機器人驅(qū)動與運動控制 課件 第3章 機器人動力學(xué)分析

第3章機器人動力學(xué)分析3.1機器人雅可比矩陣3.2基于牛頓歐拉法的動力學(xué)方程3.3基于拉格朗日法的動力學(xué)方程3.4機器人的軌跡規(guī)劃3.5本章小結(jié)

3.1機器人雅可比矩陣

3.1.1雅可比矩陣的定義利用雅可比矩陣可以建立工業(yè)機器人關(guān)節(jié)速度與末端執(zhí)行器速度(線速度和角速度)之間的關(guān)系，以及末端執(zhí)行器與外界接觸力及對應(yīng)關(guān)節(jié)力間的關(guān)系，即將末端執(zhí)行器的線速度和角速度表示為關(guān)節(jié)速度的函數(shù)。

[例題3-1]

以二連桿機器人為例，具體說明雅可比矩陣的推導(dǎo)。圖3-1二連桿機器人

3.1.2速度雅可比矩陣的計算

求運動學(xué)速度的目的是尋找關(guān)節(jié)速度與末端執(zhí)行器速度之間的關(guān)系，即將末端執(zhí)行器的線速度和角速度表示為關(guān)節(jié)速度的函數(shù)。本節(jié)在位移分析的基礎(chǔ)上，通過旋轉(zhuǎn)速度和平移速度的變換，研究描述關(guān)節(jié)速度與末端執(zhí)行器的線速度和角速度之間映射關(guān)系的運動學(xué)方程；分析機械臂的速度，描述速度與關(guān)節(jié)速度之間的映射關(guān)系；定義機械臂的速度雅可比矩陣，并用雅可比矩陣描述末端執(zhí)行器速度與關(guān)節(jié)速度之間的映射關(guān)系；闡述機器人正向運動學(xué)與逆向運動學(xué)速度的求解方法。

線速度是指當(dāng)坐標(biāo)系{B}相對于坐標(biāo)系{A}的姿態(tài)不變時，坐標(biāo)系{B}上固連剛體的任意點的速度。線速度描述的是點的一種屬性，角速度描述的是剛體的一種屬性。由于坐標(biāo)系總是固連在剛體上，因此可以用角速度來描述坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)。速度具有可加性，當(dāng)某一坐標(biāo)系繞著各個坐標(biāo)軸均有旋轉(zhuǎn)速度時，角速度為繞各個軸旋轉(zhuǎn)速度的矢量和。由于機械臂是一個鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)，因此每一個連桿都可以看作一個剛體，那么連桿i+1的速度就是連桿i的速度“加上”由連桿i+1引起的新的速度分量。

[例題3-2]

為求解RP機械臂的速度雅可比矩陣，將運動學(xué)方程(3-5)兩端分別對時間t求導(dǎo)，可得操作速度和關(guān)節(jié)速度之間的關(guān)系為

式(3-11)右端的第一個矩陣即為雅可比矩陣，即

相應(yīng)的逆雅可比矩陣為

為了判別機器人的奇異狀態(tài)，需要計算雅可比矩陣行列式，即

由式(3-12)可知，當(dāng)θ2=0或θ2=180°時，機器人處于奇異狀態(tài)。也就是說，當(dāng)機器人完全伸直或完全縮回時，相應(yīng)的位形稱為奇異位形。當(dāng)l1>l2

時，可達工作空間的邊界是兩個同心圓，半徑分別為l1+l2

和l1-l2。在邊界上，機器人處于奇異位形，因此有

3.1.3-力雅可比矩陣與靜力計算

假設(shè)各關(guān)節(jié)“鎖定”，機械臂成為一個結(jié)構(gòu)。這種“鎖定”的關(guān)節(jié)力矩與手部所承受的載荷或受到外界環(huán)境作用的力獲得靜力平衡。求解這種“鎖定”的關(guān)節(jié)力矩，或求解在已知驅(qū)動力矩作用下末端執(zhí)行器的輸出力就是對機械臂的靜力計算。

假設(shè)已知外界環(huán)境作用在機械臂末端執(zhí)行器的力f

和力矩n，那么可以由最后一個連桿向零連桿(基座)依次遞推，從而計算出每個連桿上的受力情況。為了便于表示力和力矩(簡稱末端操作力F)，可將fn，n+1和nn，n+1合寫成一個6維矢量形式，即

式中，fn，n+1和nn，n+1分別表示連桿n

通過關(guān)節(jié)n

作用在n+1桿上的作用力和力矩。各關(guān)節(jié)驅(qū)動器的驅(qū)動力或力矩可寫出一個n

維矢量的形式，即圖3-2末端執(zhí)行器與各關(guān)節(jié)的虛位移

若不考慮關(guān)節(jié)之間的摩擦力，在末端操作力F

的作用下，機械臂保持平衡是關(guān)節(jié)力矩應(yīng)滿足的條件。式(3-20)中的JT

與末端操作力F和關(guān)節(jié)力矩τ之間的力傳遞有關(guān)，故稱之為機械臂力雅可比矩陣。

速度雅可比矩陣J

與力雅可比矩陣JT

之間具有對偶關(guān)系。一方面，關(guān)節(jié)力矩與末端操作力之間的關(guān)系可用力雅可比矩陣JT

表示;另一方面，速度雅可比矩陣J

又可表示關(guān)節(jié)速度矢量與末端執(zhí)行器速度矢量之間的傳遞關(guān)系。因此，機械臂的靜力傳遞關(guān)系和速度傳遞關(guān)系緊密相關(guān)，下面利用線性映射來討論速度雅可比矩陣和力雅可雙矩陣的對偶性。

已知

對于給定的關(guān)節(jié)位移q，映射矩陣J(q)是m×n

矩陣，其中，n

表示關(guān)節(jié)數(shù)，m

代表操作空間維數(shù)。J的值域空間R(J)表示關(guān)節(jié)運動能夠產(chǎn)生的全部末端執(zhí)行器速度的集合，顯然值域空間R(J)不能等于整個操作空間(存在末端執(zhí)行器不能運動的方向)。當(dāng)J(q)退化時，機械臂處于奇異位形。J(q)的零空間

N(J)表示不產(chǎn)生末端執(zhí)行器速度的關(guān)節(jié)速度的集合，如果N(J)不只含有0，則對于給定的末端執(zhí)行器速度，關(guān)節(jié)速度的反解可能有無限多。

與瞬時運動映射不同，靜力映射是從m

維操作空間向n維關(guān)節(jié)空間的映射。因此，關(guān)節(jié)力矩總是由末端操作力F唯一確定。然而，對于給定的關(guān)節(jié)力矩τ，與之平衡的末端操作力F并非一定存在。與瞬時運動分析相似，我們用零空間

N(J)和值域空間R(JT)描述靜力映射。零空間

N(JT)代表零關(guān)節(jié)力矩能承受的末端操作力的集合。這時，末端操作力完全由機械臂機構(gòu)本身承受。值域空間

R(JT)代表末端操作力能平衡的所有關(guān)節(jié)力矩的集合。

J

與力雅可比矩陣JT

的值域空間和零空間有密切的關(guān)系。根據(jù)線性代數(shù)的有關(guān)知識可知，零空間

N(J)是值域空間R(JT)在m維操作空間內(nèi)的正交補空間。這意味著，在不產(chǎn)生末端執(zhí)行器速度的這些關(guān)節(jié)速度方向上，關(guān)節(jié)力矩不能被末端操作力所平衡。為了使機械臂保持靜止不動，在零空間

N(J)內(nèi)的關(guān)節(jié)力矩必須為零。

3.2基于牛頓

歐拉法的動力學(xué)方程

牛頓

歐拉(Newton-Euler)方法建立在機械臂連桿之間所有力平衡關(guān)系的基礎(chǔ)上，將連桿之間的相互約束力及相對運動作為矢量進行處理，根據(jù)力與力矩的平衡關(guān)系推導(dǎo)運動方程式。對

于

由

此

得

出

的

方

程

組，其

結(jié)

構(gòu)

使

得

解

具

有

遞

推

形

式，前

向

遞

推(forwardrecursion)用于連桿速度和加速度傳遞，后向遞推(backwardrecursion)則用于力傳遞。

圖3-3牛頓

歐拉公式連桿運動學(xué)模型

計算機器人關(guān)節(jié)運動遞推求解的具體過程如下(i=0，1，2，…，n)，令轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)變量為θ，移動變量為d，則連桿的角速度為

連桿的角加速度為

連桿坐標(biāo)系(原點)的線加速度為

連桿質(zhì)心的加速度為

3.3基于拉格朗日法的動力學(xué)方程

對于任何機械系統(tǒng)，拉格朗日函數(shù)L

定義為系統(tǒng)的動能Ek

與勢能Ep

之差，即

拉格朗日方程是基于能量(動能、勢能)對系統(tǒng)變量及時間微分而建立的。系統(tǒng)的動能和勢能可用任意的坐標(biāo)系來表示，不限于笛卡爾坐標(biāo)。例如，若廣義坐標(biāo)qi

系統(tǒng)的動力學(xué)方程(第二類拉格朗日方程)為L=Ek-Ep，那么其動力學(xué)方程為

基于拉格朗日法的動力學(xué)方程推導(dǎo)過程可以分五步進行：

(1)計算各連桿在基座坐標(biāo)系中的速度；

(2)計算機器人各部分的動能之和，需要特別注意，每個連桿的動能包括連桿的平面運動的動能和繞連桿質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動能兩部分；

(3)計算機器人各部分的勢能之和；

(4)建立機器人系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)；

(5)對拉格朗日函數(shù)求導(dǎo)以得到動力學(xué)方程。

對[例題3-2]使用拉格朗日方法建立RP機械臂的動力學(xué)方程。該機械臂由兩個關(guān)節(jié)組成，如圖3-4所示，連桿1和連桿2的質(zhì)量分別為m1

和m2，質(zhì)心距離為lc1

和lc2，關(guān)節(jié)變量為θ1

和θ2(不考慮摩擦力的影響)。圖3-4RP機械臂

每個連桿相對于連桿質(zhì)心坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動慣量和質(zhì)心距離分別為

連桿1的動能計算公式為

式中

特別強調(diào)：連桿2的質(zhì)心位置必須用該質(zhì)心相對于基座坐標(biāo)系的坐標(biāo)表示。同理可以得到連桿2的動能為

因此機械臂的總動能為

因此得動力學(xué)方程的矩陣形式為

式中

3.4機器人的軌跡規(guī)劃

動力學(xué)方程可以用來精確地算出實現(xiàn)給定運動所需要的力(力矩)，因此仿真結(jié)果也可用來說明是否需要重新設(shè)計傳動機構(gòu)。此外，為了估計機器人在高速運動時的路徑偏差情況，需要進行路徑控制仿真，在仿真時就要考慮機器人的動態(tài)模型。

當(dāng)指定機器人執(zhí)行某項操作時，往往會附帶一些約束條件，如要求機器人從空間位置A沿指定路徑平穩(wěn)地到達位置B，如圖3-5所示。這類問題稱為對機器人軌跡進行規(guī)劃和協(xié)

調(diào)的問題，前面完成了對機器人的運動學(xué)建模和動力學(xué)建模，在此基礎(chǔ)上，需要對機器人的軌跡規(guī)劃進行研究，主要包括關(guān)節(jié)空間和直角坐標(biāo)空間(笛卡爾空間)機

器

人

的

軌

跡規(guī)劃。圖3-5機器人從空間位置A沿指定路徑平穩(wěn)地到達位置B

運動規(guī)劃由路徑規(guī)劃(空間)和軌跡規(guī)劃(時間)組成，連接初始位置和期望終點位置的序列點或曲線稱為路徑，構(gòu)成路徑的策略稱為路徑規(guī)劃。

路徑規(guī)劃是運動規(guī)劃的主要研究內(nèi)容之一。路徑是機器人位姿的序列，而不考慮機器人位姿參數(shù)隨時間變化的因素;路徑點是空間中的位置或關(guān)節(jié)角度。路徑規(guī)劃(一般指位置

規(guī)劃)是指找到一系列要經(jīng)過的路徑點，而軌跡規(guī)劃是指在路徑規(guī)劃的基礎(chǔ)上加入時間序列信息，對機器人執(zhí)行任務(wù)時的速度與加速度進行規(guī)劃，以滿足光滑性和速度可控性等要求。

運動規(guī)劃又稱為運動插補，是在給定的路徑端點之間插入用于控制的中間點序列，從而實現(xiàn)沿給定路線的平穩(wěn)運動。運動控制則主要解決如何控制目標(biāo)系統(tǒng)準(zhǔn)確跟蹤指令軌跡的問題，即對于給定的指令軌跡，選擇合適的控制算法和參數(shù)，產(chǎn)生輸出，控制目標(biāo)實時、準(zhǔn)確地跟蹤給定的指令軌跡。

路徑規(guī)劃的目標(biāo)是使路徑與障礙物的距離盡量遠，同時路徑的長度盡量短。而軌跡規(guī)劃的主要目的是在機器人關(guān)節(jié)空間移動時使機器人的運行時間盡可能短，或者所消耗的能量盡可能小。

軌跡規(guī)劃的一般性問題通常可以總結(jié)為將機械臂的運動看作工具坐標(biāo)系{T}相對于工件坐標(biāo)系{S}的一系列運動。這種描述方法既適用于各種機械臂，也適用于同一機械臂上

裝夾的各種工具。在軌跡規(guī)劃中，為敘述方便，也常用點表示機器人的狀態(tài)或工具坐標(biāo)系的位姿。例如，起始點、終止點就分別表示工具坐標(biāo)系的起始位姿及終止位姿。

對于點位作業(yè)，需要描述機械臂的起始狀態(tài)和目標(biāo)狀態(tài)，這類運動稱為點到點運動。而對于曲面加工類作業(yè)，不僅要規(guī)定機械臂的起始點和終止點，而且要指明兩點之間的若干中間點(即路徑點)必須沿特定的路徑運動(路徑約束)，這類運動稱為連續(xù)路徑運動或輪廓運動。

3.5本

章

小

結(jié)

在進行機器人控制的過程中，對于復(fù)雜的場景，比如力控、牽引示教、高速高精度等場景，僅僅基于運動學(xué)還是無法滿足的，機械臂的控制功能也完全被驅(qū)動器的自適應(yīng)控制功能所代替，這也是本章機械臂動力學(xué)建模的意義之所在。

本章介紹的機械臂動力學(xué)建模主要是為了獲取機械臂運動過程中的關(guān)節(jié)力矩，有四個目的：

(1)將運動過程中的關(guān)節(jié)力矩通過前饋的方式補償?shù)津?qū)動器三環(huán)控制中的最內(nèi)環(huán)電流環(huán)，從而提高驅(qū)動器的響應(yīng)速度和機械臂的高速、高精控制。

(2)碰撞檢測，機械臂在運動過程中，沒有外力時的關(guān)節(jié)電流是可以通過實時計算關(guān)節(jié)力矩近似獲得的，一旦驅(qū)動器電流環(huán)的電流瞬間變大，且遠超出近似計算獲得的電流值，此時可以判斷機械臂發(fā)生了碰撞，控制器內(nèi)部程序可