備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點突破和專題檢測專題19三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)7題型分類(原卷版+解析)

專題19三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)7題型分類1．用“五點法”作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖(1)在正弦函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象中，五個關(guān)鍵點是：(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．(2)在余弦函數(shù)y＝cosx，x∈[0,2π]的圖象中，五個關(guān)鍵點是：(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中k∈Z)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RR{x|x≠kπ＋eq\f(π,2)}值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))[2kπ－π，2kπ]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))單調(diào)遞減區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))[2kπ，2kπ＋π]對稱中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))對稱軸方程x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ3．對稱性與周期性(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是eq\f(1,2)個周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是eq\f(1,4)個周期．(2)正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是eq\f(1,2)個周期．4．奇偶性若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，則(1)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)．(2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ＝kπ(k∈Z)．（一）五點作圖法（1）在正弦函數(shù)，的圖象中，五個關(guān)鍵點是：．（2）在余弦函數(shù)，的圖象中，五個關(guān)鍵點是：．題型1：五點作圖法1-1．（2024高一下·北京·階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)用“五點作圖法”在給定坐標系中畫出函數(shù)在上的圖像；(2)求，的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)當(dāng)時，的取值范圍為，直接寫出m的取值范圍.1-2．（2024高一下·湖北·期中）要得到函數(shù)的圖象，可以從正弦函數(shù)或余弦函數(shù)圖象出發(fā)，通過圖象變換得到，也可以用“五點法”列表、描點、連線得到．(1)由圖象變換得到函數(shù)的圖象，寫出變換的步驟和函數(shù)；(2)用“五點法”畫出函數(shù)在區(qū)間上的簡圖．

（二）函數(shù)的奇偶性由是奇函數(shù)和是偶函數(shù)可拓展得到關(guān)于三角函數(shù)奇偶性的重要結(jié)論：（1）若為奇函數(shù)，則；（2）若為偶函數(shù)，則；（3）若為奇函數(shù)，則；（4）若為偶函數(shù)，則；若為奇函數(shù)，則，該函數(shù)不可能為偶函數(shù)．題型2：函數(shù)的奇偶性2-1．（2024高一下·河南南陽·期中）下列6個函數(shù)：①，②，③，④，⑤，⑥，其中最小正周期為π的偶函數(shù)的編號為.2-2．（2024高三·廣東·學(xué)業(yè)考試）函數(shù)是（

）A．最小正周期為π的奇函數(shù) B．最小正周期為π的偶函數(shù)C．最小正周期為的奇函數(shù) D．最小正周期為的偶函數(shù)2-3．（2024高三·北京海淀·專題練習(xí)）函數(shù)，則（

）A．若，則為奇函數(shù) B．若，則為偶函數(shù)C．若，則為偶函數(shù) D．若，則為奇函數(shù)2-4．（2024·貴州貴陽·模擬預(yù)測）使函數(shù)為偶函數(shù)，則的一個值可以是（

）A． B． C． D．2-5．（2024·湖北·模擬預(yù)測）函數(shù)的圖像向左平移個單位得到函數(shù)的圖像，若函數(shù)是偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．2-6．（2024高三上·浙江·期末）將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到一個奇函數(shù)的圖象，則的取值可以是（

）A． B． C． D．（三）函數(shù)的周期性關(guān)于三角函數(shù)周期的幾個重要結(jié)論：（1）函數(shù)的周期分別為，．（2）函數(shù)，的周期均為（3）函數(shù)的周期均．題型3：函數(shù)的周期性3-1．（2024高三上·河北衡水·階段練習(xí)）下列函數(shù)中，最小正周期為的奇函數(shù)是（

）A． B．C． D．3-2．（2024高三·全國·對口高考）函數(shù)的最小正周期是.3-3．（2024高三上·河北·階段練習(xí)）函數(shù)的最小正周期為（

）A． B． C． D．3-4．（2024高三下·北京密云·期中）設(shè)函數(shù)在的圖象大致如圖所示，則的最小正周期為（

）A． B．C． D．3-5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù).則.（四）函數(shù)的單調(diào)性三角函數(shù)的單調(diào)性，需將函數(shù)看成由一次函數(shù)和正弦函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的單調(diào)方法轉(zhuǎn)化為解一元一次不等式．如函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的確定基本思想是吧看做是一個整體，如由解出的范圍，所得區(qū)間即為增區(qū)間；由解出的范圍，所得區(qū)間即為減區(qū)間．若函數(shù)中，可用誘導(dǎo)公式將函數(shù)變?yōu)?，則的增區(qū)間為原函數(shù)的減區(qū)間，減區(qū)間為原函數(shù)的的增區(qū)間．對于函數(shù)的單調(diào)性的討論與以上類似處理即可．題型4：函數(shù)的單調(diào)性4-1．（2024·四川樂山·三模）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，所得圖象的函數(shù)（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞減 B．在區(qū)間上單調(diào)遞減C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增4-2．（2024·北京密云·三模）已知函數(shù)，則（

）A．在上單調(diào)遞減 B．在上單調(diào)遞增C．在上單調(diào)遞減 D．在上單調(diào)遞增4-3．（2024高一上·重慶江北·期末）的部分圖像如圖所示，則其單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B．C． D．4-4．（2024高一下·四川涼山·期中）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．（五）函數(shù)的對稱性（對稱軸、對稱中心）關(guān)于三角函數(shù)對稱的幾個重要結(jié)論；（1）函數(shù)的對稱軸為，對稱中心為；（2）函數(shù)的對稱軸為，對稱中心為；（3）函數(shù)函數(shù)無對稱軸，對稱中心為；（4）求函數(shù)的對稱軸的方法；令，得；對稱中心的求取方法；令，得，即對稱中心為．（5）求函數(shù)的對稱軸的方法；令得，即對稱中心為題型5：函數(shù)的對稱性（對稱軸、對稱中心）5-1．（2024高三·全國·課后作業(yè)）函數(shù)圖象的一個對稱中心的坐標是．5-2．（2024·新疆喀什·模擬預(yù)測）函數(shù)向左平移個單位長度之后關(guān)于對稱，則的最小值為.5-3．（2024·山東濟南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的最小正周期為，則的圖象關(guān)于（

）A．對稱 B．對稱 C．對稱 D．對稱5-4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，若，且直線為圖象的一條對稱軸，則的最小值為．5-5．（2024·貴州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則的對稱中心為（

）A． B．C． D．5-6．（2024高三下·上海寶山·階段練習(xí)）已知，函數(shù)，的最小正周期為，將的圖像向左平移個單位長度，所得圖像關(guān)于軸對稱，則的值是．5-7．（2024·上海徐匯·三模）已知函數(shù)的對稱中心為，若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象共有6個交點，分別為，，…，，則.（六）函數(shù)的定義域、值域（最值）求三角函數(shù)的最值，通常要利用正、余弦函數(shù)的有界性，一般是通過三角變換化歸為下列基本類型處理．（1），設(shè)，化為一次函數(shù)在上的最值求解．（2），引入輔助角，化為，求解方法同類型（1）（3），設(shè)，化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解，也可以是或型．（4），設(shè)，則，故，故原函數(shù)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解．（5）與，根據(jù)正弦函數(shù)的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用數(shù)形結(jié)合法求最值．這里需要注意的是化為關(guān)于或的函數(shù)求解釋務(wù)必注意或的范圍．（6）導(dǎo)數(shù)法（7）權(quán)方和不等式題型6：函數(shù)的定義域、值域（最值）6-1．（2024高一下·上海靜安·期末）函數(shù)的定義域為．6-2．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則的值為（

）A．0 B．2 C．4 D．66-3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)對于，都有，則的最小值為（

）.A． B． C． D．6-4．（2024·河北邯鄲·一模）已知函數(shù)，如果存在實數(shù)，使得對任意的實數(shù)，都有成立，則的最小值為A． B． C． D．6-5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）實數(shù)滿足，則的范圍是.6-6．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)，則的最小值為.6-7．（2024高一·全國·單元測試）函數(shù)的值域為．（七）三角函數(shù)性質(zhì)的綜合三角函數(shù)的性質(zhì)（如奇偶性、周期性、單調(diào)性、對稱性）中，尤為重要的是對稱性．因為對稱性奇偶性（若函數(shù)圖像關(guān)于坐標原點對稱，則函數(shù)為奇函數(shù)；若函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱，則函數(shù)為偶函數(shù)）；對稱性周期性（相鄰的兩條對稱軸之間的距離是；相鄰的對稱中心之間的距離為；相鄰的對稱軸與對稱中心之間的距離為）；對稱性單調(diào)性（在相鄰的對稱軸之間，函數(shù)單調(diào)，特殊的，若，函數(shù)在上單調(diào)，且，設(shè)，則深刻體現(xiàn)了三角函數(shù)的單調(diào)性與周期性、對稱性之間的緊密聯(lián)系）題型7：三角函數(shù)性質(zhì)的綜合7-1．（2024·河北石家莊·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則下列說法錯誤的是（

）A．的值域為B．的單調(diào)遞減區(qū)間為C．為奇函數(shù)，D．不等式的解集為7-2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）

A．B．C．不等式的解集為D．將的圖象向右平移個單位長度后所得函數(shù)的圖象在上單調(diào)遞增一、單選題1．（2024高三上·廣東汕頭·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，如果，則的值是（

）A．-10 B．8 C．-8 D．-72．（2024·江西鷹潭·一模）已知的圖象向左平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，且的圖象關(guān)于y軸對稱，則的最小值為（

）A． B． C． D．3．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知，，是函數(shù)的兩個零點，且的最小值為，若將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關(guān)于原點對稱，則的最大值為（

）A． B． C． D．4．（2024·湖南·模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若對滿足的，總有的最小值等于，則（

）A． B． C． D．5．（2024·全國·模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖象上各點向右平移個單位長度得函數(shù)的圖象，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．6．（2024高三下·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到的函數(shù)的部分圖象如圖所示，則不等式的解集為（

）A．B．C．D．7．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若將的圖像向右平移個單位長度后圖象關(guān)于軸對稱，則實數(shù)的最小值為（

）A． B．C． D．8．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則“，”是“為偶函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．（2024·云南昆明·一模）已知函數(shù)，若存在，使得方程有三個不等的實根，，且，則（

）A． B． C． D．10．（2024·四川遂寧·一模）函數(shù)的圖象經(jīng)過點，將該函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，所得函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，則的最小值是（

）A． B． C．3 D．11．（2024·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù)為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．二、多選題12．（2024·海南?？凇つM預(yù)測）已知函數(shù)（）的圖象與函數(shù)的圖象的對稱中心完全相同，且在上，有極小值，則（

）A． B．C．函數(shù)是偶函數(shù) D．在上單調(diào)遞增13．（2024·廣東潮州·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，的最小正周期為，且過點，則下列正確的有（

）A．在單調(diào)遞減B．的一條對稱軸為C．的周期為D．把函數(shù)的圖象向左平移個長度單位得到函數(shù)的解析式為14．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，則（

）A．的最大值為2B．是偶函數(shù)C．在上單調(diào)遞增D．把的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象關(guān)于點對稱15．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則下列說法正確的有（

）A．若，則B．將的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關(guān)于軸對稱C．函數(shù)的最小正周期為D．若在上有且僅有3個零點，則的取值范圍為16．（2024高三上·海南·期末）已知函數(shù)，，恒成立，在上單調(diào)，則（

）A．B．將的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象C．D．若函數(shù)在上有5個零點，則17．（2024高三上·山東德州·階段練習(xí)）聲音是由物體振動產(chǎn)生的聲波，純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，我們聽到的聲音是由純音合成的，稱之為復(fù)合音.若一個復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．的最小正周期為C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．的最小值為118．（2024高三上·江蘇無錫·期中）已知函數(shù)，下列敘述正確的有（

）A．的周期為2π； B．是偶函數(shù)；C．在區(qū)間上單調(diào)遞減； D．x1，x2∈R，19．（2024·重慶·模擬預(yù)測）聲音是由于物體的振動產(chǎn)生的能引起聽覺的波，我們聽到的聲音多為復(fù)合音．若一個復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的一個周期為 B．的最小值為C．的圖象關(guān)于點對稱 D．在區(qū)間上有3個零點20．（2024高三上·河南三門峽·期末）已知函數(shù)滿足：，，則（

）A．的圖象關(guān)于直線對稱 B．函數(shù)是偶函數(shù)C．函數(shù)在上單調(diào)遞減 D．函數(shù)的值域為21．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，且有兩個零點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時， B．C．若，則 D．22．（2024·全國）已知函數(shù)的圖像關(guān)于點中心對稱，則（

）A．在區(qū)間單調(diào)遞減B．在區(qū)間有兩個極值點C．直線是曲線的對稱軸D．直線是曲線的切線三、填空題23．（2024高三·全國·課后作業(yè)）函數(shù)（）的圖像的相鄰兩支截直線所得線段長為，則的值是.24．（2024高三下·江西鷹潭·階段練習(xí)）函數(shù)的最小正周期是．25．（2024·四川遂寧·三模）已知函數(shù)，，，且，則=26．（2024高三下·上海松江·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的最小正周期是．27．（2024·上海·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的最小正周期是，則.28．（2024·陜西咸陽·一模）設(shè)函數(shù)相鄰兩條對稱軸之間的距離為，，則的最小值為．29．（2024高三上·上海浦東新·階段練習(xí)）函數(shù)的最小正周期為.30．（2024高三上·內(nèi)蒙古·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)（，，是常數(shù)，，）．若在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，則的最小正周期為．31．（2024高三·全國·對口高考）設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱，若，則.32．（2024·河南開封·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，那么的最小值為．33．（2024·全國·模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象.若函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則的最小值為.34．（2024高三上·江西吉安·期末）記函數(shù)（）的最小正周期為，且的圖象關(guān)于對稱，當(dāng)取最小值時，.35．（2024·四川瀘州·一模）寫出滿足條件“函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱”的的一個值．36．（2024高三上·全國·階段練習(xí)）已知函數(shù)圖象的一條對稱軸為．若,則的最大．37．（2024·河南·模擬預(yù)測）曲線的一個對稱中心為（答案不唯一）.38．（2024·河北·一模）函數(shù)的最小值為.39．（2024·湖北襄陽·模擬預(yù)測）若函數(shù)的最小值為，則常數(shù)的一個取值為.（寫出一個即可）40．（2024高三·全國·對口高考）的最小值為.41．（2024·上海嘉定·三模）若關(guān)于的方程在上有實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是.42．（2024·江西鷹潭·模擬預(yù)測）函數(shù)的值域為．43．（2024高一下·四川成都·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，則函數(shù)的值域為．44．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，則的最小值為.45．（2024高三·安徽亳州·階段練習(xí)）已知函數(shù)，該函數(shù)的最大值為．46．（2024高三下·江蘇蘇州·開學(xué)考試）設(shè)角、均為銳角，則的范圍是．47．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）函數(shù)的值域是.48．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)、且，求的取值范圍是.49．（2024高一下·遼寧·期中）函數(shù)的最大值為．50．（2024高一·全國·課后作業(yè)）函數(shù)的值域為.51．（2024·江西·模擬預(yù)測）函數(shù)的最大值為．52．（2024·全國）關(guān)于函數(shù)f（x）=有如下四個命題：①f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱．②f（x）的圖象關(guān)于原點對稱．③f（x）的圖象關(guān)于直線x=對稱．④f（x）的最小值為2．其中所有真命題的序號是．53．（2024·四川樂山·一模）函數(shù)上所有零點之和為.54．（2024·全國）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個零點，則的取值范圍是．55．（2024·全國）記函數(shù)的最小正周期為T，若，為的零點，則的最小值為．四、解答題56．（2024高一上·湖北武漢·期末）函數(shù).(1)請用五點作圖法畫出函數(shù)在上的圖象；（先列表，再畫圖）(2)設(shè)，，當(dāng)時，試研究函數(shù)的零點的情況.57．（2024·北京）設(shè)函數(shù)．(1)若，求的值．(2)已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數(shù)存在，求的值．條件①：；條件②：；條件③：在區(qū)間上單調(diào)遞減．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．58．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，其中，，且．(1)求的圖象的一個對稱中心的坐標；(2)若點在函數(shù)的圖象上，求函數(shù)的表達式．59．（2024高一下·北京·期中），，，(1)若，求的值；(2)若函數(shù)的最小正周期為①求的值；②當(dāng)時，對任意，不等式恒成立，求的取值范圍（2003·北京）已知函數(shù)，求的定義域，判斷它的奇偶性，并求其值域成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjshuxue加入百度網(wǎng)盤群1.5T一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動更新永不過期專題19三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)7題型分類1．用“五點法”作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖(1)在正弦函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象中，五個關(guān)鍵點是：(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．(2)在余弦函數(shù)y＝cosx，x∈[0,2π]的圖象中，五個關(guān)鍵點是：(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中k∈Z)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RR{x|x≠kπ＋eq\f(π,2)}值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))[2kπ－π，2kπ]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))單調(diào)遞減區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))[2kπ，2kπ＋π]對稱中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))對稱軸方程x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ3．對稱性與周期性(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是eq\f(1,2)個周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是eq\f(1,4)個周期．(2)正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是eq\f(1,2)個周期．4．奇偶性若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，則(1)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)．(2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ＝kπ(k∈Z)．（一）五點作圖法（1）在正弦函數(shù)，的圖象中，五個關(guān)鍵點是：．（2）在余弦函數(shù)，的圖象中，五個關(guān)鍵點是：．題型1：五點作圖法1-1．（2024高一下·北京·階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)用“五點作圖法”在給定坐標系中畫出函數(shù)在上的圖像；(2)求，的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)當(dāng)時，的取值范圍為，直接寫出m的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)遞增區(qū)間為(3)．【分析】（1）由，計算出的取值范圍，通過列表、描點、連線，可作出函數(shù)在上的圖象；（2）解不等式可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）利用（1）中的圖象結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）因為，當(dāng)時，，列表如下：0112001作圖如下：（2）因為，令，解得，令，解得，所以的遞增區(qū)間為（3），，又，由（1）的圖象可知，，的取值范圍是．1-2．（2024高一下·湖北·期中）要得到函數(shù)的圖象，可以從正弦函數(shù)或余弦函數(shù)圖象出發(fā)，通過圖象變換得到，也可以用“五點法”列表、描點、連線得到．(1)由圖象變換得到函數(shù)的圖象，寫出變換的步驟和函數(shù)；(2)用“五點法”畫出函數(shù)在區(qū)間上的簡圖．

【答案】(1)答案見解析(2)作圖見解析【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)圖象變換求解即可；（2）利用“五點法”畫出圖象.【詳解】（1）步驟1：把圖象上所有點向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象；步驟2：把圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變），得到函數(shù)的圖象；步驟3：最后把函數(shù)的圖象的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（橫坐標不變），得到函數(shù)的圖象．或者步驟1：步驟1：把圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變），得到函數(shù)的圖象；步驟2：把圖象上所有點向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象；步驟3：最后把函數(shù)的圖象的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（橫坐標不變），得到函數(shù)的圖象．（2）因為列表：

（二）函數(shù)的奇偶性由是奇函數(shù)和是偶函數(shù)可拓展得到關(guān)于三角函數(shù)奇偶性的重要結(jié)論：（1）若為奇函數(shù)，則；（2）若為偶函數(shù)，則；（3）若為奇函數(shù)，則；（4）若為偶函數(shù)，則；若為奇函數(shù)，則，該函數(shù)不可能為偶函數(shù)．題型2：函數(shù)的奇偶性2-1．（2024高一下·河南南陽·期中）下列6個函數(shù)：①，②，③，④，⑤，⑥，其中最小正周期為π的偶函數(shù)的編號為.【答案】①③⑤【分析】利用三角函數(shù)的圖象和圖象的變換可以得到各個函數(shù)的圖象，觀察圖象可得結(jié)論.【詳解】①，②，③，④，⑤，⑥都是偶函數(shù)，由函數(shù)的圖象如如所示，可知，，的最小正周期都是，，不是周期函數(shù)，，最小正周期為，

故答案為：①③⑤2-2．（2024高三·廣東·學(xué)業(yè)考試）函數(shù)是（

）A．最小正周期為π的奇函數(shù) B．最小正周期為π的偶函數(shù)C．最小正周期為的奇函數(shù) D．最小正周期為的偶函數(shù)【答案】D【分析】因為函數(shù)，由奇偶函數(shù)的定義結(jié)合求周期的公式即可得出答案.【詳解】解析：函數(shù)，故該函數(shù)為偶函數(shù)，且它的最小正周期為.故選：D.2-3．（2024高三·北京海淀·專題練習(xí)）函數(shù)，則（

）A．若，則為奇函數(shù) B．若，則為偶函數(shù)C．若，則為偶函數(shù) D．若，則為奇函數(shù)【答案】B【分析】根據(jù)選項中的關(guān)系，代入的解析式，對AD用特值說明不是奇函數(shù)，對BC用奇偶性的定義驗證即可.【詳解】的定義域為，對A：若，，若為奇函數(shù)，則，而不恒成立，故不是奇函數(shù)；對B：若，，，故為偶函數(shù)，B正確；對C：若，，，故不是偶函數(shù)，故C錯誤；對D：若，，若為奇函數(shù)，則，而不恒成立，故不是奇函數(shù)；故選：B2-4．（2024·貴州貴陽·模擬預(yù)測）使函數(shù)為偶函數(shù)，則的一個值可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，化簡，由為偶函數(shù)，求得，結(jié)合選項，即可求解.【詳解】由，因為為偶函數(shù)，可得，所以，令，可得.故選：A.2-5．（2024·湖北·模擬預(yù)測）函數(shù)的圖像向左平移個單位得到函數(shù)的圖像，若函數(shù)是偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圖像平移得函數(shù)的解析式，由函數(shù)是偶函數(shù)，解出，可得.【詳解】函數(shù)的圖像向左平移個單位，得的圖像，又函數(shù)是偶函數(shù)，則有，，解得，；所以.故選：C．2-6．（2024高三上·浙江·期末）將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到一個奇函數(shù)的圖象，則的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圖象平移求得平移后的函數(shù)解析式，根據(jù)三角函數(shù)是奇函數(shù)，即可求得.【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，則，取，則．故選：D（三）函數(shù)的周期性關(guān)于三角函數(shù)周期的幾個重要結(jié)論：（1）函數(shù)的周期分別為，．（2）函數(shù)，的周期均為（3）函數(shù)的周期均．題型3：函數(shù)的周期性3-1．（2024高三上·河北衡水·階段練習(xí)）下列函數(shù)中，最小正周期為的奇函數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先化簡各選項，由最小正周期的計算公式和奇、偶函數(shù)的定義對選項一一判斷即可求出答案.【詳解】對于A：最小正周期為，故A錯誤；對于B：，最小正周期，且為奇函數(shù)，故B正確；對于C：，最小正周期為的偶函數(shù)，故C錯誤；對于D：，則，故為偶函數(shù)，故D錯誤.故選：B3-2．（2024高三·全國·對口高考）函數(shù)的最小正周期是.【答案】【分析】化簡，求出的最小正周期，即可求出函數(shù)的最小正周期.【詳解】因為，因為的最小正周期為，所以函數(shù)最小正周期為.故答案為：.3-3．（2024高三上·河北·階段練習(xí)）函數(shù)的最小正周期為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，再結(jié)合平方關(guān)系及倍角公式和余弦函數(shù)的周期性即可得解.【詳解】解：，所以的最小正周期．故選：C．3-4．（2024高三下·北京密云·期中）設(shè)函數(shù)在的圖象大致如圖所示，則的最小正周期為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圖象先判斷出周期的大致范圍，再根據(jù)圖象過點可求解出，結(jié)合與周期的關(guān)系可得結(jié)果.【詳解】由圖象可知，，，解得.設(shè)函數(shù)的最小正周期為，易知，當(dāng)且僅當(dāng)時符合題意，此時,故選：A.3-5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù).則.【答案】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)值的特點,得到，，…，再求和即可.【詳解】由條件，可得，，…，共506組，所以.故答案為：1012.（四）函數(shù)的單調(diào)性三角函數(shù)的單調(diào)性，需將函數(shù)看成由一次函數(shù)和正弦函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的單調(diào)方法轉(zhuǎn)化為解一元一次不等式．如函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的確定基本思想是吧看做是一個整體，如由解出的范圍，所得區(qū)間即為增區(qū)間；由解出的范圍，所得區(qū)間即為減區(qū)間．若函數(shù)中，可用誘導(dǎo)公式將函數(shù)變?yōu)?，則的增區(qū)間為原函數(shù)的減區(qū)間，減區(qū)間為原函數(shù)的的增區(qū)間．對于函數(shù)的單調(diào)性的討論與以上類似處理即可．題型4：函數(shù)的單調(diào)性4-1．（2024·四川樂山·三模）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，所得圖象的函數(shù)（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞減 B．在區(qū)間上單調(diào)遞減C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】B【分析】結(jié)合函數(shù)的周期性可直接判斷AC，求出平移后相應(yīng)函數(shù)的解析式并化簡，結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)判斷BD．【詳解】函數(shù)的最小正周期是，選項AC中區(qū)間長度是一個周期，因此不可能單調(diào)，圖象左右平移后也不可能單調(diào)，AC錯；函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，所得圖象的函數(shù)解析式為，選項B，時，，在此區(qū)間上是減函數(shù)，B正確；選項D，時，，在此區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，D錯誤．故選：B．4-2．（2024·北京密云·三模）已知函數(shù)，則（

）A．在上單調(diào)遞減 B．在上單調(diào)遞增C．在上單調(diào)遞減 D．在上單調(diào)遞增【答案】C【分析】利用余弦函數(shù)的二倍角公式化簡得出，利用余弦型函數(shù)的單調(diào)性逐項判斷可得出合適的選項.【詳解】因為.對于A選項，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，A錯；對于B選項，當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故B錯；對于C選項，當(dāng)時，則在上單調(diào)遞減，C對；對于D選項，當(dāng)時，則在上單調(diào)遞減，故D錯.故選：C.4-3．（2024高一上·重慶江北·期末）的部分圖像如圖所示，則其單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先利用圖象得到周期，結(jié)合圖象的最高點和最低點即可得到對應(yīng)的減區(qū)間【詳解】由圖可得，即，結(jié)合圖象可得到在區(qū)間中，為最高點，對應(yīng)的橫坐標為，軸右側(cè)第一個最低點為，對應(yīng)的橫坐標為，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為故選：B4-4．（2024高一下·四川涼山·期中）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，由正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，列出不等式，求解即可得到結(jié)果.【詳解】令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：C（五）函數(shù)的對稱性（對稱軸、對稱中心）關(guān)于三角函數(shù)對稱的幾個重要結(jié)論；（1）函數(shù)的對稱軸為，對稱中心為；（2）函數(shù)的對稱軸為，對稱中心為；（3）函數(shù)函數(shù)無對稱軸，對稱中心為；（4）求函數(shù)的對稱軸的方法；令，得；對稱中心的求取方法；令，得，即對稱中心為．（5）求函數(shù)的對稱軸的方法；令得，即對稱中心為題型5：函數(shù)的對稱性（對稱軸、對稱中心）5-1．（2024高三·全國·課后作業(yè)）函數(shù)圖象的一個對稱中心的坐標是．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)正切型函數(shù)的對稱中心可直接求出答案.【詳解】令，解得,則圖象的對稱中心的坐標是．當(dāng)時，，則是圖像的一個對稱中心．故答案為：（答案不唯一）.5-2．（2024·新疆喀什·模擬預(yù)測）函數(shù)向左平移個單位長度之后關(guān)于對稱，則的最小值為.【答案】1【分析】先求平移后的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】向左平移個單位長度后，得，因為函數(shù)關(guān)于對稱，所以，,，，所以的最小值為1.故答案為：15-3．（2024·山東濟南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的最小正周期為，則的圖象關(guān)于（

）A．對稱 B．對稱 C．對稱 D．對稱【答案】B【分析】先通過最小正周期求出，再根據(jù)三角函數(shù)圖像的性質(zhì)判斷對稱軸與對稱中心即可.【詳解】因為函數(shù)的最小正周期為，由得，，即，，故不是對稱軸，也不是對稱中心；，故是對稱軸，不是對稱中心.故選：B5-4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，若，且直線為圖象的一條對稱軸，則的最小值為．【答案】5【分析】根據(jù)，可求得，再根據(jù)直線為圖象的一條對稱軸，結(jié)合正弦函數(shù)的對稱性即可求得.【詳解】由，得，又，解得，所以，又直線為圖象的一條對稱軸，則有，，化簡得，，又，故的最小值為5．故答案為：.5-5．（2024·貴州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則的對稱中心為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)圖象結(jié)合五點法求出，再令，即可求出的對稱中心.【詳解】由題意可得：，可得，所以，因為，所以，可得，所以，由，可得，因為，所以，，所以.令，可得，所以對稱中心為，故選：A.5-6．（2024高三下·上海寶山·階段練習(xí)）已知，函數(shù)，的最小正周期為，將的圖像向左平移個單位長度，所得圖像關(guān)于軸對稱，則的值是．【答案】/【分析】由周期求出，即可求出的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則得到平移后的解析式，最后根據(jù)對稱性得到的值.【詳解】，函數(shù)的最小正周期為，，．將的圖像向左平移個單位長度，可得的圖像，根據(jù)所得圖像關(guān)于軸對稱，可得，，解得，，又，則令，可得的值為．故答案為：．5-7．（2024·上海徐匯·三模）已知函數(shù)的對稱中心為，若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象共有6個交點，分別為，，…，，則.【答案】6【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合函數(shù)圖象的對稱性，確定6個交點的關(guān)系即可求解作答.【詳解】顯然函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱，依題意，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點關(guān)于點成中心對稱，于是，所以.故答案為：6（六）函數(shù)的定義域、值域（最值）求三角函數(shù)的最值，通常要利用正、余弦函數(shù)的有界性，一般是通過三角變換化歸為下列基本類型處理．（1），設(shè)，化為一次函數(shù)在上的最值求解．（2），引入輔助角，化為，求解方法同類型（1）（3），設(shè)，化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解，也可以是或型．（4），設(shè)，則，故，故原函數(shù)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解．（5）與，根據(jù)正弦函數(shù)的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用數(shù)形結(jié)合法求最值．這里需要注意的是化為關(guān)于或的函數(shù)求解釋務(wù)必注意或的范圍．（6）導(dǎo)數(shù)法（7）權(quán)方和不等式題型6：函數(shù)的定義域、值域（最值）6-1．（2024高一下·上海靜安·期末）函數(shù)的定義域為．【答案】【分析】定義域滿足.【詳解】的定義域滿足，即.故答案為：.6-2．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則的值為（

）A．0 B．2 C．4 D．6【答案】B【分析】依題意可得，令，，即可得到是奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)計算可得；【詳解】解:，令，，于是，所以是奇函數(shù)，從而的最大值G與最小值g的和為0，而.故選：B6-3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)對于，都有，則的最小值為（

）.A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，分別是取得最小值和最大值時對應(yīng)自變量的取值，結(jié)合函數(shù)周期即可容易求得結(jié)果.【詳解】∵恒成立，∴是函數(shù)的最小值，是函數(shù)的最大值，即、是函數(shù)的兩條對稱軸，則的最小值為.故選：C.【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)周期性求值，屬基礎(chǔ)題；注意對題干的理解.6-4．（2024·河北邯鄲·一模）已知函數(shù)，如果存在實數(shù)，使得對任意的實數(shù)，都有成立，則的最小值為A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：因為，設(shè)的最小正周期為，則，所以的最小值為，故選C.考點：三角函數(shù)的周期和最值．6-5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）實數(shù)滿足，則的范圍是.【答案】【分析】由題可得，故由三角換元可得答案.【詳解】.故令，.則原式，故.故答案為：.6-6．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)，則的最小值為.【答案】【分析】利用換元法求解，設(shè)把轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的知識可得答案.【詳解】設(shè)，由，得，又由，得，所以，令，，當(dāng)時，時，即當(dāng)時，原函數(shù)取到最小值.故答案為：.【點睛】此題屬于局部換元法，設(shè)后，抓住與的內(nèi)在聯(lián)系，將三角函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題，使得容易求解.換元過程中一定要注意新的參數(shù)的范圍（）與對應(yīng)，否則將會出錯.本題解法中還包含了含參問題時分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，即由對稱軸與閉區(qū)間的位置關(guān)系而確定參數(shù)分兩種情況進行討論.一般地，在遇到題目已知和未知中含有與的和、差、積等而求三角式的最大值和最小值的題型時，即函數(shù)為，經(jīng)常用到這樣設(shè)元的換元法，轉(zhuǎn)化為在閉區(qū)間上的二次函數(shù)或一次函數(shù)的研究.6-7．（2024高一·全國·單元測試）函數(shù)的值域為．【答案】【分析】利用通過換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為含未知量的函數(shù)，再解出函數(shù)的值域即為函數(shù)的值域.【詳解】令，，則，即，所以，又因為，所以，即函數(shù)的值域為．故答案為：.（七）三角函數(shù)性質(zhì)的綜合三角函數(shù)的性質(zhì)（如奇偶性、周期性、單調(diào)性、對稱性）中，尤為重要的是對稱性．因為對稱性奇偶性（若函數(shù)圖像關(guān)于坐標原點對稱，則函數(shù)為奇函數(shù)；若函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱，則函數(shù)為偶函數(shù)）；對稱性周期性（相鄰的兩條對稱軸之間的距離是；相鄰的對稱中心之間的距離為；相鄰的對稱軸與對稱中心之間的距離為）；對稱性單調(diào)性（在相鄰的對稱軸之間，函數(shù)單調(diào)，特殊的，若，函數(shù)在上單調(diào)，且，設(shè)，則深刻體現(xiàn)了三角函數(shù)的單調(diào)性與周期性、對稱性之間的緊密聯(lián)系）題型7：三角函數(shù)性質(zhì)的綜合7-1．（2024·河北石家莊·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則下列說法錯誤的是（

）A．的值域為B．的單調(diào)遞減區(qū)間為C．為奇函數(shù)，D．不等式的解集為【答案】D【分析】首先化簡函數(shù)，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷選項.【詳解】因為，所以，所以，故選項A正確；由得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選項B正確；所以，所以為奇函數(shù)，故選項C正確；由得，即所以，所以不等式的解集為，故選項D錯誤.故選：D.7-2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）

A．B．C．不等式的解集為D．將的圖象向右平移個單位長度后所得函數(shù)的圖象在上單調(diào)遞增【答案】C【分析】由圖象求出的表達式后逐一驗證選項即可.【詳解】由函數(shù)圖象可知，最小正周期為，所以，將點代入，得，又，所以，故，故A錯誤；所以，故B錯誤；令，則，所以，，解得，，所以不等式的解集為，故C正確；將的圖象向右平移個單位長度后，得到的圖象，令，，解得，，令得，因為，故D錯誤.故選：C.一、單選題1．（2024高三上·廣東汕頭·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，如果，則的值是（

）A．-10 B．8 C．-8 D．-7【答案】B【解析】令，由奇函數(shù)定義可知，化簡計算可求得結(jié)果.【詳解】令,則，所以，由可知，，即，，故選：B.【點睛】本題考查奇函數(shù)性質(zhì)，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.2．（2024·江西鷹潭·一模）已知的圖象向左平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，且的圖象關(guān)于y軸對稱，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】化簡，根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換可得的表達式，結(jié)合其性質(zhì)，求得的表達式，即可求得答案.【詳解】由題意可得，故，由于的圖象關(guān)于y軸對稱，則為偶函數(shù)，故,即，故的最小值為，故選：B3．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知，，是函數(shù)的兩個零點，且的最小值為，若將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關(guān)于原點對稱，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知得函數(shù)的周期，求出，再利用圖像的平移變換規(guī)律寫出函數(shù)平移后的解析式，再利用函數(shù)關(guān)于原點對稱，列出等式即可得到結(jié)果.【詳解】由題意知函數(shù)的最小正周期，則，得，.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象，要使該圖象關(guān)于原點對稱，則，，所以，，又，所以當(dāng)時，取得最大值，最大值為．故選：A【點睛】思路點睛：先根據(jù)正切函數(shù)圖象的特征求出函數(shù)的最小正周期，進而求出，然后根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換得到平移后的函數(shù)圖象的解析式，最后利用正切函數(shù)圖象的對稱中心建立方程求解即可，考查學(xué)生的邏輯思維能力、運算求解能力，屬于中檔題.4．（2024·湖南·模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若對滿足的，總有的最小值等于，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)圖象平移規(guī)律可得函數(shù)的圖象，由、設(shè)，則，分別利用、，求出可得答案.【詳解】函數(shù)的周期為，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，可得，由可知，兩個函數(shù)的最大值與最小值的差為2，且，不妨設(shè)，則，即在時取得最小值，由于，此時，不合題意；，此時，當(dāng)時，滿足題意.故選：C.5．（2024·全國·模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖象上各點向右平移個單位長度得函數(shù)的圖象，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先由圖象平移變換得到，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】將的圖象向右平移個單位長度后，得到，即的圖象，令，，解得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，.故選：C.6．（2024高三下·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到的函數(shù)的部分圖象如圖所示，則不等式的解集為（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】由函數(shù)圖象可求出的解析式，向右平移個單位可得的解析式，利用余弦函數(shù)的圖象解不等式即可.【詳解】設(shè)函數(shù)的圖象向左平移單位長度后得到的函數(shù)圖象對應(yīng)的函數(shù)為，由圖可知，函數(shù)的圖象的最小正周期為，所以，所以，由，得，，，所以，，取，得，所以，所以，所以由，得，即，所以，，即，，所以不等式的解集為（），故選：C【點睛】易錯點點睛：圖象變換的兩種方法的區(qū)別，由的圖象，利用圖象變換作函數(shù)的圖象，要特別注意：當(dāng)周期變換和相位變換的先后順序不同時，原圖象沿x軸的伸縮量的區(qū)別．先平移變換再周期變換(伸縮變換)，平移的量是|φ|個單位，而先周期變換(伸縮變換)再平移變換，平移的量是個單位．7．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若將的圖像向右平移個單位長度后圖象關(guān)于軸對稱，則實數(shù)的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)題意寫出平移后的解析式后，根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性可得.【詳解】的圖像向右平移個單位長度后，變?yōu)?，因的圖象關(guān)于軸對稱，所以為偶函數(shù)，所以，,即，,因，所以，故當(dāng)時，實數(shù)取得最小值為，故選：B8．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則“，”是“為偶函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由余弦函數(shù)的性質(zhì)，分別驗證充分性與必要性即可.【詳解】函數(shù)，當(dāng)時，，為偶函數(shù)，所以充分性成立；為偶函數(shù)時，，解得，不能得到，所以必要性不成立.故“，”是“為偶函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A9．（2024·云南昆明·一模）已知函數(shù)，若存在，使得方程有三個不等的實根，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用輔助角公式變形為，畫出圖像，找到兩函數(shù)交點位置，求出結(jié)果即可.【詳解】，最小正周期為，作出的圖像，

可知當(dāng)時，有三個根，所以，即或，解得根分別為，又因為，所以，故選：B.10．（2024·四川遂寧·一模）函數(shù)的圖象經(jīng)過點，將該函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，所得函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，則的最小值是（

）A． B． C．3 D．【答案】A【分析】由求，再根據(jù)平移變換求出平移后的解析式，然后根據(jù)對稱性即可求解.【詳解】因為函數(shù)的圖象經(jīng)過點，所以，又，所以，將的圖象向右平移個單位長度后，所得函數(shù)圖象的解析式為，因為的函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，所以，得，因為，所以當(dāng)時，取得最小值.故選：A11．（2024·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù)為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分0在定義域內(nèi)和0不在定義域內(nèi)兩種情況進行討論即可求得答案.【詳解】若0在定義域內(nèi)，由時，得，；若0不在定義域內(nèi)，由時，無意義，得．綜上，．故選：C．二、多選題12．（2024·海南?？凇つM預(yù)測）已知函數(shù)（）的圖象與函數(shù)的圖象的對稱中心完全相同，且在上，有極小值，則（

）A． B．C．函數(shù)是偶函數(shù) D．在上單調(diào)遞增【答案】AD【分析】根據(jù)函數(shù)與的最小正周期相同，求得，經(jīng)驗證求得，再求出值，再對各個選項逐項驗證.【詳解】由題意，函數(shù)與的最小正周期相同，則，且.當(dāng)時，，其一個對稱中心為，也是的一個對稱中心，所以，所以，，又，所以，所以，，，有極大值，無極小值，不合題意；當(dāng)時，，其一個對稱中心為，也是的一個對稱中心，所以，所以，，又，所以，所以，，，有極小值，滿足題意.，，A項正確，B項不正確；，不是偶函數(shù)，C項不正確；當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，D項正確.故選：AD13．（2024·廣東潮州·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，的最小正周期為，且過點，則下列正確的有（

）A．在單調(diào)遞減B．的一條對稱軸為C．的周期為D．把函數(shù)的圖象向左平移個長度單位得到函數(shù)的解析式為【答案】AB【分析】利用輔助角公式將函數(shù)化簡，根據(jù)周期求出，再根據(jù)函數(shù)過點求出，即可得到函數(shù)解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】根據(jù)輔助角公式得．最小正周期為，，，即．函數(shù)過點，，，則．當(dāng)時．即．令，則，當(dāng)時，在單調(diào)遞減，故A正確．令，則，當(dāng)時，的一條對稱軸為，故B正確．因為為偶函數(shù)，所以，則的周期為且，故C錯誤．函數(shù)的圖象向左平移個長度單位得到函數(shù)的解析式為，故D錯誤．故選：AB．14．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，則（

）A．的最大值為2B．是偶函數(shù)C．在上單調(diào)遞增D．把的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象關(guān)于點對稱【答案】AB【分析】依題意可求出，從而可得，結(jié)合函數(shù)的圖象性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】因為函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，所以，解得，所以，其最大值為2，故A正確；令，定義域為，，所以即是偶函數(shù)，故B正確；時，，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故C錯誤；把的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，因為，所以的圖象不關(guān)于點對稱，故D錯誤.故選：AB15．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則下列說法正確的有（

）A．若，則B．將的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關(guān)于軸對稱C．函數(shù)的最小正周期為D．若在上有且僅有3個零點，則的取值范圍為【答案】ABD【分析】對A：必有一個最大值和一個最小值可求；對B：求出平移后函數(shù)解析式判斷是否為偶函數(shù)；對C：化簡后求周期；對D：求出的范圍，數(shù)據(jù)正弦曲線的圖象列出滿足的不等式并求解.【詳解】由，故必有一個最大值和一個最小值，則為半個周期長度，故正確；由題意的圖象關(guān)于軸對稱，B正確；的最小正周期為C錯誤.，在上有且僅在3個零點，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)知：，則，D正確；故選：ABD16．（2024高三上·海南·期末）已知函數(shù)，，恒成立，在上單調(diào)，則（

）A．B．將的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象C．D．若函數(shù)在上有5個零點，則【答案】AB【分析】由題意求出，可判斷A；由三角函數(shù)的平移變化可判斷B；求出可判斷C；令，即與的圖象有5個交點，畫出與的圖象即可判斷D.【詳解】因為，所以是函數(shù)的一個零點，所以①，又因為對恒成立，所以時取得最小值，即②，則①減②可得：，又因為在上單調(diào)，所以，則，結(jié)合，所以，所以，，則，，又因為，所以，故A正確；所以，將的圖象向左平移個單位長度后得到，故B正確；，故C錯誤；函數(shù)在上有5個零點，令，即與的圖象有5個交點，畫出與的圖象如下，

，，由圖可知，當(dāng)時，與的圖象有5個交點，即函數(shù)在上有5個零點,故D錯誤.故選：AB17．（2024高三上·山東德州·階段練習(xí)）聲音是由物體振動產(chǎn)生的聲波，純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，我們聽到的聲音是由純音合成的，稱之為復(fù)合音.若一個復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．的最小正周期為C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．的最小值為1【答案】BC【分析】由奇函數(shù)的定義即可判斷A；容易驗證π是函數(shù)的周期，進而判斷B；當(dāng)時，用輔助角公式將函數(shù)化簡，即可判斷C；先考慮時，再分和兩種情況，求出函數(shù)的最小值，再根據(jù)函數(shù)的周期，即可求出函數(shù)在R上的最小值.【詳解】因為，，所以是偶函數(shù)，A正確；顯然是周期函數(shù)，因為，所以B錯誤；因為當(dāng)時，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，C錯誤；因為當(dāng)時，設(shè)，則，同理：當(dāng)時，，由B中解答知，是的周期，所以的最小值為1，D正確.故選：BC.18．（2024高三上·江蘇無錫·期中）已知函數(shù)，下列敘述正確的有（

）A．的周期為2π； B．是偶函數(shù)；C．在區(qū)間上單調(diào)遞減； D．x1，x2∈R，【答案】BC【分析】AB選項，可以分別研究與的奇偶性和周期性，從而判斷的周期性和奇偶性；C選項，在區(qū)間上，化簡整理得到，，進而得到在區(qū)間的單調(diào)性；D選項可以取特殊值代入，證明其不成立.【詳解】是偶函數(shù)，不是周期函數(shù)，是偶函數(shù)，是周期函數(shù)，最小正周期為，故不是周期函數(shù)，A錯誤，B正確；當(dāng)時，，因為，在次區(qū)間上單調(diào)遞減，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，C正確；當(dāng)時，，，，即，D選項錯誤.故選：BC19．（2024·重慶·模擬預(yù)測）聲音是由于物體的振動產(chǎn)生的能引起聽覺的波，我們聽到的聲音多為復(fù)合音．若一個復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的一個周期為 B．的最小值為C．的圖象關(guān)于點對稱 D．在區(qū)間上有3個零點【答案】ACD【分析】A代入周期的定義，即可判斷；B分別比較兩個函數(shù)分別取得最小值的值，即可判斷；C代入對稱性的公式，即可判斷；D根據(jù)零點的定義，解方程，即可判斷.【詳解】選項A：故的一個周期為，A正確.選項B：，當(dāng)，時，取得最小值，，當(dāng)，時即，時，取得最小值，所以兩個函數(shù)不可能同時取得最小值，所以的最小值不是，故B錯誤.選項C：，，所以，所以的圖象關(guān)于點對稱，C正確，選項D：，得，或，得，或，，故區(qū)間中的根為，，，故D正確.故選：ACD20．（2024高三上·河南三門峽·期末）已知函數(shù)滿足：，，則（

）A．的圖象關(guān)于直線對稱 B．函數(shù)是偶函數(shù)C．函數(shù)在上單調(diào)遞減 D．函數(shù)的值域為【答案】AD【分析】化簡后結(jié)合題意可得的取值集合，再結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷即可得.【詳解】，由，故，即，由，故，即，則有，即，故、、、，當(dāng)時，，由函數(shù)關(guān)于直線對稱，故的圖象關(guān)于直線對稱，故A正確；，由為奇函數(shù)，故函數(shù)為奇函數(shù)，故B錯誤；當(dāng)時，，取時，即，函數(shù)并不單調(diào)遞減，故C錯誤；由，故，故D正確.故選：AD.21．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，且有兩個零點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時， B．C．若，則 D．【答案】ACD【分析】A選項，作單位圓，利用面積得到；BC選項，畫出，，且與的函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合判斷BC選項；D選項，由，推出，根據(jù)零點范圍可得符號判斷.【詳解】A選項，設(shè)，作出單位圓，與軸交于點，則，過點作垂直于軸，交射線于點，連接，由三角函數(shù)定義可知，，設(shè)扇形的面積為，則，即，故，當(dāng)時，有不等式，A正確；B選項，畫出，，且與的函數(shù)圖象，如下：可以看出，，故，B不正確；C選項，的最小正周期為，由圖象可知，故，C正確；D選項，由，，因為，，故，而，但，且在為增函數(shù)，故，故，D正確．故選：ACD．【點睛】思路點睛：處理函數(shù)零點問題思路：（1）利用方程思想，如一次函數(shù)，二次函數(shù)等，可令函數(shù)值為0，直接進行求解；（2）轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點問題來解決；（3）研究函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理來進行求解.22．（2024·全國）已知函數(shù)的圖像關(guān)于點中心對稱，則（

）A．在區(qū)間單調(diào)遞減B．在區(qū)間有兩個極值點C．直線是曲線的對稱軸D．直線是曲線的切線【答案】AD【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個判斷各選項，即可解出．【詳解】由題意得：，所以，，即，又，所以時，，故．對A，當(dāng)時，，由正弦函數(shù)圖象知在上是單調(diào)遞減；對B，當(dāng)時，，由正弦函數(shù)圖象知只有1個極值點，由，解得，即為函數(shù)的唯一極值點；對C，當(dāng)時，，，直線不是對稱軸；對D，由得：，解得或,從而得：或,所以函數(shù)在點處的切線斜率為，切線方程為：即．故選：AD．三、填空題23．（2024高三·全國·課后作業(yè)）函數(shù)（）的圖像的相鄰兩支截直線所得線段長為，則的值是.【答案】【分析】根據(jù)正切型函數(shù)的周期公式進行求解即可.【詳解】因為函數(shù)（）的圖像的相鄰兩支截直線所得線段長為，所以該函數(shù)的最小正周期為，因為，所以，即，因此，故答案為：24．（2024高三下·江西鷹潭·階段練習(xí)）函數(shù)的最小正周期是．【答案】【分析】根據(jù)二倍角公式以及輔助角公式化簡，即可由周期公式求解.【詳解】所以最小正周期為，故答案為：25．（2024·四川遂寧·三模）已知函數(shù)，，，且，則=【答案】/0.5【分析】利用三角恒等變換化簡函數(shù)解析式為，分析可知函數(shù)的最小正周期為，利用正弦型函數(shù)的周期公式即可求得的最小值.【詳解】因為，另外，，且，所以，函數(shù)的最小正周期滿足，則，所以，，故當(dāng)時，取最小值.故答案為：26．（2024高三下·上海松江·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的最小正周期是．【答案】【分析】根據(jù)三角恒等變換化簡函數(shù)解析式，進而可得函數(shù)的最小正周期.【詳解】，故，故答案為：．27．（2024·上?！つM預(yù)測）已知函數(shù)的最小正周期是，則.【答案】4【分析】根據(jù)三角恒等變換化簡三角函數(shù)，然后利用周期計算公式列方程，解方程即可求值【詳解】，所以最小正周期是，所以.故答案為：428．（2024·陜西咸陽·一模）設(shè)函數(shù)相鄰兩條對稱軸之間的距離為，，則的最小值為．【答案】/【分析】根據(jù)給定的條件，求出函數(shù)的周期，進而求出，再利用最值求出的表達式作答.【詳解】因為函數(shù)相鄰兩條對稱軸之間的距離為，則函數(shù)的周期，，又，因此，即，所以當(dāng)時，.故答案為：29．（2024高三上·上海浦東新·階段練習(xí)）函數(shù)的最小正周期為.【答案】【分析】根據(jù)二倍角公式，結(jié)合周期公式求解即可.【詳解】解：，所以，其最小正周期為.故答案為：30．（2024高三上·內(nèi)蒙古·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)（，，是常數(shù)，，）．若在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，則的最小正周期為．【答案】/【分析】根據(jù)單調(diào)性、對稱性來求得的最小正周期.【詳解】在區(qū)間上具有單調(diào)性，區(qū)間的長度為，區(qū)間的長度為，由于，所以的一條對稱軸為，其相鄰一個對稱中心為，即，所以.故答案為：31．（2024高三·全國·對口高考）設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱，若，則.【答案】【分析】先根據(jù)對稱性列方程，再根據(jù)范圍確定結(jié)果【詳解】因為函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱，所以，所以，所以因為，所以時，.故答案為：32．（2024·河南開封·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，那么的最小值為．【答案】【分析】代入余弦函數(shù)的零點滿足的公式判斷即可.【詳解】的圖象關(guān)于點對稱，，即，令，可得的最小值為．故答案為：33．（2024·全國·模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象.若函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象平移結(jié)論求得，再根據(jù)的圖象關(guān)于關(guān)于點對稱，列方程即可求解.【詳解】由題可得，的圖象關(guān)于點對稱，所以，解得，，故的最小值為.故答案為：.34．（2024高三上·江西吉安·期末）記函數(shù)（）的最小正周期為，且的圖象關(guān)于對稱，當(dāng)取最小值時，.【答案】/【分析】根據(jù)對稱軸可得，可得（），結(jié)合題意可得的最小值為4，即可求，代入運算求解.【詳解】由的圖象關(guān)于對稱，則，，∴（），又∵，∴當(dāng)，的最小值為4，此時，，∴.故答案為：.35．（2024·四川瀘州·一模）寫出滿足條件“函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱”的的一個值．【答案】（答案不唯一，滿足即可）【分析】以為整體，結(jié)合余弦函數(shù)的對稱軸運算求解.【詳解】由題意可得：，則，當(dāng)時，.故答案為：.36．（2024高三上·全國·階段練習(xí)）已知函數(shù)圖象的一條對稱軸為．若,則的最大．【答案】【分析】先根據(jù)對稱軸求出的表達式，再結(jié)合范圍求最大值【詳解】由題知.所以因為,所以當(dāng)取最大值故答案為：37．（2024·河南·模擬預(yù)測）曲線的一個對稱中心為（答案不唯一）.【答案】（答案不唯一）【分析】首先化簡函數(shù)，再根據(jù)正切函數(shù)的對稱中心公式求解.【詳解】，令或，則或，令，則.所以函數(shù)的一個對稱中心是.故答案為：（答案不唯一）.38．（2024·河北·一模）函數(shù)的最小值為.【答案】/【分析】根據(jù)二倍角公式化簡，即可求解最值.【詳解】因為，所以當(dāng)時，，此時的最小值為.故答案為：39．（2024·湖北襄陽·模擬預(yù)測）若函數(shù)的最小值為，則常數(shù)的一個取值為.（寫出一個即可）【答案】（答案不唯一）.【分析】化簡函數(shù)解析式，由條件結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求常數(shù)的一個取值即可.【詳解】可化為，所以，設(shè)，則，設(shè)，則，因為函數(shù)的最小值為，所以，，所以或，其中，故答案為：（答案不唯一）.40．（2024高三·全國·對口高考）的最小值為.【答案】【分析】利用二倍角公式、輔助角化簡函數(shù)的解析式為，由此求得函數(shù)的最小值．【詳解】，所以當(dāng)，時，取得最小值.故答案為：．41．（2024·上海嘉定·三模）若關(guān)于的方程在上有實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】利用二倍角公式及輔助角公式化簡，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)判定值域即可.【詳解】原方程等價于即函數(shù)，在上有交點，∵，∴，，故，則.故答案為：42．（2024·江西鷹潭·模擬預(yù)測）函數(shù)的值域為．【答案】【分析】用余弦的二倍角公式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域.【詳解】因為，又，所以，則，即函數(shù)的值域為.故答案為：.43．（2024高一下·四川成都·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，則函數(shù)的值域為．【答案】【分析】根據(jù)的范圍，得的范圍，數(shù)形結(jié)合可得的范圍，從而可得函數(shù)的值域.【詳解】當(dāng)時，，則，所以，所以函數(shù)的值域為.故答案為：44．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，則的最小值為.【答案】【分析】先利用三角恒等變換將函數(shù)表達式化簡為正弦型函數(shù)，再求函數(shù)最小值即可.【詳解】.因為，所以，所以，所以，即函數(shù)的最小值為.故答案為：.45．（2024高三·安徽亳州·階段練習(xí)）已知函數(shù)，該函數(shù)的最大值為．【答案】【分析】化簡函數(shù)，令且，則，求得，得出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性與極值，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，令且，則，從而，令，解得或，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減．因為，，所以的最大值為.故答案為：.46．（2024高三下·江蘇蘇州·開學(xué)考試）設(shè)角、均為銳角，則的范圍是．【答案】【分析】由將函數(shù)化為，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最小值，再由柯西不等式求出函數(shù)的最大值，即可得出答案.【詳解】因為角、均為銳角，所以的范圍均為，所以，所以因為，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，令，，，所以.則的范圍是：.故答案為：47．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）函數(shù)的值域是.【答案】【分析】利用二倍角公式表示，配方，結(jié)合的范圍進行求解.【詳解】因為又因為,所以當(dāng)時,取得最小值-1,當(dāng)時,取得最大值2,故的值域是.故答案為：48．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)、且，求的取值范圍是.【答案】【分析】解法一：利用條件，將轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，進而可確定的范圍．解法二：由得，設(shè)，則，再結(jié)合余弦函數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】解法一：，，可得．，令，，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，即，的取值范圍是．解法二：由得，設(shè)，即，則令，，，，顯然在上單調(diào)遞增，所以，即，所以的取值范圍是.故答案為：49．（2024高一下·遼寧·期中）函數(shù)的最大值為．【答案】2【分析】由題知，，進而得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，再求最大值即可.【詳解】解：，其中，，.∵，，∴，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∵∴當(dāng)時，取得最大值．故