專題06數(shù)列求和（裂項(xiàng)相消法）(典型例題題型歸類練)

專題06數(shù)列求和（裂項(xiàng)相消法）(典型例題+題型歸類練)一、必備秘籍常見的裂項(xiàng)技巧類型一：等差型=1\*GB3①特別注意②如：（尤其要注意不能丟前邊的）類型二：無理型=1\*GB3①如：類型三：指數(shù)型①如：類型四：通項(xiàng)裂項(xiàng)為“”型如：①②本類模型典型標(biāo)志在通項(xiàng)中含有乘以一個分式.二、典型例題類型一：等差型例題1．（2022·遼寧·鞍山一中模擬預(yù)測）已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，公差，且___________.從①為與等比中項(xiàng)，②等比數(shù)列的公比為，這兩個條件中，選擇一個補(bǔ)充在上面問題的橫線上，使得符合條件的數(shù)列存在并作答.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【答案】(1)選擇條件見解析，(2)證明見解析(1)若選①，為與的等比中項(xiàng)，則，由為等差數(shù)列，，得，∴，把代入上式，可得，解得或（舍）∴，；若選②，為等比數(shù)列的公比，且，可得，即，即有，即；又，可得，即，解得，此時；第（2）問解題思路點(diǎn)撥：由（1）知：第（2）問解題思路點(diǎn)撥：由（1）知：，設(shè)，則，典型的裂項(xiàng)相消的特征，可將通項(xiàng)裂項(xiàng)為：解答過程：由題意知：；(2)∵，∴；∴，得證例題2．（2022·廣東佛山·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)(1)解：由題意得：由題意知，則又，所以是公差為2的等差數(shù)列，則；第（2）問解題思路點(diǎn)撥：由（1）知：第（2）問解題思路點(diǎn)撥：由（1）知：，，則，典型的裂項(xiàng)相消的特征，可將通項(xiàng)裂項(xiàng)為：解答過程：由題意知：；感悟升華（核心秘籍）本例是裂項(xiàng)相消法的等差型，注意裂項(xiàng)，是裂通項(xiàng)，裂項(xiàng)的過程中注意前面的系數(shù)不要忽略了.(2)由題知則類型二：無理型例題3．（2022·重慶八中模擬預(yù)測）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列滿足，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)(1)解：各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列滿足，，整理得，由于，所以，故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．所以．第（2）問解題思路點(diǎn)撥：由（1）知：第（2）問解題思路點(diǎn)撥：由（1）知：，，則，典型的裂項(xiàng)相消的無理型特征，可將通項(xiàng)分母有理化為：解答過程：由題意知：；(2)解：由（1）可得，所以．例題4．（2022·福建龍巖·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和為.【答案】(1)；(2)證明見解析﹒(1)由題可知，，解得，∴；第（2）問解題思路點(diǎn)撥：由（1）知：第（2）問解題思路點(diǎn)撥：由（1）知：，，則，典型的裂項(xiàng)相消的無理型特征，可將通項(xiàng)分母有理化為：解答過程：由題意知：；(2)，感悟升華（核心秘籍）本例是裂項(xiàng)相消法的無理型，具有明顯的特征，其技巧在于分母有理化，注意裂項(xiàng)相消的過程中，是連續(xù)相消，還是隔項(xiàng)相消，計(jì)算注意細(xì)節(jié).類型三：指數(shù)型例題5．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列滿足，且，，，成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)(1)解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)椋?，成等比?shù)列，所以，整理得，又因?yàn)?，所以，，又，?5d＝15，所以，所以；第（2）問解題思路點(diǎn)撥：由（1）知：第（2）問解題思路點(diǎn)撥：由（1）知：，，則，具有明顯的裂項(xiàng)相消法的特征，但是裂項(xiàng)是難點(diǎn)，在裂項(xiàng)時要把握住“型”，再結(jié)合待定系數(shù)法解答過程：用待定系數(shù)法裂通項(xiàng)：與對比，得通分，逆向求裂項(xiàng)求和．感悟升華（核心秘籍）（1）本例通項(xiàng)符合裂項(xiàng)的特征，但是裂項(xiàng)是難點(diǎn)；（2）在裂項(xiàng)的過程中，對于指數(shù)型，裂項(xiàng)過程可以采用待定系數(shù)法檢驗(yàn)；如本例：（3）疑問：裂項(xiàng)過程中，分子如何裂項(xiàng)出一個，一個；（在裂項(xiàng)過程中，分母裂開后結(jié)構(gòu)上形似：，注意到第一個分母比大，所以分子也是大的在前，小的在后，而已知中，分子只有一個，所以在裂項(xiàng)的時候裂出一個和，注意此類型裂項(xiàng)結(jié)構(gòu)的特征，可作為一個裂項(xiàng)技巧記憶）（4）對于指數(shù)型，還可細(xì)分指數(shù)式在分子和指數(shù)式在分母（注意比較細(xì)節(jié)）；①若分子中含有指數(shù)式，則在裂項(xiàng)中，比大，分母大的寫前面，分母小的寫后面②若分母中含有指數(shù)式，如例題6，裂項(xiàng)時，分母和，較小的寫前面，較大的寫后面.(2)解：由（1）知，，所以，．例題6．（2022·江西·臨川一中模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2).(1)因?yàn)椋?dāng)時，，解得，當(dāng)時，，所以，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列.故.第（2）問解題思路點(diǎn)撥：由（1）知：第（2）問解題思路點(diǎn)撥：由（1）知：，，則，具有明顯的裂項(xiàng)相消法的特征，但是裂項(xiàng)是難點(diǎn)，在裂項(xiàng)時要把握住“型”，再結(jié)合待定系數(shù)法解答過程：用待定系數(shù)法裂通項(xiàng)：與對比，得通分，逆向求裂項(xiàng)求和(2)，于是類型四：通項(xiàng)裂項(xiàng)為“”型例題7．（2022·吉林遼源·高二期末）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，數(shù)列的前項(xiàng)和，.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.第（2）問解題思路點(diǎn)撥：由（1）知：第（2）問解題思路點(diǎn)撥：由（1）知：，，則，注意通項(xiàng)中含有明顯的裂項(xiàng)的兩個特征，①含有分式②含有（注意通項(xiàng)中含有是裂項(xiàng)為“”型的重要標(biāo)志），但是裂項(xiàng)是難點(diǎn)，在裂項(xiàng)時要把握住“型”，再結(jié)合待定系數(shù)法解答過程：用待定系數(shù)法裂通項(xiàng)：與對比，得則：，注意到通項(xiàng)中含有，需分奇偶討論通分，逆向求當(dāng)為偶數(shù)（為正），（注意此時為偶數(shù)，代入偶數(shù)的結(jié)論中）當(dāng)為奇數(shù)（為偶數(shù)）綜上：【答案】(1)，(2)感悟升華（核心秘籍）（1）對于本例通項(xiàng)：具有裂項(xiàng)的特征，但注意到同時又含有“”，此時是通項(xiàng)裂項(xiàng)為“”型的重要標(biāo)志，此標(biāo)志作為核心技巧記憶，裂項(xiàng)時，裂項(xiàng)為“”型（2）在裂項(xiàng)的過程中，對于比較復(fù)雜的通項(xiàng)，都可以通過待定系數(shù)法，逆向通分和原式比較，來檢驗(yàn)裂項(xiàng)的正確性.(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，所以所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.因?yàn)?，?dāng)時，，所以，所以，即.所以.(2)，當(dāng)n為奇數(shù)時，.當(dāng)n為偶數(shù)時，.綜上所述，數(shù)列的前n項(xiàng)和.例題8．（2022·陜西·長安一中高二期中（文））已知等差數(shù)列的公差為2，前項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．第（2）問解題思路點(diǎn)撥：由（1）知：第（2）問解題思路點(diǎn)撥：由（1）知：，，則，注意通項(xiàng)中含有明顯的裂項(xiàng)的兩個特征，①含有分式②含有（注意通項(xiàng)中含有是裂項(xiàng)為“”型的重要標(biāo)志），但是裂項(xiàng)是難點(diǎn)，在裂項(xiàng)時要把握住“型”，再結(jié)合待定系數(shù)法解答過程：用待定系數(shù)法裂通項(xiàng)：與對比，得，通分，逆向求當(dāng)為奇數(shù)（為正），（注意此時為奇數(shù)，代入奇數(shù)的結(jié)論中）當(dāng)為偶數(shù)（為奇數(shù)）綜上：【答案】（1）；（2）（1）∵等差數(shù)列{an}的公差為2，前n項(xiàng)和為Sn，且S1、S2、S4成等比數(shù)列．∴Sn＝na1+n（n﹣1）（2a1+2）2＝a1（4a1+12），a1＝1，∴an＝2n﹣1；（2）∵由（1）可得，當(dāng)n為偶數(shù)時，Tn＝．當(dāng)n為奇數(shù)時，．．三、題型歸類練1．（2022·內(nèi)蒙古·滿洲里市教研培訓(xùn)中心模擬預(yù)測（理））已知在等差數(shù)列中，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，可得解得，

所以(2)由（1）可得

所以2．（2022·山西運(yùn)城·模擬預(yù)測（理））已知單調(diào)遞增的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，成等比數(shù)列，正項(xiàng)等比數(shù)列滿足.(1)求與的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)(1)設(shè)數(shù)列的公差為d，則，由得，即①，又成等比數(shù)列，所以，所以，所以②，聯(lián)立①②及解得.所以.所以，所以，解得，又，所以，所以.(2)由（1）得，所以.3．（2022·河南·模擬預(yù)測（理））已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)；；(2).(1)由得：；為正項(xiàng)數(shù)列，，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；經(jīng)檢驗(yàn)：滿足；.(2)由（1）得：，.4．（2022·河北保定·一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求的前項(xiàng)和．【答案】(1)；(2).(1)因?yàn)椋十?dāng)時，，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，滿足上式，所以.(2)由（1）得，所以.故數(shù)列的前項(xiàng)和.5．（2022·安徽·北大培文蚌埠實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三開學(xué)考試（文））已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)(1)由得：即，所以數(shù)列為等差數(shù)列，由得，設(shè)公差為d，，得，所以，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為．(2)，所以．6．（2022·江蘇鹽城·三模）已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，請?jiān)冖?，②，③，，中選擇一個填在橫線上并完成下面問題：(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，的前和為，求證：．【答案】(1)選擇見解析；(2)證明見解析(1)設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列公比為q，又，選①，，所以；選②，，所以；選③，，所以，∴；又，∴，則．(2)因?yàn)椋裕?．（2022·浙江金華·模擬預(yù)測）已知數(shù)列，其中為等差數(shù)列，且滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：【答案】(1)，(2)證明見解析(1)解：由數(shù)列為等差數(shù)列，且滿足，，當(dāng)時，可得，即，解得；因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，所以，所以，所以所以.(2)解：由（1）得，所以.8．（2022·湖北·二模）已知正項(xiàng)等差數(shù)列滿足：，且成等比數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，若對任意均有恒成立，求的最小值．【答案】(1)(2)最小值為(1)解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得，則，所以．因?yàn)?、、成等比?shù)列，所以，即，所以，解得或，因?yàn)闉檎?xiàng)數(shù)列，所以，所以，所以．(2)解：由（1）可得，所以，因?yàn)閷θ我饩?，所以，所以?shí)數(shù)的最小值為9．（2022·江西·臨川一中高二期末（理））已知數(shù)列，，，為其前n項(xiàng)和，且滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)(1)由題可知數(shù)列是等差數(shù)列，所以，，又因?yàn)椋裕?2)．所以；故答案為：，.10．（2022·重慶八中模擬預(yù)測）已知是公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列，數(shù)列化的前2n項(xiàng)和為，若，求正整數(shù)n的最小值.【答案】(1)(2)(1)公差不為零的等差數(shù)列，由，，解得.又，可得，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)和公差的等差數(shù)列，所以.(2)解：由（1）可知，，，所以的最小值為505.11．（2022·天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)二模）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記的前n項(xiàng)和為，證明：；(3)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)(1)設(shè)等差數(shù)列公差為d，等比數(shù)列公比為q，所以，所以，(2)的前n項(xiàng)和為，(當(dāng)時，取等號)命題得證.(3)由（1）得，，所以數(shù)列的前項(xiàng)和，12．（2022·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測