（浙江專版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章立體幾何學(xué)案

第七章立體幾何

第一節(jié)彳空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖與直觀圖

滿伽。帆昌翦基貧一歐6演。演P會面的第窗硼

??〉必過教材關(guān)

I簡單幾何體

(D多面體的結(jié)構(gòu)特征

名稱棱柱棱錐棱臺

D'SD'

&

圖形

ABABAB

底面互相平行且相等多邊形互相平行

相交于一點,但不一定

側(cè)棱平行且相等延長線交于一點側(cè)面

相等

形狀平行四邊形三角形梯形

旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

球

名稱圓柱圓?錐q圓臺

ma

圖形A

1

1

互相平行且相等，

母線相交于一點延長線交于一點

垂直于底面

全等的等腰三角

軸截面全等的矩形全等的等腰梯形圓

側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)

2.直觀圖

<D畫法：常用斜二測畫法.

0>規(guī)則：

①原圖形中鬲由、，軸▼軸兩兩垂直，直觀圖中，罰軸、，軸的夾角為41°《或15r),

4軸與/軸和，軸所在平面垂直.

②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸.平行于*由和，軸的線段

在直觀圖中保持原長度不變,平行于，軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?

3三視圖

4D幾何體的三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方、

正上方觀察幾何體畫出的輪廓線.

三視圖的畫法

①基本要求：長對正,高平齊,寬相等.

②畫法規(guī)則：正側(cè)一樣高,正俯一樣長,側(cè)俯一樣寬;看不到的線畫虛線.

I小題體驗I

I若一個三棱柱的三視圖如圖所示，其俯視圖為正三角形，則這個三棱柱的高和底面邊

長分別為<>

C.4.3B.2.4

解析：選，由三視圖可知，正三棱柱的高為N,底面正三角形的高為人白，故底面邊

長為4,故選■.

2.《教材習(xí)題改編）如圖，長方體,C/被截去一部分，其中。〃rr

則剩下的幾何體是，截去的幾何體是_____.

答案：五棱柱三棱柱

??卜必過易借關(guān)

I臺體可以看成是由錐體截得的，易忽視截面與底面平行且側(cè)棱延長后必交于一點.

2.空間幾何體不同放置時其三視圖不一定相同.

3對于簡單組合體，若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖

中，易忽視實虛線的畫法.

I小題糾偏I(xiàn)

L如圖，能推斷這個幾何體可能是三棱臺的是，）,

--------r1

1.但3,"=4\<\

'C

B

I.U=2,hCi=^,*，，lift=3,

C.iJi=I,U=2,fiC=g,*，，Mi=2,公4

2

B.”1■,*=“、,a=Mi

解析：選c根據(jù)棱臺是由棱錐截成的，可知綽=誓=弟，故，■不正確，C正確；

"

■項中滿足這個條件的是一個三棱柱，不是三棱臺，故■不正確.

3.用一個平行于水平面的平面去截球，得到如圖所示的幾何體，則它的俯視圖是()

解析：選?俯視圖中顯然應(yīng)有一個被遮擋的圓，所以內(nèi)圓是虛線，故選

3《教材習(xí)題改編＞利用斜二測畫法得到的

①三角形的直觀圖一定是三角形；

②正方形的直觀圖一定是菱形；

③等腰梯形的直觀圖可以是平行四邊形；

④菱形的直觀圖一定是菱形.

以上結(jié)論正確的個數(shù)是.

解析：由斜二測畫法的規(guī)則可知①正確；②錯誤，是一般的平行四邊形；③錯誤，等腰

梯形的直觀圖不可能是平行四邊形；而菱形的直觀圖也不一定是菱形，④也錯誤.

答案：I

閔。當(dāng)席家趴國患防。兵俯那、的同明。年畫命蜜血

考點一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征基礎(chǔ)送分型考點一一自主練透

I題組練透I

I用任意一個平面截一個幾何體，各個截面都是圓面，則這個幾何體一定是＜＞

1.圓柱I.圓錐

C球體I圓柱、圓錐、球體的組合體

解析：選C截面是任意的且都是圓面，則該幾何體為球體.

3.給出下列幾個命題：

①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；②底面為正

多邊形，且有相鄰兩個側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱臺的上、下底面可以不相似，

但側(cè)棱長一定相等.其中正確命題的個數(shù)是《

解析：選■①不一定，只有這兩點的連線平行于軸時才是母線；②正確；③錯誤，棱

臺的上、下底面是相似且對應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長線交于一點，但是側(cè)棱長不一定

相等.

3.給出下列命題：

①棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形；

②若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個側(cè)面也兩兩垂直；

③在四棱柱中，若兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；

④存在每個面都是直角三角形的四面體.

其中正確命題的序號星..

解析：①不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊n「

形，但不一定全等；②正確，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則三個側(cè)A戶B向

面構(gòu)成的三個平面的二面角都是直二面角；③正確，因為兩個過相對側(cè)\,//I

棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；④正確，如圖，正方體"龍三招從

AB

離《福中的三棱錐?！盩,四個面都是直角三角形.

答案：②③④

I謹(jǐn)記通法I

解決與空間幾何體結(jié)構(gòu)特征有關(guān)問題的，個技巧

<D把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，要多觀察實物，提高空間想象能力；

緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型;

6通過反例對結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析.

考點二空間幾何體的三視圖重點保分型考點一一師生共研

I典例引領(lǐng)I

I■?東北四市聯(lián)考》如圖，在正方體溫中，，是線段"的中點，則三

棱錐，麻皿的側(cè)視圖為，）

ABCD

解析：選，如圖，畫出原正方體的側(cè)視圖，顯然對于三棱錐，，㈤，,0點均消失了,

其余各點均在，從而其側(cè)視圖為

3.杭州模擬）已知三棱錐的正視圖與俯視圖如圖所示，俯視圖是邊長為2的正三

角形，那么該三棱錐的側(cè)視圖可能為，）

解析：選■由正視圖可看出長為2的側(cè)棱垂直于底面，側(cè)視圖為直角三角形，直角邊

長為2,另一直角邊為底邊三角形的高小.故側(cè)視圖可能為■.

I由題悟法I

I已知幾何體，識別三視圖的技巧

已知幾何體畫三視圖時，可先找出各個頂點在投影面上的投影，然后再確定線在投影面

上的實虛.

3.已知三視圖，判斷幾何體的技巧

對柱、錐、臺、球的三視圖要熟悉.

明確三視圖的形成原理，并能結(jié)合空間想象將三視圖還原為直觀圖.

6遵循“長對正、高平齊、寬相等”的原則.

I提醒I對于簡單組合體的三視圖，應(yīng)注意它們的交線的位置，區(qū)分好實線和虛線的不

同.

I即時應(yīng)用I

I沈陽教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測》“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽

在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個和諧優(yōu)美的幾何體.它由完全相同的

四個曲面構(gòu)成，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上，好似兩個扣合（牟

合>在一起的方形傘

《方蓋》.其直觀圖如圖，圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線.當(dāng)其正視圖和側(cè)

視圖完全相同時，它的俯視圖可能是()

解析：選B根據(jù)直觀圖以及圖中的輔助四邊形分析可知，當(dāng)正視圖和側(cè)視圖完全相同

時，俯視圖為樂故選■.

2.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是，>

解析：選，由俯視圖是圓環(huán)可排除M,、C,進(jìn)一步將已知三視圖還原為幾何體，可得

選項■.

考點三空間幾何體的直觀圖重點保分型考點一一師生共研

I典例引領(lǐng)I

?杭州模擬)在等腰梯形“i”中，上底==|,腰下底"二以

下底所在直線為鬲由，則由斜二測畫法畫出的直觀圖，'，C,的面積為.

解析：畫出等腰梯形的實際圖形及直觀圖1rr/如圖所示，因為tc=

q5'-『=>

所以9c=1，cr=坐

所以直觀圖，rc/的面積為

i、叵、岳

s=鏟〃+?義4=號

Z42

答案:坐

I由題悟法I

原圖與直觀圖中的“三變”與“三不變”

/坐標(biāo)軸的夾角改變

(D“三變”與黃由平行的線段的長度改變減半

I圖形改變

(平行性不變

G>“三不變”|與若由平行的線段長度不變

I相對位置不變

眼卯寸應(yīng)用I

如圖，矩形9I,C是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中?1=1■,

9C=2s,則原圖形是《

1正方形

C.菱形B一般的平行四邊形

解析：選C如圖，在原圖形皿C中，應(yīng)有*2,/=2義趴向=45■,“=￡'?

=2?1.

：.U=9C,故四邊形以一是菱形.

品局。皂微泡最:基倒型蜩能睡

一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快

I某幾何體的正視圖和側(cè)視圖完全相同，均如圖所示，則該幾何體的俯視圖一定不可能

是<>

△

ABCD

解析：選■幾何體的正視圖和側(cè)視圖完全一樣，則幾何體從正面看和側(cè)面看的長度相

等，只有等邊三角形不可能.

3.下列說法正確的是《

1棱柱的兩個底面是全等的正多邊形

I平行于棱柱側(cè)棱的截面是矩形

C幽棱柱SS-E棱柱〉

9/E四面體三棱錐》

解析：選，因為選項A中兩個底面全等，但不一定是正多邊形；選項■中一般的棱柱

不能保證側(cè)棱與底面垂直，即截面是平行四邊形，但不一定是矩形；選項C中棱柱Sfi演

棱柱〉故'、，、C都錯；選項■中，正四面體是各條棱均相等的正三棱錐，故正確.

J某幾何體的三視圖如圖所示，那么這個幾何體是4

側(cè)視圖

1.三棱錐I.四棱錐

C四棱臺B三棱臺

解析：選1因為正視圖和側(cè)視圖都為三角形，可知幾何體為錐體，又因為俯視圖為三

角形，故該幾何體為三棱錐.

4.在如圖所示的直觀圖中，四邊形?I，C為菱形且邊長為

2a,則在直角坐標(biāo)系Rr中，四邊形"Tf的形狀為,面

積為10

解析：由斜二測畫法的特點知該平面圖形是一個長為4■,寬為

3■的矩形，所以四邊形〃”的面積為8

答案：矩形t

??已知某幾何體的三視圖如圖所示，正視圖和側(cè)視圖都是矩形，I[T

俯視圖是正方形，在該幾何體上任意選擇4個頂點，以這4個點為卜

頂點的幾何體的形狀給出下列命題：①矩形；②有三個面為直角三二?！?/p>

正視圖側(cè)視圖

角形，有一個面為等腰三角形的四面體；③兩個面都是等腰直角三

角形的四面體.其中正確命題的序號在..

解析：由三視圖可知，該幾何體是正四棱柱，作出其直觀圖，

2KM如圖，當(dāng)選擇的4個點是或■,C,吟時，可知①正確；A

當(dāng)選擇的4個點是I,倒，，時，可知②正確；易知③不正確.j

答案：①②

二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)A

I.臺州模擬)一個簡單幾何體的正視圖、俯視圖如圖所示,則其側(cè)視圖不可能為

T

1

A

-2------H

正視圖t

n

俯視圖

1正方形I圓

C等腰三角形B直角梯形

解析：選，該幾何體是一個長方體時，其中一個側(cè)面為正方形，上可能；該幾何體是一

個橫放的圓柱時，■可能；該幾何體是橫放的三棱柱時，C可能，只有,不可能.

3.如圖所示是水平放置三角形的直觀圖，點,是的*邊中點，U,JT分別與，

軸、*軸平行，則三條線段““，，。中《)

1最長的是“最短的是，。

I最長的是最短的是“

C最長的是“最短的是”

I最長的是，C,最短的是“

解析：選?由條件知，原平面圖形中"X",從而

JSH?沈陽教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測》如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實線畫出的是一個

凸多面體的三視圖，兩個矩形，一個直角三角形），則這個幾何體可能為<>

1三棱臺

C.四棱柱B四棱錐

解析：選?根據(jù)三視圖的法則：長對正，高平齊，寬相等，可得幾

何體如圖所示，這是一個三棱柱.

4.?溫州第八高中質(zhì)檢）如圖,水平放置的三棱柱的側(cè)棱長和底邊

長均為2,且側(cè)棱平面，■《，正視圖是邊長為2的正方形，該三棱柱

的側(cè)視圖面積為《

1.4

C.琉

解析：選■由題可得，該幾何體的側(cè)視圖是一個長方形，其底邊長是底面正三角形的

高小,高為2,所以側(cè)視圖的面積為$=人6.

S.已知四棱錐的三視圖如圖所示，則四棱錐，的四個側(cè)面中面積最大的是

側(cè)視圖

2

俯視圖

解析：選C四棱錐如圖所示，取“的中點(”的中點，連接P

&=gx4X，=S

所以四個側(cè)面中面積最大的是b.

SQ?K*臺州模擬》如圖所示，在正方體通中，點f為棱

展的中點，若用過點兒C,C的平面截去該正方體的上半部分，則剩余

幾何體的側(cè)視圖為＜)

解析：選C取”的中點，，連接"n?則過點兒C,C的平面即為面"T/所以

剩余幾何體的側(cè)視圖為選項C.

N設(shè)有以下四個命題：

①底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；

②底面是矩形的平行六面體是長方體；

③直四棱柱是直平行六面體；

④棱臺的相對側(cè)棱延長后必交于一點.

其中真命題的序號是.

解析：命題①符合平行六面體的定義，故命題①是正確的；底面是矩形的平行六面體的

側(cè)棱可能與底面不垂直，故命題②是錯誤的；因為直四棱柱的底面不一定是平行四邊形，故

命題③是錯誤的；命題④由棱臺的定義知是正確的.

答案：①④

I.一個圓臺上、下底面的半徑分別為3—和8若兩底面圓心的連線長為口■,

則這個圓臺的母線長為_______?.

解析：如圖，過點，作UM交”于點C

在中，M,“8—$=■<M>.

12s+4=1，3>.

答案：?

?已知正三角形"T的邊長為2,那么△〃r的直觀圖△然，C的面積為

解析：如圖，圖①、圖②所示的分別是實際圖形和直觀圖.

從圖②可知，1V="2,

C'=rC45。=申乂￥=坐

Z24

所以最r,c=ql'f?，'，—iX2XA=A?

ZZ44

答案:當(dāng)

M已知正三棱錐的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖如圖所示.

c

B

俯視圖

<D畫出該三棱錐的直觀圖；

求出側(cè)視圖的面積.

解：（D直觀圖如圖所示.

<2）根據(jù)三視圖間的關(guān)系可得”=入6，

A

B

.?.側(cè)視圖中■=

寸-告專義響=電

.,.縱*=彳X趴X=I.

三上臺階，自主選做志在沖刺名校

I.用若干塊相同的小正方體搭成一個幾何體，該幾何體的三視圖如圖所示，則搭成該幾

何體需要的小正方體的塊數(shù)是，＞

解析：選C畫出直觀圖，共六塊.

2.?湖南東部六校聯(lián)考＞某三棱錐的三視圖如圖所示，該三

棱錐的四個面的面積中，最大的面積是4)/

正視圖側(cè)視圖

△

俯視圖

1.45I.即

C.mB.S

解析：選C設(shè)該三棱錐為，其中〃，平面題=4,則由三視圖可知△“T

是邊長為4的等邊三角形，故”445，所以S~=：X4X趴6=4也，筮

X4X4=t,$3=；X4Xy/4小1T=45故四個面中面積最大的為S^rft=4：-\pt,選

C.

工如圖，在四棱錐，中，底面為正方形，K與底面垂直，%

下圖為該四棱錐的正視圖和側(cè)視圖，它們是腰長為的全等的等腰直角/PV\B

三角形./

正視圖側(cè)視圖

（D根據(jù)圖中所給的正視圖、側(cè)視圖，畫出相應(yīng)的俯視圖，并求出該俯視圖的面積;

求，?

解：（D該四棱錐的俯視圖為《內(nèi)含對角線）邊長為b■的正方形，如圖,p(c)

其面積為X?2.

Q）由側(cè)視圖可求得““C*+川=0+1'=班.

由正視圖可知”=1,

且

所以在中,

qm巾=班M.

第二節(jié)空間幾何體的表面積與體積

?=00粉畫9函°含同ST郎四符

??卜必過教材關(guān)

I.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

圓柱圓錐圓臺

寡

側(cè)面展開圖饃為

電塵1—匆登/

側(cè)面積公式S圓柱側(cè)=2兀S圓錐側(cè)=71$圓臺側(cè)=兀

3.空間幾何體的表面積與體積公式

名稱

表面積體積

幾何體

柱體，棱柱和圓

$表面積=$側(cè)+2$底「矍

柱）

錐體（棱錐和圓片白

S表面積=$側(cè)+$底

錐）

臺體（棱臺和圓$表面積=$側(cè)+5上+$下片扣+5下+后￡?

臺)

球A4兀F

I小題體驗I

I.如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()

C.3Sn,.32n

解析：選C由三視圖知該幾何體是圓錐與圓柱的組合體，設(shè)圓柱底面圓半徑為，周長

為,，圓錐母線長為，圓柱高為/.由圖得"=>4m,/=4,由勾股定理得：1

=、才+廂=4,S*=n+^?^=4n+K,Tt+tJT=31Ji.

2.《教材習(xí)題改編>某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

俯視圖

解析：由三視圖可知，該幾何體是一個直三棱柱，其底面為側(cè)視圖，該側(cè)視圖是底邊為

2,高為小的三角形，正視圖的長為三棱柱的高，故/=3,所以該幾何體的體積革=$?/=

QxNX甸乂3=那.

答案：琉

J若球?的表面積為4m,則該球的體積為.

解析：由題可得，設(shè)該球的半徑為，則其表面積為5=4口1=4%解得—L所以其

44

體積為F=JJI1=5JI.

答案：

必過易借關(guān)

I.求組合體的表面積時，組合體的銜接部分的面積問題易出錯.

2.由三視圖計算幾何體的表面積與體積時，由于幾何體的還原不準(zhǔn)確及幾何體的結(jié)構(gòu)特

征認(rèn)識不準(zhǔn)易導(dǎo)致失誤.

J易混側(cè)面積與表面積的概念.

I小題糾偏I(xiàn)

L?教材習(xí)題改編>圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則球的體積與圓柱體積之比為

?球的表面積與圓柱的側(cè)面積之比為.

答案：3：3I：I

3.若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的表面積是.

正視圖側(cè)視圖

解析：由三視圖可知，該幾何體由一個正四棱柱和一個棱臺組成，其表面積A3X4X2

+2X2X2+4X2^3X2+4Xfe+^x<2+b)X3X2=T3+岫.

答案：T2+Krj2

=5=0自°殍點家嘏〒圈與明，之停場，形同抽。會閭命四國正

考點一空間幾何體的表面積基礎(chǔ)送分型考點一一自主練透

I題組練透I

I?某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于，)~——

1.1+2^22

B.11+272U提

正視圖側(cè)視圖

C.14+372

解析：選B由三視圖知，該幾何體是一個直四棱柱，上、下底面為直角梯形，如圖所

Di2

直角梯形斜腰長為N『十『=也,所以底面周長為4+嫡，側(cè)面積為2X<4+也>=，+

2^2,兩底面的面積和為NxgxIX"+2>=3,所以該幾何體的表面積為*+m+3=11+

蟲

3.It?浙江新高考聯(lián)盟高三期初聯(lián)考》如圖是某四棱錐的三視圖，則該幾何體的表面

積等于<>

L.34+班B.44+喃

C.34+班B.8+班

解析：選A由三視圖知幾何體底面是一個長為I,寬為2的矩形，高為4的四棱錐，所

以該幾何體的表面積為：義。義趴網(wǎng)+：xiX4+2><gxNx?+lxN=34+Hi故選I

J如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為L粗線是一個棱錐的三視圖，則該棱錐的表面積

為＜)

1.修+45+琉

B.8+4小

C.1+班

B.1+琉+4木

解析：選上由三視圖可知該棱錐為如圖所示的四棱錐要皿

=S/\PU—2X2=2,b?°=2\戶，$四邊形g=2\/ix2=45,

故該棱錐的表面積為1+45+才".

I謹(jǐn)記通法I

幾何體的表面積的求法

4D求表面積問題的思路是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面問題，即空間圖形平面化，這是解

決立體幾何的主要出發(fā)點.

求不規(guī)則幾何體的表面積時，通常將所給幾何體分割成基本的柱、錐、臺體，先求這

些柱、錐、臺體的表面積，再通過求和或作差求得幾何體的表面積.注意銜接部分的處理.

考點二空間幾何體的體積重點保分型考點一一師生共研

I典例引領(lǐng)I

I0，1?金華高三期末考試）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為《）

€?攣

解析:選，由三視圖可知該幾何體是一個以俯視圖為底面的四棱錐,

其直觀圖如圖所示.底面的面積為2X2=4,高*木,故該幾何

體的體積8里

3.0?幅?寧波十校聯(lián)考）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于

表面積等于.

俯視圖

解析：如圖，由三視圖可知該幾何體是底面半徑為2,高為3的圓柱的一

2

半，故該幾何體的體積為nX3X5=bIT,

表面積為2X-XnX2j+4XJ+JIX3XJ=Wn+B.

答案：fcnB+WJI

I由題悟法I

有關(guān)幾何體體積的類型及解題策略

常見類型解題策略

直接利用球的體積公式求解，在實際問題中要根據(jù)題

球的體積問題

意作出圖形，構(gòu)造直角三角形確定球的半徑

根據(jù)題設(shè)條件求出所給幾何體的底面積和高，直接套

錐體、柱體的體積問題

用公式求解

將三視圖還原為幾何體，利用空間幾何體的體積公式

以三視圖為載體的幾何體體積問題

求解

常用分割或補(bǔ)形的思想，若幾何體的底不規(guī)則，也需

不規(guī)則幾何體的體積問題采用同樣的方法，將不規(guī)則的幾何體或平面圖形轉(zhuǎn)化

為規(guī)則的幾何體或平面圖形，易于求解

I即時應(yīng)用I

I?西安質(zhì)檢）某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積為，>

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

俯視圖

C，3

解析：選L根據(jù)幾何體的三視圖，得該幾何體是下部為直三棱柱，

上部為三棱錐的組合體，如圖所示.則該幾何體的體積是/何體=片棱柱+

III4

片棱錐=4xNxlxI+-X-X3Xlxl=不

nnN)

2.?杭州高級中學(xué)模擬》一個幾何體的三視圖如圖所示，則該

幾何體的體積為，)

解析：選C由題可得，該幾何體是一個四棱錐，底面是上下底邊分別為I和2,高為I

的直角梯形,又四棱錐的高為I?所以該幾何體的體積為片;xgxH+3)XIXl=1

xaeis?溫州高三一?！啡鐖D，一個簡單幾何體的三視圖的正視圖

與側(cè)視圖都是邊長為?的正三角形，其俯視圖的輪廓為正方形，則該幾

正視圖側(cè)視圖

何體的體積為，表面積為.

解析：如圖，還原三視圖為正四棱錐，易得正四棱錐的高為修，

俯視圖

底面積為L體積串=：xlx￥=W；易得正四棱錐側(cè)面的高為

所以表面積

答案:當(dāng)3

考點三與球有關(guān)的切、接問題題點多變型考點一一多角探明

I鎖定考向I

與球相關(guān)的切、接問題是高考命題的熱點，也是考生的難點、易失分點，命題角度多變.

常見的命題角度有：

球與柱體的切、接問題；

Q＞球與錐體的切、接問題.

I題點全練I

角度一：球與柱體的切、接問題

I已知直三棱柱的I個頂點都在球?的球面上，若k""=4,皿”,

“產(chǎn)口，則球?的半徑為()

解析：選C如圖，由球心作平面”T的垂線，則垂足為“的中點，

又出產(chǎn)■=,,*科尸b,所以球"的半徑'="=

3?如圖，已知球,是棱長為I的正方體的內(nèi)切球，則平面

截球”的截面面積為《

JI

JI■當(dāng)

解析：選c平面，e截球?的截面為△皿的內(nèi)切圓.因為正方

體的棱長為L所以“=8=口=淄，所以內(nèi)切圓的半徑X4^i

3r

所以$=兀上=JIX7-=7~JT

角度二：球與錐體的切、接問題

3＜2,1?紹興質(zhì)檢＞四棱錐的底面M3是邊長為。的正方形，且

="，若一個半徑為I的球與此四棱錐所有面都相切，則該四棱錐的高是＜＞

1?4

解析：選，過點，作“，平面于點/.由題知，四棱錐

是正四棱錐，內(nèi)切球的球心,應(yīng)在四棱錐的高〃上.過正四棱錐的高作

組合體的軸截面如圖，其中K”是斜高，■為球面與側(cè)面的一個切點.設(shè)

H=l,易知所以舄=宗即解得，=：?

4.Q?n?全國卷i）已知三棱錐5-w的所有頂點都在球?的球面上，胃是球-的直

徑.若平面$儀，平面*視豳=",Sg=tc,三棱錐$-"T的體積為%則球?的表面積

為.

解析：如圖，連接，?,幅

為球/的直徑，

.:點?為*的中點，

：Sl=iC,S9=fC,

：.M±SC,f9±SC,

:平面SCLL平面黃凱平面SCtn平面*=",

.?.，L平面set,

設(shè)球"的半徑為，，

則”=**,SC=2ik

***?UC="碑=5'

=^x^xStx句義“，

即力=：*@義2?乂，><\,解得?=3,

，球-的表面積為9=4?！?4兀Xj2=3b兀?

答案：》兀

I通法在握I

解決與球有關(guān)的切、接問題，其通法是作截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求

解，其解題的思維流程是：

而薪口如巢亮百與藤海五畫面正訪血膏布毒瓦氏不苞;

巴吧廠如果是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑；

i1選準(zhǔn)最佳角度作出截面（要使這個截面盡可能多的

作截面一包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素間

」，的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的

民輻口贏稻山藏布,法麗克翥；港筱宇談年率而加

下結(jié)論：程,并求解；

?演練沖關(guān)?

I.一個六棱柱的底面是正六邊形，側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為L頂點都在同一

個球面上，則該球的體積為，>

1.2?兀

C.SJI

解析：選，由題意知六棱柱的底面正六邊形的外接圓半徑QI,其高，=I,???球半徑

為」+電=個l+：=￥,*'＞該球的體積片311X（坐）口=8^1T.

3.It?鎮(zhèn)海期中）一個棱長為I的正四面體紙盒內(nèi)放一個正方體，若正方體可以在紙

盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則正方體體積的最大值為.

解析：由題可得，要使正方體可以在紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則只需該正方體在正四面體的內(nèi)

接球內(nèi)即可.因為正四面體的棱長為I,所以其底面正三角形的高為瑜，正四面體的高為

則該正四面體的內(nèi)球的半徑為坐設(shè)該正方體的邊長為5要滿足條件,則5加,

即.所以正方體的最大體積為uJwsVi

答案：272

品局。目第禧品基抽型崛能酶D會S3宓0會他

一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快

LSK?浙江名校聯(lián)考）“某幾何體的三視圖完全相同”是“該幾何體為球”的＜＞

I充分不必要條件I必要不充分條件

C充要條件B既不充分也不必要條件

解析：選■由題可得，球的三個視圖都是圓，所以三視圖完全相同；三視圖完全相同

的幾何體除了球，還有正方體，所以是必要不充分條件.

2.?長興中學(xué)適應(yīng)性測試）一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

解析：選C由題可得，該幾何體是一個棱長為4的正方體與一個底面是邊長為4的正

方形，高為3的四棱錐的組合體，所以其體積為占4'+gx42x3=".

J.如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑.若該

2Sn

幾何體的體積是丁，則它的表面積是，)

S.It71

€.2?JIB.2tn

解析：選A由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個球體去掉上半球

的;得到的幾何體如圖.設(shè)球的半徑為A，則為"一封口『噂口，解

得M=3.因此它的表面積為:X4口"+["力口.故選L

4.QtIS?嘉興模擬》如圖是一個幾何體的三視圖，若它的體積是動，則■=

該幾何體的表面積為.

俯視圖

解析：由題可得，該幾何體是一個水平放置的三棱柱，其底面是一個底邊長為2、高為“

的等腰三角形，高為工因為其體積為現(xiàn)，所以F：X3X3=L=琉，解得“=也.所以

該幾何體的表面積為ANxgxNxdi+2x3X3=m+K.

答案：小班十1

?g■?麗水模擬》若三棱錐的最長的棱〃=2,且各面均為直角三角形，則此

三棱錐的外接球的體積是,表面積是.

解析：如圖，根據(jù)題意，可把該三棱錐補(bǔ)成長方體，則該三棱錐的外木------)

接球即該長方體的外接球，易得外接球的半徑￡=61=1,所以該三棱錐pTj\71J

44BA

的外接球的體積簞=§xJIXr=5：n：,表面積A4JI『=4JI.

4

答案：5m4Ji

二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)

I圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為3,圓臺的側(cè)面積為Mm,

則圓臺較小底面的半徑為，）

解析：選上設(shè)圓臺較小底面半徑為?

則另一底面半徑為

由$=n,J=14n,解得*=T.

3.一個六棱錐的體積為琉，其底面是邊長為2的正六邊形，側(cè)棱長都相等，則該六

棱錐的側(cè)面積為4）

1.bI.t

C.13B.34

解析：選C由題意可知該六棱錐為正六棱錐，正六棱錐的高為/,側(cè)面的斜高為/'.

由題意，得:xbx坐一乂,=電

/./=I,

斜高r=.『十小5

fw=bx^X2X2=口.故選€.

3Sit?溫州十校聯(lián)考）已知某個幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸，可

得這個幾何體的體積是Q>

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

1.4

C>I?

解析：選I由題可得，該幾何體是一個底面為長方形的四棱錐，所以其體積為竄=5

X4X2X2=—.

4.Git-蘭州實戰(zhàn)考試》一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長為

I的兩個等腰直角三角形，則該幾何體外接球的體積為（＞

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

,喜

解析：選上由題意得，該幾何體為四棱錐，且該四棱錐的外接球即為棱長為I的正方

體的外接球,其半徑為A早/J,故體積為4

5n故選，

SSU?寧波十校聯(lián)考》如圖，某多面體的三視圖中正視圖、側(cè)視圖和俯視圖的外輪廓

分別為直角三角形、直角梯形和直角三角形，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為

俯視圖

I3^2■.V*

C",?迎

解析：選