2024年高考數(shù)學總復習高中數(shù)學48個易錯點梳理

PAGE21PAGEPAGE1高中數(shù)學易錯點梳理必考知識點：第一章、集合與函數(shù)概念（常用邏輯用語）第二章、基本初等函數(shù)第三章、函數(shù)的應用第四章、三角函數(shù)第五章、平面向量第六章、三角恒等變換第七章、解三角形第八章、數(shù)列第九章、不等式第十章、空間幾何體第十一章、點、直線、平面之間的位置關系第十二章、直線與方程第十三章、圓與方程第十四章、圓錐曲線與方程第十五章、算法初步與框圖第十六章、概率、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例第十七章、推理與證明第十八章、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入第十九章、選修系列（坐標系與參數(shù)方程、不等式選講）第二十章、導數(shù)及其應用第二十一章、計數(shù)原理與二項式數(shù)學中的隱含條件往往最容易被忽視，這些隱含條件通常被稱為題中的“陷阱”，解題過程中一不小心就會掉進去。本文列舉出了高中課本中一些常見的易錯點，希望同學們在今后的學習中引以為戒。一、集合與簡易邏輯易錯點1對集合表示方法理解存在偏差【問題】1:已知，求。錯解：剖析：概念模糊，未能真正理解集合的本質。正確結果：【問題】2:已知，求。錯解：正確答案：剖析：審題不慎，忽視代表元素，誤認為為點集。反思：對集合表示法部分學生只從形式上“掌握”，對其本質的理解存在誤區(qū)，常見的錯誤是不理解集合的表示法，忽視集合的代表元素。易錯點2在解含參數(shù)集合問題時忽視空集【問題】:已知，且，求的取值范圍。錯解：[-1，0）剖析：忽視的情況。正確答案：[-1，2]反思：由于空集是一個特殊的集合，它是任何集合的子集，因此對于集合就有可能忽視了，導致解題結果錯誤。尤其是在解含參數(shù)的集合問題時，更應注意到當參數(shù)在某個范圍內取值時，所給的集合可能是空集的情況?？忌捎谒季S定式的原因，往往會在解題中遺忘了這個集合，導致答案錯誤或答案不全面。易錯點3在解含參數(shù)問題時忽視元素的互異性【問題】:已知1∈{,,}，求實數(shù)的值。錯解：剖析：忽視元素的互異性，其實當時，==1；當時，==1；均不符合題意。正確答案：反思：集合中的元素具有確定性、互異性、無序性，集合元素的三性中的互異性對解題的影響最大，特別是含參數(shù)的集合，實際上就隱含著對字母參數(shù)的一些要求。解題時可先求出字母參數(shù)的值，再代入驗證。易錯點4充分必要條件顛倒出錯【問題】:已知是實數(shù)，則“且”是“且”的A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件錯解：選B剖析：識記不好，不能真正理解充要條件概念，未能掌握判斷充要條件的方法。正確答案：C反思：對于兩個條件，如果，則是的充分條件，是的必要條件，如果，則是的充要條件。判斷充要條件常用的方法有①定義法；②集合法；③等價法。解題時最容易出錯的就是顛倒了充分性與必要性，所以在解決這類問題時，一定要分清條件和結論，根據(jù)充要條件的定義，選擇恰當?shù)姆椒ㄗ鞒鰷蚀_的判斷，不充分不必要常借助反例說明。二、函數(shù)與導數(shù)易錯點5判斷函數(shù)奇偶性時忽視定義域【問題】1:判斷函數(shù)的奇偶性。錯解：原函數(shù)即，∴為奇函數(shù)剖析：只關注解析式化簡，忽略定義域。正確答案：非奇非偶函數(shù)?！締栴}】2:判斷函數(shù)的奇偶性。錯解：，∴為偶函數(shù)剖析：不求函數(shù)定義域只看表面解析式，只能得到偶函數(shù)這一結論，導致錯誤。正確答案：既奇且偶函數(shù)。反思：函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關于原點對稱。如果不具備這個條件，一定是非奇非偶函數(shù)。在定義域關于原點對稱的前提下，如果對定義域內任意x都有，則為奇函數(shù)；如果對定義域內任意x都有，則為偶函數(shù)，如果對定義域內存在使，則不是奇函數(shù)；如果對定義域內存在使，則不是偶函數(shù)。易錯點6解“二次型函數(shù)”問題時忽視對二次項系數(shù)的討論【問題】:函數(shù)的圖象與軸只有一個交點，求實數(shù)m的取值范圍。錯解：由解得剖析：知識殘缺，分類討論意識沒有，未考慮的情況。正確答案：反思：在二次型函數(shù)中，當時為二次函數(shù)，其圖象為拋物線；當時為一次函數(shù)，其圖象為直線。在處理此類問題時，應密切注意項的系數(shù)是否為0，若不能確定，應分類討論，另外有關三個“二次”之間的關系的結論也是我們應關注的對象。例如：解集為解集為易錯點7用函數(shù)圖象解題時作圖不準【問題】:求函數(shù)的圖象與直線的交點個數(shù)。錯解：兩個剖析：忽視指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)增減速度快慢對作圖的影響。正確答案：三個反思：“數(shù)形結合”是重要思想方法之一，以其準確、快速、靈活及操作性強等諸多優(yōu)點頗受數(shù)學學習者的青睞。但我們在解題時應充分利用函數(shù)性質，畫準圖形，不能主觀臆造，導致圖形“失真”，從而得出錯誤的答案。易錯點8忽視轉化的等價性【問題】1:已知方程有且只有一個根在區(qū)間（0，1）內，求實數(shù)m的取值范圍。錯解：∵方程有且只有一個根在區(qū)間（0，1）內，∴函數(shù)的圖象與軸在（0，1）內有且只有一個交點，∴，解得剖析：知識殘缺，在將方程轉化為函數(shù)時，應考慮到的情況。正確答案：【問題】2:函數(shù)的圖象大致是（） 剖析：①在轉化過程中，去絕對值時出錯，從而得到錯誤的圖象。②在圖象變換過程中出錯，搞錯平移方向。正確答案：D反思：等價轉化是數(shù)學的重要思想方法之一，處理得當會起到意想不到的效果，但等價轉化的前提是轉化的等價性，反之會出現(xiàn)各種離奇的錯誤。易錯點9分段函數(shù)問題【問題】1:.已知是R上的增函數(shù)，求a的取值范圍。錯解：剖析：知識殘缺，只考慮到各段函數(shù)在相應定義域內為增函數(shù)，忽視在分界點附近函數(shù)值大小關系。正確答案：【問題】2:設函數(shù)，求關于x的方程解的個數(shù)。錯解：兩個剖析：基礎不實，分類討論意識沒有，未能將方程分兩種情況來解。正確答案：三個反思：與分段函數(shù)相關的問題有作圖、求值、求值域、解方程、解不等式、研究單調性及討論奇偶性等等。在解決此類問題時，要注意分段函數(shù)是一個函數(shù)而不是幾個函數(shù)，如果自變量取值不能確定，要對自變量取值進行分類討論，同時還要關注分界點附近函數(shù)值變化情況。易錯點10誤解“導數(shù)為0”與“有極值”的邏輯關系【問題】:函數(shù)在x=1處有極值10，求的值。錯解：由解得剖析：對“導數(shù)為0”與“有極值”邏輯關系分辨不清，錯把為極值的必要條件當作充要條件。正確答案：a=4,b=-11反思：在使用導數(shù)求函數(shù)極值時，很容易出現(xiàn)的錯誤是求出使導函數(shù)等于0的點，而沒有對這些點左右兩側導函數(shù)的符號進行判斷，誤以為使導函數(shù)等于0的點就是函數(shù)的極值點。出現(xiàn)這種錯誤的原因就是對導數(shù)與極值關系不清。可導函數(shù)在一點處的導函數(shù)值為0只是這個函數(shù)在此點取到極值的必要條件，充要條件是兩側異號。。易錯點11對“導數(shù)值符號”與“函數(shù)單調性”關系理解不透徹【問題】:若函數(shù)在上為減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍。錯解：由在上恒成立，∴，解得剖析：概念模糊，錯把在某個區(qū)間上是單調增（減）函數(shù)的充分條件當成充要條件。事實上時滿足題意。正確答案：反思：一個函數(shù)在某個區(qū)間上單調增（減）的充要條件是這個函數(shù)的導函數(shù)在此區(qū)間上恒大（小）于等于0，且導函數(shù)在此區(qū)間的任意子區(qū)間上都不恒為0。切記導函數(shù)在某區(qū)間上恒大（?。┯?僅為該函數(shù)在此區(qū)間上單調增（減）的充分條件。易錯點12對“導函數(shù)值正負”與“原函數(shù)圖象升降”關系不清楚【問題】:已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則y=f(x)的圖象最有可能的是______.錯解：選剖析：概念不清，憑空亂猜，正確解法是由于，且兩邊值符號相反，故0和2為極值點；又因為當時，，當時，，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)。正確答案：C反思：解答此類題的關鍵是抓?、賹Ш瘮?shù)的零點與原函數(shù)的極值點關系——極值點的導數(shù)值為0；②導函數(shù)值的符號與原函數(shù)單調性的關系——原函數(shù)看增減，導函數(shù)看正負。三、數(shù)列易錯點13由求時忽略對“”檢驗【問題】:已知數(shù)列｛｝的前n項和，求。錯解：由解得剖析：考慮不全面，錯誤原因是忽略了成立的條件n≥2，實際上當n=1時就出現(xiàn)了S0，而S0是無意義的，所以使用求，只能表示第二項以后的各項，而第一項能否用這個表示，尚需檢驗。正確答案：反思：在數(shù)列問題中，數(shù)列的通項與其前n項和之間關系如下，在使用這個關系式時，要牢牢記住其分段的特點。當題中給出數(shù)列｛｝的與關系時，先令求出首項，然后令求出通項，最后代入驗證。解答此類題常見錯誤為直接令求出通項，也不對進行檢驗。易錯點14忽視兩個“中項”的區(qū)別【問題】:是成等比數(shù)列的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分有不必要條件錯解：C剖析：思維不縝密，沒有注意到當時，可能為0。正確答案：B反思：若成等比數(shù)列，則為和的等比中項。由定義可知只有同號的兩數(shù)才有等比中項，“”僅是“為和的等比中項”的必要不充分條件，在解題時務必要注意此點。易錯點15等比數(shù)列求和時忽視對討論【問題】:在等比數(shù)列｛｝中，為其前n項和，且，求它的公比q。錯解：，解得剖析：知識殘缺，直接用等比數(shù)列的求和公式，沒有對公比q是否等于1進行討論，導致失誤。正確答案：反思：與等差數(shù)列相比，等比數(shù)列有一些特殊性質，如等比數(shù)列的每一項包括公比均不為0，等比數(shù)列的其前n項和為分段函數(shù)，其中當q=1時，。而這一點正是我們解題中被忽略的。易錯點15用錯了等差、等比數(shù)列的相關公式與性質【問題】:已知等差數(shù)列｛｝的前m項和為30，前2m項和為100，求它的前3m項和。錯解一：170剖析：基礎不實，記錯性質，誤以為成等差數(shù)列。錯解二：130剖析：基礎不實，誤以為滿足。正確答案：210反思：等差、等比數(shù)列各自有一些重要公式和性質（略），這些公式和性質是解題的根本，用錯了公式和性質，自然就失去了方向。解決這類問題的一個基本出發(fā)點就是考慮問題要全面，把各種可能性都考慮進去，認為正確的命題給予證明，認為不正確的命題舉出反例予以說明。易錯點16用錯位相減法求和時項數(shù)處理不當【問題】:求和。剖析：①考慮不全面，未對進行討論，丟掉時的情形。②將兩個和式錯位相減后，成等比數(shù)列的項數(shù)弄錯。③將兩個和式錯位相減后，丟掉最后一項。正確答案：反思：如果一個數(shù)列為一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應項積所得到的，那么該數(shù)列可用錯位相減法求和?；痉椒ㄊ窃O這個和式為Sn，在這個和式的兩端同時乘以等比數(shù)列的公比得到另一個和式，將這兩個和式錯位相減，得到一個新的和式，該式分三部分①原來數(shù)列的第一項；②一個等比數(shù)列的前n-1項和；③原來數(shù)列的第n項乘以公比的相反數(shù)。在用錯位相減法求和時務必要處理好這三個部分，特別是等比數(shù)列的項數(shù)，有時含原來數(shù)列的第一項共項，有時只有項。另外，如果公比為字母需分類討論。易錯點17數(shù)列中的最值錯誤【問題】:在等差數(shù)列｛｝中，，，求此數(shù)列的前幾項和最大。剖析：①解題不細心，在用等差數(shù)列前n和求解時，解得n=12.5，誤認為n=12.5。②考慮不全面，在用等差數(shù)列性質求解得出=0時，誤認為只有最大。正確答案：反思：數(shù)列的通項公式與前n項和公式都是關于正整數(shù)n的函數(shù)，要善于用函數(shù)的觀點認識和理解數(shù)列問題。但是考生很容易忽視n為正整數(shù)的特點，有時即使考慮了n為正整數(shù)，但對于n為何值時，能夠取到最值求解出錯。在關于正整數(shù)n的二次函數(shù)中其取最值的點要根據(jù)正整數(shù)距離二次函數(shù)的對稱軸遠近而定。四、三角函數(shù)易錯點18求解時忽略角的范圍【問題】1:在中，=,=，求，的值。錯解：cosA=±，sinB=±剖析：基礎不實，忽視開方時符號的選取。正確答案：cosA=，sinB=【問題】2:在中，為銳角，且，求的值。錯解：先求出sin()=，∵，∴剖析：知識殘缺，由于為銳角，所以。又由于正弦函數(shù)在上不是單調函數(shù)，所以本題不宜求sin()，宜改求cos()或tan()。正確答案：【問題】1:在中，已知a=,b=,B=,求角A錯解：用正弦定理求得，∴剖析：基礎不牢，忽視隱含條件出錯。正確答案：反思：三角函數(shù)中的平方關系是三角變換的核心，也是易錯點之一。解題時，務必重視“根據(jù)已知角的范圍和三角函數(shù)的取值，精確確定未知角的范圍，并進行定號”。易錯點19求關于最值時忽視正、余弦函數(shù)值域【問題】:已知，求的最大值。錯解：令，得，通過配方、作圖解得的最大值為剖析：本題雖注意到的值域，但未考慮到與相互制約，即由于-1≤siny≤1，∴必須同時滿足。正確答案：反思：求關于最值的常規(guī)方法是通過令（或cosx）將三角函數(shù)的最值問題轉化為關于的二次函數(shù)問題求解。但由于正、余弦函數(shù)值域限制，只能在某一特定范圍內取值，解題時務必要注意此點。易錯點20三角函數(shù)單調性判斷錯誤【問題】:已知函數(shù)y=cos(-2x)，求它的單調減區(qū)間。錯解：≤-2x≤剖析：概念混淆，錯因在于把復合函數(shù)的單調性與基本函數(shù)的單調性概念相混淆。應化成y=cos(2x-)求解正確答案：反思：對于函數(shù)來說，當時，由于內層函數(shù)是單調遞增的，所以函數(shù)的單調性與函數(shù)的單調性相同，故可完全按照函數(shù)的單調性來解決；但當時，內層函數(shù)是單調遞減的，所以函數(shù)的單調性與函數(shù)的單調性正好相反，就不能按照函數(shù)的單調性來解決。一般來說，應根據(jù)誘導公式將的系數(shù)化為正數(shù)加以解決，對于帶有絕對值的三角函數(shù)宜根據(jù)圖象從直觀上加以解決。易錯點21圖象變換的方向把握不準【問題】:要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A向右平移個單位 B向右平移個單位C向左平移個單位D向左平移個單位錯解一：C剖析：知識殘缺，未將函數(shù)化成同名函數(shù)。錯解二：D剖析：基礎不牢，弄錯了平移方向。正確答案：A反思：圖像的平移變換，伸縮變換因先后順序不同平移的量不同，平移的量為，平移的量為。易錯點22忽視平面向量基本定理的成立條件【問題】：下列各組向量中，可以作為基底的是①=（0，0），=（1，-2）;②=（-1，2），=（5，7）;③=（3，5），=（6，10）;④=（2，-3），=（4，-6）;錯解：選①或③或④正確答案：=2\*GB3②剖析：概念模糊，根據(jù)基底的定義，只有非零且不共線的向量才可以作為平面內的基底。反思：如果、是同一平面內的兩個不共線向量，那么對該平面內的任一向量，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使=λ1+λ2。在平面向量知識體系中，基本定理是基石，共線向量定理是重要工具。考生在學習這部分知識時，務必要注意這兩個定理的作用和成立條件。易錯點23忽視“向量數(shù)量積運算”與“實數(shù)運算”區(qū)別【問題】：已知向量的夾角為鈍角，求實數(shù)x的取值范圍為錯解：剖析：概念模糊，錯誤地認為為鈍角正確答案：反思：為鈍角不共線六、不等式易錯點24不等式性質應用不當【問題】：已知，<β<，求函的取值范圍。錯解：∵，<β<，∴，∴剖析：套用錯誤，不等式具有同向相加性質，但兩邊不能分別相減。正確答案：反思：不等式基本性質是不等式的基礎，有些性質是條件不等式，在使用這些性質解題時，務必要檢驗成立條件，不能想當然套用，忽視了就會出錯。易錯點25忽視等號同時成立的條件，擴大了范圍【問題】：已知函數(shù)，且，求的取值范圍。錯解：先由求出a，b的范圍，再用不等式性質求出的范圍為[5，10]。剖析：知識殘缺，多次使用同向相加性質，從而擴大了取值范圍。正確答案：利用待定系數(shù)法或線性規(guī)劃求解，的范圍為[5，10]。反思：在多次運用不等式性質時，其等號成立的條件可能有所不同，造成累積誤差，結果使變量范圍擴大。為了避免這類錯誤，必須注意①檢查每次使用性質時等號成立的條件是否相同；②盡可能多的使用等式。易錯點26去分母時沒有判斷分母的符號【問題】：解不等式錯解：∵，∴，解得剖析：基礎不實，沒有考慮分母的符號，直接去分母，應對進行分類討論，或用數(shù)軸標根法求解。正確答案：反思：解分式不等式的依據(jù)是分式的基本性質a>b,c>0ac>bc；a>b,c<0ac<bc。解分式不等式基本思想是通過去分母將分式不等式轉化為整式不等式，但在去分母之前必須對分母的符號進行判斷，必要時要對分母進行討論。易錯點27解含參數(shù)不等式時分類討論不當【問題】：解關于x的不等式錯解一：原不等式等價于，解得剖析：基礎不實，直接利用絕對值不等式的解集公式，而忽視對a-2進行分類討論。錯解二：當時，原不等式不成立。當時，原不等式等價于，解得剖析：技能不熟，沒有對進行討論。正確答案：當時，不等式解集是；當時，不等式解集是反思：含參數(shù)不等式的解法是不等式問題的難點。解此類不等式時一定要注意對字母分類討論，討論時要做到不重不漏，分類解決后，要對各個部分的結論按照參數(shù)由小到大進行整合。易錯點28忽視均值不等式應用條件【問題】1：若x<0，求函數(shù)f(x)=的最值。錯解:當x＝時，f(x)取得最小值2剖析：基礎不實，基本不等式≥2成立條件為，本題中x<0，不能直接使用公式。正確答案：最大值為，無最小值?！締栴}】：設，求函數(shù)的最小值。錯解：剖析：知識殘缺，因為上述解法取等號條件是，，而這是不可能的。正確答案：最小值為5【問題】3：設，且，求函數(shù)f(x)=的最小值。錯解：∵=()≥＝4，∴函數(shù)f(x)的最小值為4。剖析：技能不熟，上述解法似乎很巧妙，但兩次使用均值不等式時取等號的條件不一樣，因此取不到。正確答案：最小值為反思：均值不等式≥2（）取等號的條件是“一正，二定，三相等”。在解題過程中，務必要先檢驗取等號的三個條件是否成立。常規(guī)的解法是①如果積或和不是定值，設法構造“定值”；②若是不能保證，可構造“正數(shù)”或利用導數(shù)求解；③若是等號不能成立，可根據(jù)“對勾函數(shù)”圖象，利用單調性求解。易錯點28平面區(qū)域不明【問題】：表示的平面區(qū)域是（）錯解一：選A計算錯誤錯解二：選B思維不縝密錯解三：選D審題粗心，未注意到不含等號。正確答案：C反思：一條直線把平面分成兩個半平面，在每個半平面內的點（x，y）使值的符號一致。鑒于此，作不等式對應的平面區(qū)域方法是畫線定界，取點定域，若含等號畫實線，否則畫虛線。易錯點29求目標函數(shù)最值時忽視的系數(shù)的符號【問題】：若變量滿足約束條件求目標函數(shù)的最大值。錯解：先作可行域，在平移直線得最優(yōu)解（-1，1）,所以剖析：識記錯誤，當y的系數(shù)小于0時，使得直線在y軸上截距最大的可行解，是目標函數(shù)取得最小值的最優(yōu)解。正確答案：3反思：解線性規(guī)劃問題的基本方法是圖解法。當B>0時，動直線在y軸上的截距越大，目標函數(shù)值越大，截距越小，目標函數(shù)值越?。环粗?，當B<0時，動直線在y軸上截距越大，目標函數(shù)值越小，截距越小，目標函數(shù)值越大。其中的系數(shù)的符號是解題的關鍵，也是同學們經常忽略的地方。七、立體幾何易錯點30不會將三視圖還原為幾何體【問題】：若某空間幾何體的三視圖如圖所示，求該幾何體的體積。錯解：如圖該幾何體是底面為邊長正方形，高為1的棱柱，∴該幾何體的體積為剖析：識圖能力欠缺，由三視圖還原幾何體時出錯。正確答案：V=1反思：在由三視圖還原空間幾何體時，要根據(jù)三個視圖綜合考慮，根據(jù)三視圖的規(guī)則，可見輪廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線為實線。在還原幾何體形狀時，一般是以正視圖和俯視圖為主，結合側視圖進行綜合考慮。易錯點31空間點、線、面位置關系不清【問題】：給定下列四個命題：①若一個平面內的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行；②若一個平面經過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直；③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；.④若兩個平面垂直，那么一個平面內與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直.其中為真命題的是A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④錯解：A剖析：①空間想象能力欠缺，不會借助身邊的幾何體作出判斷；②空間線面關系模糊，定理不熟悉或定理用錯。正確答案：D反思：空間點、線、面位置關系的組合判斷是考查學生對空間點、線、面位置關系判斷和性質掌握程度的重要題型。解決這類問題的基本思路有兩條：一是逐個尋找反例作出否定的判斷，逐個進行邏輯證明作出肯定的判斷；二是結合長方體模型或實際空間位置（如教室、課桌、燈管）作出判斷，但要注意定理應用準確，考慮問題全面細致。易錯點32平行關系定理使用不當【問題】：正方體ABCD—A1B1C1D1中，M，N，Q分別是棱D1C1，A1D1，BC的中點，P在對角線BD1上，且，給出下列四個命題：（1）；（2）C1Q//面APC；（3）A，P，M三點共線；（4）面MNP//面APC.正確序號為（）A、（1）（2）B、（1）（4）C、（2）（3）D、（3）（4）錯解：A、B、D剖析：空間線面關系模糊，定理不熟悉，未能推出MN在平面APC內而導致錯誤。正確答案：C反思：證明空間平行關系的基本思想是轉化和化歸，但要正確應用定理并注意定理的應用條件。如在證明直線a//平面α時，不能忽略直線a在平面α外。證明有關線線，線面，面面平行時使用定理應注意找足條件，書寫規(guī)范，推理嚴謹。易錯點33垂直關系定理使用不當【問題】：已知三棱錐P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=?AB，N為AB上一點，AB=4AN，M、S分別為PB、BC的中點。①證明：CM⊥SN；②求SN與平面CMN所成角的大小.剖析：①在利用線面垂直的判定定理證明兩個平面互相垂直時，只證明了該直線垂直于這個平面內的兩條直線，沒有說明這兩條直線是否相交，不符合定理的條件；②在求線面角時，沒有說明找角的過程。反思：證明空間垂直關系的基本思想是轉化和化歸。如在證明線線垂直時，可先把其中一條直線視為某平面內的直線，然后再利用線面垂直的性質定理和判定定理證明另一條直線垂直于這個平面，進而達到證明線線垂直的目的。易錯點34利用空間向量求線面角幾種常見錯誤【問題】：如圖，已知兩個正方形ABCD和DCEF不在同一平面內，M，N分別為AB，DF的中點,若平面ABCD⊥平面DCEF，求直線MN與平面DCEF所成角的余弦值。剖析：本題在求得平面DCEF的一個法向量=（0，0，2）及=(－1,1,2)后，可得cos<,>=·可能出現(xiàn)的錯誤為：;正確答案：反思：若直線與平面所成的角為，直線的方向向量為，平面的法向量為，則sin=|cos<,>|。容易出錯的是①誤以為直線的方向向量與平面的法向量所成角就是線面角；②誤以為直線的方向向量與平面的法向量所成角的余弦就是線面角的正弦，而忘了加絕對值；③不清楚線面角的范圍。易錯點35二面角概念模糊【問題】：如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，，，點在側棱上，。①證明：是側棱的中點；②求二面角的余弦值。剖析：本題在求得平面、的法向量=(，1，1)，=(，0，2)后，然后計算出cos=；接著可能錯誤地以為二面角余弦值為，其實本題中的二面角是鈍角，僅為其補角。正確答案：反思：若兩個平面的法向量分別為，，若兩個平面所成的銳二面角為，則；若兩個平面所成二面角為鈍角，則?？傊诮獯祟愵}時，應先求出兩個平面的法向量及其夾角，然后視二面角的大小而定。利用空間向量證明線面位置關系基本步驟為①建立空間坐標系，寫出相關點的坐標；②用向量表示相應的直線；③進行向量運算；④將運算結果轉化為相應的位置關系。解此類問題常見錯誤有①不會將空間問題轉化為向量問題；②不會建系，不會用向量表示直線，③計算錯誤，④使用定理出錯，⑤書寫不規(guī)范。八、解析幾何易錯點36傾斜角與斜率關系不明【問題】：下列命題正確的為_______________。①任何一條直線都有傾斜角，都有斜率；②直線的傾斜角越大，它的斜率就越大；③平行于x軸的直線，傾斜角為00或1800；④平行于y軸的直線，斜率不存在，所以傾斜角不存在；剖析：知識殘缺，概念模糊。正確答案：無選項反思：傾斜角和斜率分別從不同角度反映了直線的傾斜程度，但二者也有區(qū)別，任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率。解此類題常見錯誤有①弄錯直線傾斜角的范圍；②當直線與x軸平行或重合時，誤認為傾斜角為00或1800；③不了解傾斜角與斜率關系。易錯點37判斷兩直線位置關系時忽視斜率不存在【問題】：已知直線1:ax+2y+6=0和2:x+（a-1）y+a2-1=0，試判斷1與2是否平行；②當1⊥2時，求a的值。剖析：本題中的直線為一般式，宜用②中的等價關系求解，如果用①中的等價關系求解，一定要考慮斜率不存在的情況。正確答案：（1）（2）反思：在解幾中，判斷平面內兩直線的位置關系的方法有兩種：若直線1:，2:，則有1與2相交；1∥2，且b1≠b2；1⊥2②若直線，，則有1與2相交；1∥2；1⊥2兩種方法各有優(yōu)缺點，方法①簡便易行，但僅適用于斜率存在的直線，方法②適用于任意的直線，但運算量較大。考生經常出錯的是：用方法①但忽視對斜率的討論。易錯點38平行線間的距離公式使用不當【問題】：求兩條平行線1:和2:間的距離。錯解：∴直線1與2的距離為2或1剖析：技能不熟，求兩條平行線間的距離時，沒有把x、y的系數(shù)化成相同。正確答案：反思：兩條平行線之間的距離是指其中一條直線上的任意一點到另一條直線的距離。若直線1:Ax+By+C1=0和2:Ax+By+C2=0(C1≠C2)，則直線1與2的距離為。常見的錯誤是忽視判斷兩直線中x、y系數(shù)是否相等。易錯點39誤解“截距”和“距離”的關系【問題】：若直線與拋物線（y－1）2＝x－1在x軸上的截距相等，求a的值。錯解：直線在x軸上的截距為，拋物線（y－1）2＝x－1在x軸上的截距為2，∴,解得a=±1剖析：概念模糊，錯把截距當成距離。正確答案：a=－1反思：截距是指曲線與坐標軸交點的橫（縱）坐標，它是一個實數(shù)，可為正數(shù)、負數(shù)、零，而距離一定是非負數(shù)，對此考生應高度重視。易錯點40忽視直線點斜式和斜截式方程適用范圍【問題】：求過點（2，1）和（a，2）的直線方程。錯解：先求出斜率，故所求直線方程為y－1=（x－2）剖析：知識殘缺，未考慮k不存在的情況。正確答案：當a=2時，直線方程為x=2,當時，直線方程為y－1=（x－2）反思：點斜式和斜截式是兩種常見的直線方程形式，應用非常廣泛，但它們僅適用于斜率存在的直線。解題時一定要驗證斜率是否存在，若情況不明，一定要對斜率分類討論。易錯點41忽視直線截距式方程適用范圍【問題】：直線經過點P（2，3），且在兩坐標軸上的截距相等，求直線方程。錯解：設直線方程為（a≠0），將點P代入得a=5，∴的方程為x+y-5=0剖析：知識殘缺，不了解截距式方程適用范圍，漏掉直線過原點的情況。正確答案：x+y-5=0或3x-2y=0反思：直線的截距式方程為(ab≠0)，a為直線在x軸上的截距，b為直線在y軸上的截距。其適用范圍為①不經過原點，②不與坐標軸垂直。易錯點42忽視圓的一般式方程成立條件【問題】：已知圓的方程為，過作圓的切線有兩條，求a的取值范圍。錯解：∵過作圓的切線有兩條，∴點A在圓外，∴,∴剖析：技能不熟，忽視圓的一般式方程的充要條件。正確答案：反思：在關于x、y的二元二次方程中，當，表示一個圓；當時，表示一個點；當時，不表示任何圖形。僅僅是曲線為圓的一個必要不充分條件，在判斷曲線類型時，判斷的符號至關重要，這也是考生易錯點之一。易錯點43忽視圓錐曲線定義中的限制條件【問題】1：已知定點，在滿足下列條件的平面上動點P的軌跡中是橢圓的是ABCD錯解：或剖析：概念模糊，由于|F1F2|=6，所以A選項無軌跡，B選項的軌跡為線段。正確答案：C【問題】2：說出方程表示的曲線。錯解：雙曲線剖析：知識不全，表示動點到定點的距離只差為8，且|PF1|>|PF2|，∴軌跡為以為焦點的雙曲線的左支。正確答案：軌跡為以為焦點的雙曲線的左支反思：在橢圓的定義中，對常數(shù)加了一個條件，即常數(shù)大于。這種規(guī)定是為了避免出現(xiàn)兩種特殊情況——軌跡為一條線段或無軌跡。在雙曲線的定義中，不僅對常數(shù)加了限制條件，同時要求距離差加了絕對值，其實如果不加絕對值其軌跡只表示雙曲線的一支，對此考生經常出錯。易錯點57求橢圓標準方程時忽視“定位”分析【問題】：若橢圓的離心率，求的值是。錯解：a2＝5，b2＝,∴c2＝5-,又，∴=3剖析：技能不熟，沒有考慮到焦點在y軸上的情形。正確答案：=3或反思：確定橢圓標準方程包括“定位”與“定量”兩個方面，“定位”是指確定橢圓與坐標系的相對位置，在中心為原點的前提下，確定焦點在哪個坐標軸上，以判斷方程的形式，若情況不明，應對參數(shù)進行討論，“定量”則是指確定a2、b2的值，常用待定系數(shù)法求解。易錯點44