2016年四川省達州市中考真題數學試題（解析版）

初中學業(yè)水平考試試題PAGEPAGE12016年四川省達州市中考真題一、（共10小題，每小題3分，滿分30分，在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求）1．（3分）下列各數中最小的是（）A．0 B．﹣3 C．﹣ D．12．（3分）在“十二?五”期間，達州市經濟保持穩(wěn)步增長，地區(qū)生產總值約由819億元增加到1351億元，年均增長約10%，將1351億元用科學記數法表示應為（）A．1.351×1011 B．13.51×1012 C．1.351×1013 D．0.1351×10123．（3分）如圖是一個正方體的表面展開圖，則原正方體中與“你”字所在面相對的面上標的字是（）A．遇 B．見 C．未 D．來4．（3分）不等式組的解集在數軸上表示正確的是（）A． B．C． D．5．（3分）下列說法中不正確的是（）A．函數y=2x的圖象經過原點B．函數y=的圖象位于第一、三象限C．函數y=3x﹣1的圖象不經過第二象限D．函數y=﹣的值隨x的值的增大而增大6．（3分）如圖，在5×5的正方形網格中，從在格點上的點A，B，C，D中任取三點，所構成的三角形恰好是直角三角形的概率為（）A． B． C． D．7．（3分）如圖，半徑為3的⊙A經過原點O和點C（0，2），B是y軸左側⊙A優(yōu)弧上一點，則tan∠OBC為（）A． B．2 C． D．8．（3分）如圖，將一張等邊三角形紙片沿中位線剪成4個小三角形，稱為第一次操作；然后，將其中的一個三角形按同樣方式再剪成4個小三角形，共得到7個小三角形，稱為第二次操作；再將其中一個三角形按同樣方式再剪成4個小三角形，共得到10個小三角形，稱為第三次操作；…根據以上操作，若要得到100個小三角形，則需要操作的次數是（）A．25 B．33 C．34 D．509．（3分）如圖，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于點F，D為AB的中點，連接DF延長交AC于點E．若AB=10，BC=16，則線段EF的長為（）A．2 B．3 C．4 D．510．（3分）如圖，已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點A（﹣1，0），與y軸的交點B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之間（不包括這兩點），對稱軸為直線x=1．下列結論：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正確結論的選項是（）A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分，把最后答案直接填在題中的橫線上）11．（3分）分解因式：a3﹣4a=．12．（3分）如圖，AB∥CD，AE交CD于點C，DE⊥AE于點E，若∠A=42°，則∠D=．13．（3分）已知一組數據0，1，2，2，x，3的平均數是2，則這組數據的方差是．14．（3分）設m，n分別為一元二次方程x2+2x﹣2018=0的兩個實數根，則m2+3m+n=．15．（3分）如圖，P是等邊三角形ABC內一點，將線段AP繞點A順時針旋轉60°得到線段AQ，連接BQ．若PA=6，PB=8，PC=10，則四邊形APBQ的面積為．16．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的邊AB：BC=3：2，點A（3，0），B（0，6）分別在x軸，y軸上，反比例函數y=（x＞0）的圖象經過點D，且與邊BC交于點E，則點E的坐標為．三、解答題（72分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）（一）（本題2個小題，共12分）17．（6分）計算：﹣（﹣2016）0+|﹣3|﹣4cos45°．18．（6分）已知x，y滿足方程組，求代數式（x﹣y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）的值．（二）、本題2個小題，共14分．19．（7分）達州市圖書館今年4月23日開放以來，受到市民的廣泛關注.5月底，八年級（1）班學生小穎對全班同學這一個多月來去新圖書館的次數做了調查統(tǒng)計，并制成了如圖不完整的統(tǒng)計圖表．八年級（1）班學生去新圖書館的次數統(tǒng)計表去圖書館的次數0次1次2次3次4次及以上人數812a104請你根據統(tǒng)計圖表中的信息，解答下列問題：（1）填空：a=，b=；（2）求扇形統(tǒng)計圖中“0次”的扇形所占圓心角的度數；（3）從全班去過該圖書館的同學中隨機抽取1人，談談對新圖書館的印象和感受．求恰好抽中去過“4次及以上”的同學的概率．20．（7分）如圖，在?ABCD中，已知AD＞AB．（1）實踐與操作：作∠BAD的平分線交BC于點E，在AD上截取AF=AB，連接EF；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）（2）猜想并證明：猜想四邊形ABEF的形狀，并給予證明．（三）、本題2個小題，共16分．21．（8分）如圖，在一條筆直的東西向海岸線l上有一長為1.5km的碼頭MN和燈塔C，燈塔C距碼頭的東端N有20km．一輪船以36km/h的速度航行，上午10：00在A處測得燈塔C位于輪船的北偏西30°方向，上午10：40在B處測得燈塔C位于輪船的北偏東60°方向，且與燈塔C相距12km．（1）若輪船照此速度與航向航行，何時到達海岸線？（2）若輪船不改變航向，該輪船能否?？吭诖a頭？請說明理由．（參考數據：≈1.4，≈1.7）22．（8分）如圖，已知AB為半圓O的直徑，C為半圓O上一點，連接AC，BC，過點O作OD⊥AC于點D，過點A作半圓O的切線交OD的延長線于點E，連接BD并延長交AE于點F．（1）求證：AE?BC=AD?AB；（2）若半圓O的直徑為10，sin∠BAC=，求AF的長．（四）、本題2個小題，共19分23．（9分）某家具商場計劃購進某種餐桌、餐椅進行銷售，有關信息如表：原進價（元/張）零售價（元/張）成套售價（元/套）餐桌a270500元餐椅a﹣11070已知用600元購進的餐桌數量與用160元購進的餐椅數量相同．（1）求表中a的值；（2）若該商場購進餐椅的數量是餐桌數量的5倍還多20張，且餐桌和餐椅的總數量不超過200張．該商場計劃將一半的餐桌成套（一張餐桌和四張餐椅配成一套）銷售，其余餐桌、餐椅以零售方式銷售．請問怎樣進貨，才能獲得最大利潤？最大利潤是多少？（3）由于原材料價格上漲，每張餐桌和餐椅的進價都上漲了10元，按照（2）中獲得最大利潤的方案購進餐桌和餐椅，在調整成套銷售量而不改變銷售價格的情況下，實際全部售出后，所得利潤比（2）中的最大利潤少了2250元．請問本次成套的銷售量為多少？24．（10分）△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D為直線BC上一動點（點D不與B，C重合），以AD為邊在AD右側作正方形ADEF，連接CF．（1）觀察猜想如圖1，當點D在線段BC上時，①BC與CF的位置關系為：．②BC，CD，CF之間的數量關系為：；（將結論直接寫在橫線上）（2）數學思考如圖2，當點D在線段CB的延長線上時，結論①，②是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結論再給予證明．（3）拓展延伸如圖3，當點D在線段BC的延長線上時，延長BA交CF于點G，連接GE．若已知AB=2，CD=BC，請求出GE的長．（五）、本題11分25．（11分）如圖，已知拋物線y=ax2+2x+6（a≠0）交x軸與A，B兩點（點A在點B左側），將直尺WXYZ與x軸負方向成45°放置，邊WZ經過拋物線上的點C（4，m），與拋物線的另一交點為點D，直尺被x軸截得的線段EF=2，且△CEF的面積為6．（1）求該拋物線的解析式；（2）探究：在直線AC上方的拋物線上是否存在一點P，使得△ACP的面積最大？若存在，請求出面積的最大值及此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．（3）將直尺以每秒2個單位的速度沿x軸向左平移，設平移的時間為t秒，平移后的直尺為W′X′Y′Z′，其中邊X′Y′所在的直線與x軸交于點M，與拋物線的其中一個交點為點N，請直接寫出當t為何值時，可使得以C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形．

——★參*考*答*案★——一、（共10小題，每小題3分，滿分30分，在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求）1．B『解析』因為在A、B、C、D四個選項中只有B、C為負數，故應從B、C中選擇；又因為|﹣3|＞|﹣|，所以﹣3＜﹣，故選B．2．A『解析』1351億=135100000000=1.351×1011．故選A．3．D『解析』正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，“遇”與“的”是相對面，“見”與“未”是相對面，“你”與“來”是相對面．故選D．4．A『解析』由①得，x≤3；由②得，x＞﹣；所以，不等式組的解集為﹣＜x≤3．故選A．5．D『解析』A、函數y=2x的圖象經過原點，正確，不合題意；B、函數y=的圖象位于第一、三象限，正確，不合題意；C、函數y=3x﹣1的圖象不經過第二象限，正確，不合題意；D、函數y=﹣的值，在每個象限內，y隨x的值的增大而增大，故錯誤，符合題意．故選D．6．D『解析』∵從點A，B，C，D中任取三點能組成三角形的一共有4種可能，其中△ABD，△ADC，△ABC是直角三角形，∴所構成的三角形恰好是直角三角形的概率為．故選D．7．C『解析』作直徑CD，在Rt△OCD中，CD=6，OC=2，則OD==4，tan∠CDO==，由圓周角定理得，∠OBC=∠CDO，則tan∠OBC=，故選C．8．B『解析』∵第一次操作后，三角形共有4個；第二次操作后，三角形共有4+3=7個；第三次操作后，三角形共有4+3+3=10個；…∴第n次操作后，三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1個；當3n+1=100時，解得：n=33，故選B．9．B『解析』∵AF⊥BF，∴∠AFB=90°，∵AB=10，D為AB中點，∴DF=AB=AD=BD=5，∴∠ABF=∠BFD，又∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，∴∠CBF=∠DFB，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，即，解得：DE=8，∴EF=DE﹣DF=3，故選B．10．D『解析』①∵函數開口方向向上，∴a＞0；∵對稱軸在y軸右側∴ab異號，∵拋物線與y軸交點在y軸負半軸，∴c＜0，∴abc＞0，故①正確；②∵圖象與x軸交于點A（﹣1，0），對稱軸為直線x=1，∴圖象與x軸的另一個交點為（3，0），∴當x=2時，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②錯誤；③∵圖象與x軸交于點A（﹣1，0），∴當x=﹣1時，y=（﹣1）2a+b×（﹣1）+c=0，∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，∵對稱軸為直線x=1∴=1，即b=﹣2a，∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，∴4ac﹣b2=4?a?（﹣3a）﹣（﹣2a）2=﹣16a2＜0∵8a＞0∴4ac﹣b2＜8a故③正確④∵圖象與y軸的交點B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之間，∴﹣2＜c＜﹣1∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，∴＞a＞；故④正確⑤∵a＞0，∴b﹣c＞0，即b＞c；故⑤正確；故選D．二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分，把最后答案直接填在題中的橫線上）11．a（a+2）（a﹣2）『解析』原式=a（a2﹣4）=a（a+2）（a﹣2）．故答案為：a（a+2）（a﹣2）12．48°『解析』∵AB∥CD，∴∠ECD=∠A=42°，又∵DE⊥AE，∴直角△ECD中，∠D=90°﹣∠ECD=90°﹣42°=48°．故答案為：48°．13．『解析』∵數據0，1，2，2，x，3的平均數是2，∴（0+1+2+2+x+3）÷6=2，∴x=4，∴這組數據的方差=〖（2﹣0）2+（2﹣1）2+（2﹣2）2+（2﹣2）2+（2﹣4）2+（2﹣3）2〗=，故答案為：．14．2016『解析』∵m為一元二次方程x2+2x﹣2018=0的實數根，∴m2+2m﹣2018=0，即m2=﹣2m+2018，∴m2+3m+n=﹣2m+2018+3m+n=2018+m+n，∵m，n分別為一元二次方程x2+2x﹣2018=0的兩個實數根，∴m+n=﹣2，∴m2+3m+n=2018﹣2=2016．15．24+9『解析』連結PQ，如圖，∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC，∵線段AP繞點A順時針旋轉60°得到線段AQ，∴AP=PQ=6，∠PAQ=60°，∴△APQ為等邊三角形，∴PQ=AP=6，∵∠CAP+∠BAP=60°，∠BAP+∠BAQ=60°，∴∠CAP=∠BAQ，在△APC和△ABQ中，，∴△APC≌△ABQ，∴PC=QB=10，在△BPQ中，∵PB2=82=64，PQ2=62，BQ2=102，而64+36=100，∴PB2+PQ2=BQ2，∴△PBQ為直角三角形，∠BPQ=90°，∴S四邊形APBQ=S△BPQ+S△APQ=×6×8+×62=24+9．故答案為24+9．16．（2，7）『解析』過點D作DF⊥x軸于點F，則∠AOB=∠DFA=90°，∴∠OAB+∠ABO=90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，AD=BC，∴∠OAB+∠DAF=90°，∴∠ABO=∠DAF，∴△AOB∽△DFA，∴OA：DF=OB：AF=AB：AD，∵AB：BC=3：2，點A（3，0），B（0，6），∴AB：AD=3：2，OA=3，OB=6，∴DF=2，AF=4，∴OF=OA+AF=7，∴點D的坐標為：（7，2），∴反比例函數的解析式為：y=①，點C的坐標為：（4，8），設直線BC的解析式為：y=kx+b，則，解得：，∴直線BC的解析式為：y=x+6②，聯立①②得：或（舍去），∴點E的坐標為：（2，7）．故答案為：（2，7）．三、解答題（72分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）（一）（本題2個小題，共12分）17．解：原式=2﹣1+3﹣4×=2．18．解：原式=（x2﹣2xy+y2）﹣（x2﹣4y2）=x2﹣2xy+y2﹣x2+4y2=﹣2xy+5y2，方程組，①+②得：3x=﹣3，即x=﹣1，把x=﹣1代入①得：y=，則原式=+=．（二）、本題2個小題，共14分．19．解：（1）該班學生總數為：12÷24%=50（人），則a=50﹣8﹣12﹣10﹣4=16，b=×100=20；（2）扇形統(tǒng)計圖中“0次”的扇形所占圓心角的度數為：360°×=57.6°；（3）從全班去過該圖書館的同學中隨機抽取1人，有50﹣8=42種等可能結果，其中恰好抽中去過“4次及以上”的同學有4種結果，故恰好抽中去過“4次及以上”的同學的概率為=．故答案為：（1）16，20．20．解：（1）如圖所示：（2）四邊形ABEF是菱形；理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴BE=AB，由（1）得：AF=AB，∴BE=AF，又∵BE∥AF，∴四邊形ABEF是平行四邊形，∵AF=AB，∴四邊形ABEF是菱形．（三）、本題2個小題，共16分．21．解：（1）延長AB交海岸線l于點D，過點B作BE⊥海岸線l于點E，過點A作AF⊥l于F，如圖所示．∵∠BEC=∠AFC=90°，∠EBC=60°，∠CAF=30°，∴∠ECB=30°，∠ACF=60°，∴∠BCA=90°，∵BC=12，AB=36×=24，∴AB=2BC，∴∠BAC=30°，∠ABC=60°，∵∠ABC=∠BDC+∠BCD=60°，∴∠BDC=∠BCD=30°，∴BD=BC=12，∴時間t==小時=20分鐘，∴輪船照此速度與航向航向，上午11：00到達海岸線．（2）∵BD=BC，BE⊥CD，∴DE=EC，在Rt△BEC中，∵BC=12海里，∠BCE=30°，∴BE=6海里，EC=6≈10.2海里，∴CD=20.4海里，∵20海里＜20.4海里＜21.5海里，∴輪船不改變航向，輪船可以停靠在碼頭．22．（1）證明：∵AB為半圓O的直徑，∴∠C=90°，∵OD⊥AC，∴∠CAB+∠AOE=90°，∠ADE=∠C=90°，∵AE是切線，∴OA⊥AE，∴∠E+∠AOE=90°，∴∠E=∠CAB，∴△EAD∽△ABC，∴AE：AB=AD：BC，∴AE?BC=AD?AB．（2）解：作DM⊥AB于M，∵半圓O的直徑為10，sin∠BAC=，∴BC=AB?sin∠BAC=6，∴AC==8，∵OE⊥AC，∴AD=AC=4，OD=BC=3，∴sin∠OAD==，∵sin∠OAD=sin∠MAD=，∴DM=，AM===，BM=AB﹣AM=，∵DM∥AE，∴=，∴AF=．（四）、本題2個小題，共19分23．解：（1）由題意得=，解得a=150，經檢驗，a=150是原分式方程的解；（2）設購進餐桌x張，則購進餐椅（5x+20）張，銷售利潤為W元．由題意得：x+5x+20≤200，解得：x≤30．∵a=150，∴餐桌的進價為150元/張，餐椅的進價為40元/張．依題意可知：W=x?（500﹣150﹣4×40）+x?（270﹣150）+（5x+20﹣x?4）?（70﹣40）=245x+600，∵k=245＞0，∴W關于x的函數單調遞增，∴當x=30時，W取最大值，最大值為7950．故購進餐桌30張、餐椅170張時，才能獲得最大利潤，最大利潤是7950元．（3）漲價后每張餐桌的進價為160元，每張餐椅的進價為50元，設本次成套銷售量為m套．依題意得：（500﹣160﹣4×50）m+（30﹣m）×（270﹣160）+（170﹣4m）×（70﹣50）=7950﹣2250，即6700﹣50m=5700，解得：m=20．答：本次成套的銷售量為20套．24．解：（1）①正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△DAB與△FAC中，，∴△DAB≌△FAC，∴∠B=∠ACF，∴∠ACB+∠ACF=90°，即BC⊥CF；故答案為：垂直；②△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∵BC=BD+CD，∴BC=CF+CD；故答案為：BC=CF+CD；（2）CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC．∵正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△DAB與△FAC中，，∴△DAB≌△FAC，∴∠ABD=∠ACF，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=45°．∴∠ABD=180°﹣45°=135°，∴∠BCF=∠ACF﹣∠ACB=135°﹣45°=90°，∴CF⊥BC．∵CD=DB+BC，DB=CF，∴CD=CF+BC．（3）解：過A作AH⊥BC于H，過E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴BC=AB=4，AH=BC=2，∴CD=BC=1，CH=BC=2，∴DH=3，由（2）證得BC⊥CF，CF=BD=5，∵四邊形ADEF是正方形，∴AD=DE，∠ADE=90°，∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，∴四邊形CMEN是矩形，∴NE=CM，EM=CN，∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90°，∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°，∴∠ADH=∠DEM，在△ADH與△DEM中，，∴△ADH≌△DEM，∴EM=DH=3，DM=AH=2，∴CN=EM=3，EN=CM=3，∵∠ABC=45°，∴∠BGC=45°，∴△BCG是等腰直角三角形，∴CG=BC=4，∴GN=1，∴EG==．（五）、本題11分25．解：（1）∵S△CEF=EF?yC=×2m=6，∴m=6，即點C的坐標為（4，6），將點C（4，6）代入拋物線y=ax2+2x+6（a≠0）中，得：6=16a+8+6，解得：a=﹣，∴該拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+6．（2）假設存在．過點P作