數(shù)學(xué)學(xué)案：第一章立體幾何初步

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精數(shù)學(xué)人教B必修2第一章立體幾何初步知識(shí)建構(gòu)綜合應(yīng)用專題一幾何體的展開圖問題幾何體的展開圖因幾何體的不同而不同，它不僅反映了幾何體本身的特點(diǎn)，還能反映空間的平行與垂直關(guān)系．通過幾何體的展開圖形狀的研究可以使我們更加形象地理解空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征．應(yīng)用1如圖(1)（2）(3)三個(gè)圖形能否折疊成棱柱？請(qǐng)?jiān)囌郫B一下并說明理由．提示：首先判斷各圖如果能折成棱柱則應(yīng)該折成什么樣的棱柱,再看各圖與相應(yīng)棱柱展開圖有什么差異．這個(gè)題主要要求學(xué)生把握多面體的基本情況，運(yùn)用紙張折疊，結(jié)合想象,掌握簡(jiǎn)單幾何體的性質(zhì)與構(gòu)成．應(yīng)用2如圖，圓柱體的底面圓周長(zhǎng)為24cm，高為5cm，BC為上底面的直徑,一壁虎從距圓柱的底端A點(diǎn)2cm的E處沿著表面爬行到母線CD距C點(diǎn)1cm的點(diǎn)F處，請(qǐng)你幫助壁虎確定其爬行的最短距離．提示:將空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題，是解決立體幾何問題基本的、常用的方法．在求空間圖形表面兩點(diǎn)間的最短距離時(shí)，常運(yùn)用“展開”變換,化曲(折)為直，從而把“折線拉成直線,曲面展成平面”，使問題得以巧妙解決．由于壁虎是沿著圓柱的表面爬行的,故需把圓柱側(cè)面展開成平面圖形．根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短求最短距離．專題二表面積、體積的計(jì)算問題幾何體的表面積及體積的計(jì)算是現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常能夠遇到的問題，如制作物體的下料問題、材料最省問題、相同材料容積最大問題，都涉及表面積和體積的計(jì)算．這里應(yīng)注意各數(shù)量之間的關(guān)系及各元素之間的位置關(guān)系，特別是特殊的柱、錐、臺(tái)，在計(jì)算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面圖形的作用，對(duì)于圓柱、圓錐、圓臺(tái),要重視旋轉(zhuǎn)軸所在的軸截面、底面圓的作用．本部分內(nèi)容在高考中一直是重點(diǎn)考查的內(nèi)容,考查形式可以是選擇、填空題，也可以是解答題,難度上屬于容易題，應(yīng)引起重視．應(yīng)用1如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)在棱A1B1上,動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在棱AD，CD上．若EF＝1，A1E＝x，DQ＝y(tǒng)，DP＝z(x，y,z大于零)，則四面體PEFQ的體積（)．A．與x，y，z都有關(guān)B．與x有關(guān)，與y，z無關(guān)C．與y有關(guān)，與x，z無關(guān)D．與z有關(guān),與x，y無關(guān)提示:選取四面體的面EFQ作為底，P到面EFQ的距離為高．應(yīng)用2（2011·湖北黃岡高三模擬)如圖，正三棱柱的棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為2,主視圖是邊長(zhǎng)為2的正方形，則左視圖的面積為（）．A．4B．2eq\r(3)C．2eq\r（2）D．eq\r（3)提示：根據(jù)“長(zhǎng)對(duì)正,高平齊，寬相等”法則找出左視圖的各邊長(zhǎng)再進(jìn)行計(jì)算．專題三空間幾何體中的平行和垂直判斷或證明空間線面的位置關(guān)系,主要是通過平行、垂直關(guān)系的判定定理與性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)換,通過相互轉(zhuǎn)化,推證相關(guān)結(jié)論．應(yīng)用1如圖，ABCD為正方形，正方形ADEF所在平面與平面ABCD互相垂直,G，H是DF,FC的中點(diǎn)．(1）求證：GH∥平面CDE；（2)求證：BC⊥平面CDE.提示：(1)證出GH∥CD即可;(2)在平面CDE中找出與BC垂直的兩條相交直線CD,ED．應(yīng)用2如圖，在立體圖形A－BCD中,各個(gè)面均是正三角形，G，F(xiàn),M分別是BC，AB，AC的中點(diǎn),過FG的平面與平面ACD相交于EH,求證：平面BMD⊥平面FGHE.提示：可以根據(jù)線面垂直證明面面垂直，進(jìn)一步可以轉(zhuǎn)化為線線垂直，反過來，面面垂直也可以轉(zhuǎn)化為線面垂直，線線垂直，體現(xiàn)了整體與局部之間的關(guān)系．專題四球與其他幾何體的切接問題球與規(guī)則幾何體如正方體、長(zhǎng)方體的切接問題一直是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)問題．本部分內(nèi)容可以與三視圖結(jié)合，也可以和表面積、體積結(jié)合起來命題，一般以選擇或填空題形式出現(xiàn)，難度上屬于容易題．應(yīng)用1一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面．已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,且該六棱柱的高為eq\r(3),底面周長(zhǎng)為3，那么這個(gè)球的體積為__________．提示：根據(jù)球外接于六棱柱，先求出球的半徑．應(yīng)用2長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，AB＝AA1＝1，BC＝eq\r(2）,則A，B兩點(diǎn)間的球面距離為__________．提示:長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為球的直徑．應(yīng)用3四個(gè)半徑為R的球兩兩外切，其中三個(gè)放在水平桌面上，第四個(gè)球放在這三個(gè)球之上，在這四個(gè)球的中央放一個(gè)小球,則這個(gè)小球的半徑為__________．提示：與球有關(guān)的組合體主要是球與其他幾何體的切接問題．這類問題要仔細(xì)觀察、分析，弄清相關(guān)元素之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，選擇最佳角度作出截面,把空間問題平面化，進(jìn)而在平面內(nèi)加以求解．注意各部分組合之間的關(guān)系是解答此類問題的成功所在．應(yīng)用4如圖，在三棱錐S－ABC中，SA＝AB＝AC＝1,∠BAC＝90°，SA⊥面ABC，求三棱錐S－ABC的內(nèi)切球的半徑．提示：求簡(jiǎn)單多面體的內(nèi)切球的半徑常用的方法是作軸截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為多邊形內(nèi)切圓問題，如果簡(jiǎn)單多面體是不規(guī)則的，要作軸截面就很困難,因此這種方法用起來很煩瑣．我們可以利用另一種既簡(jiǎn)便又快速的方法——體積法,即把多面體進(jìn)行分割，且分割成以內(nèi)切球球心為公共頂點(diǎn)的若干個(gè)棱錐,這些棱錐的高都是內(nèi)切球的半徑，然后根據(jù)這些棱錐的體積之和等于多面體體積,從而求出半徑．真題放送1（2011·江西高考）將長(zhǎng)方體截去一個(gè)四棱錐,得到的幾何體如下圖所示,則該幾何體的左視圖為()．2（2011·廣東高考改編）如圖1~3，某幾何體的主視圖是平行四邊形,左視圖和俯視圖都是矩形，則該幾何體的體積為（)．A．6eq\r（3）B．9eq\r（3）C．12eq\r(3)D．18eq\r（3)3(2011·浙江高考)若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是(）．4(2011·湖北高考）設(shè)球的體積為V1,它的內(nèi)接正方體的體積為V2,下列說法中最合適的是()．A．V1比V2大約多一半B．V1比V2大約多兩倍半C．V1比V2大約多一倍D．V1比V2大約多一倍半5（2011·四川高考)l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是（)．A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3C．l1∥l2∥l3?l1,l2，l3共面D．l1，l2，l3共點(diǎn)?l1，l2，l3共面6(2011·福建高考)如圖,在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上．若EF∥平面AB1C，則線段EF的長(zhǎng)度等于________．7(2011·福建高考)在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC,PA＝3，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則三棱錐P－ABC的體積等于________．8(2011·江蘇高考）如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,AB＝AD,∠BAD＝60°，E，F(xiàn)分別是AP，AD的中點(diǎn)．求證：(1）直線EF∥平面PCD；(2）平面BEF⊥平面PAD．答案：綜合應(yīng)用專題一應(yīng)用1:解：圖(1)可折成一個(gè)四棱柱．圖（2)不能折成棱柱,因?yàn)檎鄢珊蟮膸缀误w兩底面不在兩個(gè)平面內(nèi)．圖(3）不能折成棱柱，因?yàn)榕c正方體的每個(gè)面相鄰的面最多只有四個(gè)，因而展開后的圖形中,任一個(gè)正方形在它的周圍最多應(yīng)只有四個(gè)正方形,而圖中有一個(gè)正方形，在它的周圍有了5個(gè)正方形，而這是不可能的．應(yīng)用2：解：將圓柱沿著AB剪開鋪平，得如圖所示的展開圖．過點(diǎn)E作CD的垂線EG,連接EF,則壁虎爬行的最短距離為線段EF的長(zhǎng)．根據(jù)題意知AE＝2cm，CF＝1cm，因AB＝5cm，則FG＝2cm,又因?yàn)镋G＝AD為圓柱底面圓周長(zhǎng)的一半,故知EG＝12cm，利用勾股定理可求得EF＝eq\r(EG2＋FG2）＝eq\r（122＋22)＝2eq\r（37)(cm）．即壁虎爬行的最短距離為2eq\r（37)cm。專題二應(yīng)用1:D∵DC∥A1B1，EF＝1，∴S△EFQ＝eq\f(1，2)×1×2eq\r(2)＝eq\r(2）(定值)．四面體PEFQ中面EFQ上的高為P到面A1DCB1的距離為DP·sin45°＝eq\f（\r(2）,2)z.∴V四面體PEFQ＝eq\f（1，3)×eq\r(2）×eq\f（\r(2)，2)z＝eq\f（1,3)z.應(yīng)用2：B由題意可知，此正三棱柱的左視圖如圖所示．其中左視圖中高即為正三棱柱的高，左視圖中寬即為底面正三角形的高,∴S左視圖＝2×eq\r（3)＝2eq\r（3).專題三應(yīng)用1：證明：（1）∵G，H分別是DF，F(xiàn)C的中點(diǎn)，∴在△FCD中，GH∥CD.∵CD?平面CDE,GH?平面CDE，∴GH∥平面CDE.(2）平面ADEF⊥平面ABCD，交線為AD.∵ED⊥AD,AD?平面ABCD，∴ED⊥平面ABCD。又∵BC?平面ABCD,∴ED⊥BC.又∵BC⊥CD，CD∩DE＝D，∴BC⊥平面CDE。應(yīng)用2：證明：因?yàn)椤鰽BC是正三角形,M為AC的中點(diǎn)，所以MB⊥AC,同理MD⊥AC.所以AC⊥平面BDM.又F,G分別為AB，CB的中點(diǎn)，所以FG∥AC。所以FG⊥平面BDM。又FG?平面FGHE。所以平面MDB⊥平面FGHE。專題四應(yīng)用1：eq\f(4π，3）根據(jù)球外接于正六棱柱，得球心與六棱柱上下底面中心連線的中點(diǎn)重合．由勾股定理，得R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（\r（3）,2）)）2＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（3，6）））2，解得R＝1。所以球的體積為eq\f(4π,3)R3＝eq\f（4π，3）.應(yīng)用2:eq\f（π，3)由題意，知球半徑為eq\f(1，2）eq\r（AB2＋AA\o\al（2,1）＋BC2）＝1，設(shè)球心為O,則△AOB為正三角形，∠AOB＝eq\f(π，3），∴A，B間的球面距離為eq\f(π,3）。應(yīng)用3：eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(\r(6），2）－1）)R以四個(gè)大球的球心連線構(gòu)成的四面體為正四面體，如圖所示，過O4作O4H⊥平面O1O2O3于H，小球球心O是正四面體的中心,∴O∈O4H。分別連接O與四個(gè)頂點(diǎn)，它們的長(zhǎng)度均為R＋r（設(shè)r是小球半徑），正四面體的棱長(zhǎng)均為2R,所以O(shè)1H＝eq\f（2\r(3）,3)R，O4H＝eq\f（2\r(6）,3）R.設(shè)OH＝h，正四面體被分割成四個(gè)體積全等的小正三棱錐，正四面體的每個(gè)面的面積設(shè)為S,則利用正四面體的體積等于四個(gè)小正三棱錐的體積和得V＝eq\f（1，3)·S·eq\f(2\r（6)R,3)＝4·eq\f(1,3)·S·h，求得h＝eq\f(\r（6)，6)R，∴O4O＝R＋r＝O4H－OH＝eq\f（2\r(6),3)R－eq\f(\r(6），6）R＝eq\f(\r（6)，2）R，∴r＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（\r(6），2)－1))R.應(yīng)用4：解：設(shè)內(nèi)切球的球心為O，球的半徑為r，則VS－ABC＝VO－SAB＋VO－SAC＋VO－SBC＋VO－ABC，又∵VO－SAB，VO－SAC，VO－SBC，VO－ABC的高都是r，SA⊥面ABC,∴VS－ABC＝VO－SAB＋VO－SAC＋VO－SBC＋VO－ABC＝eq\f(1,3)r（S△SAB＋S△SAC＋S△SBC＋S△ABC）＝eq\f(1，3）req\b\lc\（\rc\（\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×1＋\f(1，2）×1×1＋\f（\r（3），4）×2））＋eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×1)）＝eq\f（1,3)×1×eq\f（1,2)，∴r＝eq\f(1,3＋\r(3）)＝eq\f(3－\r(3）,6).∴三棱錐S－ABC的內(nèi)切球的半徑為eq\f(3－\r(3),6）.真題放送1．D根據(jù)正投影的性質(zhì)，并結(jié)合左視圖要求及如圖所示，AB的正投影為A′B′,BC的正投影為B′C′，BD′的正投影為B′D′,綜上可知左視圖為選項(xiàng)D。2．B由幾何體的三視圖知直觀圖如圖所示．原幾何體為底面ABCD為矩形的四棱柱,且AB＝3，側(cè)面A1ABB1⊥底面ABCD，A1A＝2。過A1作A1G⊥AB于G，由三視圖知AG＝1，A1D1＝3,A1G＝eq\r（A1A2－AG2)＝eq\r（3）。底面ABCD的面積S＝3×3＝9，VABCDA1B1C1D1＝S·h＝9×eq\r（3)＝9eq\r(3）.3．D由主視圖中間的線為虛線可排除選項(xiàng)A，B，由俯視圖可排除選項(xiàng)C，故選D.4．D設(shè)球的半徑為r，正方體棱長(zhǎng)為a，則3a2＝4r2，即a＝eq\f（2\r（3),3)r，∴V1＝eq\f（4,3）πr3，V2＝eq\f（8\r（3）,9)r3，eq\f(V1,V2）＝eq\f（\r(3）π，2），故選D。5．B對(duì)于A選項(xiàng)，在同一平面