11篇高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料

第十一篇統(tǒng)計與概率③

?MATHEMATICS1

第十一篇

統(tǒng)計與概率

第1講抽樣方?jīng)Q與總體分布的估計

【2014年高考會這樣考】

1.考查三種抽樣方法及其應(yīng)用.

2.考查頻率分布直方圖中的相關(guān)計算（求解頻率、頻數(shù)等）.

3.考查用樣本估計總體中的樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征（平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等）.

。1」_抓住乏個考點必考必記夯基固本

對應(yīng)學(xué)生

-162~

考點梳理

1.三種抽樣方法的比較

類別共同點各自特點相互聯(lián)系適用范圍

簡單隨從總體中逐個抽總體中的個

機抽樣取體數(shù)較少

抽樣過程中每個

個體被抽取的概

將總體均分成幾在起始部

率相等，均屬于不

系統(tǒng)部分，按事先確定分抽樣時總體中的個

放回抽樣

抽樣的規(guī)則在各部分采用簡單體數(shù)較多

中抽取隨機抽樣

各層抽樣

時采用簡總體由差異

分層將總體分成幾層，

單隨機抽明顯的幾部

抽樣分層進(jìn)行抽樣

樣或系統(tǒng)分組成

抽樣

2.頻率分布直方圖與莖葉圖

(1)當(dāng)總體很大或不便獲得時一，可以用樣本的頻率分布去估計總體的頻率分布，

我們把反映樣本頻率分布的表格稱為頻率分布表.繪制頻率分布表的步驟為：

①求極差;②決定組距和組數(shù);③將數(shù)據(jù)分組;④列頻率分布袤.

(2)利用直方圖反映樣本的頻率分布，這樣的直方圖稱為頻率分布直方圖.畫頻

率分布直方圖的一般步驟是：①繪制頻率分布表；②作直角坐標(biāo)系，把橫軸分

成若干段，每一段對應(yīng)一個組的組距；③在上面標(biāo)出的各點中，分別以相鄰兩

點為端點的線段為底作矩形，它的高等于該組的頻磊率.此時，每個矩形的面積

組距

恰好就是該組的頻率，顯然所有矩形的面積之和為1.

3.樣本的數(shù)字特征

(1)眾數(shù)

在樣本數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù).

(2)中位數(shù)

樣本數(shù)據(jù)中，將數(shù)據(jù)按大小排列，位于最中間的數(shù)據(jù).如果數(shù)據(jù)的個數(shù)為偶數(shù),

就取中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù).

(3)平均數(shù)

樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即x=：(制+應(yīng)+…+/).

(4)方差與標(biāo)準(zhǔn)差

,22—22

方差：5=-[(Xl-X)+(%2X)4---------\~(Xn—X)].

標(biāo)準(zhǔn)差：S=A~[(X\—X)2+(X2—Xf-l---------HQ"—XyJ.

【助學(xué)?微博】

一條規(guī)律

三種抽樣方法的共同點都是等概率抽樣，即抽樣過程中每個個體被抽到的概率

相等，體現(xiàn)了這三種抽樣方法的客觀性和公平性.若樣本容量為〃，總體的個

體數(shù)為M則用這三種方法抽樣時，每個個體被抽到的概率都是5

兩個特性

(1)在頻率分布表中，頻數(shù)的和等于樣本容量，每一小組的頻率等于這一組的頻

數(shù)除以樣本容量，各小組頻率的和等于1;

(2)在頻率分布直方圖中，小矩形的高等于每一組的頻率/組距，每個小矩形的

面積等于該組的頻率，所有小矩形的面積之和為1.

考點自測

1.(2012.山東)采用系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人做問卷調(diào)查.為此將他

們隨機編號為1,2,…，960,分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的

號碼為9.抽到的32人中，編號落入?yún)^(qū)間［1,450］的人做問卷A,編號落入?yún)^(qū)間

［451,750］的人做問卷其余的人做問卷C.則抽到的人中，做問卷8的人數(shù)為

().

A.7B.9C.10D.15

解析從960人中用系統(tǒng)抽樣方法抽取32人，則每30人抽取一人，因為第一

組抽到的號碼為9,則第二組抽到的號碼為39,第〃組抽到的號碼為斯=9+

30(n-1)=30〃-21,由451<30〃-21<750,得-^W.〃=16,17,,,,,

25,共有25-16+1=10人，選C.

答案C

2.(2013.臨沂模擬)甲校有3600名學(xué)生，乙校有5400名學(xué)生，丙校有1800

名學(xué)生.為統(tǒng)計三校學(xué)生某方面的情況，計劃采用分層抽樣法，抽取一個容量

為90的樣本，應(yīng)該在這三校分別抽取的學(xué)生人數(shù)是().

A.30,30,30B.30,45,15

C.20,30,10D.30,50,10

Of)1

解析抽取比例是—?=看，故三校分別抽取的學(xué)生人數(shù)為3

J0UU+J4UU+1oUU

600X-j^r=30,5400X-7^7=45,1800XT^T=15.

答案B

3.10名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是

15,17,14,10,15,19,17,16,14,12,則這一天10名工人生產(chǎn)的零件的中位數(shù)是

（）.

A.14B.16C.15D.17

解析將這組數(shù)據(jù)從小到大排列得10,12,14,14,15,15,16,17,17,19.故中位數(shù)為

答案C

4.（2013?西北工大附中測試）如圖是容量為150的樣本的頻率分布直方圖，則

樣本數(shù)據(jù)落在［6,10）內(nèi)的頻數(shù)為（）.

A.12B.48C.60D.80

解析落在［6,10）內(nèi)的頻率為0.08X4=0.32,故頻數(shù)為0.32X150=48.

答案B

5.（2013.長沙模擬）

089

1035

如圖是某學(xué)校一名籃球運動員在五場比賽中所得分?jǐn)?shù)的莖葉圖，則該運動員在

這五場比賽中得分的方差為.

（注：方差s2=%（XLX尸+。2—x----|-（x?—X）2］,其中X為X1，X2,

X”的平均數(shù)）

解析=1（8+9+10+13+15）=11,52=1x（9+4+1+4+16）=6.8.

答案6.8

02突破3個考向則i案例考向突破

對應(yīng)學(xué)生

~163~

考向一抽樣方法

［例1］＞從某廠生產(chǎn)的802輛轎車中抽取80輛測試某項性能.請合理選擇抽

樣方法進(jìn)行抽樣，并寫出抽樣過程.

［審題視點］因為802不能整除80,為了保證“等距”分段，應(yīng)先剔除2個個

體.

解由于總體及樣本中的個體數(shù)較多，且無明顯差異，因此采用系統(tǒng)抽樣的方

法，步驟如下：

第一步：先從802輛轎車中剔除2輛轎車（剔除方法可用隨機數(shù)法）；

第二步：將余下的800輛轎車編號為1,2,…，800,并均勻分成80段，每段

含攵=鬻=10個個體；

OV

第三步：從第1段即1,2,…，10這10個編號中，用簡單隨機抽樣的方法抽

取一個編號（如5）作為起始編號；

第四步：從5開始，再將編號為15,25,…，795的個體抽出，得到一個容量

為80的樣本.

方法最費?解決系統(tǒng)抽樣問題的兩個關(guān)鍵步驟為：

（1）分段的方法應(yīng)依據(jù)抽取的樣本容量而定，即根據(jù)定義每段抽取一個樣本.

（2）起始編號的確定應(yīng)用簡單隨機抽樣的方法，一旦起始編號確定，其他編號便

隨之確定了.

【訓(xùn)練1】（2012?天津）某地區(qū)有小學(xué)150所，中學(xué)75所，大學(xué)25所.現(xiàn)采用

分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取30所學(xué)校對學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查，應(yīng)從小學(xué)

中抽取所學(xué)校，中學(xué)中抽取所學(xué)校.

解析根據(jù)分層抽樣的特點求解.從小學(xué)中抽取30X明+=18所學(xué)

75

校；從中學(xué)中抽取30X條+,=9所學(xué)校.

答案189

考向二頻率分布直方圖的繪制及應(yīng)用

［例2］?某班同學(xué)利用國慶節(jié)進(jìn)行社會實踐，對［25,551歲的人群隨機抽取n

人進(jìn)行了一次生活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào)查，若生活習(xí)慣符合低碳觀念,

稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，得到如下統(tǒng)計表和各年齡段人數(shù)頻

率分布直方圖:

組數(shù)分組低碳族的人數(shù)占本組的頻率

第一組[25,30)1200.6

第二組[30,35)195P

第三組[35,40)1000.5

第四組140,45)a0.4

第五組[45,50)300.3

第六組[50,55]150.3

續(xù)表

(1)補全頻率分布直方圖:

(2)求〃，a,p的值.

［審題視點］(1)要補全頻率分布直方圖，關(guān)鍵是計算出第二組的頻率；(2)靈活

運用關(guān)系式：募頻率X組距=頻率,擇頻磊數(shù)量=頻率求解?

解(1)第二組的頻率為1-(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)X5=0.3,所以小長

方形的高為W=0Q6.頻率分布直方圖如圖所示.

頻率/組距

(2)第一組的人數(shù)為族"二?。。，頻率為0.04X5=0.2,

所以zz=Q2—1000.

由(1)知，第二組的頻率為0.3,所以第二組的人數(shù)為1000X0.3=300,所以夕

195

荻=0.65.第四組的頻率為0.03X5=0.15,所以第四組的人數(shù)為1000X0.15

=150,所以a=150X0.4=60.

方法錦*》(1)繪制頻率分布直方圖時需注意：①制作好頻率分布表后可以利用

各組的頻率之和是否為1來檢驗該表是否正確；②頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)是

瞿，而不是頻率.

(2)由頻率分布直方圖進(jìn)行相關(guān)計算時，需掌握下列關(guān)系式:煞X組距=頻率.

組ME

【訓(xùn)練2】(2013?煙臺四校聯(lián)考)據(jù)悉2012年山東省高考要將體育成績作為參

考，為此，濟(jì)南市為了了解今年高中畢業(yè)生的體能狀況，從本市某校高中畢業(yè)

班中抽取一個班進(jìn)行鉛球測試，成績在80m(精確到0.1m)以上的為合格.把

所得數(shù)據(jù)進(jìn)行整理后，分成6組，并畫出頻率分布直方圖的一部分如圖所示.已

知從左到右前5個小組對應(yīng)矩形的高分別為0.04,0.10,0.14,0.28,0.30,且第6

小組的頻數(shù)是7.

(1)求這次鉛球測試成績合格的人數(shù)；

(2)若由直方圖來估計這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，指出該中位數(shù)在第幾組內(nèi)，并說明理

由.

解⑴由題易知，第6小組的頻率為1-(0.04+0.10+0.14+0.28+0.30)X1=

0.14,

7

???此次測試的總?cè)藬?shù)為萬y=50.

，這次鉛球測試成績合格的人數(shù)為(0.28XI+0.30X1+0.14X1)X50=36.

(2)直方圖中中位數(shù)兩側(cè)的矩形面積和相等，即頻率和相等，前三組的頻率和為

0.28,前四組的頻率和為0.56,

中位數(shù)位于第4組內(nèi).

考向三用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征

【例3】A甲乙二人參加某體育項目訓(xùn)練，近期的五次測試成績得分情況如圖.

得分

甲:―

乙:―.

。第磐期第,第次數(shù)

次前正次次

(1)分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差；

(2)根據(jù)圖和上面算得的結(jié)果，對兩人的訓(xùn)練成績作出評價.

[審題視點](1)先通過圖象統(tǒng)計出甲、乙二人的成績；

(2)利用公式求出平均數(shù)、方差，再分析兩人的成績，作出評價.

解(1)由圖象可得甲、乙兩人五次測試的成績分別為

甲：10分，13分，12分，14分，16分；

乙：13分，14分，12分，12分，14分.

—10+13+12+14+16、

x甲==13,

—13+14+12+12+14

x乙==13,

S^=|[(10-13)2+(13-13)2+(12-13)2+(14-13)2+(16-13)2]=4,

^=1[(13-13)2+(14-13)2+(12-13)2+(12-13)2+(14-13)2]=0.8.

（2）由s小〉s?可知乙的成績較穩(wěn)定.

從折線圖看，甲的成績基本呈上升狀態(tài)，而乙的成績上下波動，可知甲的成績

在不斷提高，而乙的成績則無明顯提高.

方法錦*2（1）用樣本估計總體時，樣本的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差只是總體的平均數(shù)、

標(biāo)準(zhǔn)差的近似.實際應(yīng)用中，當(dāng)所得數(shù)據(jù)平均數(shù)不相等時，需先分析平均水平,

再計算標(biāo)準(zhǔn)差（方差）分析穩(wěn)定情況.

（2）若給出圖形，一方面可以由圖形得到相應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)，再計算平均數(shù)、方差

（標(biāo)準(zhǔn)差）；另一方面，可以從圖形直觀分析樣本數(shù)據(jù)的分布情況，大致判斷平

均數(shù)的范圍，并利用數(shù)據(jù)的波動性大小反映方差（標(biāo)準(zhǔn)差）的大小.

【訓(xùn)練3】

88400028

75202337

80012448

238

（2012.陜西）從甲乙兩個城市分別隨機抽取16臺自動售貨機，對其銷售額進(jìn)行

統(tǒng)計，統(tǒng)計數(shù)據(jù)用莖葉圖表示（如圖所示）.設(shè)甲乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為工

甲，x乙，中位數(shù)分別為加甲，mz,,貝1」（）.

A.x甲＜x乙,m\\\＞m乙B.x甲＜x乙,m甲乙

C.x甲〉x乙，加甲乙D.x甲,x乙,m甲〈加乙

解析二甲=表(41+43+30+30+38+22+25+27+10+10+14+18+18+5

x乙=T7(42+43+48+31+32+34+34+38+20+22+23+23+27+10+12

一x甲＜x乙

又根甲=20,m29,m甲乙,

答案B

。3?揭秘3年高考權(quán)威解讀真題展示

對應(yīng)學(xué)生

~164-

方法優(yōu)化15——快速掌握抽樣方法的技巧

【命題研究】通過近三年的高考試題分析，考查分層抽樣方法的題目較多，

其次是系統(tǒng)抽樣.題型多為選擇題、填空題，有的與統(tǒng)計的其它知識或概率綜

合考查，常以解答題的形式出現(xiàn)，難度較低.

【真題探究】A（2012.江蘇）某學(xué)校高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)之比為3：

3:4,現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個年級的學(xué)生中抽取容量為50的樣

本，則應(yīng)從高二年級抽取名學(xué)生.

［教你審題］等比例性質(zhì)；

二審抽取的樣本容量.

［優(yōu)美解法］高二年級學(xué)生人數(shù)占總數(shù)的看百=孱.樣本容量為50,則高二年

3

級抽取：50X行=15（名）學(xué)生.

［答案］15

［反思］用分層抽樣抽樣時，分成的各層標(biāo)準(zhǔn)要一致，互不重疊，各層抽取的比

例都等于樣本容量在總體中的比例，即?

【試一試】（2013?徐州模擬）從某小學(xué)隨機抽取100名同學(xué)，這些同學(xué)身高都

不低于100厘米，將他們的身高（單位：厘米）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如

圖）.現(xiàn)用分層抽樣的方法從身高在［120,130）,［130,140）,［140,150］三組學(xué)生中，

選取18人參加一項活動，則從身高在［140,150］內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為

解析由(0.005+0.010+0.020+0.035+a)X10=1,得a=0.030,因此

[120,130),[130,140),[140,150]三組學(xué)生人數(shù)分別為：0.3X100=30,0.20X100

=20,0.10X100=10,所以，從身高在[140,150]內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為

30+20+10X18=3,

答案3

“J限時規(guī)范訓(xùn)練階梯訓(xùn)練能力提升

對應(yīng)學(xué)生

-329~

A級基礎(chǔ)演練（時間：30分鐘滿分：55分）

一、選擇題（每小題5分，共20分）

1.（2013?西安質(zhì)檢）對某商店一個月內(nèi)每天的顧客人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計，125

得到樣本的莖葉圖（如圖所示），則該樣本的中位數(shù)、眾數(shù)、極差分20233

3124489

別是（）.455577889

A.46,45,56B.46,45,5350011479

6178

C.47,45,56D,45,47,53

45+47

解析樣本共30個，中位數(shù)為二y一=46;顯然樣本數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的為

45,故眾數(shù)為45;極差為68-12=56,故選A.

答案A

2.（2013?南昌模擬）小波一星期的總開支分布如圖⑶所示，，星期的食品開支如

圖（b）所示，則小波一星期的雞蛋開支占總開支的百分比為（）.

圖⑷

圖(b)

A.30%B.10%C.3%D.不能確定

解析由題圖(b)可知小波一星期的食品開支共計300元，其中雞蛋開支30

元.又由題圖(a)知，一周的食品開支占總開支的30%,則可知一周總開支為

1000元，所以雞蛋開支占總開支的百分比為丁麗X100%=3%.

答案C

3.(2013?成都模擬)交通管理部門為了解機動車駕駛員(簡稱駕駛員)對某新法規(guī)的

知曉情況，對甲、乙、丙、丁四個社區(qū)做分層抽樣調(diào)查.假設(shè)四個社區(qū)駕駛員

的總?cè)藬?shù)為N,其中甲社區(qū)有駕駛員96人.若在甲、乙、丙、丁四個社區(qū)抽

取駕駛員的人數(shù)分別為12,21,25,43,則這四個社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)"為().

A.101B.808C.1212D.2012

解析甲社區(qū)駕駛員的抽樣比例為1公7J1，四個社區(qū)駕駛員總?cè)藬?shù)的抽樣比例

VOo

,12+21+25+43101,1011公

為------R------=斤，由丁=+何N=808.

答案B

4.(2012.安徽)甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形統(tǒng)計圖

如圖所示，貝IJ().

甲

A.甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)

B.甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù)

C.甲的成績的方差小于乙的成績的方差

D.甲的成績的極差小于乙的成績的極差

解析由題意可知，甲的成績?yōu)?,5,6,7,8,乙的成績?yōu)?,5,5,6,9.所以甲、乙的

成績的平均數(shù)均為6,A錯；甲、乙的成績的中位數(shù)分別為6,5,B錯；甲、乙

的成績的方差分別為1X[(4-6)2+(5-6)2+(6-+(7-6)2+(8-6)2]=2,1

X[(5-6)2+(5-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(9-6)2]=y,C對；甲、乙的成績的

極差均為4,D錯.

答案C

二、填空題(每小題5分，共10分)

5.(2013?武夷模擬)用系統(tǒng)抽樣法要從160名學(xué)生中抽取容量為20的樣本，將160

名學(xué)生隨機地從1?160編號,按編號順序平均分成20組(1?8號,9?16號，…，

153?160號)，若第16組抽出的號碼為126,則第1組中用抽簽的方法確定的

號碼是.

解析設(shè)第1組抽取的號碼為4則第八組抽取的號碼為8(〃-1)+6???8X(16

-1)+6=126,「力=6,故第1組抽取的號碼為6.

答案6

6.(2013.蘇州一中月考)某學(xué)校為了解學(xué)生數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)情況，在1000名學(xué)生

中隨機抽取200名，并統(tǒng)計這200名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)考試成績，得到了樣本的

頻率分布直方圖(如圖).根據(jù)頻率分布直方圖可估計這1000名學(xué)生在該次數(shù)

學(xué)考試中成績不低于60分的學(xué)生人數(shù)是.

解析低于60分學(xué)生所占頻率為(0.002+0.006+0.012)X10=0.2,故低于60

分的學(xué)生人數(shù)為1000X0.2=200,所以不低于60分的學(xué)生人數(shù)為1000-200

=800.

答案800

三、解答題（共25分）

7.（12分）某政府機關(guān)有在編人員100人，其中副處級以上干部10人，--般干部

70人，工人20人.上級機關(guān)為了了解政府機構(gòu)改革意見，要從中抽取一個容

量為20的樣本，試確定用何種方法抽取，請具體實施抽取.

解用分層抽樣方法抽取.

具體實施抽取如下：

（1）720：100=1：5,Ay=2,y=14,y=4,

???從副處級以上干部中抽取2人，從一般干部中抽取14人，從工人中抽取4

人.

（2）因副處級以上干部與工人的人數(shù)較少，他們分別按1?10編號與1?20編號，

然后采用抽簽法分別抽取2人和4人；對一般干部70人采用00,01,02,…，

69編號，然后用隨機數(shù)表法抽取14人.

（3）將2人，4人，14人的編號匯合在一起就取得了容量為20的樣本.

8.（13分）（2012.揭陽調(diào)研）某校高一某班的某次數(shù)學(xué)測試成績（滿分為100分）的莖

葉圖和頻率分布直方圖都受了不同程度的破壞，但可見部分如圖，據(jù)此解答下

列問題：

荃葉

~5~68

62335689

71223456789

8_____缺失_____

958

⑴求分?jǐn)?shù)在［50,60］的頻率及全班人數(shù)；

（2）求分?jǐn)?shù)在［80,90］之間的頻數(shù)，并計算頻率分布直方圖中［80,90］間的矩形的

信］?

解⑴分?jǐn)?shù)在［50,60］的頻率為0.008X10=0.08.

2

由莖葉圖知，分?jǐn)?shù)在［50,60］之間的頻數(shù)為2,所以全班人數(shù)為品=25.

U.UO

(2)分?jǐn)?shù)在［80,90］之間的頻數(shù)為25—2—7—10—2=4,頻率分布直方圖中［80,90］

4

間的矩形的高為W10=0.016.

B級能力突破

(時間：30分鐘滿分:45分)

一、選擇題(每小題5分，共10分)

1.(2013?哈爾濱模擬)一個樣本容量為10的樣本數(shù)據(jù)，它們組成一個公差不為0

的等差數(shù)列｛斯｝,若田=8,且勾,的，劭成等比數(shù)列，則此樣本的平均數(shù)和中

位數(shù)分別是().

A.13,12B.13,13

C.12,13D.13,14

解析設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為d(dWO),a3=8,.。7=(。3)2=64,(8-2d)(8

+44)=64,(4-d)(2+d)=8,2d-/=0,又—#(),故〃=2,故樣本數(shù)據(jù)為

4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,樣本的平均數(shù)為乒苛一=13,中位數(shù)為氣耳=

13,故選B.

答案B

2.(2012.江西)樣本8,X2，…，X”)的平均數(shù)為工，樣本3，竺，…，%,)的平均

數(shù)為y(xWy).若樣本(xi，X2，…，xn,y\,加…，y”)的平均數(shù)z=ax+

—1

(1—a)y,其中Ovav/,貝lj〃，機的大小關(guān)系為().

A.n<mB.n>m

C.n=mD.不能確定

解析依題意得?+應(yīng)+…+%〃=〃x，yi+為+…+%=my，

+

+%2+/+yi+,2++ytn=(m+〃)z=(加+屋)ax+(加+〃)(1~a)y,

?,-nx+my=(m+n)ax+(m+-a)y,

n=(m+n)a,

m=(m+“)(1-a),

于是有n-m=(m+n)[a-(1-a)]=(jn+n)(2a-1),

0<ct<^,-'-2a_l<0,n-m<Q,即m>”.

答案A

二、填空題(每小題5分，共10分)

3.(2013?沈陽質(zhì)檢)沈陽市某高中有高一學(xué)生600人，高二學(xué)生500人，高三學(xué)生

550人，現(xiàn)對學(xué)生關(guān)于消防安全知識了解情況進(jìn)行分層抽樣調(diào)查，若抽取了一

個容量為〃的樣本，其中高三學(xué)生有11人，則〃的值等于.

n11

解析由600+500+550=550'得〃=33(A)，

答案33

4.(2013?北京西城一模)某年級120名學(xué)生在一次百米測試中，成績?nèi)拷橛?3

秒與18秒之間.將測試結(jié)果分成5組：[13,14),[14,15),[15,16),[16,17),[17,18],

得到如圖所示的頻率分布直方圖.如果從左到右的5個小矩形的面積之比為

1：3：7：6：3,那么成績在[16,18]的學(xué)生人數(shù)是

6+3Q

解析成績在[16,網(wǎng)的學(xué)生的人數(shù)所占比例為7T煮所以成績

I+3+/+6+3ZU

9

在[16,18]的學(xué)生人數(shù)為120X元=54.

答案54

三、解答題(共25分)

5.(12分)汽車行業(yè)是碳排放量比較大的行業(yè)之一，歐盟規(guī)定，從2012年開始,

對C02排放量超過130g/km的MI型新車進(jìn)行懲罰(視為排放量超標(biāo))，某檢測

單位對甲、乙兩類MI型品牌的新車各抽取了5輛進(jìn)行CO2排放量檢測，記錄

如下(單位:g/km)：

甲80110120140150

乙100120Xy160

經(jīng)測算發(fā)現(xiàn)，乙類品牌車CO2排放量的均值為x乙=120g/km.

(1)求甲類品牌汽車的排放量的平均值及方差；

(2)若乙類品牌汽車比甲類品牌汽車CO2的排放量穩(wěn)定性好，求x的取值范圍.

.rz.0八&fij—80+110+120+140+150

解⑴甲m類J品n牌汽車的CO2排放量的平均值Xk----------------5----------------

120(g/km),

甲類品牌汽車的CO2排放量的方差

2(80-120)2+(110-120)2+(120-120)2+(140-120)2+(150-120)2

5甲=]

=600.

100+120+x+y+160

(2)由題意知乙類品牌汽車的CO2排放量的平均值x乙=

5

=120(g/km),得x+y=220,故尸220—x,所以乙類品牌汽車的CO2排放量

的方差

2(100-120)2+(120-120)2+(X-120)2+(220-X-120)2+(160-120)2

5乙=三'

因為乙類品牌汽車比甲類品牌汽車CO2的排放量穩(wěn)定性好，所以日解得

900yl30.

6.(13分)已知某單位有50名職工，現(xiàn)要從中抽取10名

81

職工，將全體職工隨機按1?50編號，并按編號順序

平均分成10組，按各組內(nèi)抽取的編號依次增加5進(jìn)行703689

系統(tǒng)抽樣.6257

(1)若第5組抽出的號碼為22,寫出所有被抽出職工59

(2)的號碼；

(2)分別統(tǒng)計這10名職工的體重(單位：公斤)，獲得體重數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖

所示，求該樣本的方差；

(3)在(2)的條件下，從這10名職工中隨機抽取兩名體重不輕于73公斤(273

公斤)的職工，求體重為76公斤的職工被抽取到的概率.

解(1)由題意，第5組抽出的號碼為22.

因為k+5X(5—1)=22,所以第1組抽出的號碼應(yīng)該為2,抽出的10名職

工的號碼分別為2,7,12,17,22,27,32,37,42,47.

(2)因為10名職工的平均體重為

1=-^(81+70+73+76+78+79+62+65+67+59)=71,

所以樣本方差為：?=J5(102+l2+22+52+72+82+92+62+42+122)=52.

⑶從10名職工中隨機抽取兩名體重不輕于73公斤的職工，共有10種不同

的取法：(73,76),(73,78),(73,79),(73,81),(76,78),(76,79),(76,81),(78,79),

(78,81),(79,81).

記“體重為76公斤的職工被抽取”為事件A,它包括的事件有(73,76),

(76,78),(76,79),(76,81)共4個.

42

故所求概率為尸(4)=證=亍

特別提醒：教師配贈習(xí)題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見《創(chuàng)新設(shè)

計?高考總復(fù)習(xí)》光盤中內(nèi)容.

第2講變量間的相關(guān)關(guān)條與統(tǒng)計案例

【2014年高考會這樣考】

1.考查利用散點圖判斷變量之間的關(guān)系.

2.考查線性回歸方程的計算或回歸分析的思想與方法的應(yīng)用問題.

3.考查獨立性檢驗的基本思想及應(yīng)用.

抓住2仝考點必考必記夯基固本

對應(yīng)學(xué)生

~165~

考點梳理

1.相關(guān)關(guān)系的判斷

(1)散點圖直觀反映了兩變量的成對觀測值之間存在的某種關(guān)系，利用散點圖可

以初步判斷兩個變量之間是否線性相關(guān).如果散點圖中點的分布從整體上看大

致在一條直線的附近，我們說變量x和y具有線性相關(guān)關(guān)系.

Z(X—x)8—y)

i=1

(2)相關(guān)系數(shù)r=一/,當(dāng)r>0時，兩變量正相關(guān)，當(dāng)

/n_n_

A/Z(x-xyZ(y,—y)2

i=li=l

r<0時、兩變量負(fù)相關(guān)，當(dāng)IrlWl且H越接近于1,相關(guān)程度越高，當(dāng)且Irl

越接近于0,相關(guān)程度越低.

2.最小二乘法求回歸直線方程

⑴設(shè)線性回歸方程為，=?+￡,其中，含是回歸方程的斜率，二是截距.

n__n__

Z(X-x)(y-y)?i%一〃xy

Ai=li=1

b=

<n_n_

Z(x—x)2》；一〃x2

i=1

A一A——

、a=y—bx.

⑵回歸直線一定經(jīng)過樣本的中心點(x,y),據(jù)此性質(zhì)可以解決有關(guān)的計算問

題.

3.獨立性檢驗

(1)獨立性檢驗的有關(guān)概念

①分類變量

可用變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別的變量稱為分類變量.

②2X2列聯(lián)表

假設(shè)有兩個分類變量X和匕它們的值域分別為｛制，超｝和｛)“，g｝，其樣本頻

數(shù)列聯(lián)表(稱為2X2列聯(lián)表)為：

y2總計

X\ah

X2cdc+d

總計a+cb+da+/7+c+d

(2)獨立性檢驗

2

利用隨機變量心〒工得冊,空：工_大其中〃=。+匕+。+1為樣本容量)

來判斷“兩個變量有關(guān)系”的方法稱為獨立性檢驗.

步驟如下：

“x與丫有關(guān)系”.

【助學(xué)彳散博】

一個區(qū)別

函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系.事實上，函數(shù)關(guān)

系是兩個非隨機變量的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是非隨機變量與隨機變量的關(guān)系.

三個特征

(1)回歸方程y=bx+a中的匕表示x增加■—個單位時，y的變化量約為3.

⑵川越大，殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好；川越小，殘差平方和

越大，即模型的擬合效果越差.

(3)當(dāng)Y23.841時，則有95%的把握說事件A與8有關(guān)；

當(dāng)代26.635時，則有99%的把握說事件A與8有關(guān)；

當(dāng)犬W2.706時，則認(rèn)為事件A與8無關(guān).

考點自測

1.下列兩個變量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是().

A.正方體的棱長與體積

B.單位面積的產(chǎn)量為常數(shù)時，土地面積與總產(chǎn)量

C.日照時間與水稻的畝產(chǎn)量

D.電壓一定時，電流與電阻

解析A,B,D中兩個變量間的關(guān)系都是確定的，所以是函數(shù)關(guān)系；C中的

兩個變量間是相關(guān)關(guān)系，對于日照時間一定的水稻，仍可以有不同的畝產(chǎn)量,

故選C.

答案c

2.對變量x,y有觀測數(shù)據(jù)(為，如。=1,2,…，10),得散點圖(1)；對變量〃，

。有觀測數(shù)據(jù)(唐，^,■)(/=1,2,10),得散點圖(2).由這兩個散點圖可以判斷

A.變量x與y正相關(guān)，“與0正相關(guān)

B.變量x與y正相關(guān)，〃與。負(fù)相關(guān)

C.變量x與y負(fù)相關(guān)，〃與。正相關(guān)

D.變量x與y負(fù)相關(guān)，a與0負(fù)相關(guān)

解析由圖(1)可知，各點整體呈遞減趨勢，x與y負(fù)相關(guān)；由圖(2)可知，各點

整體呈遞增趨勢，，，與。正相關(guān).

答案C

3.(2012.湖南)設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性

相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(x”y)(i=l,2,…，〃)，用最小二乘法建立的回

歸方程為￡=0.85*一85.71,則下列結(jié)論中不正確的是().

A.y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系

B.回歸直線過樣本點的中心(T,7)

C.若該大學(xué)某女生身高增加1cm,則其體重約增加0.85kg

D.若該大學(xué)某女生身高為170cm,則可斷定其體重必為58.79kg

解析根據(jù)線性回歸方程中各系數(shù)的意義求解.由于線性回歸方程中x的系數(shù)

為0.85,因此y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系，故A正確.又線性回歸方程必過

樣本中心點（工，7）,因此B正確.由線性回歸方程中系數(shù)的意義知，x每增

加1cm,其體重約增加0.85kg,故C正確.當(dāng)某女生的身高為170cm時，其

體重估計值是58.79kg,而不是具體值，因此D不正確.

答案D

4.為了評價某個電視欄目的改革效果，在改革前后分別從居民點抽取了100

位居民進(jìn)行調(diào)查，經(jīng)過計算犬心0.99,根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，下列說法正確的是

（）.

A.有99%的人認(rèn)為該欄目優(yōu)秀

B.有99%的人認(rèn)為該欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系

C.有99%的把握認(rèn)為電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系

D.沒有理由認(rèn)為電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系

解析只有犬＞6.635才能有99%的把握認(rèn)為電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)

系，而即使K226.635也只是對“電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系”這個論斷

成立的可能性大小的結(jié)論，與是否有99%的人等無關(guān).故D正確.

答案D

5.（2011.遼寧）調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x（單位:萬元）和年飲食支出y（單

位：萬元），調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查

數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對x的線性回歸方程：f=0.254x+0.321.由線性回歸方程可知，家

庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加萬元.

解析由題意，知其回歸系數(shù)為0.254,故家庭年收入每增加1萬元，年飲食

支出平均增加0.254萬元.

答案0.254

023突破豈個考向則i案例考向突破

對應(yīng)學(xué)生

~166~

考向一線性相關(guān)關(guān)系的判斷

【例11?下表是某小賣部6天賣出的熱茶的杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對比表.

氣溫/℃261813104-1

杯數(shù)y202434385064

⑴將表中的數(shù)據(jù)畫成散點圖；

⑵你能依據(jù)散點圖指出氣溫與熱茶杯數(shù)的關(guān)系嗎？

(3)如果氣溫與賣出熱茶杯數(shù)近似成線性相關(guān)關(guān)系的話，請畫出一條直線來近似

地表示這種線性相關(guān)關(guān)系.

［審題視點］(1)用x軸表示氣溫，y軸表示杯數(shù)，逐一畫點；(2)根據(jù)散點圖分析

兩個變量是否存在相關(guān)關(guān)系.

解(1)畫出的散點圖如圖.

杯數(shù)

70

60

50

40

30

20

105

2030

(2)從圖中可以發(fā)現(xiàn)氣溫和熱茶杯數(shù)具有相關(guān)關(guān)系，氣溫和熱茶杯數(shù)成負(fù)相關(guān),

圖中的各點大致分布在一條直線的附近，因此氣溫和杯數(shù)近似成線性相關(guān)關(guān)

系

⑶根據(jù)不同的標(biāo)準(zhǔn)，可以畫出不同的直線來近似表示這種線性相關(guān)關(guān)系，如讓

畫出的直線上方的點和下方的點數(shù)目相等.如圖.

方法錦囊?利用散點圖判斷兩個變量是否有相關(guān)關(guān)系是比較簡便的方法.在散

點圖中如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)的曲線上，就用該函數(shù)來描述變量之

間的關(guān)系.即變量之間具有函數(shù)關(guān)系.如果所有的樣本點落在某一函數(shù)的曲線

附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系；如果所有的樣本點都落在某一直線附近，變量

之間就有線性相關(guān)關(guān)系.

【訓(xùn)練1］5個學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績?nèi)缦卤?

\學(xué)生

學(xué)小\ABCDE

數(shù)學(xué)8075706560

物理7066686462

畫出散點圖，并判斷它們是否有相關(guān)關(guān)系.

解把數(shù)學(xué)成績作為橫坐標(biāo)，把相應(yīng)的物理成績作為縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中

描點（即，％）（i=l,2,…，5）,作出散點圖如圖.

丁

70

60

50

40

30

20

10,數(shù)學(xué)成績

。1020304050607080x

從圖中可以直觀地看出數(shù)學(xué)成績和物理成績具有相關(guān)關(guān)系，且當(dāng)數(shù)學(xué)成績增大

時，物理成績也在由小變大，即它們正相關(guān).

考向二線性回歸方程及其應(yīng)用

［例2］?（2012.福建）某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價，將該產(chǎn)

品按事先擬定的價格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：

單價x/元88.28.48.68.89

銷量y/件908483807568

AAAAA-----A-----

（1）求回歸直線方程^=板+4,其中b=-20,a—y-bx；

（2）預(yù)計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從⑴中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本

是4元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價應(yīng)定為多少元？（利潤=銷

售收入一成本）

［審題視點］（1）分別計算7，利用線性回歸方程過點（1,7）,代入方程

可得解；

（2）將已知條件代入可得關(guān)于單價x的二次函數(shù)，配方可得最大值.

--1

解（1）由于X=5（8+8.2+8.4+8.6+8.8+9）=8.5,

-1A

y=7(90+84+83+80+75+68)=80,又匕二一20,

A—A一

所以“=y—6x=80+20X8.5=250,

從而回歸直線方程為y=-20x+250.

⑵設(shè)工廠獲得的利潤為L元，依題意得

L=x(-20x+250)-4(-20x+250)

=-20?+330x-l000

=-20(X-8.25)2+361.25.

當(dāng)且僅當(dāng)x=8.25時，L取得最大值.

故當(dāng)單價定為8.25元時，工廠可獲得最大利潤.

互迭蠅2求回歸直線方程的步驟：

(1)依據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫出散點圖，確定兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系；(2)計算出

y,EXM的值；(3)計算回歸系數(shù)a,b；(4)寫出回歸直線方程y=嬴+a.

i=1i=1

【訓(xùn)練2】(2013.南昌模擬)以下是某地搜集到的新房屋的銷售價格y和房屋的

面積x的數(shù)據(jù).

房屋面積x/m211511080135105

銷售價格w萬元24.821.618.429.222

(1)求線性回歸方程；

(2)據(jù)⑴的結(jié)果估計當(dāng)房屋面積為150m2時的銷售價格.

解(1)^=^X(115+110+80+135+105)=109,

-1

y=5X(24.8+21.6+18.4+29.2+22)=23.2.

設(shè)所求回歸直線方程為￡=源+2,則

5__

Z(%,—x)8-y)

Ai=l308

b-=]570心0」962，

2

z(x(—X)

i=\

A-A-308

：.a=y~bx=23.2-109XYyzr^l.8166.

，所求回歸直線方程為￡=0.1962x+1.8166.

(2)由第(1)問可知，當(dāng)x=150