專題10 二次函數(shù)的圖像、性質(zhì)和應(yīng)用（原卷板）

一、選擇題1.（畢節(jié)）拋物線共有的性質(zhì)是【】A．開口向下B．對稱軸是y軸C．都有最低點(diǎn)D．y隨x的增大而減小2.（黔東南）已知拋物線y=x2﹣x﹣1與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（m，0），則代數(shù)式m2﹣m+2014的值為【】A．2012B．2013C．2014D．20153.（黔東南）如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列4個(gè)結(jié)論：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0其中正確結(jié)論的有【】A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④4.（河北）某種正方形合金板材的成本y（元）與它的面積成正比，設(shè)邊長為x厘米，當(dāng)x=3時(shí)，y=18，那么當(dāng)成本為72元時(shí)，邊長為【】A、6厘米B、12厘米C、24厘米D、36厘米5.（十堰）已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)（1，1）和（﹣1，0）．下列結(jié)論：①a﹣b+c=0；②b2＞4ac；③當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線與x軸必有一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（1，0）的右側(cè)；④拋物線的對稱軸為x=．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有【】A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)6.（孝感）拋物線的頂點(diǎn)為，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A在點(diǎn)\和之間，其部分圖象如圖所示，則以下結(jié)論：①；②；③；④【】A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．7.（濰坊）如圖，已知矩形ABCD的長AB為5，寬BC為4．E是BC邊上的一個(gè)動點(diǎn)，AE⊥EF，EF交CD于點(diǎn)F．設(shè)BE=x，F(xiàn)C=y，則點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)C時(shí)，能表示y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是()8.（上海）如果將拋物線y＝x2向右平移1個(gè)單位，那么所得的拋物線的表達(dá)式是（）．(A)y＝x2－1；(B)y＝x2＋1；(C)y＝(x－1)2；(D)y＝(x＋1)2．9.（天津）已知二次函數(shù)的圖象如下圖所示，且關(guān)于x的一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，有下列結(jié)論：①；②abc<0；③m>2.其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是【】（A）0 （B）1 （C）2 （D）310.（新疆、兵團(tuán)）對于二次函數(shù)的圖象，下列說法正確的是【】A．開口向下B．對稱軸是C．頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，2）D．與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)11.（金華）如圖是二次函數(shù)的圖象，使成立的x的取值范圍是【】A．B．C．D．或12.（舟山）當(dāng)－2≤x≤l時(shí)，二次函數(shù)有最大值4，則實(shí)數(shù)m的值為【】(A)(B)或(c)2或(D)2或或二、填空題1.（珠海）如圖，對稱軸平行于y軸的拋物線與x軸交于（1，0），（3，0）兩點(diǎn)，則它的對稱軸為▲.2.（河南）已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)．若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2,0)，拋物線的對稱軸為直線x=2．則線段AB的長為▲.3.（南京）已知二次函數(shù)中，函數(shù)y與x的部分對應(yīng)值如下：...-10123......[105212[...則當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是▲.4.（揚(yáng)州）如圖，拋物線的對稱軸是過點(diǎn)（1，0）且平行于y軸的直線，若點(diǎn)P(4，0)在拋物線上，則的值_____________.5.（天津）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是▲．三、解答題1.（福州）（滿分14分）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D.（1）求點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)；（2）連接CD，過原點(diǎn)O作OE⊥CD，垂足為H，OE與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)E，連接AE，AD.求證：∠AEO=∠ADC；（3）以（2）中的點(diǎn)E為圓心，1為半徑畫圓，在對稱軸右側(cè)的拋物線上有一動點(diǎn)P，過點(diǎn)P作⊙O的切線，切點(diǎn)為Q，當(dāng)PQ的長最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo).2.（梅州）（本題滿分11分）如圖，已知拋物線與x軸的交點(diǎn)為A、D（A在D的右側(cè)），與y軸的交點(diǎn)為C.（1）直接寫出A、D、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)M，使得MD+MC的值最小，并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)C關(guān)于拋物線對稱的對稱點(diǎn)為B，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以A、B、C、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為梯形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.3.（珠海）（本題滿分9分）如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A（2，0）、C（0，）.將矩形OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，得矩形OEFG，線段GE、FO相交于點(diǎn)H，平行于y軸的直線MN分別交線段GF、GH、GO和x軸于點(diǎn)M、P、N、D，連結(jié)MH.（1）若拋物線經(jīng)過G、O、E三點(diǎn)，則它的解析式為：▲；（2）如果四邊形OHMN為平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）在（1）（2）的條件下，直線MN拋物線l交于點(diǎn)R，動點(diǎn)Q在拋物線l上且在R、E兩點(diǎn)之間（不含點(diǎn)R、E）運(yùn)動，設(shè)ΔPQH的面積為s，當(dāng)時(shí)，確定點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)的取值范圍.4.（玉林、防城港）（12分）給定直線l：y=kx，拋物線C：y=ax2+bx+1．（1）當(dāng)b=1時(shí)，l與C相交于A，B兩點(diǎn)，其中A為C的頂點(diǎn)，B與A關(guān)于原點(diǎn)對稱，求a的值；（2）若把直線l向上平移k2+1個(gè)單位長度得到直線r，則無論非零實(shí)數(shù)k取何值，直線r與拋物線C都只有一個(gè)交點(diǎn)．①求此拋物線的解析式；②若P是此拋物線上任一點(diǎn)，過P作PQ∥y軸且與直線y=2交于Q點(diǎn)，O為原點(diǎn)．求證：OP=PQ．5.（畢節(jié)）（16分）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)為A（﹣1，﹣1），與x軸交點(diǎn)M（1，0）．C為x軸上一點(diǎn)，且∠CAO=90°，線段AC的延長線交拋物線于B點(diǎn)，另有點(diǎn)F（﹣1，0）．（1）求拋物線的解析式；（2）求直線AC的解析式及B點(diǎn)坐標(biāo)；（3）過點(diǎn)B做x軸的垂線，交x軸于Q點(diǎn)，交過點(diǎn)D（0，﹣2）且垂直于y軸的直線于E點(diǎn)，若P是△BEF的邊EF上的任意一點(diǎn)，是否存在BP⊥EF？若存在，求P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．6.（黔東南）（14分）如圖，直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A和B（4，m），點(diǎn)P是線段AB上異于A、B的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）是否存在這樣的P點(diǎn)，使線段PC的長有最大值，若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請說明理由；（3）求△PAC為直角三角形時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．7.（遵義）（14分）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A（3，0），B（﹣1，0），與y軸交于點(diǎn)C．若點(diǎn)P，Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，都以每秒1個(gè)單位長度的速度分別沿AB，AC邊運(yùn)動，其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．（1）求該二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到B點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q停止運(yùn)動，這時(shí)，在x軸上是否存在點(diǎn)E，使得以A，E，Q為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，請求出E點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（3）當(dāng)P，Q運(yùn)動到t秒時(shí)，△APQ沿PQ翻折，點(diǎn)A恰好落在拋物線上D點(diǎn)處，請判定此時(shí)四邊形APDQ的形狀，并求出D點(diǎn)坐標(biāo)．8.（河北）（本小題滿分11分）如圖，2×2網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為1）中有A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H，O九個(gè)格點(diǎn)，拋物線l的解析式為（n為整數(shù)）.（1）n為奇數(shù)且l經(jīng)過點(diǎn)H（0，1）和C（2，1），求b，c的值，并直接寫出哪個(gè)格點(diǎn)是該拋物線的頂點(diǎn)；（2）n為偶數(shù)，且l經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）和B（2，0），通過計(jì)算說明點(diǎn)F（0，2）和H（0，1）是否在該拋物線上；（3）若l經(jīng)過九個(gè)格點(diǎn)中的三個(gè)，直接寫出所有滿足這樣條件的拋物線條數(shù).9.（河南）(11分）如圖，拋物線與x軸交于A(-1，0)，B(5，0）兩點(diǎn)，直線與y軸交于點(diǎn)C，，與x軸交于點(diǎn)D.點(diǎn)P是x軸上方的拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，交直線CD于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.（1）求拋物線的解析式；（2）若PE=5EF，求m的值；（3）若點(diǎn)E/是點(diǎn)E關(guān)于直線PC的對稱點(diǎn)、是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)E/落在y軸上？若存在，請直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.10.（黃岡）（13分）如圖，在四邊形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸于C，，動點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，沿x軸正方向以2個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動．過P作PQ⊥OA于Q．設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動的時(shí)間為t秒（0<t<2），ΔOPQ與四邊形OABC重疊的面積為S．（1）求經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)的拋物線的解析式并確定頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）用含t的代數(shù)式表示P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）將ΔOPQ繞P點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，是否存在t，使得ΔOPQ的頂點(diǎn)O或Q落在拋物線上？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由；（4）求S與t的函數(shù)解析式.11.（十堰）（12分）已知拋物線C1：的頂點(diǎn)為A，且經(jīng)過點(diǎn)B（﹣2，﹣1）．（1）求A點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線C1的解析式；（2）如圖1，將拋物線C1向下平移2個(gè)單位后得到拋物線C2，且拋物線C2與直線AB相交于C，D兩點(diǎn)，求S△OAC：S△OAD的值；（3）如圖2，若過P（﹣4，0），Q（0，2）的直線為l，點(diǎn)E在（2）中拋物線C2對稱軸右側(cè)部分（含頂點(diǎn)）運(yùn)動，直線m過點(diǎn)C和點(diǎn)E．問：是否存在直線m，使直線l，m與x軸圍成的三角形和直線l，m與y軸圍成的三角形相似？若存在，求出直線m的解析式；若不存在，說明理由．12.（武漢）九（1）班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過市場調(diào)查，整理出某種商品在第x（1≤x≤90）天的售價(jià)與銷售量的相關(guān)信息如下表：時(shí)間x（天）1≤x＜5050≤x≤90售價(jià)（元/件）x＋4090每天銷量（件）200－2x已知該商品的進(jìn)價(jià)為每件30元，設(shè)銷售該商品的每天利潤為y元[（1）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）問銷售該商品第幾天時(shí)，當(dāng)天銷售利潤最大，最大利潤是多少？（3）該商品在銷售過程中，共有多少天每天銷售利潤不低于4800元？請直接寫出結(jié)果.13.（武漢）如圖，已知直線AB：與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，（1）直線AB總經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)C，請直接寫出點(diǎn)C坐標(biāo)；（2）當(dāng)時(shí)，在直線AB下方的拋物線上求點(diǎn)P，使△ABP的面積等于5；（3）若在拋物線上存在定點(diǎn)D使∠ADB＝90°，求點(diǎn)D到直線AB的最大距離.14.（襄陽）（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OCDE的三個(gè)頂點(diǎn)分別是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．點(diǎn)A在DE上，以A為頂點(diǎn)的拋物線過點(diǎn)C，且對稱軸x=1交x軸于點(diǎn)B．連接EC，AC．點(diǎn)P，Q為動點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒．（1）填空：點(diǎn)A坐標(biāo)為▲；拋物線的解析式為▲．（2）在圖1中，若點(diǎn)P在線段OC上從點(diǎn)O向點(diǎn)C以1個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CE上從點(diǎn)C向點(diǎn)E以2個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動．當(dāng)t為何值時(shí)，△PCQ為直角三角形？（3）在圖2中，若點(diǎn)P在對稱軸上從點(diǎn)A開始向點(diǎn)B以1個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動，過點(diǎn)P做PF⊥AB，交AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G，交拋物線于點(diǎn)Q，連接AQ，CQ．當(dāng)t為何值時(shí)，△ACQ的面積最大？最大值是多少？15.（孝感）（本題滿分10分）已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2．（1）求k的取值范圍；（3分）（2）試說明；（3分）（3）若拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A、點(diǎn)B到原點(diǎn)的距離分別為OA、OB，且，求k的值．（4分）16.（孝感）（本題滿分12分）如圖1，矩形ABCD的邊AD在y軸上，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)E、點(diǎn)F，且其頂點(diǎn)M在CD上．（1）請直接寫出下列各點(diǎn)的坐標(biāo)：A▲，B▲，C▲，D▲；（4分）（2）若點(diǎn)P是拋物線上一動點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），l與直線AB交于點(diǎn)G，與直線BD交于點(diǎn)H，如圖2．①當(dāng)線段PH=2GH時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（4分）②當(dāng)點(diǎn)P在直線BD下方時(shí)，點(diǎn)K在直線BD上，且滿足△KPH∽△AEF，求△KPH面積的最大值．（4分）17.（張家界）(本小題12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線過過O、B、C三點(diǎn)，B、C坐標(biāo)分別為（10，0）和（，），以O(shè)B為直徑的⊙A經(jīng)過C點(diǎn),直線l垂直于x軸于點(diǎn)B.（1）求直線BC的解析；（2）求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）點(diǎn)M是⊙A上一動點(diǎn)（不同于O，B），過點(diǎn)M作⊙A的切線，交y軸于點(diǎn)E，交直線l于點(diǎn)F，設(shè)線段ME長為m，MF長為n，請猜想的值，并證明你的結(jié)論；（4）點(diǎn)P從O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位速度向點(diǎn)B作直線運(yùn)動，點(diǎn)Q同時(shí)從B出發(fā)，以相同速度向點(diǎn)C作直線運(yùn)動，經(jīng)過t(0<t≤8)秒時(shí)恰好使△BPQ為等腰三角形，請求出滿足條件的t值.18.（南京）（8分）已知二次函數(shù)（m是常數(shù)）（1）求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖像與 x軸沒有公共點(diǎn)；（2）把該函數(shù)的圖像沿x軸向下平移多少個(gè)單位長度后，得到的函數(shù)的圖像與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)？19.（赤峰）（14分）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn).（1）求該拋物線的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）求△BCM面積與△ABC面積的比；（3）若P是x軸上一個(gè)動點(diǎn)，過P作射線PQ∥AC交拋物線于點(diǎn)Q，隨著P點(diǎn)的運(yùn)動，在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)Q，使以A、P、Q、C為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在請求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.20.（呼和浩特）（12分）如圖，已知直線l的解析式為，拋物線y=ax2＋bx＋2經(jīng)過點(diǎn)A（m，0），B（2，0），D三點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式及A點(diǎn)的坐標(biāo)，并在圖示坐標(biāo)系中畫出拋物線的大致圖象；（2）已知點(diǎn)P（x，y）為拋物線在第二象限部分上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE垂直x軸于點(diǎn)E,延長PE與直線l交于點(diǎn)F，請你將四邊形PAFB的面積S表示為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的函數(shù)，并求出S的最大值及S最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）將（2）中S最大時(shí)的點(diǎn)P與點(diǎn)B相連，求證：直線l上的任意一點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)一定在PB所在直線上．21.（濱州）（本小題滿分9分）已知二次函數(shù).（1）用配方法求其圖象的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，并描述改函數(shù)的函數(shù)值隨自變量的增減而增減的情況；（2）求函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)A,B的坐標(biāo)，及△ABC的面積.22.（濰坊）（本小題滿分13分）如圖，拋物線與y軸交于點(diǎn)C(0，4)，與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為，拋物線的對稱軸x=1與拋物線交于點(diǎn)D，與直線BC交于點(diǎn)E.（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)F是直線BC上方的拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)F使四邊形ABFC的面積為17，若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）平行于DE的一條動直線Z與直線BC相交于點(diǎn)P，與拋物線相交于點(diǎn)Q，若以D、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo).23.（上海）（本題滿分12分，每小題滿分各4分）在平面直角坐標(biāo)系中（如圖），已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A(－1，0)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C(0，－2)．（1）求該拋物線的表達(dá)式，并寫出其對稱軸；（2）點(diǎn)E為該拋物線的對稱軸與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)F在對稱軸上，四邊形ACEF為梯形，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)D為該拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P(t,0)，且t＞3，如果△BDP和△CDP的面積相等，求t的值．24.（成都）（本小題滿分8分）在美化校園的活動中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角（兩邊足夠長），用28m長的籬笆圍成一個(gè)矩形花園ABCD（籬笆只圍AB，BC兩邊），設(shè)AB=xm.（1）若花園的面積為192m2, 求x的值；（2）若在P處有一棵樹與墻CD，AD的距離分別是15m和6m，要將這棵樹圍在花園內(nèi)（含邊界，不考慮樹的粗細(xì)），求花園面積S的最大值.25.（成都）（本小題滿分12分）如圖，已知拋物線（為常數(shù)，且）與軸從左至右依次交于A,B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過點(diǎn)B的直線與拋物線的另一交點(diǎn)為D.（1）若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-5，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若在第一象限的拋物線上有點(diǎn)P，使得以A，B，P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求的值；（3）在（1）的條件下，設(shè)F為線段BD上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接AF，一動點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動到F，再沿線段FD以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動到D后停止.當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動過程中用時(shí)最少？26.（金華）（本題12分）如圖，直角梯形ABCO的兩邊OA，OC在坐標(biāo)軸的正半軸上，BC∥x軸，OA=OC=4，以直線x=1為對稱軸的拋物線過A，B，C三點(diǎn).（1）求該拋物線線的函數(shù)解析式.（2）已知直線l的解析式為，它與x軸的交于點(diǎn)G，在梯形ABCO的一邊上取點(diǎn)P.①當(dāng)m