《統(tǒng)計學》第二版課件曾五一第3章數(shù)據(jù)分布特征描述（全套課件齊）

第三章

數(shù)據(jù)分布特征描述統(tǒng)計變量集中趨勢的測定統(tǒng)計變量離散程度的測定變量分布偏度與峰度的描述第一節(jié)

統(tǒng)計變量集中趨勢的測定測定集中趨勢的意義位置代表值數(shù)值平均數(shù)一、測定集中趨勢的意義測定集中趨勢的指標有：位置代表值和數(shù)值平均數(shù)。

位置代表值：在總體中將變量值按順序排列后得到的數(shù)列中某個特殊位置的值。常用的反應集中趨勢的位置代表值有眾數(shù)、中位數(shù)等。

數(shù)值平均數(shù)就是均值，它是對總體中的所有數(shù)據(jù)計算平均值，用以反映所有數(shù)據(jù)的一般水平。由于計算方法不同，數(shù)值平均數(shù)有算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)和冪平均數(shù)。測定集中趨勢的作用1、反映總體各單位變量分布的集中趨勢和一般水平。

2、比較同類現(xiàn)象在不同單位的發(fā)展水平。3、比較同類現(xiàn)象在不同時期的發(fā)展變化趨勢或規(guī)律。

4、分析現(xiàn)象之間的依存關(guān)系。二、位置代表值（一）眾數(shù)（Mode）眾數(shù)是總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)值，在頻數(shù)分布中，眾數(shù)指頻數(shù)或頻率最大的標志值用

表示。

（a）單眾數(shù)（b）雙眾數(shù)（c）五種無眾數(shù)的情形圖3-1眾數(shù)示意圖眾數(shù)的確定1.由品質(zhì)數(shù)列和單項式數(shù)量數(shù)列確定眾數(shù)2.由組距數(shù)量數(shù)列確定眾數(shù)由組距數(shù)列確定眾數(shù)，首先應當確定眾數(shù)組，然后通過比例插值法計算眾數(shù)。在等距分組條件下，眾數(shù)組就是次數(shù)最多的那一組；在不等距分組的條件下，眾數(shù)組則是頻數(shù)密度或頻率密度最高的那一組。

fMo

LMOMOUMOfMo-fMo+1fMo-fMo-1

圖

3-2眾數(shù)與相鄰兩組的關(guān)系比例插值法圖示上限公式：

（3.1）下限公式：

（3.2）

MO代表眾數(shù)；代表眾數(shù)組的下限；

代表眾數(shù)組的上限；

代表眾數(shù)組的次數(shù)；

代表眾數(shù)組前一組的次數(shù)；

代表眾數(shù)組后一組的次數(shù)；

代表眾數(shù)組的組距。[例3-3]某地區(qū)農(nóng)民收入情況如表3-3，計算其人均純收入的眾數(shù)。表3-3農(nóng)民家庭年人均純收入情況表按年人均純收入分組（元）農(nóng)民家庭數(shù)（戶）1000～1200240120016001050160020002702000～22002102200～24001202400～260030合

計3000例3-3（續(xù)）或（二）中位數(shù)（Median）

中位數(shù)和眾數(shù)一樣，也是一種位置代表值，但是，它不能用于定類數(shù)據(jù)，只能在順序及以上的數(shù)據(jù)中使用，所以又稱為次序統(tǒng)計量，用Me表示。

中位數(shù)是將總體中的數(shù)據(jù)按順序排列后，處于數(shù)列中點位置上的那個數(shù)據(jù)值或變量值，或者說中位數(shù)是累計頻率數(shù)列中，累計頻率為0.50所對應的變量值。

1、由順序數(shù)據(jù)和未分組的數(shù)量數(shù)據(jù)確定中位數(shù)。順序數(shù)據(jù)中位數(shù)的位置：中位數(shù)位置=（3.3）未分組的數(shù)量數(shù)據(jù)中位數(shù)的位置：中位數(shù)位置=（3.4）

（3.5）

（3.6）[例3-4]某高校一次對食堂伙食滿意度的調(diào)查數(shù)據(jù)如表3-4所示。表3-4調(diào)查數(shù)據(jù)次數(shù)分布回答類別學生人數(shù)（人）累計學生數(shù)（向上累計）非常不滿意240240不滿意10801320一般9302250滿意4502700非常滿意3003000合計3000—中位數(shù)位置=3000/2=1500從累計學生數(shù)看，中位數(shù)在第三組，所以：Me=一般。[例3-5]有8名工人，每人日產(chǎn)零件數(shù)按從底到高的順序排列如下：17、19、20、22、23、23、24、25（件/人）。則

中位數(shù)為22.5件/人，這個數(shù)字反映了工人總體日產(chǎn)零件數(shù)的一般水平。

2、由單項式分組數(shù)量數(shù)據(jù)確定中位數(shù)單項式數(shù)量數(shù)據(jù)分組已經(jīng)將數(shù)據(jù)順序化，這時數(shù)據(jù)個數(shù)即總體單位數(shù)n=∑f，確定中位數(shù)位置的方法要通過累計次數(shù)計算。

3、由組距式分組的數(shù)量數(shù)據(jù)確定中位數(shù)

在假定中位數(shù)組內(nèi)的各數(shù)據(jù)均勻分布的前提下，利用下面的公式計算中位數(shù)的近似值：下限公式：（3.7）

上限公式：

（3.8）

表示中位數(shù)；

表示中位數(shù)所在組的下限；

表示中位數(shù)所在組的上限；

表示向上累計至中位數(shù)所在組前一組的次數(shù)；

表示向下累計至中位數(shù)所在組后一組的次數(shù)；

表示中位數(shù)所在組的次數(shù)；

表示中位數(shù)所在組的組距。[例3-7]根據(jù)表3-3數(shù)據(jù)計算農(nóng)民家庭年人均純收入中位數(shù)表3-6農(nóng)民家庭年人均純收入累計次數(shù)表按年人均純收入分

組

（元）農(nóng)民家庭數(shù)（戶）累計戶數(shù)（戶）（向上累計）累計戶數(shù)（戶）（向下累計）1000～120024024030001200～140048072027601400～16001050177022801600～1800600237012301800～200027026406302000～220021028503602200～240012029701502400～260030300030合

計3000——[例3-7]續(xù)計算表明，這3000戶農(nóng)民家庭年人均純收入的中位數(shù)是1548.57元，也就是說，人均純收入在1548.57元以上的農(nóng)民家庭有1500戶，在1547.57元以下的也有1500戶。（三）其它分位數(shù)

1.四分位數(shù)（Quartile）

（1）順序數(shù)據(jù)中四分位數(shù)位置的確定。

（i=1，2，3）

（3.9）式中，Qi是第i個四分位數(shù)，n是數(shù)據(jù)個數(shù)即總體單位數(shù)。[例3-8]利用例3-4的數(shù)據(jù)確定四分位數(shù)。=不滿意

=一般

=滿意（2）未分組和單項式分組的數(shù)量數(shù)據(jù)中四分位數(shù)位置的確定：

（i=1，2，3）

（3.10）第一個四分位數(shù)的位置：

（3.11）第二個四分位數(shù)的位置：

（3.12）第三個四分位數(shù)的位置：

（3.13）（3）組距式分組數(shù)量數(shù)據(jù)中四分位數(shù)位置的確定

（3.14）式中，

表示第i個分位數(shù)所在組的下限；數(shù)據(jù)個數(shù)，即整體單位數(shù)；向上累計至第i個分位數(shù)所在組前一組的次數(shù)；表示第i個分位數(shù)所在組的次數(shù)；表示第i個分位數(shù)所在組的組距。2、百分位數(shù)（Percentile）百分位數(shù)是數(shù)據(jù)順序排列后，將數(shù)據(jù)100等分，位于i（i=1，2，…，99）個等分點位置的數(shù)據(jù)值。

對第i百分位數(shù)，嚴格的定義如下：

第i百分位數(shù)是這樣一個值，它使得至少有i％的數(shù)據(jù)項小于或等于這個值，且至少有（100－i）％的數(shù)據(jù)項大于或等于這個值。三、數(shù)值平均數(shù)（一）算術(shù)平均數(shù)（均值）

ArithmeticMean(Mean)1.基本形式

（3.15）2.簡單算術(shù)平均數(shù)（simplearithmeticmean）簡單算術(shù)平均數(shù)主要用于未分組數(shù)據(jù)，計算公式如下：

（3.16）式中：

代表算術(shù)平均數(shù)xi表各單位標志值n

代表總體單位數(shù)。3.加權(quán)算術(shù)平均數(shù)（weightedarithmeticmean）計算公式為：

（3.17）加權(quán)算術(shù)平均數(shù)主要用于數(shù)據(jù)已經(jīng)分組，并編制出次數(shù)分布的條件下。計算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)需要注意的問題（1）加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的大小受兩個因素的影響：一是變量值大?。欢歉鹘M次數(shù)占總次數(shù)比重即頻率的影響。（2）在分組數(shù)列的條件下，當各組標志值出現(xiàn)的次數(shù)或各組次數(shù)所占比重均相等時，權(quán)數(shù)就失去了權(quán)衡輕重的作用，這時用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)計算的結(jié)果與用簡單算術(shù)平均數(shù)計算的結(jié)果相同,因此可以把簡單算術(shù)平均數(shù)理解為加權(quán)算術(shù)平均數(shù)當f1=f2=…=fn時的特例。（3）關(guān)于加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的權(quán)數(shù)選擇原則:各組標志值×各組單位數(shù)=各組標志總量.4、是非標志的平均數(shù)通過給品質(zhì)數(shù)據(jù)賦值的方式，把品質(zhì)數(shù)據(jù)過渡為數(shù)量上的變異，然后計算平均數(shù)。

（3.18）p也稱為總體中具有某種屬性的單位成數(shù)，所以成數(shù)是一種特殊的平均數(shù)——是非標志的平均數(shù)。5、算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學性質(zhì)（1）算術(shù)平均數(shù)與標志值個數(shù)的乘積等于各標志值的總和。（2）各個標志值與算術(shù)平均數(shù)離差之和等于零。（3）各標志值與算術(shù)平均數(shù)離差的平方和為最小值。

(3.21)（二）調(diào)和平均數(shù)harmean（HarmonicMean）調(diào)和平均數(shù)是總體中各單位標志值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，又稱“倒數(shù)平均數(shù)”。1、簡單調(diào)和平均數(shù)(3.22)應用場合

各標志值對應的標志總量相等。2、加權(quán)調(diào)和平均數(shù)

計算公式：(3.23)式中，m表示各單位或各組的標志值對應的標志總量。當各標志值對應的標志總量不相等時，就要用加權(quán)調(diào)和平均數(shù)。[例3-17]某種蔬菜價格和成交量資料如表3-10，求該種蔬菜一天平均價格。表3-10蔬菜價格和成交量資料時間批發(fā)價（元）成交量（公斤）成交額（元）

早市午市晚市0.700.680.74400020003000280013602220

合計

—70006380分析：如果已知資料是批發(fā)價和成交量采用算術(shù)平均數(shù)方法：如果已知資料是批發(fā)價和成交額，則要采用調(diào)和平均數(shù)方法：（三）幾何平均數(shù)Geomean（GeomatricMean）幾何平均數(shù)也稱幾何均值或?qū)?shù)平均數(shù)，是一種有特定作用的平均數(shù)。幾何平均數(shù)是Ｎ個變量值（比率）連乘積的Ｎ次方根，通常用于時間上有聯(lián)系或有先后順序關(guān)系的比率求平均，凡是度量值的連乘積等于總比率或總速度的現(xiàn)象都必須使用幾何平均法計算均值。

1、簡單幾何平均數(shù)

(3.24)式中：G表示幾何平均數(shù)xi表示各項標志值

簡單幾何平均數(shù)適用于計算未分組數(shù)列的平均比率或平均速度。[例3-18]某產(chǎn)品需經(jīng)四個工序的加工，已知第一工序加工合格率為97%，第二個工序加工合格率為95%，第三個工序加工合格率為96%，第四三個工序加工合格率為94%，求四個工序平均加工合格率。2、加權(quán)幾何平均數(shù)當計算幾何平均數(shù)的各個標志值的次數(shù)不相同時，應采用加權(quán)幾何平均數(shù)。加權(quán)幾何平均數(shù)是各標志值fi次方的連乘積的

次方根，計算公式為：（3.26）適合于反映特定現(xiàn)象的平均水平——現(xiàn)象的總標志值是各單位標志值的連乘積。但是，如果數(shù)列中有一個標志值等于0，或者數(shù)列中有一個標志值是負值，又要開偶次方根，就都無法計算幾何平均數(shù)。[例3-19]某2企業(yè)2000～2002年增加值發(fā)展速度如表3-11，試計算其2000～2002年增加值平均發(fā)展速度。表3-11環(huán)比發(fā)展速（％）時

期次數(shù)f1021990年～1993年31041993年～1998年5981998年～1999年11031999年～2001年2（四）冪平均數(shù)冪平均數(shù)是標志值K次方的平均數(shù)的K次方根。

（3.27）當k=1時，冪平均數(shù)

為算術(shù)平均數(shù)。當k=-1時，冪平均數(shù)

為調(diào)和平均數(shù)。當

時，

冪平均數(shù)趨于幾何平均數(shù)。注意：當K=0時，平均數(shù)

為不定式。因為算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)都是或近似冪平均數(shù)的k階數(shù)由1遞減為0又減為-1的特例，由此可知它們的一般數(shù)量關(guān)系為：

·調(diào)和平均數(shù)小于幾何平均數(shù)小于算術(shù)平均數(shù)；

·當各變量相等

時，調(diào)和平均數(shù)等于幾何平均數(shù)等于算術(shù)平均數(shù)。（五）集中趨勢測定指標的關(guān)系

1.眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系Mo<Me<

Mo=Me=右偏（正偏）分布

對稱分布

左偏（負偏）分布圖3-3中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)的位置2、算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)的關(guān)系

在相同的數(shù)據(jù)中，算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)在數(shù)值是的關(guān)系如下：計算和應用集中趨勢測定指標應注意的問題1、集中趨勢的測定指標只能應用于同質(zhì)總體；2、用組平均數(shù)和分配數(shù)列補充說明總平均數(shù)；3、集中趨勢指標與離散程度指標及具體分析相結(jié)合。第二節(jié)

統(tǒng)計變量離散程度的測定測定離散程度的意義極差、四分位差和平均差方差與標準差離散系數(shù)與異眾比率一、測定離散程度的意義1、反映現(xiàn)象總體中變量分布的離散程度。2、衡量均值的代表性。3、測定現(xiàn)象變動的均勻性或穩(wěn)定性程度。二、極差、四分位差和平均差1、極差（Range,R）又稱全距，離散程度的最簡單測度值，是最大和最小觀測值之間的距離。

（3.30）

式中：

Umax代表最高組的上限；

Lmin代表最低組的下限。

2、四分位差（QuartileDeviation）四分位差是在數(shù)列中剔除最大和最小各四分之一的數(shù)據(jù)，是第一和第三個

四分位數(shù)之間的差，也稱為四分位點內(nèi)距。

四分位差計算公式為：（3.31）式中：

QD表示四分位差，

Q3、Q1分別為第三個、第一個四分位數(shù)。

3、平均差（MeanAbsoluteDeviation）平均差是分配數(shù)列中各單位標志值與其算術(shù)平均數(shù)之間離差絕對值的平均數(shù)，一般用MD表示。（1）未分組數(shù)列：

（3.32）（2）分組數(shù)列：

（3.33）三、方差與標準差1、數(shù)量標志的方差與標準差未分組數(shù)列的計算公式：

（3.34）分組數(shù)列的計算公式：

（3.35）式中，

表示方差；

表示標準差。方差和標準差一般用于定序數(shù)據(jù)和定比數(shù)據(jù)。2、是非標志的方差和標準差用“1”表示“是”的變量值，用“0”表示“非”的變量值，則：

（3.37）（3.36）3、方差與標準差的數(shù)學性質(zhì)（1）變量的方差等于變量平方的平均數(shù)減去變量平均數(shù)的平方。即：

（3.38）（2）變量對算術(shù)平均數(shù)的方差小于對任意常數(shù)的方差。（3）n個同性質(zhì)獨立變量和的方差等于各個變量方差的和。（4）n個同性質(zhì)獨立變量平均數(shù)的方差等于各變量方差平均數(shù)的

。（5）變量線性變換的方差等于變量的方差乘以變量系數(shù)的平方。四、離散系數(shù)與異眾比率1.離散系數(shù)

（3.44）最常用的變異系數(shù)是標準差系數(shù)：（3.43）

[例3-24]在例3-23中，假定生產(chǎn)條件相同，確定哪一品種具有較大穩(wěn)定性，宜于推廣？

計算結(jié)果說明，乙品種的平均畝產(chǎn)量高于甲品種，離散系數(shù)低于甲品種，所以乙品種較高產(chǎn)且具有較大的穩(wěn)定性，宜于推廣。2、異眾比率異眾比率又稱離異比率或變差比，是指非眾數(shù)的次數(shù)與全部變量值總次數(shù)的比率。計算公式為：

（3.4）

第三節(jié)

變量分布偏度與峰度的描述矩偏度峰度一、矩矩也稱為動差。它是總體中所有變量值與任意常數(shù)離差K次方的算術(shù)平均數(shù)。1、基本形式