2024-2025學年高中數(shù)學第4章圓與方程4.2.1直線與圓的位置關系課時分層作業(yè)含解析新人教A版必修2

PAGE課時分層作業(yè)(二十五)直線與圓的位置關系(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．圓(x＋1)2＋y2＝2的圓心到直線y＝x＋3的距離為()A.1B．2C．eq\r(2)D．2eq\r(2)C[由圓的方程(x＋1)2＋y2＝2，知圓心為(－1，0)，故圓心到直線y＝x＋3，即x－y＋3＝0的距離d＝eq\f(|－1－0＋3|,\r(2))＝eq\r(2).]2．圓心為(3，0)且與直線x＋eq\r(2)y＝0相切的圓的方程為()A.(x－eq\r(3))2＋y2＝1 B．(x－3)2＋y2＝3C.(x－eq\r(3))2＋y2＝3 D．(x－3)2＋y2＝9B[由題意知所求圓的半徑r＝eq\f(|3＋\r(2)×0|,\r(1＋2))＝eq\r(3)，故所求圓的方程為(x－3)2＋y2＝3，故選B.]3．若直線x－y＋1＝0與圓(x－a)2＋y2＝2有公共點，則實數(shù)a的取值范圍是()A.[－3，－1]B.[－1，3]C.[－3，1]D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)C[圓(x－a)2＋y2＝2的圓心C(a，0)到直線x－y＋1＝0的距離為d，則d≤r＝eq\r(2)?eq\f(|a＋1|,\r(2))≤eq\r(2)?|a＋1|≤2?－3≤a≤1.]4．過點P(1，－2)作圓C：(x－1)2＋y2＝1的兩條切線，切點分別為A，B，則AB所在直線的方程為()A.y＝－eq\f(\r(3),4) B．y＝－eq\f(1,2)C.y＝－eq\f(\r(3),2) D．y＝－eq\f(1,4)B[圓(x－1)2＋y2＝1的圓心為(1，0)，半徑為1，以|PC|＝eq\r(（1－1）2＋（－2－0）2)＝2為直徑的圓的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝1，將兩圓的方程相減得AB所在直線的方程為2y＋1＝0，即y＝－eq\f(1,2).]5．若過點(2，1)的圓與兩坐標軸都相切，則圓心到直線2x－y－3＝0的距離為()A.eq\f(\r(5),5)B．eq\f(2\r(5),5)C．eq\f(3\r(5),5)D．eq\f(4\r(5),5)B[因為圓與兩坐標軸都相切，點(2，1)在該圓上，所以可設該圓的方程為(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a>0)，所以(2－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，所以圓心的坐標為(1，1)或(5，5)，所以圓心到直線2x－y－3＝0的距離為eq\f(|2×1－1－3|,\r(22＋（－1）2))＝eq\f(2\r(5),5)或eq\f(|2×5－5－3|,\r(22＋（－1）2))＝eq\f(2\r(5),5)，故選B.]二、填空題6．若點P(1，2)在以坐標原點為圓心的圓上，則該圓在點P處的切線方程為________．x＋2y－5＝0[設切線斜率為k，則由已知得：k·kOP＝－1.∴k＝－eq\f(1,2)，又∵P(1，2)，∴切線方程x＋2y－5＝0.]7．過點(3，1)作圓(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的長為________．2eq\r(2)[設點A(3，1)，易知圓心C(2，2)，半徑r＝2.當弦過點A(3，1)且與CA垂直時為最短弦，|CA|＝eq\r(（2－3）2＋（2－1）2)＝eq\r(2)，∴半弦長＝eq\r(r2－|CA|2)＝eq\r(4－2)＝eq\r(2)，∴最短弦的長為2eq\r(2).]8．在平面直角坐標系xOy中，以點(1，0)為圓心且與直線mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的全部圓中，(x－1)2＋y2＝2[先確定直線過的定點，再求圓的方程．直線mx－y－2m－1＝0經(jīng)過定點(2，當圓與直線相切于點(2，－1)時，圓的半徑最大，此時半徑r滿意r2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2.所以圓的標準方程為(x－1)2＋y2＝2.]三、解答題9．已知圓C的圓心與點P(－2，1)關于直線y＝x＋1對稱，直線3x＋4y－11＝0與圓C相交于A，B兩點，且|AB|＝6，求圓C的方程．[解]設點P關于直線y＝x＋1的對稱點為C(m，n)，則由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1＋n,2)＝\f(－2＋m,2)＋1，,\f(n－1,m＋2)·1＝－1，))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝0，,n＝－1.))故圓心C到直線3x＋4y－11＝0的距離d＝eq\f(|－4－11|,\r(9＋16))＝3，所以圓C的半徑的平方r2＝d2＋eq\f(|AB|2,4)＝18.故圓C的方程為x2＋(y＋1)2＝18.10．已知圓C和y軸相切，圓心C在直線x－3y＝0上，且被直線y＝x截得的弦長為2eq\r(7)，求圓C的方程．[解]設圓心坐標為(3m，m)∵圓C和y軸相切，∴圓C的半徑為3|m|.∵圓心到直線y＝x的距離為eq\f(|2m|,\r(2))＝eq\r(2)|m|，由半徑、弦心距、半弦長的關系，得9m2＝7＋∴m＝±1.∴所求圓C的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.1．已知2a2＋2b2＝c2，則直線ax＋by＋c＝0與圓x2＋y2A.相交但不過圓心 B．相交且過圓心C.相切 D．相離A[∵2a2＋2b2＝c2，∴a2＋b2＝eq\f(c2,2).∴圓心(0，0)到直線ax＋by＋c＝0的距離d＝eq\f(|c|,\r(a2＋b2))＝eq\f(|c|,\r(\f(c2,2)))＝eq\r(2)<2，∴直線ax＋by＋c＝0與圓x2＋y2＝4相交，又∵點(0，0)不在直線ax＋by＋c＝0上，故選A.]2．直線l與圓x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于A，B兩點，若弦AB的中點為C(－2，3)，則直線l的方程為________．x－y＋5＝0[由圓的一般方程，可得圓心為M(－1，2).由圓的性質(zhì)易知，M(－1，2)與C(－2，3)的連線與弦AB垂直，故有kAB×kMC＝－1，即得kAB＝1.故直線AB的方程為y－3＝x＋2，整理得x－y＋5＝0.]3．已知直線ax＋y－2＝0與圓心為C的圓(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B兩點，且△ABC為等邊三角形，則實數(shù)a＝________．4±eq\r(15)[圓心C(1，a)到直線ax＋y－2＝0的距離為eq\f(|a＋a－2|,\r(a2＋1)).因為△ABC為等邊三角形，所以|AB|＝|BC|＝2，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a＋a－2|,\r(a2＋1))))eq\s\up10(2)＋12＝22，解得a＝4±eq\r(15).]4．已知P是直線3x＋4y＋8＝0上的動點，PA，PB是圓C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，A，B是切點．(1)求四邊形PACB面積的最小值；(2)直線上是否存在點P，使∠BPA＝60°，若存在，求出P點的坐標；若不存在，說明理由．[解](1)如圖，連接PC，由P點在直線3x＋4y＋8＝0上，可設P點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，－2－\f(3,4)x)).所以S四邊形PACB＝2S△PAC＝2×eq\f(1,2)×|AP|×|AC|＝|AP|.因為|AP|2＝|PC|2－|CA|2＝|PC|2－1，所以當|PC|2最小時，|AP|最?。驗閨PC|2＝(1－x)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋2＋\f(3,4)x))eq\s\up10(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)x＋1))eq\s\up10(2)＋9.所以當x＝－