專題09 平面向量、復(fù)數(shù)與不等式-5年（2020-2024）高考1年模擬數(shù)學(xué)真題分類匯編（北京專用）（解析版）

2020-2024年五年高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題09平面向量、復(fù)數(shù)與不等式考點(diǎn)五年考情（2020-2024）命題趨勢考點(diǎn)1平面向量（5年幾考）2020-2024：5年五考：向量的運(yùn)算；垂直及平行的向量表示；向量的坐標(biāo)；向量模的運(yùn)算1.平面向量問題以基礎(chǔ)性為主，突出向量的線性運(yùn)算和坐標(biāo)運(yùn)算,特別是線性運(yùn)算、夾角計(jì)算、數(shù)量積考查較多,模的計(jì)算、向量的垂直與平行也經(jīng)常出現(xiàn)見,向量的綜合問題間隔考查.平面向量重點(diǎn)突出其工具功能.向量備考應(yīng)重視基礎(chǔ)知識(shí),要求考生熟練掌握基本技能。2.復(fù)數(shù)主要以課程學(xué)習(xí)情境為主,每年一題,以考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算為主,偶爾與其他知識(shí)交匯、難度較小,考查代數(shù)運(yùn)算的同時(shí),主要涉及考查的概念有:復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的幾何意義等,考查學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等學(xué)科核心素養(yǎng)。3.不等式的性質(zhì)和基本不等式這部分內(nèi)容主要以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)見,這類題目主要考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力?？键c(diǎn)2復(fù)數(shù)（5年幾考）2020-2024：5年五考：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算；復(fù)數(shù)的坐標(biāo)運(yùn)算；共軛復(fù)數(shù)的概念及計(jì)算；復(fù)數(shù)模長的運(yùn)算；復(fù)數(shù)的幾何意義考點(diǎn)3不等式2020-2024:5年一考：基本不等式的應(yīng)用；不等式的性質(zhì)考點(diǎn)01平面向量1．（2024·北京·高考真題）設(shè)，是向量，則“”是“或”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B〖祥解〗根據(jù)向量數(shù)量積分析可知等價(jià)于，結(jié)合充分、必要條件分析判斷.【詳析】因?yàn)?，可得，即，可知等價(jià)于，若或，可得，即，可知必要性成立；若，即，無法得出或，例如，滿足，但且，可知充分性不成立；綜上所述，“”是“且”的必要不充分條件.故選：B.2．（2022·北京·高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D〖祥解〗依題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，表示出，，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳析】解：依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，因?yàn)?，所以在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，，所以，，所以，其中，，因?yàn)?，所以，即；故選：D

3．（2023·北京·高考真題）已知向量滿足，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】B〖祥解〗利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律，數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解作答.【詳析】向量滿足，所以.故選：B4．（2021·北京·高考真題）已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則；.【答案】03〖祥解〗根據(jù)坐標(biāo)求出，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算直接計(jì)算即可.【詳析】以交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系如圖所示：則，，，.故答案為：0；3.5．（2020·北京·高考真題）已知正方形的邊長為2，點(diǎn)P滿足，則；．【答案】〖祥解〗以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立平面直角坐標(biāo)系，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得以及的值.【詳析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)、、、，，則點(diǎn)，，，因此，，.故答案為：；.【『點(diǎn)石成金』】本題考查平面向量的模和數(shù)量積的計(jì)算，建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)是解答的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.考點(diǎn)02復(fù)數(shù)6．（2024·北京·高考真題）已知，則（

）．A． B． C． D．【答案】C〖祥解〗直接根據(jù)復(fù)數(shù)乘法即可得到答案.【詳析】由題意得.故選：C.7．（2023·北京·高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的共軛復(fù)數(shù)（

）A． B．C． D．【答案】D〖祥解〗根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義先求出復(fù)數(shù)，然后利用共軛復(fù)數(shù)的定義計(jì)算.【詳析】在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)是，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，，由共軛復(fù)數(shù)的定義可知，.故選：D8．（2022·北京·高考真題）若復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．1 B．5 C．7 D．25【答案】B〖祥解〗利用復(fù)數(shù)四則運(yùn)算，先求出，再計(jì)算復(fù)數(shù)的模．【詳析】由題意有，故．故選：B．9．（2021·北京·高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D〖祥解〗由題意利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.【詳析】由題意可得：.故選：D.10．（2020·北京·高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則（

）．A． B． C． D．【答案】B〖祥解〗先根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義得，再根據(jù)復(fù)數(shù)乘法法則得結(jié)果.【詳析】由題意得，.故選：B.【『點(diǎn)石成金』】本題考查復(fù)數(shù)幾何意義以及復(fù)數(shù)乘法法則，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.考點(diǎn)03不等式11．（2024·北京·高考真題）已知，是函數(shù)的圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】B〖祥解〗根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合基本不等式分析判斷AB；舉例判斷CD即可.【詳析】由題意不妨設(shè)，因?yàn)楹瘮?shù)是增函數(shù)，所以，即，對于選項(xiàng)AB：可得，即，根據(jù)函數(shù)是增函數(shù)，所以，故B正確，A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：例如，則，可得，即，故D錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：例如，則，可得，即，故C錯(cuò)誤，故選：B.1．（2024·北京西城·三模）在復(fù)平面，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，則（

）A．i B．-i C． D．【答案】B〖祥解〗由題可得，再由復(fù)數(shù)除法法則即可求解.【詳析】z對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以故選：B.2．（2019·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若向量與共線，則實(shí)數(shù)（

）A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】D〖祥解〗先由圖得出用表示的式子，再根據(jù)向量共線的充要條件求之即得.【詳析】根據(jù)網(wǎng)格圖中的的大小與方向，易于得到，由向量與共線，可得，解得：.故選：D.3．（2024·北京順義·三模）設(shè)，，.若，，則最大值為（

）A．2 B． C．1 D．【答案】C〖祥解〗先利用指、對數(shù)的關(guān)系利用表示，再利用基本不等式求最大值.【詳析】∵，，，，∴，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號.∴的最大值為1.故選：C.4．（23-24高一下·浙江杭州·期中）若為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】D〖祥解〗首先化簡復(fù)數(shù)，再求共軛復(fù)數(shù).【詳析】，則.故選：D5．（2024·黑龍江·二模）已知，，在上的投影向量為，則向量與夾角余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A〖祥解〗根據(jù)投影向量公式可求向量與夾角余弦值.【詳析】在上的投影向量為，故，而，故，故，故即，故選：A.6．（2024·北京通州·三模）已知，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B〖祥解〗舉出反例得到充分性不成立，再由基本不等式得到必要性成立.【詳析】不妨設(shè)，此時(shí)滿足，但不滿足，充分性不成立，兩邊平方得，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故，解得，必要性成立，故“”是“”的必要不充分條件.故選：B7．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）若，則（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】A〖祥解〗借助復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及共軛復(fù)數(shù)的概念計(jì)算即可得.【詳析】，.故選：A．8．（2024·北京海淀·二模）在中，，點(diǎn)滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B〖祥解〗用，表示，根據(jù)，結(jié)合已知條件，以及數(shù)量積的運(yùn)算律，求解即可.【詳析】由題可知，，故，故，解得.故選：B.9．（2024·北京海淀·二模）設(shè)，且，則（

）A． B．C． D．【答案】C〖祥解〗舉反例即可求解ABD,根據(jù)導(dǎo)數(shù)求證即可判斷C.【詳析】對于A，取，則，故A錯(cuò)誤，對于B，，則，故B錯(cuò)誤，對于C，由于，故在單調(diào)遞減，故，因此，由于，所以，故，C正確，對于D,,則，故D錯(cuò)誤，故選：C10．（2024·北京通州·二模）在梯形ABCD中，，，，則（

）A． B．8 C．12 D．【答案】C〖祥解〗作出圖形，結(jié)合圖形和已知，由向量數(shù)量積的定義求出即可.【詳析】

如圖，取的中點(diǎn)，則，且，所以四邊形為平行四邊形，則，所以為正三角形，過作于，則，所以.故選：C.11．（2024·北京通州·二模）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（

）A． B． C． D．【答案】A〖祥解〗由復(fù)數(shù)的幾何意義和復(fù)數(shù)的運(yùn)算求出結(jié)果即可.【詳析】由題意可得，所以，故選：A.12．（2024·北京房山·一模）已知，則下列命題為假命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D〖祥解〗根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷A；根據(jù)冪函數(shù)單調(diào)性可判斷B；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷C；利用作差法即可判斷D.【詳析】對于A，因?yàn)?，所以，故A結(jié)論正確；對于B，當(dāng)時(shí)，因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，故B結(jié)論正確；對于C，因?yàn)?，所以，而函?shù)為減函數(shù)，所以，故C結(jié)論正確；對于D，，因?yàn)椋?，所以，所以，故D結(jié)論錯(cuò)誤.故選：D.13．（2024·北京房山·一模）已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值是（

）A． B．3 C． D．【答案】C〖祥解〗先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)純虛數(shù)的定義即可得解.【詳析】，因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以，解得.故選：C.14．（2024·北京海淀·一模）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C〖祥解〗將兩邊同時(shí)平方，將條件帶入計(jì)算即可.【詳析】由已知，所以，得，又，所以.故選：C.15．（15-16高二下·新疆哈密·期末）若復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)是A． B． C． D．【答案】B〖祥解〗根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)即可求解結(jié)果．【詳析】解：復(fù)數(shù)滿足，所以．所以的共軛復(fù)數(shù)是．故選：B．16．（2024·北京朝陽·一模）在中，，，點(diǎn)在線段上.當(dāng)取得最小值時(shí)，（

）A． B． C． D．【答案】B〖祥解〗首先建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示數(shù)量積，并求最小值，求得的坐標(biāo)，即可求解.【詳析】如圖，以所在直線為軸，以的垂直平分線建立軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

由，，則，所以，，，設(shè)，則，，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，.故選：B17．（2024·北京朝陽·一模）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A〖祥解〗利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，化解復(fù)數(shù)，并結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳析】復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為，為第一象限的點(diǎn).故選：A18．（2022·北京豐臺(tái)·三模）為等邊三角形，且邊長為2，則與的夾角大小為，若，則的最小值為.【答案】/〖祥解〗根據(jù)平面向量夾角的定義直接得出結(jié)果；根據(jù)題意可知E為AC的中點(diǎn)，利用平面向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得，結(jié)合平面向量夾角的范圍即可得出結(jié)果.【詳析】由題意知，如圖，由為等比三角形，得，所以；因?yàn)?，所以點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，則，又，所以，，又，所以，所以.故答案為：；.19．（2024·北京通州·三模）已知，，，則三者大小關(guān)系為（按從小到大順序）【答案】〖祥解〗根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)確定出的范圍，即可求解.【詳析】因?yàn)椋?，且，，故，故答案為?20．（2024·北京海淀·二模）若，則.【答案】1〖祥解〗利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，結(jié)合復(fù)數(shù)相等的性質(zhì)得到關(guān)于的方程組，解之即可得解.【詳析】因?yàn)?，所以，即，所以，解?故答案為：1.21．（2024·北京朝陽·二模）已知向量，，且，則實(shí)數(shù)k=.