備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點(diǎn)突破和專題檢測專題36向量法求空間角6題型分類(原卷版+解析)

專題36向量法求空間角6題型分類1．異面直線所成的角若異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別是u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|).2．直線與平面所成的角如圖，直線AB與平面α相交于點(diǎn)B，設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(u·n,|u||n|)))＝eq\f(|u·n|,|u||n|).3．平面與平面的夾角如圖，平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角．若平面α，β的法向量分別是n1和n2，則平面α與平面β的夾角即為向量n1和n2的夾角或其補(bǔ)角．設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).（一）異面直線所成的角用向量法求異面直線所成的角的一般步驟(1)建立空間直角坐標(biāo)系．(2)用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量．(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值．(4)注意兩異面直線所成角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對值．題型1：異面直線所成的角1-1．（2024高二上·北京豐臺·期末）在正四棱柱中，，是棱上的中點(diǎn)．

(1)求證：；(2)異面直線與所成角的余弦值．1-2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知正三棱柱的側(cè)面積是底面積的倍，點(diǎn)E為四邊形的中心，點(diǎn)F為棱的中點(diǎn)，則異面直線BF與CE所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．1-3．（2024高三上·寧夏銀川·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，且四邊形是正方形，，，分別是棱，，的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)若，求異面直線與所成角的余弦值.題型2：已知線線角求其他量2-1．（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，，，，，E，F(xiàn)分別為AD，PC的中點(diǎn).

(1)證明：；(2)若BF與CD所成的角為，求平面BEF和平面ABE夾角的余弦值.2-2．（2024高三下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，，平面平面，點(diǎn)是線段上的動點(diǎn).(1)證明：平面平面；(2)若點(diǎn)在線段上，，且異面直線與成30°角，求平面和平面夾角的余弦值.2-3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，底面，.點(diǎn)、、分別為棱、、的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，，.

(1)求證：平面；(2)已知點(diǎn)在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長．（二）利用空間向量求線面角的解題步驟題型3：直線與平面所成的角3-1．（2024·貴州六盤水·模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐中，平面，，，分別為，的中點(diǎn)，且，，.(1)證明：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.3-2．（2024高三上·江西贛州·期中）如圖，在正三棱柱中，分別為的中點(diǎn)，.

(1)求；(2)求直線與平面所成角的正弦值.3-3．（2024·全國）在四棱錐中，底面．(1)證明：；(2)求PD與平面所成的角的正弦值．3-4．（2024·浙江）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)M，N分別為的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．題型4：已知線面角求其他量4-1．（2024·重慶萬州·模擬預(yù)測）如圖1所示，在四邊形中，，為上一點(diǎn)，，，將四邊形沿折起，使得，得到如圖2所示的四棱錐．

(1)若平面平面，證明：；(2)點(diǎn)是棱上一動點(diǎn)，且直線與平面所成角的正弦值為，求．4-2．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測）如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于，的點(diǎn)，平面，，，，分別為，的中點(diǎn)，平面與平面的交線為，在圓上.

(1)在圖中作出交線（說明畫法，不必證明），并求三棱錐的體積；(2)若點(diǎn)滿足，且與平面所成角的正弦值為，求的值.4-3．（2024·安徽黃山·三模）如圖，在直角梯形ABCD中，，，四邊形為平行四邊形，對角線和相交于點(diǎn)H，平面⊥平面，，，G是線段上一動點(diǎn)（不含端點(diǎn)）．

(1)當(dāng)點(diǎn)G為線段BE的中點(diǎn)時，證明：平面；(2)若，且直線與平面成角，求二面角的正弦值．（三）利用空間向量計算平面與平面夾角大小的常用方法(1)找法向量：分別求出兩個平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到平面與平面夾角的大?。?2)找與棱垂直的方向向量：分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個向量，然后通過這兩個向量的夾角可得到平面與平面夾角的大小．題型5：平面與平面的夾角5-1．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱底面，且，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)．

(1)證明：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．5-2．（2024高三上·天津南開·期中）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，E是棱PB上一點(diǎn)．

(1)求證：平面平面PBC；(2)若E是PB的中點(diǎn)，（i）求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．（ii）求平面PDC和平面EAC的夾角的余弦值．5-3．（2024高三上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）如圖，在四棱臺中，底面是中點(diǎn)．底面為直角梯形，且．

(1)證明：直線平面；(2)求二面角的正弦值．題型6：已知面面角求其他量6-1．（2024·吉林長春·一模）長方形中，，點(diǎn)為中點(diǎn)（如圖1），將點(diǎn)繞旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)處，使平面平面（如圖2）．

(1)求證：；(2)點(diǎn)在線段上，當(dāng)二面角大小為時，求四棱錐的體積．6-2．（2024高三上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，在幾何體中，平面四邊形是菱形，平面平面，，且，，．

(1)證明：(2)若二面角是直二面角，求直線與直線所成角的余弦值．6-3．（2024·全國）如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．

(1)證明：；(2)點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時，求．一、單選題1．（2024高三上·安徽滁州·期末）如圖，在正方體中，分別為棱，，的中點(diǎn)，則與MN所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．2．（2024·云南保山·二模）已知正方體，Q為上底面所在平面內(nèi)的動點(diǎn)，當(dāng)直線與的所成角為45°時，點(diǎn)Q的軌跡為（

）A．圓 B．直線 C．拋物線 D．橢圓3．（2024高二下·江蘇·階段練習(xí)）在長方體中，為空間內(nèi)一點(diǎn)，為底面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，異面直線與所成角為，則當(dāng)線段的長度取最小值時，的值為（

）A． B． C． D．4．（2024高二上·河北張家口·階段練習(xí)）如圖，四棱雉的底面是邊長為3的正方形，，且，為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．5．（2024·全國·模擬預(yù)測）柏拉圖多面體是因柏拉圖及其追陮者對正多面體的研究而得名.如圖是棱長均為的柏拉圖多面體，點(diǎn)，，，分別為，，，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．二、多選題6．（2024·湖南·模擬預(yù)測）正方體中，P是體對角線上的動點(diǎn)，M是棱上的動點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）

A．異面直線與所成的角的最小值為B．異面直線與所成的角的最大值為C．對于任意的P，存在點(diǎn)M使得D．對于任意的M，存在點(diǎn)P使得7．（2024高三上·黑龍江哈爾濱·期中）在棱長為2的正方體中，M為邊的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有（

）A．與所成角的余弦值為B．過三點(diǎn)A、M、的截面面積為C．四面體的內(nèi)切球的表面積為D．E是邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是邊的中點(diǎn)，過E、M、F三點(diǎn)的截面是六邊形．三、填空題8．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在三棱錐P－ABC中，底面ABC，底面ABC為正三角形，PA＝AB，則異面直線PB與AC所成角的余弦值為9．（2024·河南開封·二模）已知矩形，，過作平面，使得平面，點(diǎn)在內(nèi)，且與所成的角為，則點(diǎn)的軌跡為，長度的最小值為．10．（2024高三上·河北唐山·期末）如圖，在四棱柱中，底面，且底面為菱形，，，，為的中點(diǎn)，在上，在平面內(nèi)運(yùn)動（不與重合），且平面，異面直線與所成角的余弦值為，則的最大值為.11．（2024·江西鷹潭·模擬預(yù)測）已知正方體的棱長為1，是棱的中點(diǎn)，為棱上的動點(diǎn)（不含端點(diǎn)），記?面直線與所成的角為，則的取值范圍是.12．（2024·寧夏銀川·模擬預(yù)測）在正四棱柱中，底面邊長為1，高為3，則異面直線與AD所成角的余弦值是.13．（2024高二下·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，，，.點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，當(dāng)直線與所成的角最小時，則線段的長為四、解答題14．（2024高三上·安徽·開學(xué)考試）如圖，在五面體中，底面為正方形，側(cè)面為等腰梯形，二面角為直二面角，.

(1)求點(diǎn)到平面的距離；(2)設(shè)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，若直線與平面及平面所成的角相等，求的值.15．（2024·河南開封·三模）如圖，在圓錐中，為圓錐頂點(diǎn)，為圓錐底面的直徑，為底面圓的圓心，為底面圓周上一點(diǎn)，四邊形為矩形，且，．

(1)若為的中點(diǎn)，求證：平面；(2)若與平面所成角為，求二面角的余弦值．16．（2024高三上·廣東·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD為菱形，E，F(xiàn)分別為AB，PD的中點(diǎn).

(1)求證：平面PBC；(2)已知，，又二面角的大小為45°，求PD的長.17．（2024高三上·遼寧鞍山·階段練習(xí)）如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，為棱中點(diǎn)，且平面．

(1)求證：；(2)若，二面角的大小為，求三棱錐的內(nèi)切球半徑．18．（2024·江西九江·一模）如圖，直角梯形中，，，，，將沿翻折至的位置，使得，為的中點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；(2)為線段上一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），若二面角的余弦值為，求線段的長．19．（2024高三上·山東菏澤·階段練習(xí)）在長方體中，，.點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn).

(1)當(dāng)點(diǎn)是中點(diǎn)時，求證：直線平面；(2)若二面角的余弦值為，求線段的長.20．（2024高三上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，四棱錐中，底面是矩形，，，且側(cè)面底面，側(cè)面底面，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，動點(diǎn)E在邊BC上移動，且．

(1)證明：底面；(2)當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上移動，使二面角為時，求二面角的余弦值．21．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測）在三棱臺中，為中點(diǎn)，，，.(1)求證：平面；(2)若，，平面與平面所成二面角大小為，求三棱錐的體積.22．（2024高三上·廣東東莞·階段練習(xí)）如圖，四邊形是矩形，四邊形是梯形，，平面與平面互相垂直，．

(1)求證：．(2)若二面角為，求多面體的體積．23．（2024·寧夏石嘴山·一模）如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，底面為菱形，．

(1)若四棱錐的體積為1，求的長；(2)求平面與平面所成二面角的正弦值．24．（2024·河北張家口·三模）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，，，.

(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.25．（2024高三上·黑龍江大慶·開學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是菱形，，，，底面ABCD，，點(diǎn)E在棱PD上，且

(1)證明：平面平面ACE；(2)求平面PAC與平面ACE所成角的余弦值．26．（2024高三上·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖，平面ABCD，，‖，‖，，點(diǎn)E，F(xiàn)，M分別為AP，CD，BQ的中點(diǎn)．

(1)求證：‖平面CPM；(2)若N為線段CQ上的點(diǎn)，且直線DN與平面QPM所成的角為，求線段QN的長．27．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝2，∠DAB＝60°，點(diǎn)E，F(xiàn)在以AD為直徑的半圓上，且，將半圓沿AD翻折如圖2．

(1)求證：EF∥平面ABCD；(2)當(dāng)多面體ABE﹣DCF的體積為4時，求平面ABE與平面CDF夾角的余弦值．28．（2024·江蘇·一模）在三棱柱中，平面平面，側(cè)面為菱形，，，，是的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)點(diǎn)在線段上（異于點(diǎn)，），與平面所成角為，求的值.29．（2024·廣東廣州·三模）如圖，四棱錐的底面為正方形，，平面，分別是線段的中點(diǎn)，是線段上的一點(diǎn).

(1)求證：平面平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，且點(diǎn)不是線段的中點(diǎn)，求三棱錐體積.30．（2024高三下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）在四棱錐S﹣ABCD中，已知底面ABCD為菱形，若.

(1)求證：SE⊥平面ABCD；(2)若，設(shè)點(diǎn)H滿足，當(dāng)直線與平面所成角的正弦值為時，求μ的值.31．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知三棱柱中，是的中點(diǎn)，是線段上一點(diǎn).

(1)求證：；(2)設(shè)是棱上的動點(diǎn)（不包括邊界），當(dāng)?shù)拿娣e最小時，求直線與平面所成角的正弦值.32．（2024高二上·河北張家口·期末）如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長為的正方形，平面平面，，．(1)求證：平面；(2)若點(diǎn)在線段上，直線與直線所成的角為，求平面與平面夾角的余弦值．33．（2024高三上·山西運(yùn)城·階段練習(xí)）在如圖所示的多面體中，四邊形為正方形，四點(diǎn)共面，且和均為等腰直角三角形，，平面平面，.

(1)求證：直線平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)若點(diǎn)在直線上，求直線與平面所成角的最大值.34．（2024高三上·廣東河源·開學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，分別為的中點(diǎn)，連接.

(1)當(dāng)為上不與點(diǎn)重合的一點(diǎn)時，證明：平面；(2)已知分別為的中點(diǎn)，是邊長為的正三角形，四邊形是面積為的矩形，當(dāng)時，求與平面所成角的正弦值.35．（2024高三上·湖南長沙·假期作業(yè)）如圖所示，直三棱柱中，，，.

(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值.36．（2024高三·全國·對口高考）如圖，圖1，四棱錐中，底面，面是直角梯形，M為側(cè)棱上一點(diǎn)．該四棱錐的俯視圖和側(cè)（左）視圖如圖2所示．

(1)證明：平面；(2)證明：平面；(3)線段上是否存在點(diǎn)N，使與所成角的余弦值為？若存在，找到所有符合要求的點(diǎn)N，并求的長；若不存在，說明理由．37．（2024高三上·湖北·階段練習(xí)）在四棱錐中，底面ABCD為正方形，平面平面，，.

(1)證明：平面平面；(2)若E為PC的中點(diǎn)，異面直線BE與PA所成角為，求四棱錐的體積.38．（2024高三上·云南昆明·期中）圖1是由正方形和正三角形組成的一個平面圖形，將沿折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，為的中點(diǎn)，如圖2．

(1)求證：平面；(2)若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值．39．（2024高三上·遼寧·期中）直三棱柱中，底面是等腰直角三角形,，，分別為的中點(diǎn)且在平面上的射影是的重心.

(1)求證：平面；(2)求二面角的平面角的余弦值．40．（2024·全國）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)點(diǎn)F滿足，求二面角的正弦值．41．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖1所示，四邊形ABCD中，，，，，M為AD的中點(diǎn)，N為BC上一點(diǎn)，且．現(xiàn)將四邊形ABNM沿MN翻折，使得AB與EF重合，得到如圖2所示的幾何體MDCNFE，其中．

(1)證明：平面FND；(2)若P為FC的中點(diǎn)，求二面角的正弦值．42．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在多面體ABCDPQ中，四邊形ABCD為菱形，，，，平面平面ABCD，平面ABCD，．(1)證明：；(2)求二面角的余弦值．43．（2024高三上·廣東江門·階段練習(xí)）如圖，平面平面，且．

(1)求證：平面平面;(2)若，求二面角的正弦值．44．（2024高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）如圖所示，已知三棱柱的所有棱長均為1．(1)從下面①②③中選擇兩個作為條件，證明另一個成立；①；②為直角；③平面平面．(2)設(shè)點(diǎn)是棱上一點(diǎn)．在（1）中條件都成立的情況下，試確定點(diǎn)的位置，使得直線與平面所成的角最大．45．（2024·浙江·一模）如圖，多面體中，四邊形為正方形，平面平面，，，，，與交于點(diǎn)．

(1)若是中點(diǎn)，求證：；(2)求直線和平面所成角的正弦值．46．（2024高三上·湖北·期中）如圖，在三棱錐中，，，，為等邊三角形，，，的中點(diǎn)分別為，，，且.

(1)證明：平面平面.(2)若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值.47．（2024高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）在如圖所示的多面體MNABCD中，四邊形ABCD是邊長為的正方形，其對角線的交點(diǎn)為Q，平面ABCD，，，點(diǎn)P是棱DM的中點(diǎn).

(1)求證：；(2)求直線CN和平面AMN所成角的正弦值.48．（2024高三上·廣西·階段練習(xí)）如圖：四棱雉中，底面為矩形，為直角三角形，的面積是面積的倍．(1)求證：平面平面；(2)為上的一點(diǎn)，四棱錐的體積為四棱錐體積的一半，求直線與平面所成角的正弦值．49．（2024高三上·北京·期中）如圖1所示，在等腰梯形，，垂足為，將沿折起到的位置，使平面平面，如圖2所示，點(diǎn)為棱上一個動點(diǎn)．(1)當(dāng)點(diǎn)為棱中點(diǎn)時，求證：平面(2)求證：平面；(3)求直線與平面所成角的正弦值．50．（2024高二上·廣東潮州·階段練習(xí)）如圖，在正方體中，E、F分別是，CD的中點(diǎn)，(1)求證：平面ADE；(2)求異面直線EF，CB1所成的角51．（2024·北京）如圖：在正方體中，為中點(diǎn)，與平面交于點(diǎn)．（1）求證：為的中點(diǎn)；（2）點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，且二面角的余弦值為，求的值．52．（2024·上海楊浦·三模）如圖，空間幾何體由兩部分構(gòu)成，上部是一個底面半徑為1，高為的圓錐，下部是一個底面半徑為1，高為2的圓柱，圓錐和圓柱的軸在同一直線上，圓錐的下底面與圓柱的上底面重合，點(diǎn)是圓錐的頂點(diǎn)，是圓柱下底面的一條直徑，、是圓柱的兩條母線，是弧的中點(diǎn)．

(1)求異面直線與所成的角的大?。?2)求點(diǎn)到平面的距離．53．（2024高二下·江蘇宿遷·期末）如圖（1）所示，在中，，，，垂直平分．現(xiàn)將沿折起，使得二面角大小為，得到如圖（2）所示的空間幾何體（折疊后點(diǎn)記作點(diǎn)）

(1)求點(diǎn)到面的距離；(2)求四棱錐外接球的體積；(3)點(diǎn)為一動點(diǎn)，滿足，當(dāng)直線與平面所成角最大時，試確定點(diǎn)的位置．54．（2024·河北唐山·模擬預(yù)測）在長方體中，是棱的中點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；(2)若異面直線與所成角為，求與平面所成角的正弦值．55．（2024·北京）如圖，在三棱錐中，平面，．

(1)求證：平面PAB；(2)求二面角的大?。?6．（2024·湖南·模擬預(yù)測）如圖，在梯形中，，，，，與交于點(diǎn)，將沿翻折至，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置.

(1)證明：；(2)若平面PBC與平面PBD的夾角的余弦值為，求三棱錐的體積成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjshuxue加入百度網(wǎng)盤群1.5T一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動更新永不過期專題36向量法求空間角6題型分類1．異面直線所成的角若異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別是u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|).2．直線與平面所成的角如圖，直線AB與平面α相交于點(diǎn)B，設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(u·n,|u||n|)))＝eq\f(|u·n|,|u||n|).3．平面與平面的夾角如圖，平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角．若平面α，β的法向量分別是n1和n2，則平面α與平面β的夾角即為向量n1和n2的夾角或其補(bǔ)角．設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).（一）異面直線所成的角用向量法求異面直線所成的角的一般步驟(1)建立空間直角坐標(biāo)系．(2)用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量．(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值．(4)注意兩異面直線所成角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對值．題型1：異面直線所成的角1-1．（2024高二上·北京豐臺·期末）在正四棱柱中，，是棱上的中點(diǎn)．

(1)求證：；(2)異面直線與所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明線線垂直；（2）在第一問的基礎(chǔ)上，利用空間向量求解異面直角的夾角余弦值．【詳解】（1）證明：以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，，，所以?/p>

（2），設(shè)異面直線與所成角的大小為，則，故異面直線AM與BC所成角的余弦值為．1-2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知正三棱柱的側(cè)面積是底面積的倍，點(diǎn)E為四邊形的中心，點(diǎn)F為棱的中點(diǎn)，則異面直線BF與CE所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】法一：作出輔助線，找到異面直線BF與CE所成角，求出各邊長，利用余弦定理求出答案；法二：建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間向量求出異面直線的夾角；法三：設(shè)，，，表達(dá)出，，求出兩向量數(shù)量積和模長，利用求出答案.【詳解】法一：如圖所示，取的中點(diǎn)G，連接FG，EG，

因?yàn)辄c(diǎn)E為四邊形的中心，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以或其補(bǔ)角就是異面直線BF與CE所成的角．設(shè)該三棱柱的底面邊長為2，正三棱柱的側(cè)面積是底面積的倍，則，所以．連接BG，則，，．在中，由余弦定理得，所以異面直線BF與CE所成角的余弦值為，法二：設(shè)，則由題得，所以．以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC，所在直線分別為y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，所以，，故，所以異面直線BF與CE所成角的余弦值為．法三：設(shè)，則由題得，所以．設(shè)，，，則，，，的夾角為，，，，，，，所以，所以異面直線BF與CE所成角的余弦值為.故選：B．1-3．（2024高三上·寧夏銀川·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，且四邊形是正方形，，，分別是棱，，的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)若，求異面直線與所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，先證明平面平面，進(jìn)而得證平面．（2）由題，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解即可.【詳解】（1）如圖，連接，∵是正方形，，分別是棱，的中點(diǎn)，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，∵平面，平面，∴平面，平面，∵，直線在平面內(nèi)，∴平面平面，∵平面，∴平面．

（2）由題意可得，，，兩兩互相垂直，如圖以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，則，，，，，，，，所以異面直線與所成角的余弦值為.題型2：已知線線角求其他量2-1．（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，，，，，E，F(xiàn)分別為AD，PC的中點(diǎn).

(1)證明：；(2)若BF與CD所成的角為，求平面BEF和平面ABE夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）由題可得，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得平面ABCD，進(jìn)而即得；（2）利用坐標(biāo)法，根據(jù)面面角的向量求法即得.【詳解】（1）在中，，E為AD的中點(diǎn)，，又平面平面ABCD，平面平面，平面，平面ABCD，又平面ABCD，.（2）如圖，連接EC，由條件知，，所以四邊形BCDE為矩形，又平面ABCD，平面ABCD，所以，又平面，所以平面，平面，所以，又BF與CD所成的角為，，從而，在中，，同理在中，，，為等邊三角形，即，在中，，，得，以E為原點(diǎn)，分別以EA，EB，EP為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，，，，.設(shè)平面BEF的法向量為，則，令，得，易知平面ABE的一個法向量為，則，平面BEF和平面ABE夾角的余弦值為.2-2．（2024高三下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，，平面平面，點(diǎn)是線段上的動點(diǎn).(1)證明：平面平面；(2)若點(diǎn)在線段上，，且異面直線與成30°角，求平面和平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）要證明面面垂直，需證明線面垂直，利用垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為證明平面，即可證明；（2）首先建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量公式求點(diǎn)的坐標(biāo)，并分別求平面和平面的法向量，利用二面角的向量公式，即可求解.【詳解】（1）證明：∵平面平面，且平面平面，，且平面，∴平面，平面，∴，∵，∵平面，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面；（2）因?yàn)?，過點(diǎn)作垂直于平面，以為原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，所以設(shè)，，，，，因?yàn)楫惷嬷本€與所成30°角，，，由題意知，平面的一個法向量為，，設(shè)平面的一個法向量為，則，所以，所以，平面和平面夾角的余弦值為.2-3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，底面，.點(diǎn)、、分別為棱、、的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，，.

(1)求證：平面；(2)已知點(diǎn)在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長．【答案】(1)證明見解析(2)或【分析】（1）以點(diǎn)為原點(diǎn)，以、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可證得平面；（2）設(shè)，則，利用空間向量法可得出關(guān)于的方程，解出的值，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）證明：因?yàn)榈酌?，，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則、、、、、、、，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，又因?yàn)椋瑒t，所以，，又因?yàn)槠矫妫?，平?（2）解：依題意，設(shè)，則，所以，，，由已知，得，整理可得，解得或，所以，線段的長為或.（二）利用空間向量求線面角的解題步驟題型3：直線與平面所成的角3-1．（2024·貴州六盤水·模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐中，平面，，，分別為，的中點(diǎn)，且，，.(1)證明：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計算可得.【詳解】（1）因?yàn)?，，，所以，在平面中作，因?yàn)槠矫妫云矫?，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，取，又平面的法向量可以為，所以，所以平面平面.（2）因?yàn)椋O(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.3-2．（2024高三上·江西贛州·期中）如圖，在正三棱柱中，分別為的中點(diǎn)，.

(1)求；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）設(shè)，由題設(shè)可得、，進(jìn)而可得，結(jié)合求參數(shù)，即可得；（2）作，構(gòu)建以為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求線面角的正弦值即可.【詳解】（1）設(shè)，又分別為的中點(diǎn)，則，由為正三棱柱，即上下底面為等邊三角形，又，所以，且，由，則，可得，所以.（2）作，構(gòu)建以為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，如下圖示，則，故，若是面的一個法向量，則，令，則，而，所以，即直線與平面所成角的正弦值為.

3-3．（2024·全國）在四棱錐中，底面．(1)證明：；(2)求PD與平面所成的角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）作于，于，利用勾股定理證明，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，從而可得平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.【詳解】（1）證明：在四邊形中，作于，于，因?yàn)?，所以四邊形為等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以；?）解：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，，則，則，設(shè)平面的法向量，則有，可取，則，所以與平面所成角的正弦值為.3-4．（2024·浙江）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)M，N分別為的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）過點(diǎn)、分別做直線、的垂線、并分別交于點(diǎn)、，由平面知識易得，再根據(jù)二面角的定義可知，，由此可知，，，從而可證得平面，即得；（2）由（1）可知平面，過點(diǎn)做平行線，所以可以以點(diǎn)為原點(diǎn)，，、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量，以及，即可利用線面角的向量公式解出．【詳解】（1）過點(diǎn)、分別做直線、的垂線、并分別交于點(diǎn)、．∵四邊形和都是直角梯形，，，由平面幾何知識易知，，則四邊形和四邊形是矩形，∴在Rt和Rt，，∵，且，∴平面是二面角的平面角，則，∴是正三角形，由平面，得平面平面，∵是的中點(diǎn)，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面．（2）因?yàn)槠矫?，過點(diǎn)做平行線，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，，、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為由，得，取，設(shè)直線與平面所成角為，∴．題型4：已知線面角求其他量4-1．（2024·重慶萬州·模擬預(yù)測）如圖1所示，在四邊形中，，為上一點(diǎn)，，，將四邊形沿折起，使得，得到如圖2所示的四棱錐．

(1)若平面平面，證明：；(2)點(diǎn)是棱上一動點(diǎn)，且直線與平面所成角的正弦值為，求．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）先證明，根據(jù)線線平行判定定理平面，再由線面平行性質(zhì)定理證明線線平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的法向量，利用線面角的法向量公式計算即可求解.【詳解】（1）在圖1中，因?yàn)?，，，所以，，又，所以，因?yàn)?，，所以，故?/p>

在圖2中，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，平面平面，所以；?）由（1）知，，，，平面，平面,所以平面，又平面，所以平面平面，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，在平面內(nèi)過點(diǎn)作的垂線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，因?yàn)?，平面AEB平面BCE，且，所以點(diǎn)在平面的射影為中點(diǎn)，故，，設(shè)，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，不妨令，則，，所以為平面的一個法向量．因?yàn)橹本€與平面所成角的正弦值為，所以，整理得，解得或（舍），所以為中點(diǎn)，所以.4-2．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測）如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于，的點(diǎn)，平面，，，，分別為，的中點(diǎn)，平面與平面的交線為，在圓上.

(1)在圖中作出交線（說明畫法，不必證明），并求三棱錐的體積；(2)若點(diǎn)滿足，且與平面所成角的正弦值為，求的值.【答案】(1)答案見解析，(2)或【分析】（1）由線線平行即可找到直線，由等體積法即可求解體積，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量夾角即可求解線面角，進(jìn)而可求解.【詳解】（1）過點(diǎn)作交圓于點(diǎn)，（，分別為，的中點(diǎn)，所以,又，所以,故為平面與平面的交線）因?yàn)槭菆A的直徑，所以，，所以，所以四邊形為矩形，因?yàn)?，，所以，因?yàn)槠矫?，為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離為，所以（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向作為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，，，，，所以，，，，設(shè)平面的法向量為，則即，不妨取，得因?yàn)榕c平面所成角的正弦值為，所以所以，所以或4-3．（2024·安徽黃山·三模）如圖，在直角梯形ABCD中，，，四邊形為平行四邊形，對角線和相交于點(diǎn)H，平面⊥平面，，，G是線段上一動點(diǎn)（不含端點(diǎn)）．

(1)當(dāng)點(diǎn)G為線段BE的中點(diǎn)時，證明：平面；(2)若，且直線與平面成角，求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，由三角形中位線和邊長關(guān)系可知四邊形是平行四邊形，即可證明平面；（2）根據(jù)題意可知，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，可設(shè)利用空間向量即可表示出，進(jìn)而確定點(diǎn)位置，再分別求得兩平面的法向量即可得出二面角的正弦值為.【詳解】（1）證明：連接，如下圖（1）中所示：因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以是中點(diǎn)，又點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則，且,又且，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；

（2）以為原點(diǎn)，為軸，過且在平面內(nèi)與垂直的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖（2）所示：由平面⊥平面，，可知，均為邊長為2的正三角形，則有，設(shè)，則，為平面的法向量，所以，解得（其中舍去）,所以，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，故可?。O(shè)平面的法向量為，則有，令，則，故可取所以．所以二面角的正弦值為．即二面角的正弦值為.（三）利用空間向量計算平面與平面夾角大小的常用方法(1)找法向量：分別求出兩個平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到平面與平面夾角的大?。?2)找與棱垂直的方向向量：分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個向量，然后通過這兩個向量的夾角可得到平面與平面夾角的大?。}型5：平面與平面的夾角5-1．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱底面，且，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)．

(1)證明：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證明線面垂直，再證明線線垂直，可得，，再利用線面垂直的判定定理可得平面；（2）為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，利用夾角公式求解公式.【詳解】（1）因?yàn)榈酌?，底面，所以，因?yàn)闉檎叫?，所以?/p>

因?yàn)?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫裕?/p>

又因?yàn)?，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以．

因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫裕砜傻?，因?yàn)?，平面，所以平面．?）如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為．由（1）可知是平面的一個法向量，記為，又平面的一個法向量為．所以平面與平面夾角的余弦值等于．

5-2．（2024高三上·天津南開·期中）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，E是棱PB上一點(diǎn)．

(1)求證：平面平面PBC；(2)若E是PB的中點(diǎn)，（i）求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．（ii）求平面PDC和平面EAC的夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)（i）；（ii）．【分析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由兩平面的法向量垂直得證兩平面垂直；（2）（i）由空間向量法求線面角；（ii）由空間向量法求面面角.【詳解】（1）因?yàn)?，取AB中點(diǎn)M，連接CM，則，又平面ABCD，平面ABCD，所以，故以CM為x軸，CD為y軸，CP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以．

因?yàn)椋?，所以平面PBC，即為平面PBC的法向量．設(shè)，則．設(shè)平面EAC的法向量為，，則即令，則．因?yàn)?，所以平面平面PBC．（2）因?yàn)镋是PB的中點(diǎn)，所以．（i）設(shè)直線PA與平面EAC所成角為，則，故直線PA與平面EAC所成角的正弦值為．（i）顯然平面PDC的法向量為，設(shè)平面PDC和平面EAC的夾角為，則．故平面PDC和平面EAC的夾角的余弦值為．5-3．（2024高三上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）如圖，在四棱臺中，底面是中點(diǎn)．底面為直角梯形，且．

(1)證明：直線平面；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意先證平面，進(jìn)而可得，根據(jù)勾股定理可得，根據(jù)線面垂直的判定定理分析證明；（2）建系，分別求平面、平面的法向量，利用空間向量求二面角.【詳解】（1）因?yàn)榈酌?，底面，則，由題意可知：，且平面，所以平面，且平面，可得，不妨設(shè)，由題意可得：，可知：，即，且，平面，所以直線平面.（2）如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，

則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，可得，設(shè)二面角為，則，所以二面角的正弦值.題型6：已知面面角求其他量6-1．（2024·吉林長春·一模）長方形中，，點(diǎn)為中點(diǎn)（如圖1），將點(diǎn)繞旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)處，使平面平面（如圖2）．

(1)求證：；(2)點(diǎn)在線段上，當(dāng)二面角大小為時，求四棱錐的體積．【答案】(1)證明見詳解(2)【分析】（1）由已知條件，先證明，再利用平面平面，可證平面，得到，又，可得平面，從而可證；（2）由題意，建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法求出平面和平面的法向量，進(jìn)而求出點(diǎn)坐標(biāo)，確定點(diǎn)位置，求出四棱錐的體積.【詳解】（1）證明：在長方形中，，為中點(diǎn)，，，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，又，平面，平面，，平面，平面，.（2）

如圖，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，由題意可得兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，，令，得，，又平面，是平面的一個法向量，，令，解得或（舍）.即為的靠近的三等分點(diǎn)時，二面角的平面角為，平面，且，到平面的距離為，又四邊形的面積為3，四棱錐的體積6-2．（2024高三上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，在幾何體中，平面四邊形是菱形，平面平面，，且，，．

(1)證明：(2)若二面角是直二面角，求直線與直線所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由面面垂直、線面垂直的性質(zhì)定理即可證明；

（2）以，，為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，求出平面和平面的一個法向量，由二面角是直二面角，求出，再由異面直線所成角求解即可.【詳解】（1），，，

取的中點(diǎn)，連接，則，，則，.平面平面，面平面，，面，平面，平面，.（2）設(shè)與的交點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，連接，可得，由（1）得平面，平面，分別以，，為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，平面，，，，，．設(shè)，，由題設(shè)得，，，，，，設(shè)，，是平面的法向量，則，取，得，設(shè)是平面的一個法向量，則，取，得，1，二面角是直二面角，，解得，

，直線與直線所成角的余弦值為

6-3．（2024·全國）如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．

(1)證明：；(2)點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時，求．【答案】(1)證明見解析；(2)1【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)相等證明；（2）設(shè)，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，，，又不在同一條直線上，.（2）設(shè)，則，設(shè)平面的法向量，則，令，得，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，，，化簡可得，，解得或，或，.一、單選題1．（2024高三上·安徽滁州·期末）如圖，在正方體中，分別為棱，，的中點(diǎn)，則與MN所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出正方體邊長為2，從而利用向量夾角余弦公式求出答案.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長為2，則，故，則與MN所成角的余弦值為.

故選：A2．（2024·云南保山·二模）已知正方體，Q為上底面所在平面內(nèi)的動點(diǎn)，當(dāng)直線與的所成角為45°時，點(diǎn)Q的軌跡為（

）A．圓 B．直線 C．拋物線 D．橢圓【答案】C【分析】建系，利用空間向量結(jié)合線線夾角分析運(yùn)算.【詳解】以點(diǎn)D為原點(diǎn)，，，為x，y，z的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1，則，設(shè)，可得，，因?yàn)橹本€與的所成角為，則，化簡可得，所以點(diǎn)Q的軌跡為拋物線.故選：C.

3．（2024高二下·江蘇·階段練習(xí)）在長方體中，為空間內(nèi)一點(diǎn)，為底面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，異面直線與所成角為，則當(dāng)線段的長度取最小值時，的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量的運(yùn)算確定的位置，再根據(jù)異面直線與所成角為可確定點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上，即可求出長度的最小值為，進(jìn)而求出的值.【詳解】由，得，即，所以點(diǎn)在直線上.又異面直線與所成的角為，為底面內(nèi)一點(diǎn)，所以點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上，因此要使長度最小，則、、共線，且.因?yàn)椋?，所以，，此時，又因?yàn)榕c反向，所以.故選：B.4．（2024高二上·河北張家口·階段練習(xí)）如圖，四棱雉的底面是邊長為3的正方形，，且，為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得異面直線與所成角的余弦值.【詳解】由于，所以，由于平面，所以平面，而四邊形是正方形，所以，由此以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)異面直線與所成角為，則.故選：C

5．（2024·全國·模擬預(yù)測）柏拉圖多面體是因柏拉圖及其追陮者對正多面體的研究而得名.如圖是棱長均為的柏拉圖多面體，點(diǎn)，，，分別為，，，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】方法一：取的中點(diǎn)，連接，，求得，，則可求得，進(jìn)一步求得,按向量夾角公式求解即可；法二;接，，交于點(diǎn)，連接.分別以，，所在直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，,用向量夾角公式坐標(biāo)運(yùn)算求解即可【詳解】方法一

由柏拉圖多面體的性質(zhì)可知，四邊形，均是邊長為的正方形，柏拉圖多面體的側(cè)面均為等邊三角形.如圖（1），取的中點(diǎn)，連接，，則.同理可得.所以取的中點(diǎn)，連接，，則，且又點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，所以且，則四邊形為平行四邊形，所以.同理可得.設(shè)，的夾角為，則，即異面直線與所成角的余弦值為.故選:方法二

連接，，交于點(diǎn)，連接.易知平面.因?yàn)?，，所以如圖（2），以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，因?yàn)辄c(diǎn)，，，分別為，，，的中點(diǎn)，所以，，，，則，,設(shè)，的夾角為，則即異面直線與所成角的余弦值為.故選：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：若不易將兩條異面直線轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的兩條直線時，則可利用向量法來求兩異面直線所成的角.第一種方法是利用已知向量表示所求向量，第二種方法是建立合適的空間直角坐標(biāo)系，兩種方法最終都轉(zhuǎn)化為求兩向量的夾角的余弦值.二、多選題6．（2024·湖南·模擬預(yù)測）正方體中，P是體對角線上的動點(diǎn)，M是棱上的動點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）

A．異面直線與所成的角的最小值為B．異面直線與所成的角的最大值為C．對于任意的P，存在點(diǎn)M使得D．對于任意的M，存在點(diǎn)P使得【答案】ABD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建系如圖，設(shè)正方體的邊長為1，則，設(shè)，，則，設(shè)異面直線與所成的角為，則，A.當(dāng)時，，，故A正確；B.當(dāng)時，，，故B正確；C.設(shè)，，則，，當(dāng)時，無解，故C錯誤；D.，令，得，即對于任意的M，存在點(diǎn)P使得，故D正確.故選：ABD.

7．（2024高三上·黑龍江哈爾濱·期中）在棱長為2的正方體中，M為邊的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有（

）A．與所成角的余弦值為B．過三點(diǎn)A、M、的截面面積為C．四面體的內(nèi)切球的表面積為D．E是邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是邊的中點(diǎn)，過E、M、F三點(diǎn)的截面是六邊形．【答案】AD【分析】對于A，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的夾角公式求解；對于B，作出過三點(diǎn)A、M、的截面，即可求其面積；對于C，利用等體積法求出內(nèi)切球的半徑，即可求解；對于D，利用幾何作圖，作出過E、M、F三點(diǎn)的截面，即可判斷.【詳解】對于A，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，則,則，與所成角的范圍為，故與所成角的余弦值為，A正確；對于B，設(shè)N為的中點(diǎn)，連接MN，則，且，則梯形即為過三點(diǎn)A、M、的截面，，則梯形高為，故梯形面積為為，B錯誤；對于C，如圖，四面體的體積等于正方體體積減去四個角上的直三棱錐的體積，即，該四面體的棱長為，其表面積為，設(shè)四面體內(nèi)球球半徑為r，則，故四面體的內(nèi)切球的表面積為，C錯誤；對于D，如圖，延長ME和的延長線交于J，則≌，則，設(shè)H為的中點(diǎn)，則，連接HJ，則≌，則，故G為的中點(diǎn)，故，同理延長交于L，連接LH，交于K，K即為的中點(diǎn)，則K，E在確定的平面內(nèi)，則六邊形即過E、M、F三點(diǎn)的截面，是六邊形，D正確，故選：AD【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題綜合考查了空間幾何中的線線角、截面、以及內(nèi)切球問題，難度較大，解答時要發(fā)揮空間想象能力，明確空間的位置關(guān)系，結(jié)合空間向量以及等體積法和幾何作圖解決問題.三、填空題8．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在三棱錐P－ABC中，底面ABC，底面ABC為正三角形，PA＝AB，則異面直線PB與AC所成角的余弦值為【答案】【分析】以為基底，運(yùn)用空間向量求解.【詳解】設(shè)，則，；故答案為：.9．（2024·河南開封·二模）已知矩形，，過作平面，使得平面，點(diǎn)在內(nèi)，且與所成的角為，則點(diǎn)的軌跡為，長度的最小值為．【答案】雙曲線【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合已知條件求出點(diǎn)軌跡方程進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，平面內(nèi)過且與垂直的直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則由已知，，，，，∵點(diǎn)在平面內(nèi)，∴設(shè)，則，，∵直線與直線所成的角為，∴，兩邊同時平方，化簡得點(diǎn)軌跡方程為，∴點(diǎn)的軌跡為雙曲線.，∵點(diǎn)軌跡方程為，∴，且，∴，∴當(dāng)時，的最小值為.故答案為：雙曲線，【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：本題第二個空容易誤認(rèn)為當(dāng)點(diǎn)在線段上時，長度最小，使用空間向量運(yùn)算，可以有效避免這種直覺上的錯誤.10．（2024高三上·河北唐山·期末）如圖，在四棱柱中，底面，且底面為菱形，，，，為的中點(diǎn)，在上，在平面內(nèi)運(yùn)動（不與重合），且平面，異面直線與所成角的余弦值為，則的最大值為.【答案】/【分析】連接交于點(diǎn)，推導(dǎo)出平面，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，利用空間向量法可求得的值，求出點(diǎn)的坐標(biāo)為，求出的最小值，即可求得的最大值.【詳解】連接交于點(diǎn)，平面，平面，則，因?yàn)樗倪呅螢榱庑危瑒t，，、平面，平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、，易知平面的一個法向量為，因?yàn)槠矫?，所以，，設(shè)點(diǎn)，其中，則，由已知可得，因?yàn)?，解得，即點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則，因?yàn)?，則，可得，且，可得，所以，點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，、平面，，，且，所以?故答案為：.11．（2024·江西鷹潭·模擬預(yù)測）已知正方體的棱長為1，是棱的中點(diǎn)，為棱上的動點(diǎn)（不含端點(diǎn)），記?面直線與所成的角為，則的取值范圍是.【答案】【分析】方法1：通過作平行線找出異面直線AB與EG所成角，設(shè)，在直角三角形中用x表示出，將問題轉(zhuǎn)化為求在上的值域即可.方法2：建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用坐標(biāo)法求得異面直線AB與EG所成角的余弦值的范圍，進(jìn)而求得其正弦值的范圍即可.【詳解】方法1：取的中點(diǎn)N，連接，如圖所示，

則，面，所以異面直線AB與EG所成角即為，，設(shè)，（），所以，又因?yàn)?，所以，所以，即?方法2：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，所以，，所以，（），又因?yàn)楫?dāng)時，；當(dāng)或時，，所以，又因?yàn)?，所?故答案為：.12．（2024·寧夏銀川·模擬預(yù)測）在正四棱柱中，底面邊長為1，高為3，則異面直線與AD所成角的余弦值是.【答案】【分析】連接，即為異面直線與AD所成的角，解三角形即可．【詳解】，即為異面直線與AD所成的角，

連接，在中，正四棱柱的底面邊長為1，高為3，，，，∴，，.故異面直線與AD所成角的余弦值是．故答案為：．13．（2024高二下·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，，，.點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，當(dāng)直線與所成的角最小時，則線段的長為【答案】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量的夾角公式求出的最大值，從而確定Q點(diǎn)在上的位置，即可求得答案.【詳解】因?yàn)槠矫婺?，所以兩兩垂?以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,因?yàn)?設(shè)，又，則，又，從,設(shè)，則,當(dāng)且僅當(dāng)，即時，的最大值為,即直線與所成角的余弦值的最大值為，而直線與所成角的范圍為，因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，故此時直線與所成角最小，又因?yàn)?，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)求得的夾角的余弦的最大值，即可確定Q點(diǎn)的位置，進(jìn)而求得答案，因此在解決類似問題時，可以嘗試建立空間坐標(biāo)系，利用向量解決問題，可以簡化題目的難度.四、解答題14．（2024高三上·安徽·開學(xué)考試）如圖，在五面體中，底面為正方形，側(cè)面為等腰梯形，二面角為直二面角，.

(1)求點(diǎn)到平面的距離；(2)設(shè)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，若直線與平面及平面所成的角相等，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）作出輔助線，由面面垂直得到線面垂直，得到點(diǎn)到平面的距離即為的長，由勾股定理求出答案；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，由直線與平面及平面所成的角相等列出方程，求出的值.【詳解】（1）如圖，過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接.因?yàn)槎娼菫橹倍娼?，所以平面平面，又平面平面平面，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離即為的長，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?，，所以，故，，因?yàn)?，由勾股定理得，又，由勾股定理得，即點(diǎn)到平面的距離為.

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線分別為軸，過點(diǎn)作平面的垂線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，

由，得..

設(shè)平面的法向量為，由，由，解得，令，得，故，又易知平面的一個法向量為.設(shè)直線與平面所成角為，與平面所成角為，則，∴，整理得，由，得.15．（2024·河南開封·三模）如圖，在圓錐中，為圓錐頂點(diǎn)，為圓錐底面的直徑，為底面圓的圓心，為底面圓周上一點(diǎn)，四邊形為矩形，且，．

(1)若為的中點(diǎn)，求證：平面；(2)若與平面所成角為，求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理，結(jié)合線面平行和面面平行的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）連接，在中，分別為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，在矩形中，，同理可得平面，又，平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面；?）過點(diǎn)做交于點(diǎn)，連接由題可知平面，且，所以平面則，又，平面，所以平面，∴在平面內(nèi)射影為，則即為與平面所成的角，所以在中，由可知則，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，過點(diǎn)垂直于平面為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，

設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，所以，所以，因?yàn)槎娼菫殇J二面角，所以二面角的余弦值為.16．（2024高三上·廣東·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD為菱形，E，F(xiàn)分別為AB，PD的中點(diǎn).

(1)求證：平面PBC；(2)已知，，又二面角的大小為45°，求PD的長.【答案】(1)證明見解析(2)12【分析】（1）取中點(diǎn)，連接.先證明四邊形為平行四邊形，再根據(jù)線面平行的判定定理即可證明；（2）先證明為正三角形，再以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，利用向量法求得，從而可解.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接.

在中，分別為的中點(diǎn)，所以.在菱形中，因?yàn)?，所?所以四邊形為平行四邊形，所以.又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，所?又，平面，所以平面，又平面，所以，連接，，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，在菱形中，，即為正三角形.因?yàn)椋?以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，則，因?yàn)槠矫?，所以平面的法向量?設(shè)平面的法向量為，則，所以，取，則，所以，由題意，二面角的大小為，所以，解得（舍負(fù)）.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以的長為12.17．（2024高三上·遼寧鞍山·階段練習(xí)）如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，為棱中點(diǎn)，且平面．

(1)求證：；(2)若，二面角的大小為，求三棱錐的內(nèi)切球半徑．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先由線面垂直判斷定理證明線面垂直，再由線面垂直得出線線垂直即可；（2）由空間向量法計算二面角求得,再根據(jù)公式計算求得內(nèi)切球半徑.【詳解】（1）中，為中點(diǎn)，∴，又∴平面平面平面，平面，所以平面，又平面.（2）在Rt中，，∴，設(shè)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

則設(shè)為平面的法向量，則有，令，得，取為平面的法向量，，解得∴，該三棱錐的表面積記為，因?yàn)槠矫?，平面，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，則，由得綜上：.18．（2024·江西九江·一模）如圖，直角梯形中，，，，，將沿翻折至的位置，使得，為的中點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；(2)為線段上一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），若二面角的余弦值為，求線段的長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)翻折前后的位置關(guān)系以及棱長，利用勾股定理和線面垂直的性質(zhì)定理可證明線線垂直，再利用面面垂直的判定定理即可證明.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)利用空間向量可求出表示出二面角的表達(dá)式，解方程即可求得線段的長．【詳解】（1）易知，，，平面，平面，又平面，所以由直角梯形，，，，可得，又，得；又，平面，所以平面又平面，可得平面平面（2）取的中點(diǎn)，連接，，

，，又平面平面，平面平面，平面，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，可得，又，故以所在的直線分別為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)，則設(shè)平面的一個法向量為，，，所以，令，得，，即平面的一個法向量為可得，解得或(舍)即為的中點(diǎn)，易知，故線段的長為.19．（2024高三上·山東菏澤·階段練習(xí)）在長方體中，，.點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn).

(1)當(dāng)點(diǎn)是中點(diǎn)時，求證：直線平面；(2)若二面角的余弦值為，求線段的長.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，，即可證明，從而得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用空間向量法計算可得.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，，，所以且，且，所以且，∴四邊形為平行四邊形，可知，平面，平面，∴平面.（2）設(shè)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，由及，即，則，設(shè)平面的法向量為，由及，即，則，設(shè)二面角為，所以，即，解得或（舍去），所以.20．（2024高三上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，四棱錐中，底面是矩形，，，且側(cè)面底面，側(cè)面底面，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，動點(diǎn)E在邊BC上移動，且．

(1)證明：底面；(2)當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上移動，使二面角為時，求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用面面垂直和線面垂直的性質(zhì)，證明且，可得底面ABCD．（2）證明側(cè)面PBC，則為二面角的平面角，得，分別以AD，AB，AP為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面法向量求二面角的余弦值．【詳解】（1）證明：因?yàn)閭?cè)面底面，且側(cè)面底面，底面是矩形，，底面，所以面，面，所以，同理，側(cè)面底面，且側(cè)面底面，底面是矩形，，底面，所以面，面，所以，底面，，所以底面ABCD．（2）因?yàn)榈酌鍭BCD，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，且，所以．因?yàn)閭?cè)面，且，則側(cè)面，側(cè)面，所以，側(cè)面，，所以側(cè)面，側(cè)面，，所以為二面角的平面角，當(dāng)時，中，由，得，因?yàn)锳D，AB，AP三線兩兩垂直，分別以AD，AB，AP為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

，，，，，，，設(shè)平面FAE的法向量為，則，即，令，得，，則；設(shè)平面PAE的法向量為，由，即，令，得，，所以，設(shè)二面角為，則．21．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測）在三棱臺中，為中點(diǎn)，，，.(1)求證：平面；(2)若，，平面與平面所成二面角大小為，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）易證得四邊形為平行四邊形，由此可得，結(jié)合，由線面垂直的判定可得結(jié)論；（2）根據(jù)垂直關(guān)系，以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由二面角的向量求法可構(gòu)造方程求得，利用體積橋可求得結(jié)果.【詳解】（1）在三棱臺中，為中點(diǎn)，則，又，，，四邊形為平行四邊形，，又，，，，，，平面，平面.（2），，，又，，平面，平面，連接，，，為中點(diǎn)，；以為正交基底，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，則，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，解得：，，；又平面的一個法向量，，解得：，即，平面，平面平面，平面，.22．（2024高三上·廣東東莞·階段練習(xí)）如圖，四邊形是矩形，四邊形是梯形，，平面與平面互相垂直，．

(1)求證：．(2)若二面角為，求多面體的體積．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）利用正弦定理先證，再證線面垂直即可；（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，由二面角計算BC長，將多面體分割為四棱錐和三棱錐，分別計算其體積即可.【詳解】（1）在中，由正弦定理得，所以．又平面平面，平面平面，平面，所以平面．又平面,所以；（2）因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，所以．結(jié)合平面，可知兩兩垂直．故以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

易知平面的一個法向量為，假設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，所以，即，令，則，所以平面的一個法向量為，因?yàn)槎娼菫?，所以，解得．易證，所以．因?yàn)?，平面平面，平面平面，所以平面，所以是三棱錐的高．，因?yàn)槠矫?，所以是四棱錐的高．，所以多面體的體積.23．（2024·寧夏石嘴山·一模）如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，底面為菱形，．

(1)若四棱錐的體積為1，求的長；(2)求平面與平面所成二面角的正弦值．【答案】(1)2(2)【分析】（1）過作于，連接，根據(jù)面面垂直得性質(zhì)可得底面，設(shè)，求出，再根據(jù)錐體的體積公式即可得解；（2）取的中點(diǎn)，連接，則，以的方向?yàn)檩S的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【詳解】（1）如圖，過作于，連接，因?yàn)閭?cè)面底面，且側(cè)面底面面，所以底面，設(shè)，因?yàn)?，所以，在菱形中，，則為等邊三角形，則，所以四棱錐的體積，解得；（2）取的中點(diǎn)，連接，則，以的方向?yàn)檩S的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)平面的法向量為，，令，得，則，故平面與平面所成二面角的正弦值為.

24．（2024·河北張家口·三模）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，，，.

(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）利用面面垂直的判定定理進(jìn)行證明；（2）利用垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法進(jìn)行求解.【詳解】（1）如圖，連接，交于，連接.因?yàn)閭?cè)面為菱形，所以，且為的中點(diǎn).又，故.又，且，所以，所以.又，所以，所以.因?yàn)槠矫?，，所以平?又平面，所以平面平面.

（2）由（1）知，兩兩互相垂直，因此以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，.故，，.設(shè)為平面的一個法向量，則有，即，令，則.設(shè)為平面的一個法向量，則有，即，令，則.因?yàn)槠矫嫫矫?，所以也是平面的一個法向量.所以.所以平面與平面夾角的余弦值.

25．（2024高三上·黑龍江大慶·開學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是菱形，，，，底面ABCD，，點(diǎn)E在棱PD上，且

(1)證明：平面平面ACE；(2)求平面PAC與平面ACE所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意可證平面PBD，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建系，根據(jù)垂直關(guān)系求點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用空間向量求面面夾角.【詳解】（1）因?yàn)槠矫鍭BCD，且平面ABCD，則又因?yàn)锳BCD為菱形，則，且，平面PBD，所以平面PBD，則平面，故平面平面PBD.（2）由題意可知：，平面ABCD，故以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，設(shè)，則，可得，解得，即，可得，因?yàn)?，則，解得，所以，由題意可知：平面PAC的一個法向量為，設(shè)平面ACE的一個法向量，可得，則，令，則，可得則，所以平面PAC與平面ACE所成角的余弦值為.26．（2024高三上·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖，平面ABCD，，‖，‖，，點(diǎn)E，F(xiàn)，M分別為AP，CD，BQ的中點(diǎn)．

(1)求證：‖平面CPM；(2)若N為線段CQ上的點(diǎn)，且直線DN與平面QPM所成的角為，求線段QN的長．【答案】(1)證明見解析(2)．【分析】（1）連接EM，則根據(jù)題意可證得四邊形EMCF為平行四邊形，則‖，然后由線面平行的判定定理可證得結(jié)論，（2）由題意可得兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求即可.【詳解】（1）證明：連接EM，因?yàn)椤?，‖，，所以‖，，所以四邊形ABQP為平行四邊形，又點(diǎn)E，F(xiàn)，M分別為AP，CD，BQ的中點(diǎn)，則‖，，，所以‖，且，所以四邊形EMCF為平行四邊形，所以‖，又平面CPM，平面CPM，所以‖平面CPM；（2）因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，因?yàn)椋詢蓛纱怪?，所以以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，設(shè)平面QPM的一個法向量為，則，令，則；設(shè)，則，所以，，由題意直線DN與平面QPM所成的角為，則，解得或（舍），所以，即線段QN的長為．

27．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝2，∠DAB＝60°，點(diǎn)E，F(xiàn)在以AD為直徑的半圓上，且，將半圓沿AD翻折如圖2．

(1)求證：EF∥平面ABCD；(2)當(dāng)多面體ABE﹣DCF的體積為4時，求平面ABE與平面CDF夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由正六邊形的性質(zhì)可得，即可證；（2），由此可得，再求平面與平面的法向量，代入公式即可得．【詳解】（1）證明：連接，，，六邊形為正六邊形，則，

在翻折過程中，，平面，平面，所以平面．（2）連接，分別交于，，則，，翻折過程中，平面，平面，，，，所以平面，同理平面，所以平面平面．又因?yàn)?，則三棱柱為直三棱柱，，，且，，．設(shè)，所以，．所以，即，，，為二面角的平面角，即平面平面．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，

則,,，，，,2,，,3,，,2,，，設(shè)平面的一個法向量，有，令得，同理可得平面的法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，觀察圖可知其為銳角，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為．28．（2024·江蘇·一模）在三棱柱中，平面平面，側(cè)面為菱形，，，，是的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)點(diǎn)在線段上（異于點(diǎn)，），與平面所成角為，求的值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）作交于點(diǎn)，由面面垂直的性質(zhì)可得平面，可得，再由線面垂直的判定定理得平面，從而得到，再由線面垂直的判定定理可得答案；（2）以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，可得，求出平面的一個法向量，由線面角的向量求法可得答案.【詳解】（1）因?yàn)閭?cè)面為菱形，，，所以為邊長為的等邊三角形，作交于點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，平面，可得，又，，平面，可得平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)閭?cè)面為菱形，所以，，平面，所以平面；（2）由（1）知，平面，，取做的中點(diǎn)，連接，則，所以平面，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，可得，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，可得，可得，解得舍去，或，所以.29．（2024·廣東廣州·三模）如圖，四棱錐的底面為正方形，，平面，分別是線段的中點(diǎn)，是線段上的一點(diǎn).

(1)求證：平面平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，且點(diǎn)不是線段的中點(diǎn)，求三棱錐體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由線面垂直判定可證得平面，由中位線性質(zhì)知，從而得到平面，由面面垂直判定可得結(jié)論；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，由線面角的向量求法可構(gòu)造方程求得，結(jié)合垂直關(guān)系可得平面的距離為，利用棱錐體積公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）連接，分別是線段的中點(diǎn)，，底面四邊形為正方形，，平面，平面，，又，平面，平面，，平面，又平面，平面平面.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)，，則，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，解得：，，；設(shè)直線與平面所成角為，，解得：或（舍），，平面，平面，；，，平面，平面，到平面的距離為，.

30．（2024高三下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）在四棱錐S﹣ABCD中，已知底面ABCD為菱形，若.

(1)求證：SE⊥平面ABCD；(2)若，設(shè)點(diǎn)H滿足，當(dāng)直線與平面所成角的正弦值為時，求μ的值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用菱形的性質(zhì)及線線垂直證線面垂直即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量研究線面夾角計算即可.【詳解】（1）由底面ABCD為菱形，得，又平面，∴平面，∵平面，∴，又平面，∴平面，∵平面，∴，又平面，∴平面；（2）由（1）結(jié)論，可以以點(diǎn)E坐標(biāo)原點(diǎn)，以向量的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，取，則，由，則，設(shè)平面的一個法向量為則由，取，則，所以平面的一個法向量為，直線的方向向量為，記直線與平面所成角為θ，則，解得或μ＝3(舍)，∴.

31．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知三棱柱中，是的中點(diǎn)，是線段上一點(diǎn).

(1)求證：；(2)設(shè)是棱上的動點(diǎn)（不包括邊界），當(dāng)?shù)拿娣e最小時，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的“三線合一”證明線線垂直，結(jié)合勾股定理證明直線垂直，從而由線面垂直判定定理得平面，利用線面垂直的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)三角形的面積最小，得到是的中