3.1 弧度概念課件-高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第二冊

弧

度

制溫故知新任意角角的概念推廣象限角及其無表示終邊相同的角象限角學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解弧度制，掌握角度與弧度的換算.（重點(diǎn)）2.能夠理解弧度的概念.（難點(diǎn)）課文精講在幾何的度量中，首先研究了線段長度的度量，其做法是:引入一個(gè)單位線段，以它為單位來度量其他線段或曲線(如圓周)的長度.在單位線段的基礎(chǔ)上，又引進(jìn)了以單位線段為邊長的單位正方形作為面積的度量單位，以單位線段為棱長的單位立方體作為體積的度量單位，并用這些度量單位度量圖形的面積和體積.弧度概念課文精講對(duì)角的度量，選取一個(gè)周角，把它360等分而得到角的度量單位，用這個(gè)度量單位去度量其他角的大小.顯然，此時(shí)角的度量單位的確定與單位線段無關(guān).由此可見，在幾何圖形的各種度量中.除了角度之外.其他的度量(長度、面積、體積等)都是以單位線段為基礎(chǔ)的.弧度概念課文精講能否用線段的單位長度來建立角的度量單位，從而把幾何度量都建立在一個(gè)共同的基礎(chǔ)(長度的度量)上呢?弧度概念以角的頂點(diǎn)為圓心畫單位圓(半徑為單位長度1的圓)，用這個(gè)角在此圓上所對(duì)應(yīng)的弧的長度來度量這個(gè)角.課文精講在單位圓中，把長度等于1的弧所對(duì)的圓心角稱為1弧度的角.其單位用符號(hào)rad表示，讀作弧度(通?！盎《取被颉皉ad”省略不寫).在單位圓中，每一段弧的長度就是它所對(duì)圓心角的弧度數(shù).這種以弧度作為單位來度量角的方法，稱作弧度制.弧度概念課文精講弧度概念今后用弧度制表示角時(shí)，“弧度”二字或“rad”通常略去不寫，而只寫該角所對(duì)應(yīng)的弧度數(shù).例如，角α=2就表示a是2rad的角；sin就表示rad的角的正弦，即sin=sin60°=.課文精講角度制與弧度制的區(qū)別角度制用度作為單位來度量角的制度角的大小與半徑無關(guān)單位“°”不能省略弧度制用弧度作為單位來度量角的制度角的大小與半徑無關(guān)單位“rad”可以省略弧度概念課文精講OA11radOCD2-2rad弧度概念B如圖①，在單位圓中，在此處鍵入公式。的長等于1，∠AOB就是1rad的角；如圖②，在單位圓中，的長等于2，∠COD就是-2rad的角.角的正負(fù)由角的終邊的旋轉(zhuǎn)方向決定.課文精講一般地，弧度與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng).正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù).零角的弧度數(shù)是0.弧度概念課文精講弧度概念角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系:每一個(gè)角都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)(等于這個(gè)角的弧度數(shù))與它對(duì)應(yīng)；反過來，每一個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一的一個(gè)角(即弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)的角)與它對(duì)應(yīng).正角零角負(fù)角正實(shí)數(shù)0負(fù)實(shí)數(shù)課文精講問題提出角可以分別用角度和弧度度量，角度和弧度之間有什么關(guān)系呢?弧度與角度的換算弧度概念是由英國數(shù)學(xué)家科茲(RogerCotes一682-1716)在1714年提出的.作為一種對(duì)角的度量方法.弧度制使三角函數(shù)的研究大為簡化.課文精講弧度與角度的換算分析理解根據(jù)弧度的定義，可知根據(jù)需要，可以用(1.1)式和(1.2)式進(jìn)行弧度與角度的換算.課文精講對(duì)于任意角，每一個(gè)角β都可以表示成

β=α+k·360°(0°≤α≤360°，k∈Z).而360°角對(duì)應(yīng)2π弧度角，因此只需把角α用弧度角α′表示，就可以得到角β的弧度角β′，即

β′=α'+2kπ

(0≤α′<2π,k∈Z).弧度與角度的換算典型例題例1:(1)把45°化成弧度；(2)把-600°化成弧度.典型例題例2:(1)把化成度；(2)把化成度.課文精講下面是一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)表（如表）：弧度與角度的換算度0°30°45°60°90°120°弧度度135°150°180°270°360°弧度課文精講對(duì)于0°≤α＜360°之外的特殊角，不難得到它們的弧度數(shù).弧度與角度的換算例如，420°=360°+60°=()rad=rad.課文精講單位圓M與數(shù)軸相切于原點(diǎn)O，把數(shù)軸看成一個(gè)“皮尺”.對(duì)于任意一個(gè)正數(shù)α，它對(duì)應(yīng)正半軸上的點(diǎn)A，把線段OA按逆時(shí)針方向纏繞到圓M上，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)單位圓上點(diǎn)A′，這樣就得到一個(gè)以點(diǎn)M為頂點(diǎn)，以MO為始邊，經(jīng)過逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)以MA′，為終邊的圓心角α，該角的弧度數(shù)為正數(shù)α.弧度與角度的換算考慮如圖的模型.課文精講思考交流對(duì)于任意一個(gè)負(fù)數(shù)b，如何利用“皮尺”纏繞的方法，在上述的圓M中找到與弧度數(shù)為b相對(duì)應(yīng)的圓心角β?弧度與角度的換算課文精講弧度與角度的換算在半徑為r的圓中，若圓心角A為n°，則它對(duì)應(yīng)的弧長.又此時(shí)角A的弧度數(shù).因此l=|α|r，即即圓心角的弧度數(shù)的絕對(duì)值等于該角所對(duì)的弧長與半徑之比.公式的常見變形：（1）l=|α|·r(弧長公式)（2）如果扇形的弧長為l,圓心角的弧度數(shù)為α(取正值),則該扇形的面積S=αr2=rl.綜合練習(xí)

2綜合練習(xí)在直徑長為20cm的圓中，圓心角為165°時(shí)所對(duì)的弧長為______cm.

本課小結(jié)弧度制弧度概念弧度與角度的換算§3弧度制3.1弧度概念3.2弧度與角度的換算核心知識(shí)目標(biāo)核心素養(yǎng)目標(biāo)1.了解度量制度,理解弧度的定義和弧度制.2.掌握角度和弧度的換算關(guān)系.1.通過歸納概括弧度的定義,提高數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).2.通過弧度和角度的換算,提高數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).知識(shí)探究·素養(yǎng)培育探究點(diǎn)一弧度和弧度制的概念知識(shí)點(diǎn)1:弧度和弧度制的概念在單位圓中,把長度等于1的弧所對(duì)的圓心角稱為1弧度的角.其單位用符號(hào)rad表示,讀作弧度(通常“弧度”或“rad”省略不寫).在單位圓中,每一段弧的長度就是它所對(duì)圓心角的弧度數(shù).這種以弧度作為單位來度量角的方法,稱作弧度制.[例1]在單位圓中,正確的是(

)(A)1弧度是1度的圓心角所對(duì)的弧(B)1弧度是長度為半徑長的弧(C)1弧度是1度的弧與1度的角之和(D)1弧度是長度等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角變式訓(xùn)練1-1:已知單位圓上有一段長度等于2的弧,則這段弧所對(duì)應(yīng)的圓心角為()(A)2°(B)2(C)1(D)1°方法總結(jié)在單位圓中,弧長的數(shù)值即為其所對(duì)的圓心角的弧度數(shù).探究點(diǎn)二弧度和角度的換算知識(shí)點(diǎn)2:弧度和角度的換算[思考]如果角α使用弧度表示,則與角α終邊相同的角的集合可以寫為何種形式?方法總結(jié)弧度數(shù)乘即為角度數(shù),角度數(shù)乘即為弧度數(shù).探究點(diǎn)三弧度制下扇形的弧長和面積知識(shí)點(diǎn)3:弧度制下扇形的弧長和面積(2)扇形的面積公式(1)一般圓中圓心角的弧度數(shù)半徑為r的圓中,長度為l的弧所對(duì)的圓心角的弧度數(shù)α,滿足|α|=,其中α的正負(fù)由角的旋轉(zhuǎn)方向確定.如果扇形的