備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點(diǎn)突破和專題檢測(cè)專題19三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)7題型分類(原卷版+解析)

專題19三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)7題型分類1．用“五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖(1)在正弦函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．(2)在余弦函數(shù)y＝cosx，x∈[0,2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中k∈Z)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RR{x|x≠kπ＋eq\f(π,2)}值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))[2kπ－π，2kπ]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))單調(diào)遞減區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))[2kπ，2kπ＋π]對(duì)稱中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))對(duì)稱軸方程x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ3．對(duì)稱性與周期性(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對(duì)稱中心、相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離是eq\f(1,2)個(gè)周期，相鄰的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸之間的距離是eq\f(1,4)個(gè)周期．(2)正切曲線相鄰兩對(duì)稱中心之間的距離是eq\f(1,2)個(gè)周期．4．奇偶性若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，則(1)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)．(2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ＝kπ(k∈Z)．（一）五點(diǎn)作圖法（1）在正弦函數(shù)，的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：．（2）在余弦函數(shù)，的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：．題型1：五點(diǎn)作圖法1-1．（2024高一下·北京·階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)用“五點(diǎn)作圖法”在給定坐標(biāo)系中畫出函數(shù)在上的圖像；(2)求，的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)當(dāng)時(shí)，的取值范圍為，直接寫出m的取值范圍.1-2．（2024高一下·湖北·期中）要得到函數(shù)的圖象，可以從正弦函數(shù)或余弦函數(shù)圖象出發(fā)，通過圖象變換得到，也可以用“五點(diǎn)法”列表、描點(diǎn)、連線得到．(1)由圖象變換得到函數(shù)的圖象，寫出變換的步驟和函數(shù)；(2)用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)在區(qū)間上的簡圖．

（二）函數(shù)的奇偶性由是奇函數(shù)和是偶函數(shù)可拓展得到關(guān)于三角函數(shù)奇偶性的重要結(jié)論：（1）若為奇函數(shù)，則；（2）若為偶函數(shù)，則；（3）若為奇函數(shù)，則；（4）若為偶函數(shù)，則；若為奇函數(shù)，則，該函數(shù)不可能為偶函數(shù)．題型2：函數(shù)的奇偶性2-1．（2024高一下·河南南陽·期中）下列6個(gè)函數(shù)：①，②，③，④，⑤，⑥，其中最小正周期為π的偶函數(shù)的編號(hào)為.2-2．（2024高三·廣東·學(xué)業(yè)考試）函數(shù)是（

）A．最小正周期為π的奇函數(shù) B．最小正周期為π的偶函數(shù)C．最小正周期為的奇函數(shù) D．最小正周期為的偶函數(shù)2-3．（2024高三·北京海淀·專題練習(xí)）函數(shù)，則（

）A．若，則為奇函數(shù) B．若，則為偶函數(shù)C．若，則為偶函數(shù) D．若，則為奇函數(shù)2-4．（2024·貴州貴陽·模擬預(yù)測(cè)）使函數(shù)為偶函數(shù)，則的一個(gè)值可以是（

）A． B． C． D．2-5．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖像，若函數(shù)是偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．2-6．（2024高三上·浙江·期末）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到一個(gè)奇函數(shù)的圖象，則的取值可以是（

）A． B． C． D．（三）函數(shù)的周期性關(guān)于三角函數(shù)周期的幾個(gè)重要結(jié)論：（1）函數(shù)的周期分別為，．（2）函數(shù)，的周期均為（3）函數(shù)的周期均．題型3：函數(shù)的周期性3-1．（2024高三上·河北衡水·階段練習(xí)）下列函數(shù)中，最小正周期為的奇函數(shù)是（

）A． B．C． D．3-2．（2024高三·全國·對(duì)口高考）函數(shù)的最小正周期是.3-3．（2024高三上·河北·階段練習(xí)）函數(shù)的最小正周期為（

）A． B． C． D．3-4．（2024高三下·北京密云·期中）設(shè)函數(shù)在的圖象大致如圖所示，則的最小正周期為（

）A． B．C． D．3-5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù).則.（四）函數(shù)的單調(diào)性三角函數(shù)的單調(diào)性，需將函數(shù)看成由一次函數(shù)和正弦函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的單調(diào)方法轉(zhuǎn)化為解一元一次不等式．如函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的確定基本思想是吧看做是一個(gè)整體，如由解出的范圍，所得區(qū)間即為增區(qū)間；由解出的范圍，所得區(qū)間即為減區(qū)間．若函數(shù)中，可用誘導(dǎo)公式將函數(shù)變?yōu)?，則的增區(qū)間為原函數(shù)的減區(qū)間，減區(qū)間為原函數(shù)的的增區(qū)間．對(duì)于函數(shù)的單調(diào)性的討論與以上類似處理即可．題型4：函數(shù)的單調(diào)性4-1．（2024·四川樂山·三模）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，所得圖象的函數(shù)（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞減 B．在區(qū)間上單調(diào)遞減C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增4-2．（2024·北京密云·三模）已知函數(shù)，則（

）A．在上單調(diào)遞減 B．在上單調(diào)遞增C．在上單調(diào)遞減 D．在上單調(diào)遞增4-3．（2024高一上·重慶江北·期末）的部分圖像如圖所示，則其單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B．C． D．4-4．（2024高一下·四川涼山·期中）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．（五）函數(shù)的對(duì)稱性（對(duì)稱軸、對(duì)稱中心）關(guān)于三角函數(shù)對(duì)稱的幾個(gè)重要結(jié)論；（1）函數(shù)的對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為；（2）函數(shù)的對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為；（3）函數(shù)函數(shù)無對(duì)稱軸，對(duì)稱中心為；（4）求函數(shù)的對(duì)稱軸的方法；令，得；對(duì)稱中心的求取方法；令，得，即對(duì)稱中心為．（5）求函數(shù)的對(duì)稱軸的方法；令得，即對(duì)稱中心為題型5：函數(shù)的對(duì)稱性（對(duì)稱軸、對(duì)稱中心）5-1．（2024高三·全國·課后作業(yè)）函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心的坐標(biāo)是．5-2．（2024·新疆喀什·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)向左平移個(gè)單位長度之后關(guān)于對(duì)稱，則的最小值為.5-3．（2024·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的最小正周期為，則的圖象關(guān)于（

）A．對(duì)稱 B．對(duì)稱 C．對(duì)稱 D．對(duì)稱5-4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，若，且直線為圖象的一條對(duì)稱軸，則的最小值為．5-5．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則的對(duì)稱中心為（

）A． B．C． D．5-6．（2024高三下·上海寶山·階段練習(xí)）已知，函數(shù)，的最小正周期為，將的圖像向左平移個(gè)單位長度，所得圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則的值是．5-7．（2024·上海徐匯·三模）已知函數(shù)的對(duì)稱中心為，若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象共有6個(gè)交點(diǎn)，分別為，，…，，則.（六）函數(shù)的定義域、值域（最值）求三角函數(shù)的最值，通常要利用正、余弦函數(shù)的有界性，一般是通過三角變換化歸為下列基本類型處理．（1），設(shè)，化為一次函數(shù)在上的最值求解．（2），引入輔助角，化為，求解方法同類型（1）（3），設(shè)，化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解，也可以是或型．（4），設(shè)，則，故，故原函數(shù)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解．（5）與，根據(jù)正弦函數(shù)的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用數(shù)形結(jié)合法求最值．這里需要注意的是化為關(guān)于或的函數(shù)求解釋務(wù)必注意或的范圍．（6）導(dǎo)數(shù)法（7）權(quán)方和不等式題型6：函數(shù)的定義域、值域（最值）6-1．（2024高一下·上海靜安·期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋?-2．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則的值為（

）A．0 B．2 C．4 D．66-3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)對(duì)于，都有，則的最小值為（

）.A． B． C． D．6-4．（2024·河北邯鄲·一模）已知函數(shù)，如果存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有成立，則的最小值為A． B． C． D．6-5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）實(shí)數(shù)滿足，則的范圍是.6-6．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)，則的最小值為.6-7．（2024高一·全國·單元測(cè)試）函數(shù)的值域?yàn)椋ㄆ撸┤呛瘮?shù)性質(zhì)的綜合三角函數(shù)的性質(zhì)（如奇偶性、周期性、單調(diào)性、對(duì)稱性）中，尤為重要的是對(duì)稱性．因?yàn)閷?duì)稱性奇偶性（若函數(shù)圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)為奇函數(shù)；若函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則函數(shù)為偶函數(shù)）；對(duì)稱性周期性（相鄰的兩條對(duì)稱軸之間的距離是；相鄰的對(duì)稱中心之間的距離為；相鄰的對(duì)稱軸與對(duì)稱中心之間的距離為）；對(duì)稱性單調(diào)性（在相鄰的對(duì)稱軸之間，函數(shù)單調(diào)，特殊的，若，函數(shù)在上單調(diào)，且，設(shè)，則深刻體現(xiàn)了三角函數(shù)的單調(diào)性與周期性、對(duì)稱性之間的緊密聯(lián)系）題型7：三角函數(shù)性質(zhì)的綜合7-1．（2024·河北石家莊·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．的值域?yàn)锽．的單調(diào)遞減區(qū)間為C．為奇函數(shù)，D．不等式的解集為7-2．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）

A．B．C．不等式的解集為D．將的圖象向右平移個(gè)單位長度后所得函數(shù)的圖象在上單調(diào)遞增一、單選題1．（2024高三上·廣東汕頭·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，如果，則的值是（

）A．-10 B．8 C．-8 D．-72．（2024·江西鷹潭·一模）已知的圖象向左平移個(gè)單位長度后，得到函數(shù)的圖象，且的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則的最小值為（

）A． B． C． D．3．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知，，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且的最小值為，若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的最大值為（

）A． B． C． D．4．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，若對(duì)滿足的，總有的最小值等于，則（

）A． B． C． D．5．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度得函數(shù)的圖象，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．6．（2024高三下·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的函數(shù)的部分圖象如圖所示，則不等式的解集為（

）A．B．C．D．7．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若將的圖像向右平移個(gè)單位長度后圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的最小值為（

）A． B．C． D．8．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則“，”是“為偶函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．（2024·云南昆明·一模）已知函數(shù)，若存在，使得方程有三個(gè)不等的實(shí)根，，且，則（

）A． B． C． D．10．（2024·四川遂寧·一模）函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，將該函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后，所得函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的最小值是（

）A． B． C．3 D．11．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．二、多選題12．（2024·海南?？凇つM預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（）的圖象與函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心完全相同，且在上，有極小值，則（

）A． B．C．函數(shù)是偶函數(shù) D．在上單調(diào)遞增13．（2024·廣東潮州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，的最小正周期為，且過點(diǎn)，則下列正確的有（

）A．在單調(diào)遞減B．的一條對(duì)稱軸為C．的周期為D．把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)長度單位得到函數(shù)的解析式為14．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，則（

）A．的最大值為2B．是偶函數(shù)C．在上單調(diào)遞增D．把的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱15．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則下列說法正確的有（

）A．若，則B．將的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱C．函數(shù)的最小正周期為D．若在上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為16．（2024高三上·海南·期末）已知函數(shù)，，恒成立，在上單調(diào)，則（

）A．B．將的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象C．D．若函數(shù)在上有5個(gè)零點(diǎn)，則17．（2024高三上·山東德州·階段練習(xí)）聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的聲波，純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，我們聽到的聲音是由純音合成的，稱之為復(fù)合音.若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．的最小正周期為C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．的最小值為118．（2024高三上·江蘇無錫·期中）已知函數(shù)，下列敘述正確的有（

）A．的周期為2π； B．是偶函數(shù)；C．在區(qū)間上單調(diào)遞減； D．x1，x2∈R，19．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）聲音是由于物體的振動(dòng)產(chǎn)生的能引起聽覺的波，我們聽到的聲音多為復(fù)合音．若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的一個(gè)周期為 B．的最小值為C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D．在區(qū)間上有3個(gè)零點(diǎn)20．（2024高三上·河南三門峽·期末）已知函數(shù)滿足：，，則（

）A．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 B．函數(shù)是偶函數(shù)C．函數(shù)在上單調(diào)遞減 D．函數(shù)的值域?yàn)?1．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，且有兩個(gè)零點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．C．若，則 D．22．（2024·全國）已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則（

）A．在區(qū)間單調(diào)遞減B．在區(qū)間有兩個(gè)極值點(diǎn)C．直線是曲線的對(duì)稱軸D．直線是曲線的切線三、填空題23．（2024高三·全國·課后作業(yè)）函數(shù)（）的圖像的相鄰兩支截直線所得線段長為，則的值是.24．（2024高三下·江西鷹潭·階段練習(xí)）函數(shù)的最小正周期是．25．（2024·四川遂寧·三模）已知函數(shù)，，，且，則=26．（2024高三下·上海松江·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的最小正周期是．27．（2024·上海·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的最小正周期是，則.28．（2024·陜西咸陽·一模）設(shè)函數(shù)相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，，則的最小值為．29．（2024高三上·上海浦東新·階段練習(xí)）函數(shù)的最小正周期為.30．（2024高三上·內(nèi)蒙古·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)（，，是常數(shù)，，）．若在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，則的最小正周期為．31．（2024高三·全國·對(duì)口高考）設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，若，則.32．（2024·河南開封·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，那么的最小值為．33．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象.若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則的最小值為.34．（2024高三上·江西吉安·期末）記函數(shù)（）的最小正周期為，且的圖象關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)取最小值時(shí)，.35．（2024·四川瀘州·一模）寫出滿足條件“函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱”的的一個(gè)值．36．（2024高三上·全國·階段練習(xí)）已知函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸為．若,則的最大．37．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）曲線的一個(gè)對(duì)稱中心為（答案不唯一）.38．（2024·河北·一模）函數(shù)的最小值為.39．（2024·湖北襄陽·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)的最小值為，則常數(shù)的一個(gè)取值為.（寫出一個(gè)即可）40．（2024高三·全國·對(duì)口高考）的最小值為.41．（2024·上海嘉定·三模）若關(guān)于的方程在上有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.42．（2024·江西鷹潭·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的值域?yàn)椋?3．（2024高一下·四川成都·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，則函數(shù)的值域?yàn)椋?4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，則的最小值為.45．（2024高三·安徽亳州·階段練習(xí)）已知函數(shù)，該函數(shù)的最大值為．46．（2024高三下·江蘇蘇州·開學(xué)考試）設(shè)角、均為銳角，則的范圍是．47．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的值域是.48．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)、且，求的取值范圍是.49．（2024高一下·遼寧·期中）函數(shù)的最大值為．50．（2024高一·全國·課后作業(yè)）函數(shù)的值域?yàn)?51．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的最大值為．52．（2024·全國）關(guān)于函數(shù)f（x）=有如下四個(gè)命題：①f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．②f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．③f（x）的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱．④f（x）的最小值為2．其中所有真命題的序號(hào)是．53．（2024·四川樂山·一模）函數(shù)上所有零點(diǎn)之和為.54．（2024·全國）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是．55．（2024·全國）記函數(shù)的最小正周期為T，若，為的零點(diǎn)，則的最小值為．四、解答題56．（2024高一上·湖北武漢·期末）函數(shù).(1)請(qǐng)用五點(diǎn)作圖法畫出函數(shù)在上的圖象；（先列表，再畫圖）(2)設(shè)，，當(dāng)時(shí)，試研究函數(shù)的零點(diǎn)的情況.57．（2024·北京）設(shè)函數(shù)．(1)若，求的值．(2)已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，，再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)存在，求的值．條件①：；條件②：；條件③：在區(qū)間上單調(diào)遞減．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．58．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，其中，，且．(1)求的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，求函數(shù)的表達(dá)式．59．（2024高一下·北京·期中），，，(1)若，求的值；(2)若函數(shù)的最小正周期為①求的值；②當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍（2003·北京）已知函數(shù)，求的定義域，判斷它的奇偶性，并求其值域成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjshuxue加入百度網(wǎng)盤群1.5T一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動(dòng)更新永不過期專題19三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)7題型分類1．用“五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖(1)在正弦函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．(2)在余弦函數(shù)y＝cosx，x∈[0,2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中k∈Z)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RR{x|x≠kπ＋eq\f(π,2)}值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))[2kπ－π，2kπ]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))單調(diào)遞減區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))[2kπ，2kπ＋π]對(duì)稱中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))對(duì)稱軸方程x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ3．對(duì)稱性與周期性(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對(duì)稱中心、相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離是eq\f(1,2)個(gè)周期，相鄰的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸之間的距離是eq\f(1,4)個(gè)周期．(2)正切曲線相鄰兩對(duì)稱中心之間的距離是eq\f(1,2)個(gè)周期．4．奇偶性若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，則(1)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)．(2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ＝kπ(k∈Z)．（一）五點(diǎn)作圖法（1）在正弦函數(shù)，的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：．（2）在余弦函數(shù)，的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：．題型1：五點(diǎn)作圖法1-1．（2024高一下·北京·階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)用“五點(diǎn)作圖法”在給定坐標(biāo)系中畫出函數(shù)在上的圖像；(2)求，的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)當(dāng)時(shí)，的取值范圍為，直接寫出m的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)遞增區(qū)間為(3)．【分析】（1）由，計(jì)算出的取值范圍，通過列表、描點(diǎn)、連線，可作出函數(shù)在上的圖象；（2）解不等式可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）利用（1）中的圖象結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，列表如下：0112001作圖如下：（2）因?yàn)?，令，解得，令，解得，所以的遞增區(qū)間為（3），，又，由（1）的圖象可知，，的取值范圍是．1-2．（2024高一下·湖北·期中）要得到函數(shù)的圖象，可以從正弦函數(shù)或余弦函數(shù)圖象出發(fā)，通過圖象變換得到，也可以用“五點(diǎn)法”列表、描點(diǎn)、連線得到．(1)由圖象變換得到函數(shù)的圖象，寫出變換的步驟和函數(shù)；(2)用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)在區(qū)間上的簡圖．

【答案】(1)答案見解析(2)作圖見解析【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)圖象變換求解即可；（2）利用“五點(diǎn)法”畫出圖象.【詳解】（1）步驟1：把圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象；步驟2：把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；步驟3：最后把函數(shù)的圖象的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象．或者步驟1：步驟1：把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；步驟2：把圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象；步驟3：最后把函數(shù)的圖象的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象．（2）因?yàn)榱斜恚?/p>

（二）函數(shù)的奇偶性由是奇函數(shù)和是偶函數(shù)可拓展得到關(guān)于三角函數(shù)奇偶性的重要結(jié)論：（1）若為奇函數(shù)，則；（2）若為偶函數(shù)，則；（3）若為奇函數(shù)，則；（4）若為偶函數(shù)，則；若為奇函數(shù)，則，該函數(shù)不可能為偶函數(shù)．題型2：函數(shù)的奇偶性2-1．（2024高一下·河南南陽·期中）下列6個(gè)函數(shù)：①，②，③，④，⑤，⑥，其中最小正周期為π的偶函數(shù)的編號(hào)為.【答案】①③⑤【分析】利用三角函數(shù)的圖象和圖象的變換可以得到各個(gè)函數(shù)的圖象，觀察圖象可得結(jié)論.【詳解】①，②，③，④，⑤，⑥都是偶函數(shù)，由函數(shù)的圖象如如所示，可知，，的最小正周期都是，，不是周期函數(shù)，，最小正周期為，

故答案為：①③⑤2-2．（2024高三·廣東·學(xué)業(yè)考試）函數(shù)是（

）A．最小正周期為π的奇函數(shù) B．最小正周期為π的偶函數(shù)C．最小正周期為的奇函數(shù) D．最小正周期為的偶函數(shù)【答案】D【分析】因?yàn)楹瘮?shù)，由奇偶函數(shù)的定義結(jié)合求周期的公式即可得出答案.【詳解】解析：函數(shù)，故該函數(shù)為偶函數(shù)，且它的最小正周期為.故選：D.2-3．（2024高三·北京海淀·專題練習(xí)）函數(shù)，則（

）A．若，則為奇函數(shù) B．若，則為偶函數(shù)C．若，則為偶函數(shù) D．若，則為奇函數(shù)【答案】B【分析】根據(jù)選項(xiàng)中的關(guān)系，代入的解析式，對(duì)AD用特值說明不是奇函數(shù)，對(duì)BC用奇偶性的定義驗(yàn)證即可.【詳解】的定義域?yàn)?，?duì)A：若，，若為奇函數(shù)，則，而不恒成立，故不是奇函數(shù)；對(duì)B：若，，，故為偶函數(shù)，B正確；對(duì)C：若，，，故不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：若，，若為奇函數(shù)，則，而不恒成立，故不是奇函數(shù)；故選：B2-4．（2024·貴州貴陽·模擬預(yù)測(cè)）使函數(shù)為偶函數(shù)，則的一個(gè)值可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，化簡，由為偶函數(shù)，求得，結(jié)合選項(xiàng)，即可求解.【詳解】由，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，可得，所以，令，可得.故選：A.2-5．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖像，若函數(shù)是偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圖像平移得函數(shù)的解析式，由函數(shù)是偶函數(shù)，解出，可得.【詳解】函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，得的圖像，又函數(shù)是偶函數(shù)，則有，，解得，；所以.故選：C．2-6．（2024高三上·浙江·期末）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到一個(gè)奇函數(shù)的圖象，則的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圖象平移求得平移后的函數(shù)解析式，根據(jù)三角函數(shù)是奇函數(shù)，即可求得.【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，則，取，則．故選：D（三）函數(shù)的周期性關(guān)于三角函數(shù)周期的幾個(gè)重要結(jié)論：（1）函數(shù)的周期分別為，．（2）函數(shù)，的周期均為（3）函數(shù)的周期均．題型3：函數(shù)的周期性3-1．（2024高三上·河北衡水·階段練習(xí)）下列函數(shù)中，最小正周期為的奇函數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先化簡各選項(xiàng)，由最小正周期的計(jì)算公式和奇、偶函數(shù)的定義對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可求出答案.【詳解】對(duì)于A：最小正周期為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，最小正周期，且為奇函數(shù)，故B正確；對(duì)于C：，最小正周期為的偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，則，故為偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：B3-2．（2024高三·全國·對(duì)口高考）函數(shù)的最小正周期是.【答案】【分析】化簡，求出的最小正周期，即可求出函數(shù)的最小正周期.【詳解】因?yàn)?，因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，所以函?shù)最小正周期為.故答案為：.3-3．（2024高三上·河北·階段練習(xí)）函數(shù)的最小正周期為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，再結(jié)合平方關(guān)系及倍角公式和余弦函數(shù)的周期性即可得解.【詳解】解：，所以的最小正周期．故選：C．3-4．（2024高三下·北京密云·期中）設(shè)函數(shù)在的圖象大致如圖所示，則的最小正周期為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圖象先判斷出周期的大致范圍，再根據(jù)圖象過點(diǎn)可求解出，結(jié)合與周期的關(guān)系可得結(jié)果.【詳解】由圖象可知，，，解得.設(shè)函數(shù)的最小正周期為，易知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)符合題意，此時(shí),故選：A.3-5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù).則.【答案】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)值的特點(diǎn),得到，，…，再求和即可.【詳解】由條件，可得，，…，共506組，所以.故答案為：1012.（四）函數(shù)的單調(diào)性三角函數(shù)的單調(diào)性，需將函數(shù)看成由一次函數(shù)和正弦函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的單調(diào)方法轉(zhuǎn)化為解一元一次不等式．如函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的確定基本思想是吧看做是一個(gè)整體，如由解出的范圍，所得區(qū)間即為增區(qū)間；由解出的范圍，所得區(qū)間即為減區(qū)間．若函數(shù)中，可用誘導(dǎo)公式將函數(shù)變?yōu)?，則的增區(qū)間為原函數(shù)的減區(qū)間，減區(qū)間為原函數(shù)的的增區(qū)間．對(duì)于函數(shù)的單調(diào)性的討論與以上類似處理即可．題型4：函數(shù)的單調(diào)性4-1．（2024·四川樂山·三模）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，所得圖象的函數(shù)（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞減 B．在區(qū)間上單調(diào)遞減C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】B【分析】結(jié)合函數(shù)的周期性可直接判斷AC，求出平移后相應(yīng)函數(shù)的解析式并化簡，結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)判斷BD．【詳解】函數(shù)的最小正周期是，選項(xiàng)AC中區(qū)間長度是一個(gè)周期，因此不可能單調(diào)，圖象左右平移后也不可能單調(diào)，AC錯(cuò)；函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，所得圖象的函數(shù)解析式為，選項(xiàng)B，時(shí)，，在此區(qū)間上是減函數(shù)，B正確；選項(xiàng)D，時(shí)，，在此區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，D錯(cuò)誤．故選：B．4-2．（2024·北京密云·三模）已知函數(shù)，則（

）A．在上單調(diào)遞減 B．在上單調(diào)遞增C．在上單調(diào)遞減 D．在上單調(diào)遞增【答案】C【分析】利用余弦函數(shù)的二倍角公式化簡得出，利用余弦型函數(shù)的單調(diào)性逐項(xiàng)判斷可得出合適的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞減，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞減，故D錯(cuò).故選：C.4-3．（2024高一上·重慶江北·期末）的部分圖像如圖所示，則其單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先利用圖象得到周期，結(jié)合圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)即可得到對(duì)應(yīng)的減區(qū)間【詳解】由圖可得，即，結(jié)合圖象可得到在區(qū)間中，為最高點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)為，軸右側(cè)第一個(gè)最低點(diǎn)為，對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)為，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為故選：B4-4．（2024高一下·四川涼山·期中）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，由正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，列出不等式，求解即可得到結(jié)果.【詳解】令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：C（五）函數(shù)的對(duì)稱性（對(duì)稱軸、對(duì)稱中心）關(guān)于三角函數(shù)對(duì)稱的幾個(gè)重要結(jié)論；（1）函數(shù)的對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為；（2）函數(shù)的對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為；（3）函數(shù)函數(shù)無對(duì)稱軸，對(duì)稱中心為；（4）求函數(shù)的對(duì)稱軸的方法；令，得；對(duì)稱中心的求取方法；令，得，即對(duì)稱中心為．（5）求函數(shù)的對(duì)稱軸的方法；令得，即對(duì)稱中心為題型5：函數(shù)的對(duì)稱性（對(duì)稱軸、對(duì)稱中心）5-1．（2024高三·全國·課后作業(yè)）函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心的坐標(biāo)是．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)正切型函數(shù)的對(duì)稱中心可直接求出答案.【詳解】令，解得,則圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)是．當(dāng)時(shí)，，則是圖像的一個(gè)對(duì)稱中心．故答案為：（答案不唯一）.5-2．（2024·新疆喀什·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)向左平移個(gè)單位長度之后關(guān)于對(duì)稱，則的最小值為.【答案】1【分析】先求平移后的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】向左平移個(gè)單位長度后，得，因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于對(duì)稱，所以，,，，所以的最小值為1.故答案為：15-3．（2024·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的最小正周期為，則的圖象關(guān)于（

）A．對(duì)稱 B．對(duì)稱 C．對(duì)稱 D．對(duì)稱【答案】B【分析】先通過最小正周期求出，再根據(jù)三角函數(shù)圖像的性質(zhì)判斷對(duì)稱軸與對(duì)稱中心即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，由得，，即，，故不是對(duì)稱軸，也不是對(duì)稱中心；，故是對(duì)稱軸，不是對(duì)稱中心.故選：B5-4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，若，且直線為圖象的一條對(duì)稱軸，則的最小值為．【答案】5【分析】根據(jù)，可求得，再根據(jù)直線為圖象的一條對(duì)稱軸，結(jié)合正弦函數(shù)的對(duì)稱性即可求得.【詳解】由，得，又，解得，所以，又直線為圖象的一條對(duì)稱軸，則有，，化簡得，，又，故的最小值為5．故答案為：.5-5．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則的對(duì)稱中心為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)圖象結(jié)合五點(diǎn)法求出，再令，即可求出的對(duì)稱中心.【詳解】由題意可得：，可得，所以，因?yàn)?，所以，可得，所以，由，可得，因?yàn)椋?，，所?令，可得，所以對(duì)稱中心為，故選：A.5-6．（2024高三下·上海寶山·階段練習(xí)）已知，函數(shù)，的最小正周期為，將的圖像向左平移個(gè)單位長度，所得圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則的值是．【答案】/【分析】由周期求出，即可求出的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則得到平移后的解析式，最后根據(jù)對(duì)稱性得到的值.【詳解】，函數(shù)的最小正周期為，，．將的圖像向左平移個(gè)單位長度，可得的圖像，根據(jù)所得圖像關(guān)于軸對(duì)稱，可得，，解得，，又，則令，可得的值為．故答案為：．5-7．（2024·上海徐匯·三模）已知函數(shù)的對(duì)稱中心為，若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象共有6個(gè)交點(diǎn)，分別為，，…，，則.【答案】6【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合函數(shù)圖象的對(duì)稱性，確定6個(gè)交點(diǎn)的關(guān)系即可求解作答.【詳解】顯然函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，依題意，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，于是，所以.故答案為：6（六）函數(shù)的定義域、值域（最值）求三角函數(shù)的最值，通常要利用正、余弦函數(shù)的有界性，一般是通過三角變換化歸為下列基本類型處理．（1），設(shè)，化為一次函數(shù)在上的最值求解．（2），引入輔助角，化為，求解方法同類型（1）（3），設(shè)，化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解，也可以是或型．（4），設(shè)，則，故，故原函數(shù)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解．（5）與，根據(jù)正弦函數(shù)的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用數(shù)形結(jié)合法求最值．這里需要注意的是化為關(guān)于或的函數(shù)求解釋務(wù)必注意或的范圍．（6）導(dǎo)數(shù)法（7）權(quán)方和不等式題型6：函數(shù)的定義域、值域（最值）6-1．（2024高一下·上海靜安·期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋敬鸢浮俊痉治觥慷x域滿足.【詳解】的定義域滿足，即.故答案為：.6-2．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則的值為（

）A．0 B．2 C．4 D．6【答案】B【分析】依題意可得，令，，即可得到是奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解:，令，，于是，所以是奇函數(shù)，從而的最大值G與最小值g的和為0，而.故選：B6-3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)對(duì)于，都有，則的最小值為（

）.A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，分別是取得最小值和最大值時(shí)對(duì)應(yīng)自變量的取值，結(jié)合函數(shù)周期即可容易求得結(jié)果.【詳解】∵恒成立，∴是函數(shù)的最小值，是函數(shù)的最大值，即、是函數(shù)的兩條對(duì)稱軸，則的最小值為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)周期性求值，屬基礎(chǔ)題；注意對(duì)題干的理解.6-4．（2024·河北邯鄲·一模）已知函數(shù)，如果存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有成立，則的最小值為A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：因?yàn)?，設(shè)的最小正周期為，則，所以的最小值為，故選C.考點(diǎn)：三角函數(shù)的周期和最值．6-5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）實(shí)數(shù)滿足，則的范圍是.【答案】【分析】由題可得，故由三角換元可得答案.【詳解】.故令，.則原式，故.故答案為：.6-6．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)，則的最小值為.【答案】【分析】利用換元法求解，設(shè)把轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的知識(shí)可得答案.【詳解】設(shè)，由，得，又由，得，所以，令，，當(dāng)時(shí)，時(shí)，即當(dāng)時(shí)，原函數(shù)取到最小值.故答案為：.【點(diǎn)睛】此題屬于局部換元法，設(shè)后，抓住與的內(nèi)在聯(lián)系，將三角函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題，使得容易求解.換元過程中一定要注意新的參數(shù)的范圍（）與對(duì)應(yīng)，否則將會(huì)出錯(cuò).本題解法中還包含了含參問題時(shí)分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，即由對(duì)稱軸與閉區(qū)間的位置關(guān)系而確定參數(shù)分兩種情況進(jìn)行討論.一般地，在遇到題目已知和未知中含有與的和、差、積等而求三角式的最大值和最小值的題型時(shí)，即函數(shù)為，經(jīng)常用到這樣設(shè)元的換元法，轉(zhuǎn)化為在閉區(qū)間上的二次函數(shù)或一次函數(shù)的研究.6-7．（2024高一·全國·單元測(cè)試）函數(shù)的值域?yàn)椋敬鸢浮俊痉治觥坷猛ㄟ^換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為含未知量的函數(shù)，再解出函數(shù)的值域即為函數(shù)的值域.【詳解】令，，則，即，所以，又因?yàn)?，所以，即函?shù)的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋?（七）三角函數(shù)性質(zhì)的綜合三角函數(shù)的性質(zhì)（如奇偶性、周期性、單調(diào)性、對(duì)稱性）中，尤為重要的是對(duì)稱性．因?yàn)閷?duì)稱性奇偶性（若函數(shù)圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)為奇函數(shù)；若函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則函數(shù)為偶函數(shù)）；對(duì)稱性周期性（相鄰的兩條對(duì)稱軸之間的距離是；相鄰的對(duì)稱中心之間的距離為；相鄰的對(duì)稱軸與對(duì)稱中心之間的距離為）；對(duì)稱性單調(diào)性（在相鄰的對(duì)稱軸之間，函數(shù)單調(diào)，特殊的，若，函數(shù)在上單調(diào)，且，設(shè)，則深刻體現(xiàn)了三角函數(shù)的單調(diào)性與周期性、對(duì)稱性之間的緊密聯(lián)系）題型7：三角函數(shù)性質(zhì)的綜合7-1．（2024·河北石家莊·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．的值域?yàn)锽．的單調(diào)遞減區(qū)間為C．為奇函數(shù)，D．不等式的解集為【答案】D【分析】首先化簡函數(shù)，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以，所以，故選項(xiàng)A正確；由得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選項(xiàng)B正確；所以，所以為奇函數(shù)，故選項(xiàng)C正確；由得，即所以，所以不等式的解集為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：D.7-2．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）

A．B．C．不等式的解集為D．將的圖象向右平移個(gè)單位長度后所得函數(shù)的圖象在上單調(diào)遞增【答案】C【分析】由圖象求出的表達(dá)式后逐一驗(yàn)證選項(xiàng)即可.【詳解】由函數(shù)圖象可知，最小正周期為，所以，將點(diǎn)代入，得，又，所以，故，故A錯(cuò)誤；所以，故B錯(cuò)誤；令，則，所以，，解得，，所以不等式的解集為，故C正確；將的圖象向右平移個(gè)單位長度后，得到的圖象，令，，解得，，令得，因?yàn)?，故D錯(cuò)誤.故選：C.一、單選題1．（2024高三上·廣東汕頭·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，如果，則的值是（

）A．-10 B．8 C．-8 D．-7【答案】B【解析】令，由奇函數(shù)定義可知，化簡計(jì)算可求得結(jié)果.【詳解】令,則，所以，由可知，，即，，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查奇函數(shù)性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2．（2024·江西鷹潭·一模）已知的圖象向左平移個(gè)單位長度后，得到函數(shù)的圖象，且的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】化簡，根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換可得的表達(dá)式，結(jié)合其性質(zhì)，求得的表達(dá)式，即可求得答案.【詳解】由題意可得，故，由于的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則為偶函數(shù)，故,即，故的最小值為，故選：B3．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知，，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且的最小值為，若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知得函數(shù)的周期，求出，再利用圖像的平移變換規(guī)律寫出函數(shù)平移后的解析式，再利用函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，列出等式即可得到結(jié)果.【詳解】由題意知函數(shù)的最小正周期，則，得，.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到的圖象，要使該圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則，，所以，，又，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為．故選：A【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：先根據(jù)正切函數(shù)圖象的特征求出函數(shù)的最小正周期，進(jìn)而求出，然后根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換得到平移后的函數(shù)圖象的解析式，最后利用正切函數(shù)圖象的對(duì)稱中心建立方程求解即可，考查學(xué)生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.4．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，若對(duì)滿足的，總有的最小值等于，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)圖象平移規(guī)律可得函數(shù)的圖象，由、設(shè)，則，分別利用、，求出可得答案.【詳解】函數(shù)的周期為，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，可得，由可知，兩個(gè)函數(shù)的最大值與最小值的差為2，且，不妨設(shè)，則，即在時(shí)取得最小值，由于，此時(shí)，不合題意；，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，滿足題意.故選：C.5．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度得函數(shù)的圖象，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先由圖象平移變換得到，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】將的圖象向右平移個(gè)單位長度后，得到，即的圖象，令，，解得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，.故選：C.6．（2024高三下·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的函數(shù)的部分圖象如圖所示，則不等式的解集為（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】由函數(shù)圖象可求出的解析式，向右平移個(gè)單位可得的解析式，利用余弦函數(shù)的圖象解不等式即可.【詳解】設(shè)函數(shù)的圖象向左平移單位長度后得到的函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，由圖可知，函數(shù)的圖象的最小正周期為，所以，所以，由，得，，，所以，，取，得，所以，所以，所以由，得，即，所以，，即，，所以不等式的解集為（），故選：C【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：圖象變換的兩種方法的區(qū)別，由的圖象，利用圖象變換作函數(shù)的圖象，要特別注意：當(dāng)周期變換和相位變換的先后順序不同時(shí)，原圖象沿x軸的伸縮量的區(qū)別．先平移變換再周期變換(伸縮變換)，平移的量是|φ|個(gè)單位，而先周期變換(伸縮變換)再平移變換，平移的量是個(gè)單位．7．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若將的圖像向右平移個(gè)單位長度后圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)題意寫出平移后的解析式后，根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性可得.【詳解】的圖像向右平移個(gè)單位長度后，變?yōu)?，因的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以為偶函數(shù)，所以，,即，,因，所以，故當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)取得最小值為，故選：B8．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則“，”是“為偶函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由余弦函數(shù)的性質(zhì)，分別驗(yàn)證充分性與必要性即可.【詳解】函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為偶函數(shù)，所以充分性成立；為偶函數(shù)時(shí)，，解得，不能得到，所以必要性不成立.故“，”是“為偶函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A9．（2024·云南昆明·一模）已知函數(shù)，若存在，使得方程有三個(gè)不等的實(shí)根，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用輔助角公式變形為，畫出圖像，找到兩函數(shù)交點(diǎn)位置，求出結(jié)果即可.【詳解】，最小正周期為，作出的圖像，

可知當(dāng)時(shí)，有三個(gè)根，所以，即或，解得根分別為，又因?yàn)椋?，故選：B.10．（2024·四川遂寧·一模）函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，將該函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后，所得函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的最小值是（

）A． B． C．3 D．【答案】A【分析】由求，再根據(jù)平移變換求出平移后的解析式，然后根據(jù)對(duì)稱性即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以，又，所以，將的圖象向右平移個(gè)單位長度后，所得函數(shù)圖象的解析式為，因?yàn)榈暮瘮?shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，得，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最小值.故選：A11．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分0在定義域內(nèi)和0不在定義域內(nèi)兩種情況進(jìn)行討論即可求得答案.【詳解】若0在定義域內(nèi)，由時(shí)，得，；若0不在定義域內(nèi)，由時(shí)，無意義，得．綜上，．故選：C．二、多選題12．（2024·海南?？凇つM預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（）的圖象與函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心完全相同，且在上，有極小值，則（

）A． B．C．函數(shù)是偶函數(shù) D．在上單調(diào)遞增【答案】AD【分析】根據(jù)函數(shù)與的最小正周期相同，求得，經(jīng)驗(yàn)證求得，再求出值，再對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐項(xiàng)驗(yàn)證.【詳解】由題意，函數(shù)與的最小正周期相同，則，且.當(dāng)時(shí)，，其一個(gè)對(duì)稱中心為，也是的一個(gè)對(duì)稱中心，所以，所以，，又，所以，所以，，，有極大值，無極小值，不合題意；當(dāng)時(shí)，，其一個(gè)對(duì)稱中心為，也是的一個(gè)對(duì)稱中心，所以，所以，，又，所以，所以，，，有極小值，滿足題意.，，A項(xiàng)正確，B項(xiàng)不正確；，不是偶函數(shù)，C項(xiàng)不正確；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，D項(xiàng)正確.故選：AD13．（2024·廣東潮州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，的最小正周期為，且過點(diǎn)，則下列正確的有（

）A．在單調(diào)遞減B．的一條對(duì)稱軸為C．的周期為D．把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)長度單位得到函數(shù)的解析式為【答案】AB【分析】利用輔助角公式將函數(shù)化簡，根據(jù)周期求出，再根據(jù)函數(shù)過點(diǎn)求出，即可得到函數(shù)解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】根據(jù)輔助角公式得．最小正周期為，，，即．函數(shù)過點(diǎn)，，，則．當(dāng)時(shí)．即．令，則，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，故A正確．令，則，當(dāng)時(shí)，的一條對(duì)稱軸為，故B正確．因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，則的周期為且，故C錯(cuò)誤．函數(shù)的圖象向左平移個(gè)長度單位得到函數(shù)的解析式為，故D錯(cuò)誤．故選：AB．14．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，則（

）A．的最大值為2B．是偶函數(shù)C．在上單調(diào)遞增D．把的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】AB【分析】依題意可求出，從而可得，結(jié)合函數(shù)的圖象性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以，解得，所以，其最大值為2，故A正確；令，定義域?yàn)?，，所以即是偶函?shù)，故B正確；時(shí)，，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；把的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，因?yàn)?，所以的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故D錯(cuò)誤.故選：AB15．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則下列說法正確的有（

）A．若，則B．將的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱C．函數(shù)的最小正周期為D．若在上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為【答案】ABD【分析】對(duì)A：必有一個(gè)最大值和一個(gè)最小值可求；對(duì)B：求出平移后函數(shù)解析式判斷是否為偶函數(shù)；對(duì)C：化簡后求周期；對(duì)D：求出的范圍，數(shù)據(jù)正弦曲線的圖象列出滿足的不等式并求解.【詳解】由，故必有一個(gè)最大值和一個(gè)最小值，則為半個(gè)周期長度，故正確；由題意的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，B正確；的最小正周期為C錯(cuò)誤.，在上有且僅在3個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)知：，則，D正確；故選：ABD16．（2024高三上·海南·期末）已知函數(shù)，，恒成立，在上單調(diào)，則（

）A．B．將的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象C．D．若函數(shù)在上有5個(gè)零點(diǎn)，則【答案】AB【分析】由題意求出，可判斷A；由三角函數(shù)的平移變化可判斷B；求出可判斷C；令，即與的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，畫出與的圖象即可判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以是函?shù)的一個(gè)零點(diǎn)，所以①，又因?yàn)閷?duì)恒成立，所以時(shí)取得最小值，即②，則①減②可得：，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)，所以，則，結(jié)合，所以，所以，，則，，又因?yàn)椋?，故A正確；所以，將的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到，故B正確；，故C錯(cuò)誤；函數(shù)在上有5個(gè)零點(diǎn)，令，即與的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，畫出與的圖象如下，

，，由圖可知，當(dāng)時(shí)，與的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)在上有5個(gè)零點(diǎn),故D錯(cuò)誤.故選：AB17．（2024高三上·山東德州·階段練習(xí)）聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的聲波，純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，我們聽到的聲音是由純音合成的，稱之為復(fù)合音.若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．的最小正周期為C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．的最小值為1【答案】BC【分析】由奇函數(shù)的定義即可判斷A；容易驗(yàn)證π是函數(shù)的周期，進(jìn)而判斷B；當(dāng)時(shí)，用輔助角公式將函數(shù)化簡，即可判斷C；先考慮時(shí)，再分和兩種情況，求出函數(shù)的最小值，再根據(jù)函數(shù)的周期，即可求出函數(shù)在R上的最小值.【詳解】因?yàn)椋允桥己瘮?shù)，A正確；顯然是周期函數(shù)，因?yàn)椋訠錯(cuò)誤；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，C錯(cuò)誤；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，設(shè)，則，同理：當(dāng)時(shí)，，由B中解答知，是的周期，所以的最小值為1，D正確.故選：BC.18．（2024高三上·江蘇無錫·期中）已知函數(shù)，下列敘述正確的有（

）A．的周期為2π； B．是偶函數(shù)；C．在區(qū)間上單調(diào)遞減； D．x1，x2∈R，【答案】BC【分析】AB選項(xiàng)，可以分別研究與的奇偶性和周期性，從而判斷的周期性和奇偶性；C選項(xiàng)，在區(qū)間上，化簡整理得到，，進(jìn)而得到在區(qū)間的單調(diào)性；D選項(xiàng)可以取特殊值代入，證明其不成立.【詳解】是偶函數(shù)，不是周期函數(shù)，是偶函數(shù)，是周期函數(shù)，最小正周期為，故不是周期函數(shù)，A錯(cuò)誤，B正確；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋诖螀^(qū)間上單調(diào)遞減，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，C正確；當(dāng)時(shí)，，，，即，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC19．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）聲音是由于物體的振動(dòng)產(chǎn)生的能引起聽覺的波，我們聽到的聲音多為復(fù)合音．若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的一個(gè)周期為 B．的最小值為C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D．在區(qū)間上有3個(gè)零點(diǎn)【答案】ACD【分析】A代入周期的定義，即可判斷；B分別比較兩個(gè)函數(shù)分別取得最小值的值，即可判斷；C代入對(duì)稱性的公式，即可判斷；D根據(jù)零點(diǎn)的定義，解方程，即可判斷.【詳解】選項(xiàng)A：故的一個(gè)周期為，A正確.選項(xiàng)B：，當(dāng)，時(shí)，取得最小值，，當(dāng)，時(shí)即，時(shí)，取得最小值，所以兩個(gè)函數(shù)不可能同時(shí)取得最小值，所以的最小值不是，故B錯(cuò)誤.選項(xiàng)C：，，所以，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，C正確，選項(xiàng)D：，得，或，得，或，，故區(qū)間中的根為，，，故D正確.故選：ACD20．（2024高三上·河南三門峽·期末）已知函數(shù)滿足：，，則（

）A．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 B．函數(shù)是偶函數(shù)C．函數(shù)在上單調(diào)遞減 D．函數(shù)的值域?yàn)椤敬鸢浮緼D【分析】化簡后結(jié)合題意可得的取值集合，再結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得.【詳解】，由，故，即，由，故，即，則有，即，故、、、，當(dāng)時(shí)，，由函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，故的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故A正確；，由為奇函數(shù)，故函數(shù)為奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，取時(shí)，即，函數(shù)并不單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；由，故，故D正確.故選：AD.21．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，且有兩個(gè)零點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．C．若，則 D．【答案】ACD【分析】A選項(xiàng)，作單位圓，利用面積得到；BC選項(xiàng)，畫出，，且與的函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合判斷BC選項(xiàng)；D選項(xiàng)，由，推出，根據(jù)零點(diǎn)范圍可得符號(hào)判斷.【詳解】A選項(xiàng)，設(shè)，作出單位圓，與軸交于點(diǎn)，則，過點(diǎn)作垂直于軸，交射線于點(diǎn)，連接，由三角函數(shù)定義可知，，設(shè)扇形的面積為，則，即，故，當(dāng)時(shí)，有不等式，A正確；B選項(xiàng)，畫出，，且與的函數(shù)圖象，如下：可以看出，，故，B不正確；C選項(xiàng)，的最小正周期為，由圖象可知，故，C正確；D選項(xiàng)，由，，因?yàn)?，，故，而，但，且在為增函?shù)，故，故，D正確．故選：ACD．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：處理函數(shù)零點(diǎn)問題思路：（1）利用方程思想，如一次函數(shù)，二次函數(shù)等，可令函數(shù)值為0，直接進(jìn)行求解；（2）轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題來解決；（3）研究函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理來進(jìn)行求解.22．（2024·全國）已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則（

）A．在區(qū)間單調(diào)遞減B．在區(qū)間有兩個(gè)極值點(diǎn)C．直線是曲線的對(duì)稱軸D．直線是曲線的切線【答案】AD【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)判斷各選項(xiàng)，即可解出．【詳解】由題意得：，所以，，即，又，所以時(shí)，，故．對(duì)A，當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)圖象知在上是單調(diào)遞減；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)圖象知只有1個(gè)極值點(diǎn)，由，解得，即為函數(shù)的唯一極值點(diǎn)；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，，直線不是對(duì)稱軸；對(duì)D，由得：，解得或,從而得：或,所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，切線方程為：即．故選：AD．三、填空題23．（2024高三·全國·課后作業(yè)）函數(shù)（）的圖像的相鄰兩支截直線所得線段長為，則的值是.【答案】【分析】根據(jù)正切型函數(shù)的周期公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)（）的圖像的相鄰兩支截直線所得線段長為，所以該函數(shù)的最小正周期為，因?yàn)?，所以，即，因此，故答案為?4．（2024高三下·江西鷹潭·階段練習(xí)）函數(shù)的最小正周期是．【答案】【分析】根據(jù)二倍角公式以及輔助角公式化簡，即可由周期公式求解.【詳解】所以最小正周期為，故答案為：25．（2024·四川遂寧·三模）已知函數(shù)，，，且，則=【答案】/0.5【分析】利用三角恒等變換化簡函數(shù)解析式為，分析可知函數(shù)的最小正周期為，利用正弦型函數(shù)的周期公式即可求得的最小值.【詳解】因?yàn)?，另外，，且，所以，函?shù)的最小正周期滿足，則，所以，，故當(dāng)時(shí)，取最小值.故答案為：26．（2024高三下·上海松江·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的最小正周期是．【答案】【分析】根據(jù)三角恒等變換化簡函數(shù)解析式，進(jìn)而可得函數(shù)的最小正周期.【詳解】，故，故答案為：．27．（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的最小正周期是，則.【答案】4【分析】根據(jù)三角恒等變換化簡三角函數(shù)，然后利用周期計(jì)算公式列方程，解方程即可求值【詳解】，所以最小正周期是，所以.故答案為：428．（2024·陜西咸陽·一模）設(shè)函數(shù)相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，，則的最小值為．【答案】/【分析】根據(jù)給定的條件，求出函數(shù)的周期，進(jìn)而求出，再利用最值求出的表達(dá)式作答.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，則函數(shù)的周期，，又，因此，即，所以當(dāng)時(shí)，.故答案為：29．（2024高三上·上海浦東新·階段練習(xí)）函數(shù)的最小正周期為.【答案】【分析】根據(jù)二倍角公式，結(jié)合周期公式求解即可.【詳解】解：，所以，其最小正周期為.故答案為：30．（2024高三上·內(nèi)蒙古·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)（，，是常數(shù)，，）．若在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，則的最小正周期為．【答案】/【分析】根據(jù)單調(diào)性、對(duì)稱性來求得的最小正周期.【詳解】在區(qū)間上具有單調(diào)性，區(qū)間的長度為，區(qū)間的長度為，由于，所以的一條對(duì)稱軸為，其相鄰一個(gè)對(duì)稱中心為，即，所以.故答案為：31．（2024高三·全國·對(duì)口高考）設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，若，則.【答案】【分析】先根據(jù)對(duì)稱性列方程，再根據(jù)范圍確定結(jié)果【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，所以，所以，所以因?yàn)?，所以時(shí)，.故答案為：32．（2024·河南開封·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，那么的最小值為．【答案】【分析】代入余弦函數(shù)的零點(diǎn)滿足的公式判斷即可.【詳解】的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，即，令，可得的最小值為．故答案為：33．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象.若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象平移結(jié)論求得，再根據(jù)的圖象關(guān)于關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，列方程即可求解.【詳解】由題可得，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，解得，，故的最小值為.故答案為：.34．（2024高三上·江西吉安·期末）記函數(shù)（）的最小正周期為，且的圖象關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)取最小值時(shí)，.【答案】/【分析】根據(jù)對(duì)稱軸可得，可得（），結(jié)合題意可得的最小值為4，即可求，代入運(yùn)算求解.【詳解】由的圖象關(guān)于對(duì)稱，則，，∴（），又∵，∴當(dāng)，的最小值為4，此時(shí)，，∴.故答案為：.35．（2024·四川瀘州·一模）寫出滿足條件“函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱”的的一個(gè)值．【答案】（答案不唯一，滿足即可）【分析】以為整體，結(jié)合余弦函數(shù)的對(duì)稱軸運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：，則，當(dāng)時(shí)，.故答案為：.36．（2024高三上·全國·階段練習(xí)）已知函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸為．若,則的最大．【答案】【分析】先根據(jù)對(duì)稱軸求出的表達(dá)式，再結(jié)合范圍求最大值【詳解】由題知.所以因?yàn)?所以當(dāng)取最大值故答案為：37．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）曲線的一個(gè)對(duì)稱中心為（答案不唯一）.【答案】（答案不唯一）【分析】首先化簡函數(shù)，再根據(jù)正切函數(shù)的對(duì)稱中心公式求解.【詳解】，令或，則或，令，則.所以函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心是.故答案為：（答案不唯一）.38．（2024·河北·一模）函數(shù)的最小值為.【答案】/【分析】根據(jù)二倍角公式化簡，即可求解最值.【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，此時(shí)的最小值為.故答案為：39．（2024·湖北襄陽·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)的最小值為，則常數(shù)的一個(gè)取值為.（寫出一個(gè)即可）【答案】（答案不唯一）.【分析】化簡函數(shù)解析式，由條件結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求常數(shù)的一個(gè)取值即可.【詳解】可化為，所以，設(shè)，則，設(shè)，則，因?yàn)楹瘮?shù)的最小值為，所以，，所以或，其中，故答案為：（答案不唯一）.40．（2024高三·全國·對(duì)口高考）的最小值為.【答案】【分析】利用二倍角公式、輔助角化簡函數(shù)的解析式為，由此求得函數(shù)的最小值．【詳解】，所以當(dāng)，時(shí)，取得最小值.故答案為：．41．（2024·上海嘉定·三模）若關(guān)于的方程在上有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】利用二倍角公式及輔助角公式化簡，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)判定值域即可.【詳解】原方程等價(jià)于即函數(shù)，在上有交點(diǎn)，∵，∴，，故，則.故答案為：42．（2024·江西鷹潭·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的值域?yàn)椋敬鸢浮俊痉治觥坑糜嘞业亩督枪睫D(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域.【詳解】因?yàn)?，又，所以，則，即函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：.43．（2024高一下·四川成都·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，則函數(shù)的值域?yàn)椋敬鸢浮俊痉治觥扛鶕?jù)的范圍，得的范圍，數(shù)形結(jié)合可得的范圍，從而可得函數(shù)的值域.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，所以，所以函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：44．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，則的最小值為.【答案】【分析】先利用三角恒等變換將函數(shù)表達(dá)式化簡為正弦型函數(shù)，再求函數(shù)最小值即可.【詳解】.因?yàn)?，所以，所以，所以，即函?shù)的最小值為.故答案為：.45．（2024高三·安徽亳州·階段練習(xí)）已知函數(shù)，該函數(shù)的最大值為．【答案】【分析】化簡函數(shù)，令且，則，求得，得出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性與極值，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，令且，則，從而，令，解得或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減．因?yàn)椋?，所以的最大值?故答案為：.46．（2024高三下·江蘇蘇州·開學(xué)考試）設(shè)角、均為銳角，則的范圍是．【答案】【分析】由將函數(shù)化為，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最小值，再由柯西不等式求出函數(shù)的最大值，即可得出答案.【詳解】因?yàn)榻?、均為銳角，所以的范圍均為，所以，所以因?yàn)椋?，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，令，，，所以.則的范圍是：.故答案為：47．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的值域是.【答案】【分析】利用二倍角公式表示，配方，結(jié)合的范圍進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)橛忠驗(yàn)?所以當(dāng)時(shí),取得最小值-1,當(dāng)時(shí),取得最大值2,故的值域是.故答案為：48．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)、且，求的取值范圍是.【答案】【分析】解法一：利用條件，將轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，進(jìn)而可確定的范圍．解法二：由得，設(shè)，則，再結(jié)合余弦函數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】解法一：，，可得．，令，，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，即，的取值范圍是．解法二：由得，設(shè)，即，則令，，，，顯然在上單調(diào)遞增，所以，即，所以的取值范圍是.故答案為：49．（2024高一下·遼寧·期中）函數(shù)的最大值為．【答案】2【分析】由題知，，進(jìn)而得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，再求最大值即可.【詳解】解：，其中，，.∵，，∴，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∵∴當(dāng)時(shí)，取得最大值．故