備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)全套考點(diǎn)突破和專(zhuān)題檢測(cè)專(zhuān)題19三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)7題型分類(lèi)(原卷版+解析)

專(zhuān)題19三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)7題型分類(lèi)1．用“五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖(1)在正弦函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．(2)在余弦函數(shù)y＝cosx，x∈[0,2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中k∈Z)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RR{x|x≠kπ＋eq\f(π,2)}值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))[2kπ－π，2kπ]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))單調(diào)遞減區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))[2kπ，2kπ＋π]對(duì)稱(chēng)中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))對(duì)稱(chēng)軸方程x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ3．對(duì)稱(chēng)性與周期性(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對(duì)稱(chēng)中心、相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸之間的距離是eq\f(1,2)個(gè)周期，相鄰的對(duì)稱(chēng)中心與對(duì)稱(chēng)軸之間的距離是eq\f(1,4)個(gè)周期．(2)正切曲線相鄰兩對(duì)稱(chēng)中心之間的距離是eq\f(1,2)個(gè)周期．4．奇偶性若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，則(1)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)．(2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ＝kπ(k∈Z)．（一）五點(diǎn)作圖法（1）在正弦函數(shù)，的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：．（2）在余弦函數(shù)，的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：．題型1：五點(diǎn)作圖法1-1．（2024高一下·北京·階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)用“五點(diǎn)作圖法”在給定坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)在上的圖像；(2)求，的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)當(dāng)時(shí)，的取值范圍為，直接寫(xiě)出m的取值范圍.1-2．（2024高一下·湖北·期中）要得到函數(shù)的圖象，可以從正弦函數(shù)或余弦函數(shù)圖象出發(fā)，通過(guò)圖象變換得到，也可以用“五點(diǎn)法”列表、描點(diǎn)、連線得到．(1)由圖象變換得到函數(shù)的圖象，寫(xiě)出變換的步驟和函數(shù)；(2)用“五點(diǎn)法”畫(huà)出函數(shù)在區(qū)間上的簡(jiǎn)圖．

（二）函數(shù)的奇偶性由是奇函數(shù)和是偶函數(shù)可拓展得到關(guān)于三角函數(shù)奇偶性的重要結(jié)論：（1）若為奇函數(shù)，則；（2）若為偶函數(shù)，則；（3）若為奇函數(shù)，則；（4）若為偶函數(shù)，則；若為奇函數(shù)，則，該函數(shù)不可能為偶函數(shù)．題型2：函數(shù)的奇偶性2-1．（2024高一下·河南南陽(yáng)·期中）下列6個(gè)函數(shù)：①，②，③，④，⑤，⑥，其中最小正周期為π的偶函數(shù)的編號(hào)為.2-2．（2024高三·廣東·學(xué)業(yè)考試）函數(shù)是（

）A．最小正周期為π的奇函數(shù) B．最小正周期為π的偶函數(shù)C．最小正周期為的奇函數(shù) D．最小正周期為的偶函數(shù)2-3．（2024高三·北京海淀·專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)，則（

）A．若，則為奇函數(shù) B．若，則為偶函數(shù)C．若，則為偶函數(shù) D．若，則為奇函數(shù)2-4．（2024·貴州貴陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）使函數(shù)為偶函數(shù)，則的一個(gè)值可以是（

）A． B． C． D．2-5．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖像，若函數(shù)是偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．2-6．（2024高三上·浙江·期末）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到一個(gè)奇函數(shù)的圖象，則的取值可以是（

）A． B． C． D．（三）函數(shù)的周期性關(guān)于三角函數(shù)周期的幾個(gè)重要結(jié)論：（1）函數(shù)的周期分別為，．（2）函數(shù)，的周期均為（3）函數(shù)的周期均．題型3：函數(shù)的周期性3-1．（2024高三上·河北衡水·階段練習(xí)）下列函數(shù)中，最小正周期為的奇函數(shù)是（

）A． B．C． D．3-2．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）函數(shù)的最小正周期是.3-3．（2024高三上·河北·階段練習(xí)）函數(shù)的最小正周期為（

）A． B． C． D．3-4．（2024高三下·北京密云·期中）設(shè)函數(shù)在的圖象大致如圖所示，則的最小正周期為（

）A． B．C． D．3-5．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù).則.（四）函數(shù)的單調(diào)性三角函數(shù)的單調(diào)性，需將函數(shù)看成由一次函數(shù)和正弦函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的單調(diào)方法轉(zhuǎn)化為解一元一次不等式．如函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的確定基本思想是吧看做是一個(gè)整體，如由解出的范圍，所得區(qū)間即為增區(qū)間；由解出的范圍，所得區(qū)間即為減區(qū)間．若函數(shù)中，可用誘導(dǎo)公式將函數(shù)變?yōu)?，則的增區(qū)間為原函數(shù)的減區(qū)間，減區(qū)間為原函數(shù)的的增區(qū)間．對(duì)于函數(shù)的單調(diào)性的討論與以上類(lèi)似處理即可．題型4：函數(shù)的單調(diào)性4-1．（2024·四川樂(lè)山·三模）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象的函數(shù)（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞減 B．在區(qū)間上單調(diào)遞減C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增4-2．（2024·北京密云·三模）已知函數(shù)，則（

）A．在上單調(diào)遞減 B．在上單調(diào)遞增C．在上單調(diào)遞減 D．在上單調(diào)遞增4-3．（2024高一上·重慶江北·期末）的部分圖像如圖所示，則其單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B．C． D．4-4．（2024高一下·四川涼山·期中）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．（五）函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性（對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)中心）關(guān)于三角函數(shù)對(duì)稱(chēng)的幾個(gè)重要結(jié)論；（1）函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，對(duì)稱(chēng)中心為；（2）函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，對(duì)稱(chēng)中心為；（3）函數(shù)函數(shù)無(wú)對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)中心為；（4）求函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸的方法；令，得；對(duì)稱(chēng)中心的求取方法；令，得，即對(duì)稱(chēng)中心為．（5）求函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸的方法；令得，即對(duì)稱(chēng)中心為題型5：函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性（對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)中心）5-1．（2024高三·全國(guó)·課后作業(yè)）函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)是．5-2．（2024·新疆喀什·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度之后關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則的最小值為.5-3．（2024·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的最小正周期為，則的圖象關(guān)于（

）A．對(duì)稱(chēng) B．對(duì)稱(chēng) C．對(duì)稱(chēng) D．對(duì)稱(chēng)5-4．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，若，且直線為圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，則的最小值為．5-5．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則的對(duì)稱(chēng)中心為（

）A． B．C． D．5-6．（2024高三下·上海寶山·階段練習(xí)）已知，函數(shù)，的最小正周期為，將的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則的值是．5-7．（2024·上海徐匯·三模）已知函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為，若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象共有6個(gè)交點(diǎn)，分別為，，…，，則.（六）函數(shù)的定義域、值域（最值）求三角函數(shù)的最值，通常要利用正、余弦函數(shù)的有界性，一般是通過(guò)三角變換化歸為下列基本類(lèi)型處理．（1），設(shè)，化為一次函數(shù)在上的最值求解．（2），引入輔助角，化為，求解方法同類(lèi)型（1）（3），設(shè)，化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解，也可以是或型．（4），設(shè)，則，故，故原函數(shù)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解．（5）與，根據(jù)正弦函數(shù)的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用數(shù)形結(jié)合法求最值．這里需要注意的是化為關(guān)于或的函數(shù)求解釋務(wù)必注意或的范圍．（6）導(dǎo)數(shù)法（7）權(quán)方和不等式題型6：函數(shù)的定義域、值域（最值）6-1．（2024高一下·上海靜安·期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋?-2．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則的值為（

）A．0 B．2 C．4 D．66-3．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)對(duì)于，都有，則的最小值為（

）.A． B． C． D．6-4．（2024·河北邯鄲·一模）已知函數(shù)，如果存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有成立，則的最小值為A． B． C． D．6-5．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的范圍是.6-6．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)，則的最小值為.6-7．（2024高一·全國(guó)·單元測(cè)試）函數(shù)的值域?yàn)椋ㄆ撸┤呛瘮?shù)性質(zhì)的綜合三角函數(shù)的性質(zhì)（如奇偶性、周期性、單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性）中，尤為重要的是對(duì)稱(chēng)性．因?yàn)閷?duì)稱(chēng)性奇偶性（若函數(shù)圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)為奇函數(shù)；若函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)為偶函數(shù)）；對(duì)稱(chēng)性周期性（相鄰的兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離是；相鄰的對(duì)稱(chēng)中心之間的距離為；相鄰的對(duì)稱(chēng)軸與對(duì)稱(chēng)中心之間的距離為）；對(duì)稱(chēng)性單調(diào)性（在相鄰的對(duì)稱(chēng)軸之間，函數(shù)單調(diào)，特殊的，若，函數(shù)在上單調(diào)，且，設(shè)，則深刻體現(xiàn)了三角函數(shù)的單調(diào)性與周期性、對(duì)稱(chēng)性之間的緊密聯(lián)系）題型7：三角函數(shù)性質(zhì)的綜合7-1．（2024·河北石家莊·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．的值域?yàn)锽．的單調(diào)遞減區(qū)間為C．為奇函數(shù)，D．不等式的解集為7-2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（

）

A．B．C．不等式的解集為D．將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得函數(shù)的圖象在上單調(diào)遞增一、單選題1．（2024高三上·廣東汕頭·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，如果，則的值是（

）A．-10 B．8 C．-8 D．-72．（2024·江西鷹潭·一模）已知的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)的圖象，且的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則的最小值為（

）A． B． C． D．3．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知，，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且的最小值為，若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則的最大值為（

）A． B． C． D．4．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，若對(duì)滿(mǎn)足的，總有的最小值等于，則（

）A． B． C． D．5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得函數(shù)的圖象，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．6．（2024高三下·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)的部分圖象如圖所示，則不等式的解集為（

）A．B．C．D．7．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則實(shí)數(shù)的最小值為（

）A． B．C． D．8．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則“，”是“為偶函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．（2024·云南昆明·一模）已知函數(shù)，若存在，使得方程有三個(gè)不等的實(shí)根，，且，則（

）A． B． C． D．10．（2024·四川遂寧·一模）函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，將該函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則的最小值是（

）A． B． C．3 D．11．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．二、多選題12．（2024·海南?？凇つM預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（）的圖象與函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)中心完全相同，且在上，有極小值，則（

）A． B．C．函數(shù)是偶函數(shù) D．在上單調(diào)遞增13．（2024·廣東潮州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，的最小正周期為，且過(guò)點(diǎn)，則下列正確的有（

）A．在單調(diào)遞減B．的一條對(duì)稱(chēng)軸為C．的周期為D．把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位得到函數(shù)的解析式為14．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則（

）A．的最大值為2B．是偶函數(shù)C．在上單調(diào)遞增D．把的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)15．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．若，則B．將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)C．函數(shù)的最小正周期為D．若在上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為16．（2024高三上·海南·期末）已知函數(shù)，，恒成立，在上單調(diào)，則（

）A．B．將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象C．D．若函數(shù)在上有5個(gè)零點(diǎn)，則17．（2024高三上·山東德州·階段練習(xí)）聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的聲波，純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，我們聽(tīng)到的聲音是由純音合成的，稱(chēng)之為復(fù)合音.若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．的最小正周期為C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．的最小值為118．（2024高三上·江蘇無(wú)錫·期中）已知函數(shù)，下列敘述正確的有（

）A．的周期為2π； B．是偶函數(shù)；C．在區(qū)間上單調(diào)遞減； D．x1，x2∈R，19．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）聲音是由于物體的振動(dòng)產(chǎn)生的能引起聽(tīng)覺(jué)的波，我們聽(tīng)到的聲音多為復(fù)合音．若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的一個(gè)周期為 B．的最小值為C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D．在區(qū)間上有3個(gè)零點(diǎn)20．（2024高三上·河南三門(mén)峽·期末）已知函數(shù)滿(mǎn)足：，，則（

）A．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng) B．函數(shù)是偶函數(shù)C．函數(shù)在上單調(diào)遞減 D．函數(shù)的值域?yàn)?1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，且有兩個(gè)零點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．C．若，則 D．22．（2024·全國(guó)）已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，則（

）A．在區(qū)間單調(diào)遞減B．在區(qū)間有兩個(gè)極值點(diǎn)C．直線是曲線的對(duì)稱(chēng)軸D．直線是曲線的切線三、填空題23．（2024高三·全國(guó)·課后作業(yè)）函數(shù)（）的圖像的相鄰兩支截直線所得線段長(zhǎng)為，則的值是.24．（2024高三下·江西鷹潭·階段練習(xí)）函數(shù)的最小正周期是．25．（2024·四川遂寧·三模）已知函數(shù)，，，且，則=26．（2024高三下·上海松江·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的最小正周期是．27．（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的最小正周期是，則.28．（2024·陜西咸陽(yáng)·一模）設(shè)函數(shù)相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為，，則的最小值為．29．（2024高三上·上海浦東新·階段練習(xí)）函數(shù)的最小正周期為.30．（2024高三上·內(nèi)蒙古·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)（，，是常數(shù)，，）．若在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，則的最小正周期為．31．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，若，則.32．（2024·河南開(kāi)封·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，那么的最小值為．33．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象.若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則的最小值為.34．（2024高三上·江西吉安·期末）記函數(shù)（）的最小正周期為，且的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，當(dāng)取最小值時(shí)，.35．（2024·四川瀘州·一模）寫(xiě)出滿(mǎn)足條件“函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)”的的一個(gè)值．36．（2024高三上·全國(guó)·階段練習(xí)）已知函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸為．若,則的最大．37．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）曲線的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為（答案不唯一）.38．（2024·河北·一模）函數(shù)的最小值為.39．（2024·湖北襄陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)的最小值為，則常數(shù)的一個(gè)取值為.（寫(xiě)出一個(gè)即可）40．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）的最小值為.41．（2024·上海嘉定·三模）若關(guān)于的方程在上有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.42．（2024·江西鷹潭·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的值域?yàn)椋?3．（2024高一下·四川成都·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，則函數(shù)的值域?yàn)椋?4．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，則的最小值為.45．（2024高三·安徽亳州·階段練習(xí)）已知函數(shù)，該函數(shù)的最大值為．46．（2024高三下·江蘇蘇州·開(kāi)學(xué)考試）設(shè)角、均為銳角，則的范圍是．47．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的值域是.48．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)、且，求的取值范圍是.49．（2024高一下·遼寧·期中）函數(shù)的最大值為．50．（2024高一·全國(guó)·課后作業(yè)）函數(shù)的值域?yàn)?51．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的最大值為．52．（2024·全國(guó)）關(guān)于函數(shù)f（x）=有如下四個(gè)命題：①f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．②f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．③f（x）的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱(chēng)．④f（x）的最小值為2．其中所有真命題的序號(hào)是．53．（2024·四川樂(lè)山·一模）函數(shù)上所有零點(diǎn)之和為.54．（2024·全國(guó)）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是．55．（2024·全國(guó)）記函數(shù)的最小正周期為T(mén)，若，為的零點(diǎn)，則的最小值為．四、解答題56．（2024高一上·湖北武漢·期末）函數(shù).(1)請(qǐng)用五點(diǎn)作圖法畫(huà)出函數(shù)在上的圖象；（先列表，再畫(huà)圖）(2)設(shè)，，當(dāng)時(shí)，試研究函數(shù)的零點(diǎn)的情況.57．（2024·北京）設(shè)函數(shù)．(1)若，求的值．(2)已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)存在，求的值．條件①：；條件②：；條件③：在區(qū)間上單調(diào)遞減．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．58．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，其中，，且．(1)求的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，求函數(shù)的表達(dá)式．59．（2024高一下·北京·期中），，，(1)若，求的值；(2)若函數(shù)的最小正周期為①求的值；②當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍（2003·北京）已知函數(shù)，求的定義域，判斷它的奇偶性，并求其值域成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專(zhuān)題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjshuxue加入百度網(wǎng)盤(pán)群1.5T一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動(dòng)更新永不過(guò)期專(zhuān)題19三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)7題型分類(lèi)1．用“五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖(1)在正弦函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．(2)在余弦函數(shù)y＝cosx，x∈[0,2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中k∈Z)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RR{x|x≠kπ＋eq\f(π,2)}值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))[2kπ－π，2kπ]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))單調(diào)遞減區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))[2kπ，2kπ＋π]對(duì)稱(chēng)中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))對(duì)稱(chēng)軸方程x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ3．對(duì)稱(chēng)性與周期性(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對(duì)稱(chēng)中心、相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸之間的距離是eq\f(1,2)個(gè)周期，相鄰的對(duì)稱(chēng)中心與對(duì)稱(chēng)軸之間的距離是eq\f(1,4)個(gè)周期．(2)正切曲線相鄰兩對(duì)稱(chēng)中心之間的距離是eq\f(1,2)個(gè)周期．4．奇偶性若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，則(1)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)．(2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ＝kπ(k∈Z)．（一）五點(diǎn)作圖法（1）在正弦函數(shù)，的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：．（2）在余弦函數(shù)，的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：．題型1：五點(diǎn)作圖法1-1．（2024高一下·北京·階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)用“五點(diǎn)作圖法”在給定坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)在上的圖像；(2)求，的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)當(dāng)時(shí)，的取值范圍為，直接寫(xiě)出m的取值范圍.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)遞增區(qū)間為(3)．【分析】（1）由，計(jì)算出的取值范圍，通過(guò)列表、描點(diǎn)、連線，可作出函數(shù)在上的圖象；（2）解不等式可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）利用（1）中的圖象結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，列表如下：0112001作圖如下：（2）因?yàn)?，令，解得，令，解得，所以的遞增區(qū)間為（3），，又，由（1）的圖象可知，，的取值范圍是．1-2．（2024高一下·湖北·期中）要得到函數(shù)的圖象，可以從正弦函數(shù)或余弦函數(shù)圖象出發(fā)，通過(guò)圖象變換得到，也可以用“五點(diǎn)法”列表、描點(diǎn)、連線得到．(1)由圖象變換得到函數(shù)的圖象，寫(xiě)出變換的步驟和函數(shù)；(2)用“五點(diǎn)法”畫(huà)出函數(shù)在區(qū)間上的簡(jiǎn)圖．

【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)作圖見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)圖象變換求解即可；（2）利用“五點(diǎn)法”畫(huà)出圖象.【詳解】（1）步驟1：把圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象；步驟2：把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；步驟3：最后把函數(shù)的圖象的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象．或者步驟1：步驟1：把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；步驟2：把圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象；步驟3：最后把函數(shù)的圖象的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象．（2）因?yàn)榱斜恚?/p>

（二）函數(shù)的奇偶性由是奇函數(shù)和是偶函數(shù)可拓展得到關(guān)于三角函數(shù)奇偶性的重要結(jié)論：（1）若為奇函數(shù)，則；（2）若為偶函數(shù)，則；（3）若為奇函數(shù)，則；（4）若為偶函數(shù)，則；若為奇函數(shù)，則，該函數(shù)不可能為偶函數(shù)．題型2：函數(shù)的奇偶性2-1．（2024高一下·河南南陽(yáng)·期中）下列6個(gè)函數(shù)：①，②，③，④，⑤，⑥，其中最小正周期為π的偶函數(shù)的編號(hào)為.【答案】①③⑤【分析】利用三角函數(shù)的圖象和圖象的變換可以得到各個(gè)函數(shù)的圖象，觀察圖象可得結(jié)論.【詳解】①，②，③，④，⑤，⑥都是偶函數(shù)，由函數(shù)的圖象如如所示，可知，，的最小正周期都是，，不是周期函數(shù)，，最小正周期為，

故答案為：①③⑤2-2．（2024高三·廣東·學(xué)業(yè)考試）函數(shù)是（

）A．最小正周期為π的奇函數(shù) B．最小正周期為π的偶函數(shù)C．最小正周期為的奇函數(shù) D．最小正周期為的偶函數(shù)【答案】D【分析】因?yàn)楹瘮?shù)，由奇偶函數(shù)的定義結(jié)合求周期的公式即可得出答案.【詳解】解析：函數(shù)，故該函數(shù)為偶函數(shù)，且它的最小正周期為.故選：D.2-3．（2024高三·北京海淀·專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)，則（

）A．若，則為奇函數(shù) B．若，則為偶函數(shù)C．若，則為偶函數(shù) D．若，則為奇函數(shù)【答案】B【分析】根據(jù)選項(xiàng)中的關(guān)系，代入的解析式，對(duì)AD用特值說(shuō)明不是奇函數(shù)，對(duì)BC用奇偶性的定義驗(yàn)證即可.【詳解】的定義域?yàn)?，?duì)A：若，，若為奇函數(shù)，則，而不恒成立，故不是奇函數(shù)；對(duì)B：若，，，故為偶函數(shù)，B正確；對(duì)C：若，，，故不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：若，，若為奇函數(shù)，則，而不恒成立，故不是奇函數(shù)；故選：B2-4．（2024·貴州貴陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）使函數(shù)為偶函數(shù)，則的一個(gè)值可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)，由為偶函數(shù)，求得，結(jié)合選項(xiàng)，即可求解.【詳解】由，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，可得，所以，令，可得.故選：A.2-5．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖像，若函數(shù)是偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圖像平移得函數(shù)的解析式，由函數(shù)是偶函數(shù)，解出，可得.【詳解】函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，得的圖像，又函數(shù)是偶函數(shù)，則有，，解得，；所以.故選：C．2-6．（2024高三上·浙江·期末）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到一個(gè)奇函數(shù)的圖象，則的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圖象平移求得平移后的函數(shù)解析式，根據(jù)三角函數(shù)是奇函數(shù)，即可求得.【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，則，取，則．故選：D（三）函數(shù)的周期性關(guān)于三角函數(shù)周期的幾個(gè)重要結(jié)論：（1）函數(shù)的周期分別為，．（2）函數(shù)，的周期均為（3）函數(shù)的周期均．題型3：函數(shù)的周期性3-1．（2024高三上·河北衡水·階段練習(xí)）下列函數(shù)中，最小正周期為的奇函數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先化簡(jiǎn)各選項(xiàng)，由最小正周期的計(jì)算公式和奇、偶函數(shù)的定義對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可求出答案.【詳解】對(duì)于A：最小正周期為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，最小正周期，且為奇函數(shù)，故B正確；對(duì)于C：，最小正周期為的偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，則，故為偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：B3-2．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）函數(shù)的最小正周期是.【答案】【分析】化簡(jiǎn)，求出的最小正周期，即可求出函數(shù)的最小正周期.【詳解】因?yàn)?，因?yàn)榈淖钚≌芷跒椋院瘮?shù)最小正周期為.故答案為：.3-3．（2024高三上·河北·階段練習(xí)）函數(shù)的最小正周期為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，再結(jié)合平方關(guān)系及倍角公式和余弦函數(shù)的周期性即可得解.【詳解】解：，所以的最小正周期．故選：C．3-4．（2024高三下·北京密云·期中）設(shè)函數(shù)在的圖象大致如圖所示，則的最小正周期為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圖象先判斷出周期的大致范圍，再根據(jù)圖象過(guò)點(diǎn)可求解出，結(jié)合與周期的關(guān)系可得結(jié)果.【詳解】由圖象可知，，，解得.設(shè)函數(shù)的最小正周期為，易知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)符合題意，此時(shí),故選：A.3-5．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù).則.【答案】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)值的特點(diǎn),得到，，…，再求和即可.【詳解】由條件，可得，，…，共506組，所以.故答案為：1012.（四）函數(shù)的單調(diào)性三角函數(shù)的單調(diào)性，需將函數(shù)看成由一次函數(shù)和正弦函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的單調(diào)方法轉(zhuǎn)化為解一元一次不等式．如函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的確定基本思想是吧看做是一個(gè)整體，如由解出的范圍，所得區(qū)間即為增區(qū)間；由解出的范圍，所得區(qū)間即為減區(qū)間．若函數(shù)中，可用誘導(dǎo)公式將函數(shù)變?yōu)?，則的增區(qū)間為原函數(shù)的減區(qū)間，減區(qū)間為原函數(shù)的的增區(qū)間．對(duì)于函數(shù)的單調(diào)性的討論與以上類(lèi)似處理即可．題型4：函數(shù)的單調(diào)性4-1．（2024·四川樂(lè)山·三模）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象的函數(shù)（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞減 B．在區(qū)間上單調(diào)遞減C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】B【分析】結(jié)合函數(shù)的周期性可直接判斷AC，求出平移后相應(yīng)函數(shù)的解析式并化簡(jiǎn)，結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)判斷BD．【詳解】函數(shù)的最小正周期是，選項(xiàng)AC中區(qū)間長(zhǎng)度是一個(gè)周期，因此不可能單調(diào)，圖象左右平移后也不可能單調(diào)，AC錯(cuò)；函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象的函數(shù)解析式為，選項(xiàng)B，時(shí)，，在此區(qū)間上是減函數(shù)，B正確；選項(xiàng)D，時(shí)，，在此區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，D錯(cuò)誤．故選：B．4-2．（2024·北京密云·三模）已知函數(shù)，則（

）A．在上單調(diào)遞減 B．在上單調(diào)遞增C．在上單調(diào)遞減 D．在上單調(diào)遞增【答案】C【分析】利用余弦函數(shù)的二倍角公式化簡(jiǎn)得出，利用余弦型函數(shù)的單調(diào)性逐項(xiàng)判斷可得出合適的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞減，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞減，故D錯(cuò).故選：C.4-3．（2024高一上·重慶江北·期末）的部分圖像如圖所示，則其單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先利用圖象得到周期，結(jié)合圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)即可得到對(duì)應(yīng)的減區(qū)間【詳解】由圖可得，即，結(jié)合圖象可得到在區(qū)間中，為最高點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)為，軸右側(cè)第一個(gè)最低點(diǎn)為，對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)為，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為故選：B4-4．（2024高一下·四川涼山·期中）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，由正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，列出不等式，求解即可得到結(jié)果.【詳解】令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：C（五）函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性（對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)中心）關(guān)于三角函數(shù)對(duì)稱(chēng)的幾個(gè)重要結(jié)論；（1）函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，對(duì)稱(chēng)中心為；（2）函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，對(duì)稱(chēng)中心為；（3）函數(shù)函數(shù)無(wú)對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)中心為；（4）求函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸的方法；令，得；對(duì)稱(chēng)中心的求取方法；令，得，即對(duì)稱(chēng)中心為．（5）求函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸的方法；令得，即對(duì)稱(chēng)中心為題型5：函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性（對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)中心）5-1．（2024高三·全國(guó)·課后作業(yè)）函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)是．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)正切型函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心可直接求出答案.【詳解】令，解得,則圖象的對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)是．當(dāng)時(shí)，，則是圖像的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心．故答案為：（答案不唯一）.5-2．（2024·新疆喀什·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度之后關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則的最小值為.【答案】1【分析】先求平移后的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得，因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以，,，，所以的最小值為1.故答案為：15-3．（2024·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的最小正周期為，則的圖象關(guān)于（

）A．對(duì)稱(chēng) B．對(duì)稱(chēng) C．對(duì)稱(chēng) D．對(duì)稱(chēng)【答案】B【分析】先通過(guò)最小正周期求出，再根據(jù)三角函數(shù)圖像的性質(zhì)判斷對(duì)稱(chēng)軸與對(duì)稱(chēng)中心即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，由得，，即，，故不是對(duì)稱(chēng)軸，也不是對(duì)稱(chēng)中心；，故是對(duì)稱(chēng)軸，不是對(duì)稱(chēng)中心.故選：B5-4．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，若，且直線為圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，則的最小值為．【答案】5【分析】根據(jù)，可求得，再根據(jù)直線為圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，結(jié)合正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性即可求得.【詳解】由，得，又，解得，所以，又直線為圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，則有，，化簡(jiǎn)得，，又，故的最小值為5．故答案為：.5-5．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則的對(duì)稱(chēng)中心為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)圖象結(jié)合五點(diǎn)法求出，再令，即可求出的對(duì)稱(chēng)中心.【詳解】由題意可得：，可得，所以，因?yàn)?，所以，可得，所以，由，可得，因?yàn)椋?，，所?令，可得，所以對(duì)稱(chēng)中心為，故選：A.5-6．（2024高三下·上海寶山·階段練習(xí)）已知，函數(shù)，的最小正周期為，將的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則的值是．【答案】/【分析】由周期求出，即可求出的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則得到平移后的解析式，最后根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得到的值.【詳解】，函數(shù)的最小正周期為，，．將的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得的圖像，根據(jù)所得圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，可得，，解得，，又，則令，可得的值為．故答案為：．5-7．（2024·上海徐匯·三模）已知函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為，若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象共有6個(gè)交點(diǎn)，分別為，，…，，則.【答案】6【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性，確定6個(gè)交點(diǎn)的關(guān)系即可求解作答.【詳解】顯然函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，依題意，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，于是，所以.故答案為：6（六）函數(shù)的定義域、值域（最值）求三角函數(shù)的最值，通常要利用正、余弦函數(shù)的有界性，一般是通過(guò)三角變換化歸為下列基本類(lèi)型處理．（1），設(shè)，化為一次函數(shù)在上的最值求解．（2），引入輔助角，化為，求解方法同類(lèi)型（1）（3），設(shè)，化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解，也可以是或型．（4），設(shè)，則，故，故原函數(shù)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解．（5）與，根據(jù)正弦函數(shù)的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用數(shù)形結(jié)合法求最值．這里需要注意的是化為關(guān)于或的函數(shù)求解釋務(wù)必注意或的范圍．（6）導(dǎo)數(shù)法（7）權(quán)方和不等式題型6：函數(shù)的定義域、值域（最值）6-1．（2024高一下·上海靜安·期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋敬鸢浮俊痉治觥慷x域滿(mǎn)足.【詳解】的定義域滿(mǎn)足，即.故答案為：.6-2．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則的值為（

）A．0 B．2 C．4 D．6【答案】B【分析】依題意可得，令，，即可得到是奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解:，令，，于是，所以是奇函數(shù)，從而的最大值G與最小值g的和為0，而.故選：B6-3．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)對(duì)于，都有，則的最小值為（

）.A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，分別是取得最小值和最大值時(shí)對(duì)應(yīng)自變量的取值，結(jié)合函數(shù)周期即可容易求得結(jié)果.【詳解】∵恒成立，∴是函數(shù)的最小值，是函數(shù)的最大值，即、是函數(shù)的兩條對(duì)稱(chēng)軸，則的最小值為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)周期性求值，屬基礎(chǔ)題；注意對(duì)題干的理解.6-4．（2024·河北邯鄲·一模）已知函數(shù)，如果存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有成立，則的最小值為A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：因?yàn)?，設(shè)的最小正周期為，則，所以的最小值為，故選C.考點(diǎn)：三角函數(shù)的周期和最值．6-5．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的范圍是.【答案】【分析】由題可得，故由三角換元可得答案.【詳解】.故令，.則原式，故.故答案為：.6-6．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)，則的最小值為.【答案】【分析】利用換元法求解，設(shè)把轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的知識(shí)可得答案.【詳解】設(shè)，由，得，又由，得，所以，令，，當(dāng)時(shí)，時(shí)，即當(dāng)時(shí)，原函數(shù)取到最小值.故答案為：.【點(diǎn)睛】此題屬于局部換元法，設(shè)后，抓住與的內(nèi)在聯(lián)系，將三角函數(shù)的值域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問(wèn)題，使得容易求解.換元過(guò)程中一定要注意新的參數(shù)的范圍（）與對(duì)應(yīng)，否則將會(huì)出錯(cuò).本題解法中還包含了含參問(wèn)題時(shí)分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，即由對(duì)稱(chēng)軸與閉區(qū)間的位置關(guān)系而確定參數(shù)分兩種情況進(jìn)行討論.一般地，在遇到題目已知和未知中含有與的和、差、積等而求三角式的最大值和最小值的題型時(shí)，即函數(shù)為，經(jīng)常用到這樣設(shè)元的換元法，轉(zhuǎn)化為在閉區(qū)間上的二次函數(shù)或一次函數(shù)的研究.6-7．（2024高一·全國(guó)·單元測(cè)試）函數(shù)的值域?yàn)椋敬鸢浮俊痉治觥坷猛ㄟ^(guò)換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為含未知量的函數(shù)，再解出函數(shù)的值域即為函數(shù)的值域.【詳解】令，，則，即，所以，又因?yàn)?，所以，即函?shù)的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋?（七）三角函數(shù)性質(zhì)的綜合三角函數(shù)的性質(zhì)（如奇偶性、周期性、單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性）中，尤為重要的是對(duì)稱(chēng)性．因?yàn)閷?duì)稱(chēng)性奇偶性（若函數(shù)圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)為奇函數(shù)；若函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)為偶函數(shù)）；對(duì)稱(chēng)性周期性（相鄰的兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離是；相鄰的對(duì)稱(chēng)中心之間的距離為；相鄰的對(duì)稱(chēng)軸與對(duì)稱(chēng)中心之間的距離為）；對(duì)稱(chēng)性單調(diào)性（在相鄰的對(duì)稱(chēng)軸之間，函數(shù)單調(diào)，特殊的，若，函數(shù)在上單調(diào)，且，設(shè)，則深刻體現(xiàn)了三角函數(shù)的單調(diào)性與周期性、對(duì)稱(chēng)性之間的緊密聯(lián)系）題型7：三角函數(shù)性質(zhì)的綜合7-1．（2024·河北石家莊·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．的值域?yàn)锽．的單調(diào)遞減區(qū)間為C．為奇函數(shù)，D．不等式的解集為【答案】D【分析】首先化簡(jiǎn)函數(shù)，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋?，所以，故選項(xiàng)A正確；由得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選項(xiàng)B正確；所以，所以為奇函數(shù)，故選項(xiàng)C正確；由得，即所以，所以不等式的解集為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：D.7-2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（

）

A．B．C．不等式的解集為D．將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得函數(shù)的圖象在上單調(diào)遞增【答案】C【分析】由圖象求出的表達(dá)式后逐一驗(yàn)證選項(xiàng)即可.【詳解】由函數(shù)圖象可知，最小正周期為，所以，將點(diǎn)代入，得，又，所以，故，故A錯(cuò)誤；所以，故B錯(cuò)誤；令，則，所以，，解得，，所以不等式的解集為，故C正確；將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖象，令，，解得，，令得，因?yàn)?，故D錯(cuò)誤.故選：C.一、單選題1．（2024高三上·廣東汕頭·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，如果，則的值是（

）A．-10 B．8 C．-8 D．-7【答案】B【解析】令，由奇函數(shù)定義可知，化簡(jiǎn)計(jì)算可求得結(jié)果.【詳解】令,則，所以，由可知，，即，，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查奇函數(shù)性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2．（2024·江西鷹潭·一模）已知的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)的圖象，且的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】化簡(jiǎn)，根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換可得的表達(dá)式，結(jié)合其性質(zhì)，求得的表達(dá)式，即可求得答案.【詳解】由題意可得，故，由于的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則為偶函數(shù)，故,即，故的最小值為，故選：B3．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知，，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且的最小值為，若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知得函數(shù)的周期，求出，再利用圖像的平移變換規(guī)律寫(xiě)出函數(shù)平移后的解析式，再利用函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，列出等式即可得到結(jié)果.【詳解】由題意知函數(shù)的最小正周期，則，得，.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，要使該圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則，，所以，，又，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為．故選：A【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：先根據(jù)正切函數(shù)圖象的特征求出函數(shù)的最小正周期，進(jìn)而求出，然后根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換得到平移后的函數(shù)圖象的解析式，最后利用正切函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心建立方程求解即可，考查學(xué)生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.4．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，若對(duì)滿(mǎn)足的，總有的最小值等于，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)圖象平移規(guī)律可得函數(shù)的圖象，由、設(shè)，則，分別利用、，求出可得答案.【詳解】函數(shù)的周期為，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，可得，由可知，兩個(gè)函數(shù)的最大值與最小值的差為2，且，不妨設(shè)，則，即在時(shí)取得最小值，由于，此時(shí)，不合題意；，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足題意.故選：C.5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得函數(shù)的圖象，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先由圖象平移變換得到，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到，即的圖象，令，，解得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，.故選：C.6．（2024高三下·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)的部分圖象如圖所示，則不等式的解集為（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】由函數(shù)圖象可求出的解析式，向右平移個(gè)單位可得的解析式，利用余弦函數(shù)的圖象解不等式即可.【詳解】設(shè)函數(shù)的圖象向左平移單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，由圖可知，函數(shù)的圖象的最小正周期為，所以，所以，由，得，，，所以，，取，得，所以，所以，所以由，得，即，所以，，即，，所以不等式的解集為（），故選：C【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：圖象變換的兩種方法的區(qū)別，由的圖象，利用圖象變換作函數(shù)的圖象，要特別注意：當(dāng)周期變換和相位變換的先后順序不同時(shí)，原圖象沿x軸的伸縮量的區(qū)別．先平移變換再周期變換(伸縮變換)，平移的量是|φ|個(gè)單位，而先周期變換(伸縮變換)再平移變換，平移的量是個(gè)單位．7．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則實(shí)數(shù)的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)題意寫(xiě)出平移后的解析式后，根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性可得.【詳解】的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，變?yōu)?，因的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以為偶函數(shù)，所以，,即，,因，所以，故當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)取得最小值為，故選：B8．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則“，”是“為偶函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由余弦函數(shù)的性質(zhì)，分別驗(yàn)證充分性與必要性即可.【詳解】函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為偶函數(shù)，所以充分性成立；為偶函數(shù)時(shí)，，解得，不能得到，所以必要性不成立.故“，”是“為偶函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A9．（2024·云南昆明·一模）已知函數(shù)，若存在，使得方程有三個(gè)不等的實(shí)根，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用輔助角公式變形為，畫(huà)出圖像，找到兩函數(shù)交點(diǎn)位置，求出結(jié)果即可.【詳解】，最小正周期為，作出的圖像，

可知當(dāng)時(shí)，有三個(gè)根，所以，即或，解得根分別為，又因?yàn)椋?，故選：B.10．（2024·四川遂寧·一模）函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，將該函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則的最小值是（

）A． B． C．3 D．【答案】A【分析】由求，再根據(jù)平移變換求出平移后的解析式，然后根據(jù)對(duì)稱(chēng)性即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，又，所以，將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得函數(shù)圖象的解析式為，因?yàn)榈暮瘮?shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以，得，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最小值.故選：A11．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分0在定義域內(nèi)和0不在定義域內(nèi)兩種情況進(jìn)行討論即可求得答案.【詳解】若0在定義域內(nèi)，由時(shí)，得，；若0不在定義域內(nèi)，由時(shí)，無(wú)意義，得．綜上，．故選：C．二、多選題12．（2024·海南?？凇つM預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（）的圖象與函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)中心完全相同，且在上，有極小值，則（

）A． B．C．函數(shù)是偶函數(shù) D．在上單調(diào)遞增【答案】AD【分析】根據(jù)函數(shù)與的最小正周期相同，求得，經(jīng)驗(yàn)證求得，再求出值，再對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐項(xiàng)驗(yàn)證.【詳解】由題意，函數(shù)與的最小正周期相同，則，且.當(dāng)時(shí)，，其一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為，也是的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，所以，所以，，又，所以，所以，，，有極大值，無(wú)極小值，不合題意；當(dāng)時(shí)，，其一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為，也是的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，所以，所以，，又，所以，所以，，，有極小值，滿(mǎn)足題意.，，A項(xiàng)正確，B項(xiàng)不正確；，不是偶函數(shù)，C項(xiàng)不正確；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，D項(xiàng)正確.故選：AD13．（2024·廣東潮州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，的最小正周期為，且過(guò)點(diǎn)，則下列正確的有（

）A．在單調(diào)遞減B．的一條對(duì)稱(chēng)軸為C．的周期為D．把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位得到函數(shù)的解析式為【答案】AB【分析】利用輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，根據(jù)周期求出，再根據(jù)函數(shù)過(guò)點(diǎn)求出，即可得到函數(shù)解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】根據(jù)輔助角公式得．最小正周期為，，，即．函數(shù)過(guò)點(diǎn)，，，則．當(dāng)時(shí)．即．令，則，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，故A正確．令，則，當(dāng)時(shí)，的一條對(duì)稱(chēng)軸為，故B正確．因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，則的周期為且，故C錯(cuò)誤．函數(shù)的圖象向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位得到函數(shù)的解析式為，故D錯(cuò)誤．故選：AB．14．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則（

）A．的最大值為2B．是偶函數(shù)C．在上單調(diào)遞增D．把的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)【答案】AB【分析】依題意可求出，從而可得，結(jié)合函數(shù)的圖象性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以，解得，所以，其最大值為2，故A正確；令，定義域?yàn)?，，所以即是偶函?shù)，故B正確；時(shí)，，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；把的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，因?yàn)椋缘膱D象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故D錯(cuò)誤.故選：AB15．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．若，則B．將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)C．函數(shù)的最小正周期為D．若在上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為【答案】ABD【分析】對(duì)A：必有一個(gè)最大值和一個(gè)最小值可求；對(duì)B：求出平移后函數(shù)解析式判斷是否為偶函數(shù)；對(duì)C：化簡(jiǎn)后求周期；對(duì)D：求出的范圍，數(shù)據(jù)正弦曲線的圖象列出滿(mǎn)足的不等式并求解.【詳解】由，故必有一個(gè)最大值和一個(gè)最小值，則為半個(gè)周期長(zhǎng)度，故正確；由題意的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，B正確；的最小正周期為C錯(cuò)誤.，在上有且僅在3個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)知：，則，D正確；故選：ABD16．（2024高三上·海南·期末）已知函數(shù)，，恒成立，在上單調(diào)，則（

）A．B．將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象C．D．若函數(shù)在上有5個(gè)零點(diǎn)，則【答案】AB【分析】由題意求出，可判斷A；由三角函數(shù)的平移變化可判斷B；求出可判斷C；令，即與的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，畫(huà)出與的圖象即可判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以是函?shù)的一個(gè)零點(diǎn)，所以①，又因?yàn)閷?duì)恒成立，所以時(shí)取得最小值，即②，則①減②可得：，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)，所以，則，結(jié)合，所以，所以，，則，，又因?yàn)?，所以，故A正確；所以，將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到，故B正確；，故C錯(cuò)誤；函數(shù)在上有5個(gè)零點(diǎn)，令，即與的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，畫(huà)出與的圖象如下，

，，由圖可知，當(dāng)時(shí)，與的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)在上有5個(gè)零點(diǎn),故D錯(cuò)誤.故選：AB17．（2024高三上·山東德州·階段練習(xí)）聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的聲波，純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，我們聽(tīng)到的聲音是由純音合成的，稱(chēng)之為復(fù)合音.若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．的最小正周期為C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．的最小值為1【答案】BC【分析】由奇函數(shù)的定義即可判斷A；容易驗(yàn)證π是函數(shù)的周期，進(jìn)而判斷B；當(dāng)時(shí)，用輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，即可判斷C；先考慮時(shí)，再分和兩種情況，求出函數(shù)的最小值，再根據(jù)函數(shù)的周期，即可求出函數(shù)在R上的最小值.【詳解】因?yàn)?，，所以是偶函?shù)，A正確；顯然是周期函數(shù)，因?yàn)?，所以B錯(cuò)誤；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，C錯(cuò)誤；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，設(shè)，則，同理：當(dāng)時(shí)，，由B中解答知，是的周期，所以的最小值為1，D正確.故選：BC.18．（2024高三上·江蘇無(wú)錫·期中）已知函數(shù)，下列敘述正確的有（

）A．的周期為2π； B．是偶函數(shù)；C．在區(qū)間上單調(diào)遞減； D．x1，x2∈R，【答案】BC【分析】AB選項(xiàng)，可以分別研究與的奇偶性和周期性，從而判斷的周期性和奇偶性；C選項(xiàng)，在區(qū)間上，化簡(jiǎn)整理得到，，進(jìn)而得到在區(qū)間的單調(diào)性；D選項(xiàng)可以取特殊值代入，證明其不成立.【詳解】是偶函數(shù)，不是周期函數(shù)，是偶函數(shù)，是周期函數(shù)，最小正周期為，故不是周期函數(shù)，A錯(cuò)誤，B正確；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，在次區(qū)間上單調(diào)遞減，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，C正確；當(dāng)時(shí)，，，，即，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC19．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）聲音是由于物體的振動(dòng)產(chǎn)生的能引起聽(tīng)覺(jué)的波，我們聽(tīng)到的聲音多為復(fù)合音．若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的一個(gè)周期為 B．的最小值為C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D．在區(qū)間上有3個(gè)零點(diǎn)【答案】ACD【分析】A代入周期的定義，即可判斷；B分別比較兩個(gè)函數(shù)分別取得最小值的值，即可判斷；C代入對(duì)稱(chēng)性的公式，即可判斷；D根據(jù)零點(diǎn)的定義，解方程，即可判斷.【詳解】選項(xiàng)A：故的一個(gè)周期為，A正確.選項(xiàng)B：，當(dāng)，時(shí)，取得最小值，，當(dāng)，時(shí)即，時(shí)，取得最小值，所以?xún)蓚€(gè)函數(shù)不可能同時(shí)取得最小值，所以的最小值不是，故B錯(cuò)誤.選項(xiàng)C：，，所以，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，C正確，選項(xiàng)D：，得，或，得，或，，故區(qū)間中的根為，，，故D正確.故選：ACD20．（2024高三上·河南三門(mén)峽·期末）已知函數(shù)滿(mǎn)足：，，則（

）A．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng) B．函數(shù)是偶函數(shù)C．函數(shù)在上單調(diào)遞減 D．函數(shù)的值域?yàn)椤敬鸢浮緼D【分析】化簡(jiǎn)后結(jié)合題意可得的取值集合，再結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得.【詳解】，由，故，即，由，故，即，則有，即，故、、、，當(dāng)時(shí)，，由函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，故的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，故A正確；，由為奇函數(shù)，故函數(shù)為奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，取時(shí)，即，函數(shù)并不單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；由，故，故D正確.故選：AD.21．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，且有兩個(gè)零點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．C．若，則 D．【答案】ACD【分析】A選項(xiàng)，作單位圓，利用面積得到；BC選項(xiàng)，畫(huà)出，，且與的函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合判斷BC選項(xiàng)；D選項(xiàng)，由，推出，根據(jù)零點(diǎn)范圍可得符號(hào)判斷.【詳解】A選項(xiàng)，設(shè)，作出單位圓，與軸交于點(diǎn)，則，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸，交射線于點(diǎn)，連接，由三角函數(shù)定義可知，，設(shè)扇形的面積為，則，即，故，當(dāng)時(shí)，有不等式，A正確；B選項(xiàng)，畫(huà)出，，且與的函數(shù)圖象，如下：可以看出，，故，B不正確；C選項(xiàng)，的最小正周期為，由圖象可知，故，C正確；D選項(xiàng)，由，，因?yàn)?，，故，而，但，且在為增函?shù)，故，故，D正確．故選：ACD．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：處理函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題思路：（1）利用方程思想，如一次函數(shù)，二次函數(shù)等，可令函數(shù)值為0，直接進(jìn)行求解；（2）轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題來(lái)解決；（3）研究函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理來(lái)進(jìn)行求解.22．（2024·全國(guó)）已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，則（

）A．在區(qū)間單調(diào)遞減B．在區(qū)間有兩個(gè)極值點(diǎn)C．直線是曲線的對(duì)稱(chēng)軸D．直線是曲線的切線【答案】AD【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)判斷各選項(xiàng)，即可解出．【詳解】由題意得：，所以，，即，又，所以時(shí)，，故．對(duì)A，當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)圖象知在上是單調(diào)遞減；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)圖象知只有1個(gè)極值點(diǎn)，由，解得，即為函數(shù)的唯一極值點(diǎn)；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，，直線不是對(duì)稱(chēng)軸；對(duì)D，由得：，解得或,從而得：或,所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，切線方程為：即．故選：AD．三、填空題23．（2024高三·全國(guó)·課后作業(yè)）函數(shù)（）的圖像的相鄰兩支截直線所得線段長(zhǎng)為，則的值是.【答案】【分析】根據(jù)正切型函數(shù)的周期公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)（）的圖像的相鄰兩支截直線所得線段長(zhǎng)為，所以該函數(shù)的最小正周期為，因?yàn)?，所以，即，因此，故答案為?4．（2024高三下·江西鷹潭·階段練習(xí)）函數(shù)的最小正周期是．【答案】【分析】根據(jù)二倍角公式以及輔助角公式化簡(jiǎn)，即可由周期公式求解.【詳解】所以最小正周期為，故答案為：25．（2024·四川遂寧·三模）已知函數(shù)，，，且，則=【答案】/0.5【分析】利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式為，分析可知函數(shù)的最小正周期為，利用正弦型函數(shù)的周期公式即可求得的最小值.【詳解】因?yàn)?，另外，，且，所以，函?shù)的最小正周期滿(mǎn)足，則，所以，，故當(dāng)時(shí)，取最小值.故答案為：26．（2024高三下·上海松江·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的最小正周期是．【答案】【分析】根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，進(jìn)而可得函數(shù)的最小正周期.【詳解】，故，故答案為：．27．（2024·上海·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的最小正周期是，則.【答案】4【分析】根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)三角函數(shù)，然后利用周期計(jì)算公式列方程，解方程即可求值【詳解】，所以最小正周期是，所以.故答案為：428．（2024·陜西咸陽(yáng)·一模）設(shè)函數(shù)相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為，，則的最小值為．【答案】/【分析】根據(jù)給定的條件，求出函數(shù)的周期，進(jìn)而求出，再利用最值求出的表達(dá)式作答.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為，則函數(shù)的周期，，又，因此，即，所以當(dāng)時(shí)，.故答案為：29．（2024高三上·上海浦東新·階段練習(xí)）函數(shù)的最小正周期為.【答案】【分析】根據(jù)二倍角公式，結(jié)合周期公式求解即可.【詳解】解：，所以，其最小正周期為.故答案為：30．（2024高三上·內(nèi)蒙古·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)（，，是常數(shù)，，）．若在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，則的最小正周期為．【答案】/【分析】根據(jù)單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性來(lái)求得的最小正周期.【詳解】在區(qū)間上具有單調(diào)性，區(qū)間的長(zhǎng)度為，區(qū)間的長(zhǎng)度為，由于，所以的一條對(duì)稱(chēng)軸為，其相鄰一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為，即，所以.故答案為：31．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，若，則.【答案】【分析】先根據(jù)對(duì)稱(chēng)性列方程，再根據(jù)范圍確定結(jié)果【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，所以，所以，所以因?yàn)?，所以時(shí)，.故答案為：32．（2024·河南開(kāi)封·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，那么的最小值為．【答案】【分析】代入余弦函數(shù)的零點(diǎn)滿(mǎn)足的公式判斷即可.【詳解】的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，，即，令，可得的最小值為．故答案為：33．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象.若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象平移結(jié)論求得，再根據(jù)的圖象關(guān)于關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，列方程即可求解.【詳解】由題可得，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以，解得，，故的最小值為.故答案為：.34．（2024高三上·江西吉安·期末）記函數(shù)（）的最小正周期為，且的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，當(dāng)取最小值時(shí)，.【答案】/【分析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸可得，可得（），結(jié)合題意可得的最小值為4，即可求，代入運(yùn)算求解.【詳解】由的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則，，∴（），又∵，∴當(dāng)，的最小值為4，此時(shí)，，∴.故答案為：.35．（2024·四川瀘州·一模）寫(xiě)出滿(mǎn)足條件“函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)”的的一個(gè)值．【答案】（答案不唯一，滿(mǎn)足即可）【分析】以為整體，結(jié)合余弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：，則，當(dāng)時(shí)，.故答案為：.36．（2024高三上·全國(guó)·階段練習(xí)）已知函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸為．若,則的最大．【答案】【分析】先根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸求出的表達(dá)式，再結(jié)合范圍求最大值【詳解】由題知.所以因?yàn)?所以當(dāng)取最大值故答案為：37．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）曲線的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為（答案不唯一）.【答案】（答案不唯一）【分析】首先化簡(jiǎn)函數(shù)，再根據(jù)正切函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心公式求解.【詳解】，令或，則或，令，則.所以函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是.故答案為：（答案不唯一）.38．（2024·河北·一模）函數(shù)的最小值為.【答案】/【分析】根據(jù)二倍角公式化簡(jiǎn)，即可求解最值.【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，此時(shí)的最小值為.故答案為：39．（2024·湖北襄陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)的最小值為，則常數(shù)的一個(gè)取值為.（寫(xiě)出一個(gè)即可）【答案】（答案不唯一）.【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，由條件結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求常數(shù)的一個(gè)取值即可.【詳解】可化為，所以，設(shè)，則，設(shè)，則，因?yàn)楹瘮?shù)的最小值為，所以，，所以或，其中，故答案為：（答案不唯一）.40．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）的最小值為.【答案】【分析】利用二倍角公式、輔助角化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為，由此求得函數(shù)的最小值．【詳解】，所以當(dāng)，時(shí)，取得最小值.故答案為：．41．（2024·上海嘉定·三模）若關(guān)于的方程在上有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】利用二倍角公式及輔助角公式化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)判定值域即可.【詳解】原方程等價(jià)于即函數(shù)，在上有交點(diǎn)，∵，∴，，故，則.故答案為：42．（2024·江西鷹潭·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的值域?yàn)椋敬鸢浮俊痉治觥坑糜嘞业亩督枪睫D(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域.【詳解】因?yàn)?，又，所以，則，即函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：.43．（2024高一下·四川成都·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，則函數(shù)的值域?yàn)椋敬鸢浮俊痉治觥扛鶕?jù)的范圍，得的范圍，數(shù)形結(jié)合可得的范圍，從而可得函數(shù)的值域.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，所以，所以函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：44．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，則的最小值為.【答案】【分析】先利用三角恒等變換將函數(shù)表達(dá)式化簡(jiǎn)為正弦型函數(shù)，再求函數(shù)最小值即可.【詳解】.因?yàn)椋?，所以，所以，即函?shù)的最小值為.故答案為：.45．（2024高三·安徽亳州·階段練習(xí)）已知函數(shù)，該函數(shù)的最大值為．【答案】【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)，令且，則，求得，得出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性與極值，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，令且，則，從而，令，解得或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減．因?yàn)?，，所以的最大值?故答案為：.46．（2024高三下·江蘇蘇州·開(kāi)學(xué)考試）設(shè)角、均為銳角，則的范圍是．【答案】【分析】由將函數(shù)化為，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最小值，再由柯西不等式求出函數(shù)的最大值，即可得出答案.【詳解】因?yàn)榻?、均為銳角，所以的范圍均為，所以，所以因?yàn)?，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，令，，，所以.則的范圍是：.故答案為：47．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的值域是.【答案】【分析】利用二倍角公式表示，配方，結(jié)合的范圍進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)橛忠驗(yàn)?所以當(dāng)時(shí),取得最小值-1,當(dāng)時(shí),取得最大值2,故的值域是.故答案為：48．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)、且，求的取值范圍是.【答案】【分析】解法一：利用條件，將轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，進(jìn)而可確定的范圍．解法二：由得，設(shè)，則，再結(jié)合余弦函數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】解法一：，，可得．，令，，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，即，的取值范圍是．解法二：由得，設(shè)，即，則令，，，，顯然在上單調(diào)遞增，所以，即，所以的取值范圍是.故答案為：49．（2024高一下·遼寧·期中）函數(shù)的最大值為．【答案】2【分析】由題知，，進(jìn)而得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，再求最大值即可.【詳解】解：，其中，，.∵，，∴，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∵∴當(dāng)時(shí)，取得最大值．故