初中數(shù)學常見的模型方法專題-專題17-相似三角形的常見輔助線

相似三角形的常見輔助線在添加輔助線時，所添加輔助線往往能夠構造出一組或多組相似三角形，或得到成比例的線段或出等角，等邊，從而為證明三角形相似或進行相關的計算找到等量關系．主要輔助線有以下幾種：一、添加平行線構造“A”“X”型例11.如圖，D是的邊上的點，，E是的中點，求：的值．

【答案】5:1【解析】【分析】過點D作的平行線交于點P，根據(jù)平行線分線段成成比例定理，可得，，進而可推得BE=5EF，從而可得BE:EF的值．【詳解】過點D作的平行線交于點P，如圖∴，∵BD:DC=2:1，E是AD的中點，∴，∴∴【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，關鍵是作輔助線，構造平行．例22.在中，D為上的一點，E為延長線上的一點，交于F．求證：【答案】見解析【解析】【分析】過D作交于G，證明和相似，和相似，列出比例式變形，比較，即可解決問題．【詳解】證明：過D作交于G，則和相似，∴，∵，∴，由可得和相似，∴即，∴【點睛】本題考查了相似三角形的證明和性質的使用，熟知以上知識是解題的關鍵．變式1－13.如圖，在的邊和邊上各取一點D和E，且使延長線與延長線相交于F，求證：【答案】見解析【解析】【分析】過點作，交延長線于點，通過相似三角形的性質即可證明．【詳解】證明：過點作，交延長線于點，∴∴又∵∴又∵∴∴∴∴【點睛】此題主要考查了相似三角形的證明，熟練掌握相似三角形的構造方法是解題的關鍵．變式1－24.如圖，中，，在上分別截取的延長線相交于點F，證明：．【答案】見解析【解析】【分析】過點E作交BC于點M，可得到，，進而有，，根據(jù)，可得到，即證．【詳解】如圖，過點E作交BC于點M，∵，∴，，∴，∴,即，∵∴，∴，∴【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法和性質．二、作垂線構造相似直角三角形例35.如圖從頂點C向和的延長線引垂線和，垂足分別為E、F，求證：【答案】見解析【解析】【分析】過B作于M，過D作于N，通過構造相似三角形，利用其的性質，即可證明．【詳解】證明：過B作于M，過D作于N∵∴∴，即（1）同理可得：，∴，∴（2），（1）＋（2）得在和中∴又∴，∴【點睛】此題主要考查了相似三角形的證明以及性質，熟練掌握輔助線的做法、相似三角形的性質是解題的關鍵．根據(jù)模型二構造一線三等角例46.在中，，D是底邊上一點，E是線段上一點，且，則與的數(shù)量關系為____________．【答案】【解析】【分析】作，交AD于點K；根據(jù)題意，得CAK；通過證明AKC，得AK，CK；再根據(jù)等腰三角形性質，得，從而得；再根據(jù)平行線、相似三角形性質分析，即可得到答案．【詳解】如圖，作，交AD于點K，∵∴90°，90°，,即∴CAK∵，∴AKC∴AK，CK∵，∴EK∴，∵，∴，∴∵，∴，∴∴∴∴2故答案為：．【點睛】本題考查了直角三角形、等腰三角形、全等三角形、相似三角形、平行線的知識；解題的關鍵是熟練掌握直角三角形、等腰三角形、全等三角形、相似三角形的性質，從而完成求解．變式2－17.中，∠ACB=90°，，P是上一點，Q是上一點（不是中點），過Q且，交于M、N，求證：．【答案】見解析【解析】【分析】過P作于E，于F，證明，得到。進而得到①，再證明，得到，故②，根據(jù)①②即可求解．【詳解】證明：過P作于E，于F，∵∠ACB=90°，∴為矩形∴，PF=EC∴．∴∴∵，∴①，∵在和中，于Q，∴又∵，∴，∴，∴∴②由①②得∴．【點睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是熟知相似三角形的判定定理．變式2－28.如圖，，射線和互相垂直，點是上的一個動點，點在射線上，，作并截取，連結并延長交射線于點．設，，則關于的函數(shù)解析式是__________．【答案】【解析】【分析】作FG⊥BC于G，依據(jù)已知條件求得△DBE≌△EGF，得出FG=BE=x，EG=DB=2x，然后根據(jù)平行線的性質即可求得．【詳解】解：作FG⊥BC于G，∵∠DEB+∠FEC=90°，∠DEB+∠BDE=90°；∴∠BDE=∠FEG，在△DBE與△EGF中∴△DBE≌△EGF，∴EG=DB，F(xiàn)G=BE=x，∴EG=DB=2BE=2x，∴GC=y3x，∵FG⊥BC，AB⊥BC，∴FG∥AB，CG：BC=FG：AB，即，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了三角形全等的判定和性質，以及平行線的性質，熟練掌握輔助線的做法是解題的關鍵．三、作延長線構造相似三角形例59.如圖，在梯形中，，若的平分線于點H，，且四邊形的面積為21，求的面積．【答案】27【解析】【分析】延長交于點P，構造相似三角形，轉化為相似三角形的面積比進行求解．【詳解】解：延長交于點P，∵，平分∴，又∵∴∴，且，∵，∴∴∵，∴，∴設，則∵，∴∴∴，∵，∴【點睛】此題主要考查了相似三角形的證明以及性質，熟練掌握相似三角形的構造方法及有關性質是解題的關鍵．例610.在四邊形中，，，則______．

【答案】14【解析】【分析】延長CD至點E，使DE=BC，利用SAS證明△ADE≌△DBC，再作CF⊥AE，垂足為F，在Rt△CEF中，利用含30度角的直角三角形的性質求得EF、CF的長，再在Rt△ACF中，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：延長CD至點E，使DE=BC，∠ADE=180°?∠ADB?∠BDC=60°?∠BDC，∠DBC=180°?∠BCD?∠BDC=60°?∠BDC，∴∠ADE=∠DBC，又∵AD=DB，DE=BC，∴△ADE≌△DBC(SAS)，∴∠AEC=∠DCB=120°，AE=CD=6，DE=BC=4，作CF⊥AE，垂足為F，在Rt△CEF中，∠FEC=60°，則∠ECF=30°，∴EF=CE=5，CF==5，在Rt△ACF中，由勾股定理得AC=，故答案為：．．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，含30度角的直角三角形的性質，勾股定理等知識，作出輔助線構造全等三角形和直角三角形是解題的關鍵．變式3－111.在中，，D是斜邊的中點，E是邊上一動點，連接，當時，求的長．【答案】3【解析】【分析】作截取，延長至點N，使，連接，，由等腰直角三角形的性質，三角形的中位線定理，證明得到，再根據(jù)相似三角形的性質和勾股定理，以及解一元二次方程即可求出答案．【詳解】解：作截取，延長至點N，使，連接，，如圖所示：∵，∴和是等腰直角三角形，∴45°，∵點D是AB的中點，由中位線定理，則，；∵，又∵，∴，∴，∴，設，則，，∵，，∴，解得：或（舍去），∴．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理，三角形的中位線定理，以及解一元二次方程，解題的關鍵是熟練掌握所學的知識，正確的作出輔助線，得到．變式3－212.如圖，中，為斜邊上的高，E為的中點，的延長線交于F，交于G，求證：FG2＝FC?FB．【答案】見解析【解析】【分析】延長AC，GF相交于點H，可得到△HCF∽△BGF，由相似的性質得到，即CF?BF＝FG?HF，然后只要證明FG＝HF即可．【詳解】證明：延長AC，GF相交于點H，∵FG⊥AB（已知）∴∠FGB＝90°（垂直的定義）∵∠ACB＝90°（已知）∴∠FGB＝∠ACB（等量代換）∵∠1＝∠2（對頂角相等）∴△HCF∽△BGF（兩角對應相等的兩個三角形相似）∴（相似三角形對應邊成比例）即CF?BF＝FG?HF（比例的基本性質）∵CD⊥AB，F(xiàn)G⊥AB（已知）∴∠4＝∠5＝90°（垂直的定義）∴CDHG（同位角相等，兩直線平行）∴∠3＝∠H（兩直線平行，同位角相等）∵∠3＝∠H，∠6＝∠6∴△ACE∽△AHF（兩角對應相等的兩個三角形相似）∴（相似三角形對應邊成比例）∵∠4＝∠5，∠7＝∠7∴△AED∽△AFG（兩角對應相等的兩個三角形相似）∴（相似三角形對應邊成比例）∴（等量代換）∵E是CD的中點（已知）∴CE＝DE（中點的定義）∴FH＝FG∵CF?BF＝FG?HF（已證）∴CF?BF＝FG?FG即FG2＝FC?FB．．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定方法與性質，通過作輔助線證明三角形相似，由相似三角形的對應邊成比例，列出比例式，進而得出結論．習題練13.如圖，在矩形AOBC中，點A的坐標為（-2，1），點C的縱坐標是4，則B，C兩點的坐標分別是（）A.（，），（，） B.（，），（，）C.（，），（，） D.（，），（，）【答案】C【解析】【分析】如過點A、B作x軸的垂線垂足分別為F、M．過點C作y軸的垂線交FA、根據(jù)△AOF∽△CAE，△AOF≌△BCN，△ACE≌△BOM解決問題．【詳解】解：如圖過點A、B作x軸的垂線垂足分別為F、M．過點C作y軸的垂線交FA、∵點A坐標（-2，1），點C縱坐標為4，∴AF=1，F(xiàn)O=2，AE=3，∵∠EAC+∠OAF=90°，∠OAF+∠AOF=90°，∴∠EAC=∠AOF，∵∠E=∠AFO=90°，∴△AEC∽△OFA，，∴點C坐標，∵△AOF≌△BCN，△AEC≌△BMO，∴CN=2，BN=1，BM=MN-BN=3，BM=AE=3，，∴點B坐標，故選C．【點睛】本題考查矩形的性質、坐標與圖形的性質，添加輔助線構造全等三角形或相似三角形是解題的關鍵，屬于中考?？碱}型．14.已知：如圖，中，，是中線，是上一點，過作，延長交于，交于.求證：.【答案】詳見解析【解析】【分析】由軸對稱的性質可知．，.然后證明，即可證明結論成立.【詳解】證明：聯(lián)結，∵，是中線，∴是的對稱軸.∴，.∵，∴.∴.又，∴.∴.即.∴.【點睛】要證線段乘積式相等，常常先證比例式成立，要證比例式，須有三角形相似，要證三角形相似，須根據(jù)已知與圖形找條件就可.證明線段乘積式相等，常常先證比例式成立這是十分重要的方法之一.視頻15.如圖，中，是邊上中線，E是上一點，連接且交的延長線于F點．求證：．【答案】見解析【解析】【分析】過點作交于點，利用兩直線平行的性質得出條件證明，再根據(jù)平行線的性質證明解答．【詳解】解：證明：過點作交于點，，是的中線，，，，，，，．【點睛】本題考查了平行線的性質、三角形全等的判定與性質，三角形相似、解題的關鍵是添加適當輔助線，掌握平行線的性質．16.如圖，在△ABC中，D是BC邊上的點（不與點B、C重合），連結AD．問題引入：（1）如圖①，當點D是BC邊上的中點時，S△ABD：S△ABC=；當點D是BC邊上任意一點時，S△ABD：S△ABC=（用圖中已有線段表示）．探索研究：（2）如圖②，在△ABC中，O點是線段AD上一點（不與點A、D重合），連結BO、CO，試猜想S△BOC與S△ABC之比應該等于圖中哪兩條線段之比，并說明理由．拓展應用：（3）如圖③，O是線段AD上一點（不與點A、D重合），連結BO并延長交AC于點F，連結CO并延長交AB于點E，試猜想的值，并說明理由．【答案】（1）1：2，BD：BC；（2）S△BOC：S△ABC=OD：AD，理由見解析；（3）=1，理由見解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式，兩三角形等高時，可得兩三角形底與面積的關系，可得答案；（2）根據(jù)三角形的面積公式，兩三角形等底時，可得兩三角形的高與面積的關系，可得答案；（3）根據(jù)三角形的面積公式，兩三角形等底時，可得兩三角形的高與面積的關系，再根據(jù)分式的加減，可得答案．【詳解】解：（1）如圖①，當點D是BC邊上的中點時，S△ABD：S△ABC=1：2；當點D是BC邊上任意一點時，S△ABD：S△ABC=BD：BC，故答案為：1：2，BD：BC；（2）S△BOC︰S△ABC＝OD︰AD．理由如下：如圖，分別過點O、A作OM⊥BC于M，AN⊥BC于N．∴OM∥AN．∴△OMD∽△AND，∴．∵，∴．（3）．理由如下：由（2）得，同理可得，．∴＝1．【點睛】本題考查了相似形綜合題，利用了等底的三角形面積與高的關系，相似三角形的判定與性質．17.已知點D是的中點，過D點的直線交于E，交的延長線于F，求證：【答案】見解析【解析】【分析】延長到點，使得，根據(jù)，從而得證．【詳解】解：延長到點，使得，如下圖：在和中，∴∴，∴∴∴∴【點睛】此題主要考查了相似三角形的證明以及性質，熟練掌握輔助線的做法、相似三角形的證