102二倍角的三角函數(shù)（七大題型）

10.2二倍角的三角函數(shù)【題型歸納目錄】題型一：二倍角公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用題型二：給角求值題型三：給值求值題型四：利用倍角公式化簡(jiǎn)及證明題型五：輔助角公式的應(yīng)用題型六：三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題型七：三角恒等變換與三角函數(shù)圖象性質(zhì)的綜合【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：二倍角公式的逆用及變形1、公式的逆用；．．．2、公式的變形；降冪公式：升冪公式：知識(shí)點(diǎn)二：升（降）冪縮（擴(kuò)）角公式升冪公式：，降冪公式：，知識(shí)點(diǎn)詮釋：利用二倍角公式的等價(jià)變形：，進(jìn)行“升、降冪”變換，即由左邊的“一次式”化成右邊的“二次式”為“升冪”變換，逆用上述公式即為“降冪”變換．知識(shí)點(diǎn)三：輔助角公式1、形如的三角函數(shù)式的變形：令，，則（其中角所在象限由的符號(hào)確定，角的值由確定，或由和共同確定．）2、輔助角公式在解題中的應(yīng)用通過應(yīng)用公式（或），將形如（不同時(shí)為零）收縮為一個(gè)三角函數(shù)（或）．這種恒等變形實(shí)質(zhì)上是將同角的正弦和余弦函數(shù)值與其他常數(shù)積的和變形為一個(gè)三角函數(shù)，這樣做有利于函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值等．【典型例題】題型一：二倍角公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用【方法技巧與總結(jié)】應(yīng)用二倍角公式化簡(jiǎn)（求值）的策略：化簡(jiǎn)求值關(guān)注四個(gè)方向：分別從“角”“函數(shù)名”“冪”“形”著手分析，消除差異．例1．（2023·河南·安陽(yáng)37中高一期末）已知，則sin2α＝（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴，∴，∴．故選：A．例2．（2023·河北保定·高一階段練習(xí)）若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得，因此，故選：A例3．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，分子分母同時(shí)除以，得．故選：D.變式1．（2023·浙江·高一期中）若，則=（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】.故選：D.題型二：給角求值【方法技巧與總結(jié)】對(duì)于給角求值問題，一般有兩類(1)直接正用、逆用二倍角公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系對(duì)已知式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化，一般可以化為特殊角．(2)若形式為幾個(gè)非特殊角的三角函數(shù)式相乘，則一般逆用二倍角的正弦公式，在求解過程中，需利用互余關(guān)系配湊出應(yīng)用二倍角公式的條件，使得問題出現(xiàn)可以連用二倍角的正弦公式的形式．例4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）化簡(jiǎn)：（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】故選：A例5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）計(jì)算：（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以原式故選：C例6．（2023春·寧夏銀川·高一銀川二中?？计谀?）已知，且，求；（2）化簡(jiǎn)：.【解析】（1），,又，,，,

;（2）.變式2．（2023·陜西西安·西安中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知可得.故選：A.變式3．（多選題）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】對(duì)于A：，故A正確；對(duì)于B：，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，所以，所以，故C正確；對(duì)于D：，故D錯(cuò)誤；故選：AC變式4．（多選題）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】對(duì)于A：，故A正確；對(duì)于B：，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，故C正確；對(duì)于D：，故D正確；故選：ACD題型三：給值求值【方法技巧與總結(jié)】(1)條件求值問題常有兩種解題途徑①對(duì)題設(shè)條件變形，把條件中的角、函數(shù)名向結(jié)論中的角、函數(shù)名靠攏；②對(duì)結(jié)論變形，將結(jié)論中的角、函數(shù)名向題設(shè)條件中的角、函數(shù)名靠攏，以便將題設(shè)條件代入結(jié)論．(2)一個(gè)重要結(jié)論：.例7．（2023·江西上饒·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若，則________.【答案】【解析】故答案為：.例8．（2023浙江杭州·高三期末）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】.故選：A．例9．（山東省濟(jì)南市20222023學(xué)年高三下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，，，，，故選：B.變式5．（2023春·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】.故選：D變式6．（2023廣西貴港·高一統(tǒng)考期末）已知，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，所以，，所以．故選：C．變式7．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，且，則（

）A． B．2 C． D．【答案】B【解析】由，得，則，即，得，則，得或，又，所以，故.故選：B題型四：利用倍角公式化簡(jiǎn)及證明【方法技巧與總結(jié)】三角函數(shù)式化簡(jiǎn)、證明的常用技巧(1)特殊角的三角函數(shù)與特殊值的互化．(2)對(duì)于分式形式，應(yīng)分別對(duì)分子、分母進(jìn)行變形處理，有公因式的提取公因式后進(jìn)行約分．(3)對(duì)于二次根式，注意二倍角公式的逆用．(4)利用角與角之間的隱含關(guān)系，如互余、互補(bǔ)等．(5)利用“1”的恒等變形，如，等．例10．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算三角比時(shí)，我們常會(huì)用到對(duì)稱思想來解答．例如：求證：證明：設(shè)，∴，而∴根據(jù)上述證法，計(jì)算下面兩式的值：(1)；(2)．【解析】（1）設(shè)，，所以，而，；（2）設(shè)；．∴

∴．例11．證明：．【解析】．例12．證明：．【解析】因?yàn)?，又，所?變式8．證明：．【解析】證明如下：題型五：輔助角公式的應(yīng)用【方法技巧與總結(jié)】輔助角公式的應(yīng)用策略（1）進(jìn)行三角恒等變換要抓?。鹤兘恰⒆兒瘮?shù)名稱、變結(jié)構(gòu)，尤其是角之間的關(guān)系；注意公式的逆用和變形使用．（2）把形如化為，可進(jìn)一步研究函數(shù)的周期、單調(diào)性．例13．（2023·上?！の挥袑W(xué)高一期中）若函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則___________.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，所以函數(shù)在時(shí)取得最值，所以，結(jié)合輔助角公式得：，即，整理得：，解得.故答案為：例14．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）當(dāng)函數(shù)取得最大值時(shí)，____________．【答案】【解析】，且，∴，∴當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取最大值2．故答案為：例15．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）要使有意義，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為____________．【答案】【解析】因，因此，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故答案為：變式9．（2023·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）函數(shù)的最大值為______．【答案】2【解析】，其中，，.∵，，∴，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∵∴當(dāng)時(shí)，取得最大值．故答案為：變式10．（2023·上海市楊浦高級(jí)中學(xué)高一期中）若函數(shù)取最小值時(shí)，則___________.【答案】【解析】，其中時(shí)取最小值，，故答案為：.題型六：三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【方法技巧與總結(jié)】三角函數(shù)與平面幾何有著密切聯(lián)系，幾何中的角度、長(zhǎng)度、面積等問題，常借助三角變換來解決；實(shí)際問題的意義常反映在三角形的邊、角關(guān)系上，故常用建立三角函數(shù)模型解決實(shí)際的優(yōu)化問題．例16．（2023春·河北保定·高一定州市第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）某商場(chǎng)計(jì)劃在一個(gè)兩面靠墻的角落規(guī)劃一個(gè)三角形促銷活動(dòng)區(qū)域（即區(qū)域），地面形狀如圖所示．已知已有兩面墻的夾角為銳角，假設(shè)墻的可利用長(zhǎng)度（單位：米）足夠長(zhǎng)．(1)在中，若邊上的高等于，求；(2)當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為6米時(shí)，求該活動(dòng)區(qū)域面積的最大值．【解析】（1）過點(diǎn)作交于．設(shè)米，，則米，米．在中，．故．（2）設(shè)，則米，米，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，該活動(dòng)區(qū)域的面積取得最大值，最大值為平方米．例17．（2023·安徽安慶·高一期末）如圖，在扇形OAB中，，半徑.在上取一點(diǎn)M，連接，過M點(diǎn)分別向半徑OA，OB作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，得到一個(gè)四邊形MEOF.（1）設(shè)，將四邊形MEOF的面積S表示成的函數(shù)，并寫出的取值范圍；（2）求四邊形MEOF的面積S的最大值.【解析】（1），，由題意要得到四邊形MEOF，則.（2）由（1）知：，因?yàn)椋?，所以?dāng)，即時(shí)，四邊形MEOF的面積S的最大值為.例18．（2023·山西晉中·高一期末）如圖，已知面積為的扇形，半徑為，是弧上任意一點(diǎn)，作矩形內(nèi)接于該扇形．(1)求扇形圓心角的大??；(2)點(diǎn)在什么位置時(shí)，矩形的面積最大？并說明理由．【解析】(1)設(shè)，根據(jù)扇形的面積公式可得，得.(2)連接，設(shè)，則，，在中，，則，于是矩形的面積，由于，則，當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，矩形的面積最大，最大為，此時(shí)點(diǎn)是弧的中點(diǎn)．因此，當(dāng)點(diǎn)是弧的中點(diǎn)時(shí)，矩形的面積最大，最大為.變式11．（2023·上?！じ咭徽n時(shí)練習(xí)）已知矩形內(nèi)接于半徑為1的圓．（1）求矩形面積的最大值；（2）當(dāng)矩形的面積最大時(shí)，矩形的周長(zhǎng)也最大嗎？說明理由．【解析】（1）如圖所示，設(shè)，在中，，，，矩形的面積是，當(dāng)時(shí)，矩形的面積取得最大值．（2）矩形的周長(zhǎng)是，當(dāng)時(shí)，矩形的周長(zhǎng)取得最大值；綜上，時(shí)，矩形面積與周長(zhǎng)同時(shí)取得最大值，即當(dāng)矩形的面積最大時(shí)，矩形的周長(zhǎng)也最大題型七：三角恒等變換與三角函數(shù)圖象性質(zhì)的綜合【方法技巧與總結(jié)】應(yīng)用公式解決三角函數(shù)綜合問題的三個(gè)步驟：（1）運(yùn)用和、差、倍角公式化簡(jiǎn)；（2）統(tǒng)一化成的形式；（3）利用輔助角公式化為的形式，研究其性質(zhì)．例19．（2023·廣東·饒平縣第二中學(xué)高一開學(xué)考試）已知函數(shù)，.(1)求的最小正周期；(2)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)求在區(qū)間上的最大值和最小值.【解析】（1）

所以的最小正周期（2）由，，得，．故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，．（3）當(dāng)時(shí)，∴∴故在區(qū)間上的最大值為，最小值為.例20．（2023·天津·高一期末）已知函數(shù)(1)求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；(2)求在區(qū)間上的最值；(3)若，求的值．【解析】（1）因?yàn)椋缘淖钚≌芷?，∵，∴，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）由（1）知的單調(diào)遞減區(qū)間為，∵，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，故；另∵，∴，∵在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，；（3）∵，∴，由，得，∴，∴，．例21．（2023·天津南開·高一期末）已知函數(shù)(1)求的最小正周期和對(duì)稱中心;(2)求的單調(diào)遞減區(qū)間；(3)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值及取得最大值時(shí)x的值【解析】（1），所以，函數(shù)的最小正周期為.由，可得，函數(shù)的對(duì)稱中心為；（2）解不等式，解得.因此，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；（3）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為．變式12．（2023·浙江·高一期中）已知函數(shù)(1)求的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，，求.【解析】（1）因?yàn)椋缘淖钚≌芷跒?，由，得；所以單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）因?yàn)?，所以，即，又，則，又，則，那么，從而.變式13．（2023山西太原·高三太原市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）已知函數(shù)，(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)求在上的最大值和最小值.【解析】（1）∴的最小正周期為.（2）∵，∴，∴當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，.綜上，當(dāng)時(shí)，取得最小值為0；當(dāng)時(shí)，取得最大值為.變式14．（2023山東臨沂·高一校考期末）已知最小正周期為.(1)求的值及的增區(qū)間；(2)若在上有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由，得.所以，令，解得.所以的增區(qū)間為（2）由題意知直線與的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)；設(shè)，則直線與的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn).因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，根據(jù)三角函數(shù)圖像性質(zhì)可知時(shí)在上有2個(gè)零點(diǎn)；所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【同步練習(xí)】一、單選題1．（2023·廣西桂林·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，，∴，，∴．故選：C．2．（2023浙江杭州·高二期末）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋蔬x：B3．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知為角終邊上一點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意知為角終邊上一點(diǎn)，則，故，故，故選：A4．（2023河南安陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意得，又，所以，所以，故．故選：D5．（2023重慶南岸·高一重慶市第十一中學(xué)校校考期末）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】.故選：A.6．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，得，所以，所以，又，故選：A.7．（2023湖北·高三湖北省云夢(mèng)縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴故選：A.8．（2023山東濟(jì)南·高一濟(jì)南市歷城第二中學(xué)?？计谀┮阎娜齻€(gè)內(nèi)角分別為、、，若滿足，，那么（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以在中，角為銳角，由可得：，則，所以，則，故選：.二、多選題9．（2023廣東湛江·高一統(tǒng)考期末）下列各式中，值為的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D正確．故選：AD10．（2023春·安徽·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）．A．函數(shù)的最小正周期為B．為函數(shù)圖像的一條對(duì)稱軸C．函數(shù)在上單調(diào)遞減D．函數(shù)在上有3個(gè)零點(diǎn)【答案】BC【解析】由題意得：，所以，。∴的最小正周期，故A錯(cuò)誤；，故B正確；∵，∴，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，故C正確；令，即，因?yàn)?，所以令，則，所以選項(xiàng)D的問題轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，如圖所示：觀察可知，有2個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤．故選：BC．11．（2023廣東廣州·高一廣州市海珠中學(xué)?？计谀┫铝懈魇街?，值為1的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，，故正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，故正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，故錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，，故錯(cuò)誤.故選：AB12．（2023陜西榆林·高一陜西省榆林中學(xué)?？计谀┯?jì)算下列各式的值，其結(jié)果為1的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，，D正確.故選：ACD.三、填空題13．（2023·云南昆明·昆明一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知，，則的值為______.【答案】【解析】解析：由，，得，又，解得，，則.故答案為：.14．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知，且，則______.【答案】【解析】由因?yàn)?，所以，因此，所?故答案為：.15．（2023江蘇南京·高三南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校校聯(lián)考期末）設(shè)，若，，則的值為_____．【答案】【解析】因?yàn)?，則，又，所以.故答案為：.16．（2023春·廣東揭陽(yáng)·高三校考開學(xué)考試）已知，則___________.【答案】【解析】令，則，所以，因?yàn)?，所以，整理得，則，解得或（舍去），所以，即.故答案為：.四、解答題17．（2023湖南婁底·高一?？计谀┮阎?1)求的值；(2)求的值．【解析】（1）由題意得，，得，則．（2）．18．（2023·廣東東莞·校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)求的最小正周期及對(duì)稱軸方程；(2)時(shí)，的最大值為，最小值為，求，的值.【解析】（1）∴，則的最小正周期為，∵的對(duì)稱軸為直線，，∴由，，解得，，∴的對(duì)稱軸方程為，.（2），∵，∴，∴，∴，當(dāng)時(shí)，的最大值為，最小值為，∴由，解得，當(dāng)時(shí)，的最大值為，最小值為，∴由，解得，綜上所述，，或，.19．（2023湖南常德·高一漢壽縣第一中學(xué)校考期末）已知函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象經(jīng)如下變換得到