專題06數列求和（裂項相消法）(典型例題題型歸類練)

專題06數列求和（裂項相消法）(典型例題+題型歸類練)一、必備秘籍常見的裂項技巧類型一：等差型=1\*GB3①特別注意②如：（尤其要注意不能丟前邊的）類型二：無理型=1\*GB3①如：類型三：指數型①如：類型四：通項裂項為“”型如：①②本類模型典型標志在通項中含有乘以一個分式.二、典型例題類型一：等差型例題1．（2022·遼寧·鞍山一中模擬預測）已知是等差數列的前項和，，，公差，且___________.從①為與等比中項，②等比數列的公比為，這兩個條件中，選擇一個補充在上面問題的橫線上，使得符合條件的數列存在并作答.(1)求數列的通項公式；(2)設數列的前項和為，求證：.【答案】(1)選擇條件見解析，(2)證明見解析(1)若選①，為與的等比中項，則，由為等差數列，，得，∴，把代入上式，可得，解得或（舍）∴，；若選②，為等比數列的公比，且，可得，即，即有，即；又，可得，即，解得，此時；第（2）問解題思路點撥：由（1）知：第（2）問解題思路點撥：由（1）知：，設，則，典型的裂項相消的特征，可將通項裂項為：解答過程：由題意知：；(2)∵，∴；∴，得證例題2．（2022·廣東佛山·模擬預測）已知數列的前n項和為，，，且．(1)求數列的通項公式；(2)已知，求數列的前項和．【答案】(1)(2)(1)解：由題意得：由題意知，則又，所以是公差為2的等差數列，則；第（2）問解題思路點撥：由（1）知：第（2）問解題思路點撥：由（1）知：，，則，典型的裂項相消的特征，可將通項裂項為：解答過程：由題意知：；感悟升華（核心秘籍）本例是裂項相消法的等差型，注意裂項，是裂通項，裂項的過程中注意前面的系數不要忽略了.(2)由題知則類型二：無理型例題3．（2022·重慶八中模擬預測）已知各項均為正數的等差數列滿足，．(1)求的通項公式；(2)記，求數列的前項和．【答案】(1)(2)(1)解：各項均為正數的等差數列滿足，，整理得，由于，所以，故數列是以1為首項，2為公差的等差數列．所以．第（2）問解題思路點撥：由（1）知：第（2）問解題思路點撥：由（1）知：，，則，典型的裂項相消的無理型特征，可將通項分母有理化為：解答過程：由題意知：；(2)解：由（1）可得，所以．例題4．（2022·福建龍巖·模擬預測）已知等差數列的前項和為，，.(1)求的通項公式；(2)設，求數列的前項和為.【答案】(1)；(2)證明見解析﹒(1)由題可知，，解得，∴；第（2）問解題思路點撥：由（1）知：第（2）問解題思路點撥：由（1）知：，，則，典型的裂項相消的無理型特征，可將通項分母有理化為：解答過程：由題意知：；(2)，感悟升華（核心秘籍）本例是裂項相消法的無理型，具有明顯的特征，其技巧在于分母有理化，注意裂項相消的過程中，是連續(xù)相消，還是隔項相消，計算注意細節(jié).類型三：指數型例題5．（2022·全國·模擬預測）已知等差數列滿足，且，，，成等比數列．(1)求數列的通項公式；(2)若，求數列的前項和．【答案】(1)(2)(1)解：設等差數列的公差為d，因為，，成等比數列，所以，整理得，又因為，所以，，又，即15d＝15，所以，所以；第（2）問解題思路點撥：由（1）知：第（2）問解題思路點撥：由（1）知：，，則，具有明顯的裂項相消法的特征，但是裂項是難點，在裂項時要把握住“型”，再結合待定系數法解答過程：用待定系數法裂通項：與對比，得通分，逆向求裂項求和．感悟升華（核心秘籍）（1）本例通項符合裂項的特征，但是裂項是難點；（2）在裂項的過程中，對于指數型，裂項過程可以采用待定系數法檢驗；如本例：（3）疑問：裂項過程中，分子如何裂項出一個，一個；（在裂項過程中，分母裂開后結構上形似：，注意到第一個分母比大，所以分子也是大的在前，小的在后，而已知中，分子只有一個，所以在裂項的時候裂出一個和，注意此類型裂項結構的特征，可作為一個裂項技巧記憶）（4）對于指數型，還可細分指數式在分子和指數式在分母（注意比較細節(jié)）；①若分子中含有指數式，則在裂項中，比大，分母大的寫前面，分母小的寫后面②若分母中含有指數式，如例題6，裂項時，分母和，較小的寫前面，較大的寫后面.(2)解：由（1）知，，所以，．例題6．（2022·江西·臨川一中模擬預測（理））已知數列的前n項和為，且.(1)求數列的通項公式；(2)若數列滿足，求數列的前項和.【答案】(1)；(2).(1)因為，當時，，解得，當時，，所以，即，所以數列是首項為1，公比為2的等比數列.故.第（2）問解題思路點撥：由（1）知：第（2）問解題思路點撥：由（1）知：，，則，具有明顯的裂項相消法的特征，但是裂項是難點，在裂項時要把握住“型”，再結合待定系數法解答過程：用待定系數法裂通項：與對比，得通分，逆向求裂項求和(2)，于是類型四：通項裂項為“”型例題7．（2022·吉林遼源·高二期末）已知等差數列的前n項和，數列的前項和，.(1)求數列和的通項公式；(2)令，求數列的前項和.第（2）問解題思路點撥：由（1）知：第（2）問解題思路點撥：由（1）知：，，則，注意通項中含有明顯的裂項的兩個特征，①含有分式②含有（注意通項中含有是裂項為“”型的重要標志），但是裂項是難點，在裂項時要把握住“型”，再結合待定系數法解答過程：用待定系數法裂通項：與對比，得則：，注意到通項中含有，需分奇偶討論通分，逆向求當為偶數（為正），（注意此時為偶數，代入偶數的結論中）當為奇數（為偶數）綜上：【答案】(1)，(2)感悟升華（核心秘籍）（1）對于本例通項：具有裂項的特征，但注意到同時又含有“”，此時是通項裂項為“”型的重要標志，此標志作為核心技巧記憶，裂項時，裂項為“”型（2）在裂項的過程中，對于比較復雜的通項，都可以通過待定系數法，逆向通分和原式比較，來檢驗裂項的正確性.(1)設等差數列的公差為d，則，所以所以，所以數列的通項公式為.因為，當時，，所以，所以，即.所以.(2)，當n為奇數時，.當n為偶數時，.綜上所述，數列的前n項和.例題8．（2022·陜西·長安一中高二期中（文））已知等差數列的公差為2，前項和為，且成等比數列．（1）求數列的通項公式；（2）令，求數列的前項和．第（2）問解題思路點撥：由（1）知：第（2）問解題思路點撥：由（1）知：，，則，注意通項中含有明顯的裂項的兩個特征，①含有分式②含有（注意通項中含有是裂項為“”型的重要標志），但是裂項是難點，在裂項時要把握住“型”，再結合待定系數法解答過程：用待定系數法裂通項：與對比，得，通分，逆向求當為奇數（為正），（注意此時為奇數，代入奇數的結論中）當為偶數（為奇數）綜上：【答案】（1）；（2）（1）∵等差數列{an}的公差為2，前n項和為Sn，且S1、S2、S4成等比數列．∴Sn＝na1+n（n﹣1）（2a1+2）2＝a1（4a1+12），a1＝1，∴an＝2n﹣1；（2）∵由（1）可得，當n為偶數時，Tn＝．當n為奇數時，．．三、題型歸類練1．（2022·內蒙古·滿洲里市教研培訓中心模擬預測（理））已知在等差數列中，，．(1)求數列的通項公式;(2)設，求數列的前n項和．【答案】(1)(2)(1)設等差數列的公差為，由，可得解得，

所以(2)由（1）可得

所以2．（2022·山西運城·模擬預測（理））已知單調遞增的等差數列的前n項和為，成等比數列，正項等比數列滿足.(1)求與的通項公式；(2)設，求數列的前n項和.【答案】(1)，(2)(1)設數列的公差為d，則，由得，即①，又成等比數列，所以，所以，所以②，聯(lián)立①②及解得.所以.所以，所以，解得，又，所以，所以.(2)由（1）得，所以.3．（2022·河南·模擬預測（理））已知正項數列的前項和為，且．(1)求的值和數列的通項公式；(2)設，求數列的前項和．【答案】(1)；；(2).(1)由得：；為正項數列，，；當時，；當時，；經檢驗：滿足；.(2)由（1）得：，.4．（2022·河北保定·一模）已知數列的前項和為，且．(1)求數列的通項公式；(2)設，求的前項和．【答案】(1)；(2).(1)因為，故當時，，當時，，則，當時，滿足上式，所以.(2)由（1）得，所以.故數列的前項和.5．（2022·安徽·北大培文蚌埠實驗學校高三開學考試（文））已知數列的前n項和為，，，且．(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前n項和．【答案】(1)(2)(1)由得：即，所以數列為等差數列，由得，設公差為d，，得，所以，故數列的通項公式為．(2)，所以．6．（2022·江蘇鹽城·三模）已知正項等比數列滿足，請在①，②，③，，中選擇一個填在橫線上并完成下面問題：(1)求的通項公式；(2)設，的前和為，求證：．【答案】(1)選擇見解析；(2)證明見解析(1)設正項等比數列公比為q，又，選①，，所以；選②，，所以；選③，，所以，∴；又，∴，則．(2)因為，所以．7．（2022·浙江金華·模擬預測）已知數列，其中為等差數列，且滿足，.(1)求數列的通項公式；(2)設，數列的前n項和為，求證：【答案】(1)，(2)證明見解析(1)解：由數列為等差數列，且滿足，，當時，可得，即，解得；因為是等差數列，所以，所以，所以，所以所以.(2)解：由（1）得，所以.8．（2022·湖北·二模）已知正項等差數列滿足：，且成等比數列．(1)求的通項公式；(2)設，是數列的前n項和，若對任意均有恒成立，求的最小值．【答案】(1)(2)最小值為(1)解：設等差數列的公差為，由得，則，所以．因為、、成等比數列，所以，即，所以，解得或，因為為正項數列，所以，所以，所以．(2)解：由（1）可得，所以，因為對任意均有，所以，所以實數的最小值為9．（2022·江西·臨川一中高二期末（理））已知數列，，，為其前n項和，且滿足.(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前n項和．【答案】(1)(2)(1)由題可知數列是等差數列，所以，，又因為，所以；(2)．所以；故答案為：，.10．（2022·重慶八中模擬預測）已知是公差不為零的等差數列的前n項和，，.(1)求數列的通項公式；(2)設數列，數列化的前2n項和為，若，求正整數n的最小值.【答案】(1)(2)(1)公差不為零的等差數列，由，，解得.又，可得，所以數列是以1為首項和公差的等差數列，所以.(2)解：由（1）可知，，，所以的最小值為505.11．（2022·天津市武清區(qū)楊村第一中學二模）已知是等差數列，是等比數列，且．(1)求數列的通項公式；(2)記的前n項和為，證明：；(3)記，求數列的前項和．【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)(1)設等差數列公差為d，等比數列公比為q，所以，所以，(2)的前n項和為，(當時，取等號)命題得證.(3)由（1）得，，所以數列的前項和，12．（2022·黑龍江實驗中學模擬預測