的集合有個，

含有元素的集合有個，

含有元素的集合有個，

含有元素的集合有個，

若集合的所有非空子集的元素之和是16192，

則集合的所有元素和為，

則；

故答案為：2024．15．（2021·上海師大附中高一期末）設(shè)集合是整數(shù)集的一個非空子集，對于任意，若且，則稱為集合的一個“孤立元”.給定集合，則由中的3個元素組成的所有集合中，不含有“孤立元”的集合共有___________個，分別為___________【標(biāo)準(zhǔn)答案】4、、、【思路點(diǎn)撥】根據(jù)集合的新定義，可得集合不含“孤立元”，則集合中的三個數(shù)必須連在一起，利用列舉法，即可求解.【精準(zhǔn)解析】由集合的新定義知，沒有與之相鄰的元素是“孤立元”，集合不含“孤立元”，則集合中的三個數(shù)必須連在一起，所以符合題意的集合是，，，，共4個．故答案為：4，、、、16．（2021·上海師大附中高一期末）已知集合，集合，若，則___________.【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路點(diǎn)撥】由，結(jié)合可得，即或，分別代入驗(yàn)證，即得解【精準(zhǔn)解析】由題意，又，即解得：或當(dāng)時，，此時，成立；當(dāng)時，，不滿足集合中元素的互異性，不成立；因此.故答案為：17．（2021·上海市控江中學(xué)高一期末）已知為實(shí)常數(shù)，集合，集合，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路點(diǎn)撥】由題意，可得，再結(jié)合關(guān)系列出不等式組，即得解【精準(zhǔn)解析】由題意，故答案為：18．（2021·上海市控江中學(xué)高一期末）已知為實(shí)常數(shù)，集合，集合，且，則的值為_____.【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路點(diǎn)撥】由題意，，分或兩種情況討論，結(jié)合集合中元素的互異性，即得解【精準(zhǔn)解析】由題意，或若，此時，矛盾；若，又，此時，成立故答案為：19．（2021·上海大學(xué)附屬南翔高級中學(xué)高一期末）已知非空集合M同時滿足①；②若，則，則非空集合M的個數(shù)為_______.【標(biāo)準(zhǔn)答案】15【思路點(diǎn)撥】由集合的元素所滿足的兩個性質(zhì)，找到集合集合M的元素，從而確定集合M的個數(shù)即可【精準(zhǔn)解析】因?yàn)榉强占螹同時滿足:；②若，則；所以將數(shù)分組成：；；；；所以集合中，若有，則成對出現(xiàn)；若有，則成對出現(xiàn)；若有，則成對出現(xiàn)；若有，則成對出現(xiàn)；因?yàn)?組數(shù)任選1組有4種，任選2組有6種，任選3組有4種，4組都選有1種，所以滿足題意得集合有個，故答案為：1520．（2021·上海桃浦中學(xué)高一期末）已知集合和，使得，，并且的元素乘積等于的元素和，寫出所有滿足條件的集合___________.【標(biāo)準(zhǔn)答案】或或.【思路點(diǎn)撥】求得中所有元素之和后，根據(jù)中元素個數(shù)得到其元素所滿足的關(guān)系式，依次判斷中元素不同個數(shù)時可能的結(jié)果即可.【精準(zhǔn)解析】，中所有元素之和為；若中僅有一個元素，設(shè)，則，解得：，不合題意；若中有且僅有兩個元素，設(shè)，則，當(dāng)，時，，；若中有且僅有三個元素，設(shè)，則；當(dāng)，，時，，若中有且僅有四個元素，設(shè)，則，當(dāng)，，，時，，；若中有且僅有五個元素，若，此時，中最多能有四個元素；綜上所述：或或.故答案為：或或.【名師指導(dǎo)】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是能夠通過對中元素個數(shù)的分類討論，依次從小至大排列中元素可能的取值，根據(jù)滿足的關(guān)系式分析即可得到滿足題意的集合.三、解答題21．（2021·上海浦東新·高一期中），.（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）1（2）或.【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)，由4和0是方程的兩個根求解；（2）根據(jù)，分，，，討論求解.（1）解：，因?yàn)椋?和0是方程的兩個根，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的值是1；（2）解：，因?yàn)?，所以?dāng)時，，解得，符合題意；當(dāng)時，，解得，符合題意；當(dāng)時，，解得，符合題意；當(dāng)時，，解得，綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是或.22．（2021·上海桃浦中學(xué)高一期末）已知集合，集合.（1）若，求實(shí)數(shù)的值.（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（3）若，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）或；（2）；（3）.【思路點(diǎn)撥】（1）將代入集合中，解方程可求得的值，驗(yàn)算可得結(jié)果；（2）由知，由此得到所有可能的結(jié)果，由此分類討論每種可能性即可得到結(jié)果；（3）由知，分別在，和三種情況下確定的解，綜合可得結(jié)果.【精準(zhǔn)解析】（1），，即，解得：或；當(dāng)時，，滿足；當(dāng)時，，滿足；綜上所述：或；（2），，可能的結(jié)果為，，，；①當(dāng)時，，解得：；②當(dāng)時，，解得：；若，則，不滿足；若，則，不滿足；③當(dāng)時，，解得：或；若，則，不滿足；若，則，滿足；④當(dāng)時，，方程組無解；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為；（3），；當(dāng)時，由（2）知：，滿足；當(dāng)時，由（2）知：；若，則；當(dāng)時，由（2）知：或；若，則且；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.23．（2021·上海市奉賢中學(xué)高一期末）（1）求證：；（2）已知，，且，用反證法證明：和中至少有一個小于2.【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【思路點(diǎn)撥】（1）先計(jì)算的范圍，進(jìn)而可得的范圍，即可求證；（2）假設(shè)，，可得，，兩式相加得出矛盾即可求證.【精準(zhǔn)解析】（1）因?yàn)?，所以，原不等式得證；（2）假設(shè)，，因?yàn)?，，所以，，所以，即與已知條件矛盾，所以和中至少有一個小于2.24．（2021·上海市新場中學(xué)高一期末）已知集合，集合（1）求集合；（2）若集合，求實(shí)數(shù)的值；（3）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）；（2）或；（3）．【思路點(diǎn)撥】（1）直接解方程可求集合；（2），則且，將代入方程求出的值，再將的值代入方程，解方程可得集合，檢驗(yàn)是否滿足條件即可；（3）若，則，可得或或或；分別討論這四種情況即可求解.【精準(zhǔn)解析】（1）；（2）由（1）知：，若集合，則且，將代入方程可得，解得：或；當(dāng)時，原方程可化為，解得：或，此時，滿足，當(dāng)時，原方程可化為，解得：或，此時，滿足，所以或；（3）若，則，所以或或或；當(dāng)時，方程無解，所以，解得：，若，則方程有兩個相等的實(shí)根，所以此時無解，若，則方程有兩個相等的實(shí)根，所以此時無解，若，則方程有兩個不相等的實(shí)根，所以此時無解，綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.25．（2021·上海市新場中學(xué)高一期末）已知命題：，命題：（1）若是必要非充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：是成立的充要條件．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）；（2）證明見解析．【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)，，由題意可知是的真子集，分和兩種情況討論，列出滿足條件的不等式組即可求解；（2）分別證明充分性和必要性即可.【精準(zhǔn)解析】設(shè)，，若是必要非充分條件，則是的真子集，當(dāng)時，，此時滿足是的真子集，符合題意；當(dāng)時，若是的真子集，則，所以，綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為：；（2）充分性：若，則若，則，所以命題：可得出命題：；故充分性成立；必要性：若，則，若命題：可得出命題：，則，所以，故必要性成立；綜上所述：是成立的充要條件.26．（2021·上海市新場中學(xué)高一期末）若，，，全集為實(shí)數(shù)集，（1）求集合，（2）如果，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1），；（2）【思路點(diǎn)撥】（1）直接進(jìn)行補(bǔ)集運(yùn)算可得，再與集合進(jìn)行交集運(yùn)算可得；（2）先求時，實(shí)數(shù)的范圍，再求補(bǔ)集即可求解.【精準(zhǔn)解析】（1）因?yàn)?，全集為?shí)數(shù)集，所以，因?yàn)椋?；?）因?yàn)椋?，如果，則，所以如果，可得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.27．（2021·上海市延安中學(xué)高一期末）設(shè)集合.（1）將集合中的元素進(jìn)行從小到大的排列，求最小的六個元素組成的子集；（2）對任意的，判定和是否是集合中的元素？并證明你的結(jié)論.【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）；（2）存在或存在，一定是集合中的元素，證明見解析.【思路點(diǎn)撥】（1）從0依次令為自然數(shù)，計(jì)算可得集合B；（2）舉例，但，.設(shè)，，計(jì)算，可得結(jié)論.【精準(zhǔn)解析】解：（1）當(dāng)時，；當(dāng)，或時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)，或時，；當(dāng)時，；所以最小的六個元素組成的子集；（2）存在或存在，一定是集合中的元素.如：，但，.一定是集合中的元素.設(shè)，，則，且，所以.28．（2021·上海大學(xué)附屬南翔高級中學(xué)高一期末）已知集合（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若A中至多有一個元素，求實(shí)數(shù)的值，并寫出相應(yīng)的集合；（3）若A中至少有兩個元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）；（2）實(shí)數(shù)的取值為；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；（3）【思路點(diǎn)撥】（1）方程無解，則，根據(jù)判別式即可求解；（2）分方程無解或者一個解討論即可；（3）由題意可知有兩個不等的實(shí)根，由判別式求解即可.【精準(zhǔn)解析】（1）若A是空集，則方程無解，此時且，即，所以的取值范圍為；（2）若A中至多有一個元素，則方程有且只有一個實(shí)根或者無解，若方程有且只有一個實(shí)根，則當(dāng)時，方程為一元一次方程，滿足條件，當(dāng)時，此時，解得：，若方程無解，由（1）可知，綜上可知：若A中至多有一個元素，則實(shí)數(shù)的取值為；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；（3）若A中至少有兩個元素，則有兩個不等的實(shí)數(shù)根，此時且，解得且，所以a的取值范圍是.29．（2021·上海市奉賢中學(xué)高一期末）已知集合（，，）具有性質(zhì)：對任意（），與至少一個屬于.（1）分別判斷集合，與是否具有性質(zhì)，并說明理由；（2）具有性質(zhì)，當(dāng)時，求集合；（3）①求證：；②求證：.【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）集合M具有，集合N不具有，理由見詳解（2）（3）證明見詳解【思路點(diǎn)撥】（1）利用性質(zhì)的定義判斷即可；（2）利用，可得，又，，分析可得，即得解；（3）①由，，可證明；②由，以及，可得，將等式左右兩邊相加可證明.【精準(zhǔn)解析】（1）集合具有性質(zhì)，集合不具有性質(zhì)理由如下：對集合，由于所以集合具有性質(zhì)；對集合，由于，故集合不具有性質(zhì).（2）由于，故又，故又，故因此集合（3）①由于，故，故得證②由于故又將各個式子左右兩邊相加可得：故得證30．（2021·上海