專題39三角恒等變換

專題39三角恒等變換考點1兩角差的余弦公式1.cos79°cos34°＋sin79°sin34°等于（）A．12B．32C．2【答案】C【解析】cos79°cos34°＋sin79°sin34°＝cos（79°－34°）＝cos45°＝222.cos15°的值是（）A．6-24B．2-64【答案】C【解析】cos15°＝cos（45°－30°）＝22（cos30°＋sin30°）＝63.已知cos（x－π3）＝－33，則cosx＋cos（x－π3）等于A．－233B．±233【答案】C【解析】∵cos（x－π3）＝－3∴cosx＋cos（x－π3）＝cosx＋12cosx＋3＝32sinx＋32cosx＝3（32sinx＋12cosx）＝3cos（x4.若cos（α－β）＝55，cos2α＝1010，其中α，β均為銳角且α＜β，則α＋β的值為（A．π6B．π4C．3π【答案】C【解析】sin（α－β）＝－255（－π2＜α－β＜0），sin2α∴cos（α＋β）＝cos[2α－（α－β）]＝cos2αcos（α－β）＋sin2αsin（α－β）＝1010×55＋31010×-255＝－22，∵α＋β∈（0，π5.已知△ABC的三個內角分別為A，B，C，若a＝（cosA，sinA），b＝（cosB，sinB），且a·b＝1，則△ABC一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等邊三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】因為a·b＝cosAcosB＋sinAsinB＝cos（A－B）＝1，又∵A，B，C是三角形的內角，所以A＝B，即△ABC一定是等腰三角形，故選B.6.已知△ABC中，tanA＝cosB-cosCsinC-sinA．等腰三角形B．A＝60°的三角形C．等腰三角形或A＝60°的三角形D．不能確定【答案】B【解析】∵tanA＝sinAcosA，∴sinA即sinA（sinC－sinB）＝cosA（cosB－cosC），sinAsinC－sinAsinB＝cosAcosB－cosAcosC.∴cosAcosB＋sinAsinB＝cosAcosC＋sinAsinC.∴cos（A－B）＝cos（A－C）．（*）∵在△ABC中，0＜A＜π，0＜B＜π，0＜C＜π，∴－π＜A－B＜π，－π＜A－C＜π.則（*）式為A－B＝A－C或A－B＝－（A－C），則B＝C或2A＝B＋C.∵A＋B＋C＝π，∴A＝π3若B＝C，則已知等式右邊分母為0，不合題意，故選B.7.已知函數f（x）＝Asin（x＋φ）（A>0,0＜φ＜π，x∈R）的最大值是1，其圖象經過點M（π3，12（1）求f（x）的解析式；（2）已知α，β∈（0，π2），且f（α）＝35，f（β）＝1213，求f（α－【答案】（1）依題意有A＝1，則f（x）＝sin（x＋φ），將點M（π3，12）代入，得sin（π3＋φ）而0＜φ＜π，∴π3＋φ＝5π6，∴φ故f（x）＝sin（x＋π2）＝cosx（2）依題意有cosα＝35，cosβ＝1213，而α，β∈（0，π∴sinα＝（＝45，sinβ＝（＝5∴f（α－β）＝cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝35×1213＋45×58.已知向量a＝（sinθ，－2）與b＝（1，cosθ）互相垂直，其中θ∈0,π（1）求sinθ和cosθ的值；（2）若5cos（θ－φ）＝35cosφ，0＜φ＜π2，求cosφ【答案】（1）因為a⊥b，所以a·b＝sinθ－2cosθ＝0，即sinθ＝2cosθ.又因為sin2θ＋cos2θ＝1，所以4cos2θ＋cos2θ＝1，即cos2θ＝15，所以sin2θ＝4又θ∈0,π2，所以sinθ＝255，cos（2）因為5cos（θ－φ）＝5（cosθcosφ＋sinθsinφ）＝5cosφ＋25sinφ＝35cosφ，所以cosφ＝sinφ，所以cos2φ＝sin2φ＝1－cos2φ，即cos2φ＝12因為0＜φ＜π2，所以cosφ＝2考點2兩角和的余弦公式9.滿足cosαcosβ＝32＋sinαsinβ的一組α、β的值是（A．α＝13π12，β＝3π4B．α＝π2，β＝π3C．α＝π2，β＝π6【答案】A【解析】由已知可得cos（α＋β）＝3210.已知函數f（x）＝Acosx4+π6，x∈R，且f（1）求A的值；（2）設α，β∈0,π2，f4α+43π＝－3017，f4β-23π【答案】（1）因為f（π3）＝2，所以Acos（π12＋π6）＝2，A（2）因為f（4α＋4π3）＝－3017，所以2cos[14（4α＋4π3）＋π6]＝2cos（所以sinα＝1517又因為f（4β－2π3）＝85，所以2cos[14（4β－2π3）＋所以cosβ＝45又因為α，β∈[0，π2]，所以cosα＝817，sinβ＝所以cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ＝817×45－1517×3考點3兩角和與差的正弦公式11.若α為銳角，sin（α－π6）＝13，則cosα的值等于（A．26-16B．-26-16【答案】A【解析】∵α為銳角，sinα-π6＝∴cosα-π6＝∴cosα＝cosα-＝cosα-π6cosπ6－sinα-π6sinπ6＝223×12.函數y＝32cosx－32sinx具有性質（A．最大值為3，圖象關于直線x＝π6B．最大值為1，圖象關于直線x＝π6C．最大值為3，圖象關于（π6，0）D．最大值為1，圖象關于（π6，0）【答案】C【解析】y＝3（12cosx－32sinx）＝3（cosx·cosπ3－sinx·sinπ3）＝3cos（x＋π3），其最大值為3，排除B，D；由x＋π3＝kπ（k∈Z），得x＝kπ－π3（k∈13.sin7°cos37°－sin83°cos53°的值是（）A．－12B．12C．32【答案】A【解析】原式＝sin7°cos37°－cos7°sin37°＝sin（－30°）＝－1214.若銳角α、β滿足cosα＝45，cos（α＋β）＝35，則sinβ的值是（A．1725B．35C．725【答案】C【解析】∵cosα＝45，cos（α＋β）＝35，α、β∈∴sinα＝35，sin（α＋β）＝4∴sinβ＝sin[（α＋β）－α]＝sin（α＋β）cosα－cos（α＋β）sinα＝45×45－35×315.2sinπ4-x＋6sinπ4+xA．22sin5B．22sinx-C．22sin7D．22sinx-【答案】A【解析】2sinπ4-x＋6＝2sinπ2-π4＝2cosπ4+x＋6＝22＝22＝22sinπ6+π4+x16.若sin（α＋β）cosβ－cos（α＋β）sinβ＝0，則sin（α＋2β）＋sin（α－2β）等于（）A．1B．－1C．0D．±1【答案】C【解析】由于sin（α＋β）cosβ－cos（α＋β）sinβ＝0，所以sinα＝0，所以α＝kπ，k∈Z.當k為偶數時，sin（α＋2β）＋sin（α－2β）＝sin2β－sin2β＝0，當k為奇數時，sin（α＋2β）＋sin（α－2β）＝－sin2β＋sin2β＝0.綜上可知，sin（α＋2β）＋sin（α－2β）＝0.17.在△ABC中，三內角分別是A、B、C，若sinC＝2cosAsinB，則△ABC一定是（）A．直角三角形B．正三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【答案】C【解析】∵sinC＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB＝2cosAsinB，∴sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin（A－B）＝0，∴A＝B.18.在銳角△ABC中，設x＝sinAsinB，y＝cosA·cosB，則x，y的大小關系是（）A．x≤yB．x＜yC．x≥yD．x>y【答案】D【解析】∵π>A＋B>π2，∴cos（A＋B）＜0，即cosAcosB－sinAsinB＜0，即y－x＜0，∴x>y19.已知sinα＝35，cosβ＝－513，α為第二象限角，β為第三象限角，求sin（α＋β）和sin（α－β【答案】∵sinα＝35，α為第二象限角，∴cosα＝－4∵cosβ＝－513，β為第三象限角，∴sinβ＝－12∴sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝35×-513＋-45sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ＝35×-513－-4520.已知向量a＝（cosα，sinα），b＝（cosβ，sinβ），|a－b|＝25（1）求cos（α－β）的值；（2）若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，且sinβ＝－513【答案】（1）∵a＝（cosα，sinα），b＝（cosβ，sinβ），∴a－b＝（cosα－cosβ，sinα－sinβ）．又∵|a－b|＝255，∴cosα－即2－2cos（α－β）＝45，cos（α－β）＝3（2）∵0＜α＜π2，－π2＜β＜0，∴0＜α－又∵cos（α－β）＝35，sinβ＝－5∴sin（α－β）＝45，cosβ＝12∴sinα＝sin[（α－β）＋β]＝sin（α－β）·cosβ＋cos（α－β）·sinβ考點4兩角和與差的正切公式21.已知A＋B＝45°，則（1＋tanA）（1＋tanB）的值為（）A．1B．2C．－2D．不確定【答案】B【解析】（1＋tanA）·（1＋tanB）＝1＋（tanA＋tanB）＋tanAtanB＝1＋tan（A＋B）（1－tanAtanB）＋tanAtanB＝1＋1－tanAtanB＋tanAtanB＝2.22.已知β∈0,π2，滿足tan（α＋β）＝324，sinβ＝13，則tanA．23B．4211C．3【答案】B【解析】因為β∈0,π2，sinβ＝13，所以cosβ＝223，所以tanβ又因為tan（α＋β）＝324，所以tanα＝tan[（α＋β）－β]＝（＝3223.若sinα＝45，tan（α＋β）＝1，且α是第二象限角，則tanβ的值是（A．43B．－43C．－7【答案】C【解析】由題意得，sinα＝45，α∈（π2，π）?cosα＝－35，所以tanα則tanβ＝tan[（α＋β）－α]＝（＝－7，故選C.24.已知tan（α＋β）＝25，tanα+π4＝322，則tanβ-A．15B．14C．1318【答案】B【解析】tanβ-π4＝tanα＋β-α+π4＝25.在△ABC中，∠C＝120°，tanA＋tanB＝233，則tanAtanB的值為（A．14B．13C．12【答案】B【解析】∵∠C＝120°，∴∠A＋∠B＝60°，∴tan（A＋B）＝tanA+tanB∴tanA＋tanB＝3（1－tanA·tanB）＝233，解得tanA·tanB＝26.已知α＋β＝π6，且α、β滿足3（tanαtanβ＋2）＋2tanα＋3tanβ＝0，則tanα等于（A．－33B．3C．－3D．3【答案】D【解析】∵3（tanαtanβ＋2）＋2tanα＋3tanβ＝0，∴3tanαtanβ＋3（tanα＋tanβ）＝tanα－23，①∵tan（α＋β）＝tanα＋tanβ∴3（tanα＋tanβ）＝3（1－tanαtanβ），②將②代入①，得3＝tanα－23，∴tanα＝3＋23＝33.27.若α，β∈（0，π2），且tanα＝43，tanβ＝17，則α－β的值為A．π3B．π4C．π6D．【答案】B【解析】tan（α－β）＝tanα-tanβ又0＜α＜π2，－π2＜－β＜0，∴－π2＜α－β＜π2.∴α－28.設α，β是一個鈍角三角形的兩個銳角，下列四個不等式中不正確的是（）A．tanβtanα＜1B．sinα＋sinβ＜2C．cosα＋cosβ>1D．12tan（α＋β）＜tan【答案】D【解析】取特例，令β＝α＝π6可得，12tan（α＋β）＝32，tanα+β所以12tan（α＋β）>tanα＋β29.A，B，C是△ABC的三個內角，且tanA，tanB是方程3x2－5x＋1＝0的兩個實數根，則△ABC是（）A．鈍角三角形B．銳角三角形C．直角三角形D．無法確定【答案】A【解析】∵tanA＋tanB＝53，tanA·tanB＝13，∴tan（A＋B）＝52，∴tanC＝－tan（A＋B）∴C為鈍角．30.已知△ABC中，3tanAtanB－tanA－tanB＝3，則C的大小為________．【答案】π【解析】依題意：tanA+tanB1-tanAtanB＝－3，即tan又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝2π3，∴C＝π－A－B＝考點5二倍角的正弦、余弦、正切公式31.已知sinα2＝35，cosα2＝－45，則角αA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】由題意，得sinα＝2sinα2cosα2＝－2425＜0，cosα＝2cos2α2－1＝32.已知等腰三角形底角的余弦值為23，則頂角的正弦值是（A．2B．4C．－4D．－2【答案】B【解析】設等腰三角形的底角為α，則cosα＝23，∴sinα＝53，設頂角為β，則sinβ＝sin（180°－2α）＝sin2α＝2sinαcosα＝2×53×233.已知角θ的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y＝2x上，則cos2θ的值為（）A．－4B．－3C．3D．4【答案】B【解析】方法一由題意知tanθ＝2，且θ為第一或第三象限角，故cos2θ＝cos2θ-sin2θcos2方法二由題意知tanθ＝2，且θ為第一或第三象限角，∴sinθ＝±25，則sin2θ＝4∴cos2θ＝1－2sin2θ＝－3534.已知α∈R，sinα＋2cosα＝102，則tan2α等于（A．4B．3C．－3D．－4【答案】C【解析】由sinα+2cosα=102,sin所以tanα＝－13或tanα＝3，當tanα＝－13時，tan2α＝2tanα1-當tanα＝3時，tan2α＝2tanα1-tan235.2002年北京召開的國際數學家大會，會標是以我國古代數學家趙爽的弦圖為基礎設計的．弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形接成的一個大正方形（如圖）．如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為θ，那么cos2θ的值等于________．【答案】7【解析】設直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，則有4×12ab＋1＝25，∴又a2＋b2＝25，即直角三角形的斜邊c＝5.解方程組ab=12,a2+b2=25,得a=3,b=4或a=4,b=3,∴cosθ＝436.已知等腰△ABC的腰為底的2倍，則頂角A的正切值是________．【答案】15【解析】如圖，取BC的中點D，令BD＝1，則AB＝4，則AD＝15，設∠BAD＝θ，在Rt△ABD中，tanθ＝BDAD＝1∴tan∠BAC＝tan2θ＝2tanθ1-tan2考點6應用二倍角公式花間求值37.已知sinα2＝35，cosα2＝－45，則角αA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】由題意，得sinα＝2sinα2cosα2＝－2425＜0，cosα＝2cos2α2－1＝38.已知等腰三角形底角的余弦值為23，則頂角的正弦值是（A．2B．4C．－4D．－2【答案】B【解析】設等腰三角形的底角為α，則cosα＝23，∴sinα＝53，設頂角為β，則sinβ＝sin（180°－2α）＝sin2α＝2sinαcosα＝2×53×239.已知角θ的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y＝2x上，則cos2θ的值為（）A．－4B．－3C．3D．4【答案】B【解析】方法一由題意知tanθ＝2，且θ為第一或第三象限角，故cos2θ＝cos2θ-sin2θcos2方法二由題意知tanθ＝2，且θ為第一或第三象限角，∴sinθ＝±25，則sin2θ＝4∴cos2θ＝1－2sin2θ＝－3540.已知α∈R，sinα＋2cosα＝102，則tan2α等于（A．4B．3C．－3D．－4【答案】C【解析】由sinα+2cosα=102,sin所以tanα＝－13或tanα＝3，當tanα＝－13時，tan2α＝2tanα1-當tanα＝3時，tan2α＝2tanα1-tan241.log2sin15°＋log2cos15°的值是（）A．1B．－1C．2D．－2【答案】D【解析】原式＝log2（sin15°cos15°）＝log2sin30°2＝log242.cos275°＋cos215°＋cos75°cos15°的值等于（）A．6B．3C．5D．1＋3【答案】C【解析】原式＝sin215°＋cos215