2024年北京二十中初二（上）期中數(shù)學試題及答案

2024北京二十中初二（上）期中數(shù)學本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共100分，考試用時100分鐘．考試結束后，將本試卷與答題紙一并交回．祝各位考生考試順利！第I卷一、單項選擇題（下列各小題中只有一個選項符合題意，共16分，每小題2分）1.漢字是中華文明的標志，從公元前16世紀殷商后期的被認為是漢字的第一種形式的甲骨文到今天，產(chǎn)生了金文、小篆、隸書、楷書、草書、行書等多種字體，每種字體都有著各自鮮明的藝術特征．下面的小篆體字是軸對稱圖形的是（）A.B.C.D.2.下列長度的三條線段能組成三角形的是（）A.2，36B.44，8C.47，D.5，8123.下列計算正確的是（）()3(?)=4m2A.m2m3=m6B.m4=m7C.2m2D.m4m=044.已知圖中的兩個三角形全等，則1等于()50B.58D.72）A.C.60°5.如果一個正多邊形的內角和等于720°，那么該正多邊形的一個外角等于（B.C.D.90A.(a+1a?1=35)()，則a的值為（）6.若6A.B.3C.6D.37.如圖，在ABC中，=，C=，D為BC邊中點，則CAD等于（）A.B.C.D.8.如圖，BN為∠MBC的平分線，P為BN上一點，且PD⊥BC于點D，∠APC+∠ABC＝180°，給出下列結論：①∠MAP＝∠BCP；②＝PC；③AB+BC＝2BD；④四邊形BAPC的面積是△PBD面積的2倍，其中結論正確的個數(shù)有（）A.4個B.3個C.2個D.1個三、填空題（共16分）y?4y=______．?10x+m是一個完全平方式，那么m的值是__________．小明同學用一根鐵絲恰好圍成一個等腰三角形，若其中兩條邊的長分別為15cm和，則這根鐵絲．x29.因式分解：10.如果x2的長為_________12.如圖，在ABC中，行線交AB于M點，交于N點，則AMN的周長為_______．AB=4，AC=6，ABC和ACB的平分線交于O點，過點O作BC的平AC=AD=DB,BAC=105，則B=________°．13.如圖，在ABC中，D是BC上一點，14.如圖，在Rt△中，ACB=90===，AC3，BC4，AB5，是ABC的角平分線，、Q邊上的動點，則+若分別是和的最小值是_____________．15.某“數(shù)學樂園”展廳的WIFI密碼被設計成如圖所示的數(shù)學問題．小明在參觀時認真思索，輸入密碼后成功地連接到網(wǎng)絡．他輸入的密碼是_______．賬號：shuxueleyuan1523=xyz15232xyzxy53123=6()x5y4z510yz=2密碼16.我國古代數(shù)學曾有許多重要的成就，其中“楊輝三角”（如圖）就是一例，這個三角形給出了(a+b)nn=1，234，56）的展開式（按a的次數(shù)由大到小順序排列）的系數(shù)規(guī)律．例如，第三行的三個（數(shù)1，21，恰好對應(a+b)=a+2ab+b展開式中各項的系數(shù)；第五行的五個數(shù)1，464，1，恰222好對應著(a+b)=a+4ab+6ab+4ab+b展開式中各項的系數(shù)．4432234（1）(a+b)展開式中ab的系數(shù)為________；54（2）(a+b)7展開式中各項系數(shù)的和為________．三、解答題（共68分，其中第17-22題每題5分，第23-26題每題6分，第27-28題每題7分）17.計算：a3a+aa2．6xx+4y?2x3y．()18.計算：3xy?4xy3．19.因式分解：(2a+12a?1+a?5的值．)()()220.已知a2?2a?1=0．求代數(shù)式21.已知：如圖，點A、E、F、C在同一條直線上，B=DDF=BEADBC．，，（1）求證：ADF≌CBE．（2）若=3，求??的長．(?B(?0)，C(?，．22.如圖，在平面直角坐標系xOy中，△ABC；1（1）在圖中作出ABC關于y軸的對稱圖形11（2）如果要使以點A、B、D（不與點C重合）為頂點的三角形與ABC全等，直接寫出所有符合條件的點D的坐標．23.數(shù)學課上，王老師布置如下任務：如圖，已知∠MAN＜°，點B是射線AM上的一個定點，在射線AN上求作點，使∠ACB＝2∠A．下面是小路設計的尺規(guī)作圖過程．作法：①作線段AB的垂直平分線llAN于點D；②以點B為圓心，BD長為半徑作弧，交射線AN于另一點，則點C即為所求．根據(jù)小路設計的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；(保留作圖痕跡)（2）完成下面的證明：證明：連接BD，BC，∵直線lAB的垂直平分線，∴DA＝，(（填推理的依據(jù)）∴∠A＝∠ABD，∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2∠A．∵BC＝BD，∴∠ACB，()（填推理的依據(jù)）∴∠ACB＝∠A．，ACB=A=，AB邊的垂直平分線分別交于點D，交AB于24.已知：在Rt△ABC中，點E．（1）求證：DE=DC；（2）連接，若AB=6，求的周長．25.數(shù)學活動課上，老師準備了若干個如圖1的三種紙片，A種紙片是邊長為a的正方形，B種紙片是邊長為b的正方形，C種紙片是長為ab的長方形，并用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．（1）觀察圖2的面積關系，寫出正確的等式__________；（2）若要拼出一個面積為2abab的矩形，則需要A號卡片6張，B號卡片__________張，C號卡片__________張；（3）正方形ABCD，AEFG如圖3擺放，邊長分別為x，yx+y=34，BE=2，求圖中兩個陰22影三角形面積和．(ax+b+d=)()2+ad+bcx+bd．我們知道因式分解()26.利用整式的乘法運算法則推導得出：是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關系可得()()(2+ad+bcx+bd=ax+b+d)．通過觀察+(ad+bc)x+bd2可把看作以為未知數(shù)，a、、、為常數(shù)的二次三項式，此種因式分解是把二xbcd次三項式的二項式系數(shù)與常數(shù)項bd分別進行適當?shù)姆纸鈦頊愐淮雾椀南禂?shù)，分解過程可形象地表述為“豎乘得首、尾，叉乘湊中項”，如圖1，這種分解的方法稱為十字相乘法．例如，將二次三項式2x2x22+x+12的二項式系數(shù)2與常數(shù)項12分別進行適當?shù)姆纸?，如圖，則+x+12=x+42x+3()()．根據(jù)閱讀材料解決下列問題：（1）用十字相乘法分解因式：x2+6x?27；（2）用十字相乘法分解因式：6x?7x?3；2（3）結合本題知識，分解因式：20(x+y)2+7(x+y)?6．27.如圖，在等邊三角形ABC右側作射線CP，∠ACP=（0°<D，BD交CP于點E，連接AD，AE．（1）依題意補全圖形；<60°A關于射線CP的對稱點為點（2）求∠DBC的大?。ㄓ煤?）直接寫出∠AEB的度數(shù)；（4）用等式表示線段AE，BD，CE之間的數(shù)量關系，并證明．中，直線l經(jīng)過點()，且平行于y軸；給出如下定義：點()M3,0Px,y28.如圖，在平面直角坐標系yyPPlPPl先關于軸對稱得點，再將點關于直線對稱得點，則稱點是點P關于軸和直線的二次反11射點．A4,0,B2,0,C()()()y（1）已知，則它們關于軸和直線l的二次反射點ABC的坐標分別是__________________；(a0，點D關于y軸和直線的的二次反射點是點D，求線段DDl（2）若點D的坐標是，其中的長；E(40)F(60)xEFGH與正方形EFGHP(Q(a+（3）已知點，點，以線段EF為邊在軸上方作正方形，若點a的邊有公共點，直接寫出yPQPQ關于軸和直線l的二次反射點分別為，，且線段的取值范圍．參考答案第I卷一、單項選擇題（下列各小題中只有一個選項符合題意，共16分，每小題2分）1.【答案】B【分析】本題主要查了軸對稱圖形．根據(jù)“如果一個圖形沿著一條直線對折，兩側的圖形能夠完全重合，這個圖形成為軸對稱圖形”，即可求解．【詳解】A.不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；B.是軸對稱圖形，故本選項符合題意；C.不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；D.不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；故選B．2.【答案】D【分析】本題考查了能夠組成三角形三邊的條件：用兩條較短的線段相加，如果大于最長的那條線段就能夠組成三角形．根據(jù)三角形的三邊關系進行分析判斷．【詳解】解：根據(jù)三角形任意兩邊的和大于第三邊，得2+3=56，不能組成三角形；4+4=8，不能組成三角形；4+7=11，不能組成三角形；A、B、C、D、5+8=1312，能夠組成三角形．故選：D．3.【答案】C【分析】本題考查的是同底數(shù)冪的乘除法則及冪的乘方與積的乘方法則，根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法則及冪的乘方與積的乘方法則對各選項進行逐一判斷即可．【詳解】解：A、m2m=m5，原計算錯誤，不符合題意；3()=，原計算錯誤，不符合題意；3m4B、C、(?2m)2=4m2，正確，符合題意；D、m故選：C．4.【答案】B4m4=1，原計算錯誤，不符合題意．1=B【分析】本題考查了全等三角形的性質，三角形內角和定理；根據(jù)全等三角形的性質得出A=D=，F(xiàn)=C=72，進而根據(jù)三角形內角和定理即可求解．【詳解】解：如圖所示，，ABC和DEF全等，AC=DF=b，==a，1=BA=D=F=C=72，，，1=?D?F=，故選：B．5.【答案】B【分析】根據(jù)內角和求出邊數(shù)，再根據(jù)外角和為，進行計算即可．n【詳解】解：設正多邊形的邊數(shù)為，(n?2180=720，)由題意，得解得：n=6，∴正多邊形的一個外角故選：B．=3606=60，【點睛】本題考查正多邊形的內角和、外角和．熟練掌握正多邊形內角和的計算方法和外角和為是解題的關鍵．6.【答案】A2a=36，再利用平方根的【分析】本題考查的是平方根的含義，平方差公式的應用，本題先把方程化為含義解方程即可．(a+1a?1=35，)()【詳解】解：∵?1=35，即a=36，2∴a2∴a=6；故選A7.【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的性質，三角形內角和定理，根據(jù)等腰三角形的性質可得⊥，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余進行計算即可，熟練掌握等腰三角形三線合一是解此題的關鍵．AB=AC，D為BC邊的中點，【詳解】解：⊥，ADC=90，C+CAD=90C=70，，DAC=90?70=20，故選：B．8.【答案】A【分析】過點P作PKAB，垂足為點K．證明Rt△BPK≌△BPD，△≌△PCD，利用全等三角形的性質即可解決問題．【詳解】解：過點P作PK⊥AB，垂足為點K．∵PK⊥ABPD⊥BC，∠ABP＝∠CBP，∴PK＝PD，在Rt△BPK和Rt△BPD中，BP=BP，PK=PD∴Rt△BPKRt△BPD（HL∴BK＝BD，∵∠APC+ABC＝180°∠ABC+KPD＝180°，∴∠KPD＝∠APC，∴∠APK∠CPD，故①正確，在△K和△PCD中，==，CPD∴△≌△PCD（ASA，∴AK＝CD，＝PC，故②正確，∴BK﹣ABBC﹣BD，∴BD﹣AB＝BC﹣BD，∴AB+BC＝BD，故③正確，∵Rt△BPKRt△BPD△≌△PCD（ASA∴S△BPK＝△BPD，S△APK＝△PDC，∴SABCP＝SKBDP＝2△PBD．故④正確．四邊形四邊形故選A．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，角平分線的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．第Ⅱ卷三、填空題（共16分）9.【答案】（x+2x-2）【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可【詳解】解：x2y4y（x24）=（x﹣2x+2故答案為：y（x﹣2x+2【點睛】題目主要考查提公因式法與公式法進行因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題關鍵．10.【答案】25【分析】利用完全平方式的結構特征，即可求出m的值．【詳解】解：∵x2-10xm是一個完全平方式，?10∴m=()2=25．2故答案為：25．【點睛】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方式是解本題的關鍵．【答案】50或55【分析】等腰三角形中兩條邊的長分別為15cm和20cm時，第三邊的長可能為15cm或20cm，分別求得三角形的周長，即為鐵絲的長.【詳解】∵等腰三角形中兩條邊的長分別為15cm和20cm，∴當?shù)谌龡l邊的長為15cm時，這根鐵絲的長為15+15+20=50(cm)，此時15+15>20，符合三角形的三邊關系；當?shù)谌龡l邊的長為20cm時，這根鐵絲的長為15+20+20=55(cm)，此時15+20>20，符合三角形的三邊關系；故答案為：或55.【點睛】本題考查了等腰三角形的判定及三角形的三邊關系，熟練掌握相關性質及定理并分類討論是解題的關鍵.12.【答案】10【分析】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質，等腰三角形的判定和性質，熟練掌握它們的性質將周長轉換為ABAC是解本題的關鍵．利用角平分線及平行線性質，結合等腰三角形的判定得到MB=MO，NC=NO，將三角形周長轉化為AB+AC，求出即可．【詳解】解：BO為ABC的平分線，CO為ACB的平分線，ABO=CBO，ACO=BCO，+∥，=ABO=OBC，=BCO，=ACO，，==MBMO，NCNO，=+=+NONC，AB=4，AC=6，AMN周長為AMANAMANNCABAC10，++=+++=+=故答案為：13.【答案】25【分析】設∠ADC＝，然后根據(jù)AC＝AD＝DB，∠BAC＝105°，表示出∠B和∠BAD的度數(shù)，最后根據(jù)三角形的內角和定理求出∠ADC的度數(shù)，進而求得∠B的度數(shù)即可．【詳解】解：∵AC＝AD＝DB，∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C，設∠ADC＝，∴∠B＝∠BAD＝，2∵∠BAC＝105°，∴∠DAC＝105°﹣在△ADC中，，2∵∠ADC+∠C+∠DAC＝180°，∴2+105＝180°，2解得：＝50°，∴∠B＝∠BAD＝＝25°，2故答案為：25．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質：①等腰三角形的兩腰相等；②等腰三角形的兩個底角相等，熟練掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵．14.【答案】5【分析】本題考查利用軸對稱求最短距離，全等三角形的性質和判定，能夠利用軸對稱將線段和的最小值轉化為線段長求解是關鍵．在AB上截取AQ1=，連接，1D，可證AQ1D，根據(jù)Q1和點QAD對稱，再根據(jù)軸對稱的性質及最短路徑結合面積法即可得出全等三角形的性質可知點答案．關于【詳解】解：如圖，在上截取AQ1=，連接，1D，BAC的平分線，AD是QAD=1ADAQDAQ1D中在與AQ=AQ1QAD=1ADAD=AD≌AQ1DSAS)Q對稱，連接CQ，CQPC+PQ=CQ，1和點Q關于AD與AD交于P點，連接，此時點111Q是動點，Q也是動點，當CQ與垂直時，CQ最小，即1+最小．115此時，由面積法得CQ1=345=．故答案為：．515.【答案】2024【分析】本題主要考查單項式除以單項式，熟練掌握單項式除以單項式是解題的關鍵；由題意可先進行單項式除以單項式的運算，然后問題可求解．()6x5y4z510y2z=x30y4z510y2z=x202yz4，【詳解】解：∴他輸入的密碼是2024；故答案為：2024．16.【答案】①.5②.27【分析】此題考查了整式的運算和規(guī)律探索，弄清“楊輝三角”中系數(shù)規(guī)律是解本題的關鍵，根據(jù)“楊輝三角”中系數(shù)規(guī)律確定出所求系數(shù)，并求出系數(shù)之和即可．1）根據(jù)題意中例子所示，a+b展開式中()5a4b的系數(shù)應與第6行的2個數(shù)對應，即為5，故答案為：；（2）當n=4時，(a+b)n展開式的各項系數(shù)之和分別為2、、8、16、...，由此可知a+b)(n展開式的各項系數(shù)之和為2n，(a+b7展開式的各項系數(shù)之和為，27故答案為：27．三、解答題（共68分，其中第17-22題每題5分，第23-26題每題6分，第27-28題每題7分）17.【答案】2a4【分析】本題考查的是同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法運算，合并同類項，本題先計算同底數(shù)冪的乘法與除法運算，再合并同類項即可．a(chǎn)+a6a2【詳解】解：a3=a4+a4=2a4．2x?2xy18.【答案】【分析】根據(jù)整式的混合運算法則即可求解．xx+4y?2x3y()【詳解】解：=x=x22+4?6?2．【點睛】本題主要考查單項式乘以多項式，單項式乘以單項式，合并同類項，掌握整式的混合運算法則是解題的關鍵．xyx+2yx?2y)()(19.【答案】【分析】此題考查因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關鍵，此題先提公因式，再利用平方差公式分解因式．【詳解】x3y?4xy3()=x2?4y2=(x+2y)(x?2y)．20.【答案】292a?2a?1=0運用配方法變形為(a?=2，再運用平方差公式，完全平方公式將2【分析】將(2a+12a?1+a?5展開，合并同類項，變形為5(a)()()2?+19，由此即可求解．2a2?2a?1=0，【詳解】解：運用配方法變形a?2a+1?1?1=0，即a2?2a+1=2，即(a?2=2，∴2∵2a+12a?1+a?5=4a?1+a?10a+25=5a?10a+24，()()()22222∴2a+12a?1+a?5=5a?10a+24=5(a?+19，()()()22∵(a?2=2，∴2a+12a?1+a?5=5(a?+19=52+19=29，()()()22∴2a+12a?1+a?5的值為29．()()()2【點睛】本題主要考查平方差公式，完全平方公式在整式加減法中應用，掌握整式的加減法法則是解題的關鍵．21.1）見解析（2）3【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，掌握全等三角形的證明及性質是解題的關鍵．（1）平行線的性質得出A=C，即可根據(jù)AAS證明結論；（2）根據(jù)全等三角形的性質和等式性質證得=CF，即可求出答案.【小問1證明：∵∥，∴A=C，且B=D，DF=BE，∴ADF≌CBE；【小問2∵△CBEAF=CE，∴∴AF?EF=CE?EF，即=CF，∵AE=3，∴CF=3．(?2)、()、(3)222.1）見解析（2D坐標為）分別作出點A、B、C關于y軸的對稱點，再順次連接即可；（2）根據(jù)網(wǎng)格特點和全等三角形的判定畫出圖形，即可得到點D的坐標．【小問1△ABC如圖所示；1解：11【小問2如圖，滿足條件的點D有三個，點D坐標為(?2)、(3)、(2)．【點睛】本題考查了作圖—軸對稱變換、坐標與圖形、全等三角形的判定，熟練掌握軸對稱的性質是解答的關鍵．23.12）DB；線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等；BDC；等邊對等角．）根據(jù)題目中的小路的尺規(guī)作圖過程，直接作圖即可．（2）根據(jù)垂直平分線的性質以及等邊對等角進行解答即可．【詳解】解：(1)根據(jù)題目中的小路的設計步驟，補全的圖形如圖所示；(2)解：證明：連接BD，BC，∵直線lAB的垂直平分線，∴DA＝DB，(線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等)（填推理的依據(jù)）∴∠A＝∠ABD，∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2∠A．∵BC＝BD，∴∠ACBBDC，(等邊對等角)（填推理的依據(jù)）∴∠ACB＝∠A．【點睛】本題主要是考查了尺規(guī)作圖能力以及垂直平分線和等邊對等角的性質，熟練掌握垂直平分線和等邊對等角的性質，是解決該題的關鍵．24.1）見解析（291）根據(jù)三角形內角和定理求出ABC=60，根據(jù)線段垂直平分線的性質得到出A=ABD=30，再根據(jù)角平分線的性質得到DE=DC；（2）判定是等邊三角形，即可求出周長．=，求【小問1證明：∵在Rt△ABC中，∴ABC=60，ACB=A=，∵是邊的垂直平分線，AD=DB，∴∴A=ABD=30，CBD=?=∴∴平分ABC，⊥AB，AC⊥BC∵，∴DE=DC；【小問2解：∵在Rt△ABC中，ACB=A==，AB6，1BC=AB=3，∴2∵是邊的垂直平分線，1==3，∴2∴=，∵ABC=60，∴是等邊三角形，∴的周長為．【點睛】此題考查了線段垂直平分線的性質，角平分線的性質定理，等邊三角形的判定和性質，三角形的內角和定理，熟練掌握各定理是解題的關鍵．(a+b=a)22+2ab+b225.1）（2）27（3）8【分析】本題考查多項式乘多項式與圖形面積、完全平方公式的幾何背景及其應用，理解題意，看懂圖形，會利用不同方法表示面積，并靈活運用所得結論是解答的關鍵．（1）用兩種方法表示出大正方形的面積，即可求解；（2）先計算2abab，再根據(jù)面積不變結合乘法的結果可得答案；xy和x+y即可求解．x?y===2（3）根據(jù)圖形得到【小問1解：由圖2知，大正方形的面積為a+b，又可以為()22a+2+b2，∴a+b=a+2ab+b；()222【小問2∵2abab6a6a224ababb7abb，22∴要拼出一個面積為2abab的矩形，則需要A號卡片6張，B號卡片2張，C7張；【小問3x?y===2x2+y2=34，由題知：，則(x?y)2=4=x+y?2，則230，=22(x+y)2=x2+y+2=34+30=64，2∴∴x+y=81112y+x(x?y)=y+x2=y+x=8圖中陰影部分面積為：．22226.1）(x?3)(x+9)((2x?33x+))(（2）（3）4x+4y+35x+5y?2)()【分析】本題主要考查多項式乘多項式，因式分解，解答的關鍵是對相應的知識的掌握與運用．（1）利用十字相乘法進行求解即可；（2）利用十字相乘法進行求解即可；（3）先分組，再利用十字相乘法進行求解即可．【小問1x2+6x?27解：=(x?3)(x+9)，；【小問2?7x?3解：6x2=(2x?3)(3x+)，；【小問3解：20(x+y)2+7(x+y)?6=4(x+y)+35(x+y)?2=(4x+4y+3)(5x+5y?2)，．27.12））60°4）BD=2AE+CE；證明見解析）根據(jù)對稱性即可補全圖形；（2）連接，根據(jù)對稱性得到ACE=DCE=，從而得到BCD=60+，再根據(jù)BC=AC=即可求解；（3）根據(jù)對稱性可得===DBC，再根據(jù)角度的八字模型即可得到∠AEB=ACB，故可求解；EF=EA，連接AF，得到△AEF是等邊三角形，根據(jù)△ABC是等邊三角形得到，（4）在EB上截取BAF=CAE，進而證明△BAF≌△CAE，得到BD=BF+FE+ED=CE+2AE．【詳解】（）依題意補全圖形；，再根據(jù)對稱性得到AE=DE，故可得到