1311棱柱棱錐和棱臺

棱柱、棱錐和棱臺一、空間幾何體的相關(guān)概念1、空間幾何體：在我們的周圍存在著各種各樣的物體，他們都占據(jù)著空間的一部分，如果只考慮這些物體的形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體。例如：我們?nèi)粘＝佑|到的足球、籃球等，吐過只考了他們的形狀和大小，他們都是球體，還有其他幾何體如長方體、正方體等。2、多面體：一般地，由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.（1）多面體的面：圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面；（2）多面體的棱：兩個面的公共邊叫做多面體的棱；（3）多面體的頂點：棱與棱的公共點叫做多面體的頂點。3、旋轉(zhuǎn)體：一條平面曲線（包括直線）繞它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)面，封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體，這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸。二、棱柱1、定義：一般地，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面圍成的多面體叫棱柱。（1）有兩個互相平行的面叫做棱柱的地面，它們是全等的多邊形；（2）其余各面叫做棱柱的側(cè)面，他們都是平行四邊形；（3）相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱；（4）側(cè)面與底面的公共頂點叫做棱柱的頂點?！咀⒁狻浚?）有兩個面互相平行，并不代表只有兩個面互相平行，如長方體有三組對面互相平行，其中任意一組對面都可以作為底面。（2）棱柱的另外一種定義一般地，由一個平面沿著某一方向平移形成的空間幾何體叫做柱體，平移起止位置的兩個面叫做柱體的底面，縮變形的邊平移所形成的的面叫做柱體的側(cè)面2、棱柱的分類：（1）按底面多邊形的邊數(shù)：可以把棱柱分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等等；（2）按側(cè)棱與底面的位置關(guān)系：可以把棱柱分為直棱柱和斜棱柱；其中直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱．斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱．正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱．平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱．三、棱錐1、定義：一般地，有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐。（1）這個多邊形面叫做棱錐的底面；（2）有公共頂點的各個三角形面叫做棱錐的側(cè)面；（3）相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱；（4）各個側(cè)面的公共頂點叫做棱錐的頂點?！咀⒁狻坑幸粋€面是多邊形，其余各面都使三角形的幾何體不一定是棱錐，如圖。棱錐還需要滿足各三角形有且只有一個公共頂點。2、棱錐的分類：按底面多邊形的邊數(shù)，可以把棱錐分成三棱錐、四棱錐和五棱錐。【注意】底面為正多邊形的棱錐叫做正棱錐，如正三棱錐、正四棱錐……四、棱臺1、定義：用一個平行與棱錐底面的平面去截棱錐，我們把底面與截面之間的部分叫做棱臺。（1）原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺的下底面和上底面；（2）其他各面叫做棱臺的側(cè)面；（3）相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱臺的側(cè)棱；（4）側(cè)面與底面的公共頂點叫做棱臺的定點?！咀⒁狻浚?）棱臺上下底面是互相平行且相似的多邊形；（2）側(cè)面都是梯形；（3）各側(cè)棱的延長線交于一點。2、棱臺的分類：由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺分別叫做三棱臺、四棱臺、五棱臺……題型一棱柱的幾何特征【例1】（2023春·全國·高一專題練習(xí)）觀察下面的幾何體，哪些是棱柱？（）A．①③⑤B．①②③⑤C．①③⑥D(zhuǎn)．③④⑥【答案】A【解析】由棱柱的定義可知：①③⑤滿足棱柱的定義．故選:A.【變式11】（2022秋·山東濰坊·高二昌邑市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列命題不正確的是（）A．正方體一定是正四棱柱B．底面是正多邊形的棱柱是正棱柱C．有相鄰兩個側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱D．平行六面體的六個面均為平行四邊形【答案】B【解析】對于A，上、下底面都是正方形，且側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱，所以正方體是正四棱柱，故A正確；對于B，底面是正多邊形的直棱柱是正棱柱，底面是正多邊形但側(cè)棱與底面不垂直的棱柱不是正棱柱，故B錯誤；對于C，有兩個相鄰的側(cè)面是矩形，說明公共側(cè)棱與底面兩條相交直線垂直，則側(cè)棱與底面垂直，而側(cè)棱與底面垂直的棱柱為直棱柱，所以有相鄰兩個側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱，故C正確；對于D，底面是平行四邊形的四棱柱叫做平行六面體，而棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，故D正確．故選：B【變式12】（2022秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高二呼市二中?？计谥校ǘ噙x）一個棱柱是正四棱柱的條件是（）A．底面是正方形，有兩個側(cè)面是矩形B．底面是正方形，有兩個側(cè)面垂直于底面C．底面是菱形的直四棱柱，且對角線長度相等D．底面是正方形，每個側(cè)面是全等矩形的四棱柱【答案】CD【解析】對于A，底面是正方形，有兩個側(cè)面是矩形的棱柱，當(dāng)這兩個側(cè)面是相對的側(cè)面，并且和底面不垂直時，棱柱是斜棱柱，不能保證是正四棱柱；對于B，底面是正方形，有兩個側(cè)面垂直于底面的棱柱，當(dāng)這兩個側(cè)面是相對的側(cè)面，另外兩個相對的側(cè)面可能和底面不垂直，此時棱柱是斜棱柱，不能保證是正四棱柱；對于C,底面是菱形，且對角線長度相等,則底面是正方形，又因為是直棱柱，故能保證棱柱是正四棱柱；對于D,每個側(cè)面是全等矩形的四棱柱,則相鄰兩個側(cè)面的交線即側(cè)棱垂直于底面，即棱柱為直棱柱，又底面為正方形，故能保證是正四棱柱，故選：CD【變式13】（2022·高一單元測試）滿足下列條件的棱柱中，一定是直棱柱的是（）A．底面是矩形B．有一個側(cè)面與底面垂直C．有一個側(cè)面是矩形D．相鄰兩個側(cè)面是矩形【答案】D【解析】如圖所示是一個斜四棱柱：因為底面是矩形，故A錯誤；因為側(cè)面與底面垂直，故B錯誤；側(cè)面是矩形，故C錯誤；當(dāng)相鄰兩個側(cè)面是矩形時，則這兩個側(cè)面的交線與底面垂直，即得到側(cè)棱與底面垂直，則該棱柱一定是直棱柱，故D正確.故選：A.題型二棱錐的幾何特征【例2】（2022·高一課時練習(xí)）下面圖形中，為棱錐的是（）A．①③B．①③④C．①②④D．①②【答案】C【解析】一般地，有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐，顯然①②④滿足棱錐定義，③不滿足棱錐定義，所以①②④是棱錐，③不是棱錐.故選：C【變式21】（2023春·高一課時練習(xí)）對于棱錐，下列敘述正確的是（）A．三棱錐共有三條棱B．四棱錐共有四個面C．五棱錐的頂點有五個D．六棱錐有一個底面【答案】D【解析】對于A，因為三棱錐共有六條棱，故A錯誤；對于B，因為四棱錐共有五個面，故B錯誤；對于，因為五棱錐的頂點有六個，故錯誤；對于，根據(jù)棱錐的定義，D正確.故選：D．【變式22】（2023春·浙江杭州·高一杭州四中校考期中）若一個正棱錐的各棱長和底面邊長均相等，則該棱錐一定不是（）A．正三棱錐B．正四棱錐C．正五棱錐D．正六棱錐【答案】D【解析】對于選項A，正四面體為滿足條件的正三棱錐，故排除A；對于選項B，考慮如圖所示的正四棱錐.滿足，為底面正方形中心，EO平面ABCD.因底面為正方形，故，則，，，兩兩全等，得.故存在滿足條件的正四棱錐，排除B；對于選項C，考慮如圖所示的五棱錐.滿足，O為底面正五邊形中心，F(xiàn)O平面ABCDE.因底面為正五邊形，故，則，，，，兩兩全等.得.故存在滿足條件的正五棱錐，排除C；對于選項D，考慮如圖所示的正六棱錐.滿足，O為底面正六邊形中心.GO平面ABCDEF.但注意到OA=AB，，則有.這與所設(shè)滿足的條件矛盾，故不存在滿足條件的正六棱錐，故D正確.故選：D【變式23】（2022春·廣東中山·高一統(tǒng)考期末）（多選）從正方體的8個頂點中任選4個不同頂點，然后將它們兩兩相連，可組成空間幾何體．這個空間幾何體可能是（）A．每個面都是直角三角形的四面體；B．每個面都是等邊三角形的四面體；C．每個面都是全等的直角三角形的四面體；D．有三個面為等腰直角三角形，有一個面為等邊三角形的四面體．【答案】ABD【解析】對于A，每個面都是直角三角形的四面體，如：E﹣ABC，所以A正確；對于B，每個面都是等邊三角形的四面體，如E﹣BGD，所以B正確；對于C，若四面體的每個面都是全等的直角三角形，則必有直角邊等于斜邊，而這樣的直角三角形不存在，所以C錯誤；對于D，有三個面為等腰直角三角形，有一個面為等邊三角形的四面體，如：A﹣BDE，所以D正確；故選：ABD．【變式24】（2022春·河南開封·高一?？计谥校┫铝姓f法中正確的個數(shù)為（）①各側(cè)棱都相等的棱錐為正棱錐；②各側(cè)面都是面積相等的等腰三角形的棱錐為正棱錐；③各側(cè)面都是全等的等腰三角形的棱錐是正棱錐；④底面是正多邊形且各側(cè)面是全等三角形的棱錐為正棱錐．A．B．C．D．【答案】D【解析】對于①，各側(cè)棱都相等，但無法保證底面為正多邊形，①錯誤；對于②，各側(cè)面都是面積相等的等腰三角形，但無法保證各個等腰三角形全等且腰長均為側(cè)棱長，②錯誤；對于③，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，但無法保證等腰三角形的腰長為側(cè)棱長，③錯誤；對于④，底面是正多邊形，各側(cè)面是全等三角形，則可以保證頂點在底面射影為底面中心，滿足正棱錐定義，④正確.故選：D.題型三棱臺的幾何特征【例3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列說法中正確的是（）A．用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺B．上下底面全等，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱C．棱臺的底面是兩個相似的正方形D．棱臺的側(cè)棱延長后必交于一點【答案】D【解析】A中,要用“平行于底面”的平面去截棱錐，棱錐底面與截面間部分才叫棱臺,如果截棱錐的平面不與底面平行，棱錐底面與截面間部分只能叫多面體,故A錯誤；B中,如圖所示幾何體，有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形，但不是棱柱，故B錯誤；C中，棱臺的底面不一定是兩個相似的正方形，只需是相似多邊形即可,故C錯誤；D中,由棱臺的定義知棱臺的側(cè)棱延長后必交于一點,故D正確.故選：D.【變式31】（2023·全國·高一專題練習(xí)）有下列四種敘述：①用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺；②兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺；③有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺；④棱臺的側(cè)棱延長后必交于一點.其中正確的有（）A．0個B．1個C．2個D．3個【答案】B【解析】對于①：當(dāng)截面不平行于底面時，棱錐底面和截面之間的部分不是棱臺，①錯；對于②③：如圖的幾何體滿足條件，但側(cè)棱延長線不能相交于一點，不是棱臺，②③錯；對于④：棱臺結(jié)構(gòu)特征知：側(cè)棱延長后必交于一點，④正確.故選：B【變式32】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，能推斷這個幾何體可能是三棱臺的是（）A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1【答案】C【解析】A選項，，所以幾何體不是三棱臺，A選項錯誤.B選項，，所以幾何體不是三棱臺，B選項錯誤.C選項，，所以幾何體是三棱臺，C選項正確.D選項，該幾何體可能是三棱柱，D選項錯誤.故選：C【變式33】（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列關(guān)于棱臺的說法中錯誤的是（）A．所有的側(cè)棱所在直線交于一點B．只有兩個面互相平行C．上下兩個底面全等D．所有的側(cè)面不存在兩個面互相平行【答案】C【解析】由棱臺的定義可知：A.所有的側(cè)棱所在直線交于一點，正確；B.只有兩個面互相平行，就是上、下底面平行，正確；C.棱臺的上下兩個底面不全等，故C不正確；D.所有的側(cè)面不存在兩個面互相平行，正確.故選：C.題型四展開圖及其應(yīng)用【例4】（2023春·浙江杭州·高一杭州四中?？计谥校┮阎襟w的棱長為，一螞蟻沿著正方體的表面從點爬到點的最短距離是__________．【答案】【解析】如圖所示，將正方體的側(cè)面與展開，則最短距離為，故答案為：.【變式41】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，在所有棱長均為1的三棱柱上，有一只螞蟻從點A出發(fā)，圍著三棱柱的側(cè)面爬行一周到達點A1，則爬行的最短路線長為__．【答案】【解析】正三棱柱的側(cè)面展開圖如圖所示的矩形，矩形的長為3，寬為1，則其對角線AA1的長為最短路程．因此螞蟻爬行的最短路程為．故答案為：．【變式42】（2023春·上?！じ叨Ｂ?lián)考階段練習(xí)）如圖，已知正三棱柱的底面邊長與側(cè)棱長相等．螞蟻甲從A點沿表面經(jīng)過棱、爬到點，螞蟻乙從B點沿表面經(jīng)過棱爬到點．設(shè)，，若兩只螞蟻各自爬過的路程最短，則______【答案】【解析】如圖所示，將三棱柱沿著側(cè)棱展開，又因為正三棱柱的底面邊長與側(cè)棱長相等，則同理所以