2020-2024五年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編專題05平面向量與復(fù)數(shù)（解析版）

2020-2024年五年高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題05平面向量與復(fù)數(shù)考點(diǎn)五年考情（2020-2024）命題趨勢考點(diǎn)1平面向量數(shù)量積（5年5考）2024天津卷：平面向量基本定理的應(yīng)用平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)量積的坐標(biāo)表示；2022天津卷：用基底表示向量向量夾角的計(jì)算；2023天津卷：余弦定理解三角形用基底表示向量用定義求向量的數(shù)量積基本不等式求積的最大值；2021天津卷：數(shù)量積的運(yùn)算律；2020天津卷：已知向量共線(平行)求參數(shù)用定義求向量的數(shù)量積數(shù)量積的坐標(biāo)表示；1.向量在高考的考查主要包含了，向量的加減與數(shù)量積運(yùn)算，通常運(yùn)用基底法與建系法數(shù)形結(jié)合。2.平面向量的線性表示，通常會(huì)與共線結(jié)合，同時(shí)結(jié)合基本不等式求解最值與取值范圍問題.3.向量的夾角與模長問題是高考中中的重點(diǎn)內(nèi)容，通常會(huì)結(jié)合最值與取值范圍進(jìn)行考察4.復(fù)數(shù)在高考中主要考察了復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，包含了加減乘除運(yùn)算.考點(diǎn)2平面向量的線性表示（5年3考）2024天津卷：平面向量基本定理的應(yīng)用平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)量積的坐標(biāo)表示；2023天津卷：余弦定理解三角形用基底表示向量用定義求向量的數(shù)量積基本不等式求積的最大值；2022天津卷：用基底表示向量向量夾角的計(jì)算；考點(diǎn)3向量夾角（5年1考）2022天津卷：用基底表示向量向量夾角的計(jì)算；考點(diǎn)4向量模長（5年2考）2021天津卷：數(shù)量積的運(yùn)算律；2020天津卷：已知向量共線(平行)求參數(shù)用定義求向量的數(shù)量積數(shù)量積的坐標(biāo)表示；考點(diǎn)5復(fù)數(shù)的加減乘除運(yùn)算（5年2考）2024天津卷：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算；2023天津卷：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算；2022天津卷：復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算；2021天津卷：復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算；2020天津卷：復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算；考點(diǎn)01平面向量數(shù)量積1.（2024·天津·高考真題）在邊長為1的正方形ABCD中，點(diǎn)E為線段CD的三等分點(diǎn)，CE=12DE,BE=λBA+μBC，則λ+μ=【答案】43〖祥解〗解法一：以BA,BC為基底向量，根據(jù)向量的線性運(yùn)算求BE，即可得λ+μ，設(shè)BF=kBE，求AF,DG，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求AF?DG的最小值；解法二：建系標(biāo)點(diǎn)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求【詳析】解法一：因?yàn)镃E=12DE，即可得λ=13由題意可知：BC=因?yàn)镕為線段BE上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)BF=則AF=又因?yàn)镚為AF中點(diǎn)，則DG=可得AF=1又因?yàn)閗∈0,1，可知：當(dāng)k=1時(shí)，AF解法二：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A-可得BA=因?yàn)锽E=λBA+μ因?yàn)辄c(diǎn)F在線段BE:y=-3且G為AF中點(diǎn)，則Ga可得AF=則AF?且a∈-13,0，所以當(dāng)a故答案為：43；-2.（2020·天津·高考真題）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=60°,?AB=3，BC=6，且AD=λBC,AD?AB=-3【答案】16〖祥解〗可得∠BAD=120°，利用平面向量數(shù)量積的定義求得λ的值，然后以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)M(x,0)，則點(diǎn)N(x+1,0)【詳析】∵AD=λBC，AB=λ解得λ=以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系xBy，∵BC=6∵AB=3,∠ABC=60°，∴A∵又∵AD=16BC,則D(52DM=(x-DM?所以，當(dāng)x=2時(shí)，DM?DN故答案為：16；13【『點(diǎn)石成金』】本題考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算，考查平面向量數(shù)量積的定義與坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.考點(diǎn)02平面向量的線性表示3．（2023·天津·高考真題）在△ABC中，BC=1，∠A=60°，AD→=12AB→,CE→【答案】14a〖祥解〗空1：根據(jù)向量的線性運(yùn)算，結(jié)合E為CD的中點(diǎn)進(jìn)行求解；空2：用a,b表示出AF，結(jié)合上一空答案，于是AE?AF【詳析】空1：因?yàn)镋為CD的中點(diǎn)，則ED+EC=兩式相加，可得到2AE即2AE=1空2：因?yàn)锽F=13BC，則得到AF+即3AF=2a于是AE?記AB=則AE?在△ABC中，根據(jù)余弦定理：B于是AE?由x2+y故xy≤1，當(dāng)且僅當(dāng)x則x=y=1時(shí)，AE故答案為：14a+

考點(diǎn)03向量夾角4．（2022·天津·高考真題）在△ABC中，CA=a,CB=b，D是AC中點(diǎn)，CB=2BE，試用a,b表示DE【答案】32b〖祥解〗法一：根據(jù)向量的減法以及向量的數(shù)乘即可表示出DE，以a,b為基底，表示出AB,DE，由法二：以點(diǎn)E為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)E(0,0),B(1,0),C(3,0),A(x,y)，由AB⊥DE可得點(diǎn)A【詳析】方法一：DE=CE-CD3b2+a2=4a?b故答案為：32b-方法二：如圖所示，建立坐標(biāo)系：E(0,0),B(1,0),CDE⊥AB?(x+32)(x-1)+y22=0?(故答案為：32b-考點(diǎn)04向量模長5．（2021·天津·高考真題）在邊長為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，DE⊥AB且交AB于點(diǎn)E．DF//AB且交AC于點(diǎn)F,則|2BE+DF|的值為【答案】111〖祥解〗設(shè)BE=x，由(2BE+DF)【詳析】設(shè)BE=x，x∈0,12，∴∠BDE∵DF//AB，∴△DFC為邊長為1-2∴(2∴|2BE∵(=(所以當(dāng)x=310時(shí)，(故答案為：1；1120考點(diǎn)05復(fù)數(shù)的加減乘除運(yùn)算6．（2024·天津·高考真題）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)5+i?【答案】7-〖祥解〗借助復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則計(jì)算即可得.【詳析】5+故答案為：7-57．（2023·天津·高考真題）已知i是虛數(shù)單位，化簡5+14i2+3i【答案】4+i/〖祥解〗由題意利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，分子分母同時(shí)乘以2-3i，然后計(jì)算其運(yùn)算結(jié)果即可【詳析】由題意可得5+14i故答案為：4+i8．（2022·天津·高考真題）已知i是虛數(shù)單位，化簡11-3i1+2i的結(jié)果為【答案】1-5i/〖祥解〗根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則即可解出．【詳析】11-3i故答案為：1-5i9．（2021·天津·高考真題）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)9+2i2+i【答案】4-〖祥解〗利用復(fù)數(shù)的除法化簡可得結(jié)果.【詳析】9+2i故答案為：4-i10．（2020·天津·高考真題）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)8-i2+i【答案】3-2〖祥解〗將分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，然后利用運(yùn)算化簡可得結(jié)果.【詳析】8-i故答案為：3-2i【『點(diǎn)石成金』】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.11．（2024·天津河北·二模）△ABC是等腰直角三角形，其中AB⊥AC,∣AB∣=1，P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，若CP=λCA+A．0,22 B．22,1 C．【答案】B〖祥解〗根據(jù)向量共線定理的推論，投影向量的概念，數(shù)形結(jié)合，即可求解．【詳析】設(shè)CQ=2CA，CP=λCA則CP=λ2CQ+則P在線段QB上，如圖所示，

當(dāng)P與Q重合時(shí)，CA在CP上的投影向量的長度取得最大值，最大值為|CA當(dāng)P與B重合時(shí)，CA在CP上的投影向量的長度取得最小值，最大值為12則CA在CP上的投影向量的長度的取值范圍是22故選：B.12．（2024·天津河?xùn)|·二模）如圖所示，正方形ABCD的邊長為13，正方形EFGH邊長為1，則AE?AG的值為.若在線段AB上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，則ME?MG【答案】611〖祥解〗易知正方形ABCD與正方形EFGH的中心為O，然后將涉及到的向量用AO,OG或MO【詳析】由已知得正方形ABCD與正方形EFGH的中心重合，不妨設(shè)為O，所以AO=262則AE?ME?顯然，當(dāng)M為AB的中點(diǎn)時(shí)，MOmin所以ME故答案為：6；11413．（2024·天津南開·二模）已知在平行四邊形ABCD中，DE=12EC，BF=12FC，記AB=a，AD=b，用a和b表示AE=【答案】13a+b〖祥解〗對于空1，由DE=12EC得DE=13DC=13AB，結(jié)合AE【詳析】因?yàn)镈E=12所以AE=因?yàn)锽F=12所以AC=AB+故43AC=又DB=AB-故23DB=因?yàn)锳E=2，AF所以AC·故答案為：13a+14．（2024·天津?yàn)I海新·三模）在平行四邊形ABCD中，∠A=60°，AD=23AB，點(diǎn)E在邊DC上，滿足DE=13DC，則向量AE在向量AD上的投影向量為（請用AD表示）；若AB=3，點(diǎn)M，N分別為線段AB【答案】54AD〖祥解〗第一空：作EF⊥AD于F，根據(jù)幾何關(guān)系求出DF和AD的比例關(guān)系即可；第二空：可以A為原點(diǎn)，AB為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)M【詳析】作EF⊥AD于F∵∠DAB=60°，且四邊形則∠FDE那么DF=又DE=13又AD=23AB，故AB故DF=∴AFAD=5則AE在向量AD上的投影向量為54AB=3，AD=如圖以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，作DQ⊥x軸于Q，則AQDE=13設(shè)Mx,0，則又BM+BN=1，BM<1?x>2，BN<1?作NP⊥x軸于P，則NP=則N1故EM=故EM?EN=令fx∵fx在2，5故f(x)即EM?EN的最小值為故答案為：54AD；【『點(diǎn)石成金』】關(guān)鍵點(diǎn)『點(diǎn)石成金』：本題的關(guān)鍵是采用建系法，從而構(gòu)建出關(guān)于EM?EN15．（2023·天津和平·三模）已知△ABC中，點(diǎn)D是AC中點(diǎn)，點(diǎn)M滿足BM=2MC，記BA=a，BD=b，請用a，b表示AM=；若BA【答案】43b〖祥解〗由題意可得AM=23BC-BA，BC=2BD-BA【詳析】根據(jù)題意，可得AM=由點(diǎn)D是AC中點(diǎn)，可得BC=2所以AM=向量AM在向量BD上的投影向量AM·因?yàn)锽A?BD=-5所以向量AM在向量BD上的投影向量的模為：|AM當(dāng)且僅當(dāng)43|b所以向量AM在向量BD上的投影向量的模的最小值為203故答案為：①43b-516．（2024·天津河西·三模）如圖，動(dòng)點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓O上（異于A，B），DC⊥BC，DC=BC，AB=2，CA-BC=【答案】22〖祥解〗根據(jù)向量的線性運(yùn)算結(jié)合模長即可求得第一空答案；設(shè)∠BOC=2θ,θ∈0,π2，作DE⊥【詳析】由題意可知O為AB的中點(diǎn)，且|CO則CA-設(shè)∠BOC=2θ,θ∈0,在△BOC中，故BC=2sinθ∠OCB=π-2θ則CE=故OC?當(dāng)θ=π4時(shí)，OC故答案為：2；217．（2024·天津·二模）已知△OAB中，AO?AB=0，BC=2CA，記OC=λOA+μOBλ【答案】13/3-〖祥解〗用基底OA和OB表示OC，即可求得λ=23,μ=13；建立平面直角坐標(biāo)系，用向量方法表示出【詳析】因?yàn)锽C=2CA，所以O(shè)C=所以λ=23因?yàn)锳O?AB=0，所以AO⊥AB，以A設(shè)CA=b，則Cb,0，B3cos==1-13此時(shí)b=233，AB所以當(dāng)∠BOC最大時(shí)，AB故答案為：13，218．（2024·天津·二模）設(shè)直線l:y=kx-6k≠0和圓C:【答案】-〖祥解〗由于CM?CN=0，可知圓心到直線的距離【詳析】

如圖所示，由已知C:x2可得C3,2，半徑r又CM?CN=0，所以CM所以圓心C到直線l得距離d=即d=3k+21+故答案為：-1219．（2024·天津北辰·三模）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)Z=1-i3+4【答案】-〖祥解〗根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算可得Z=-1【詳析】Z=所以復(fù)數(shù)Z的虛部為-7故答案為：-20．（2024·天津南開·二模）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)11-2i1-2i【答案】3+4〖祥解〗由復(fù)數(shù)除法法則直接計(jì)算即可.【詳析】由題11-2i故答案為：3+4i21．（2024·天津河北·二模）i是虛數(shù)單位，化簡1+i1-i的結(jié)果為【答案】i〖祥解〗利用復(fù)數(shù)的