2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章計(jì)數(shù)原理1.1.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理學(xué)案含解析新人教A版選修2-3

PAGE第一章計(jì)數(shù)原理高二一班某寢室有8名同學(xué)，他們約定畢業(yè)后每年春節(jié)要互寄一張賀年卡片，他們一共要消費(fèi)多少?gòu)埧ㄆ?？?2屆夏季奧運(yùn)會(huì)因新冠肺疫情延期至2024年7月23日至8月8日在日本東京舉辦，206個(gè)國(guó)家代表方隊(duì)入場(chǎng)參與開幕式．這些代表方隊(duì)的出場(chǎng)依次一共有多少種排法？某城市的電話號(hào)碼有8位數(shù)字，一共能構(gòu)成多少個(gè)電話號(hào)碼？汽車牌照由26個(gè)英文字母和10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字選出五個(gè)組成，一共能組成多少輛汽車的牌照號(hào)碼？……你知道是怎樣計(jì)數(shù)的嗎？本章將系統(tǒng)學(xué)習(xí)計(jì)數(shù)原理，學(xué)習(xí)本章要留意體會(huì)有序與無序在計(jì)數(shù)中的區(qū)分，體會(huì)建模在數(shù)學(xué)探討中的作用．1.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理第1課時(shí)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理自主預(yù)習(xí)·探新知情景引入第31屆世界高校生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2024年8月18日至29日在成都實(shí)行，某委員準(zhǔn)備從泉城濟(jì)南前往成都參與會(huì)議．他有兩類快捷途徑可供選擇：一是乘飛機(jī)，二是乘坐動(dòng)車組．假如這天飛機(jī)有3個(gè)航班可乘，動(dòng)車組有4個(gè)班次可乘．問：此委員這一天從濟(jì)南到成都共有多少種快捷途徑可選？新知導(dǎo)學(xué)1．分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝__m＋n__種不同的方法．2．分類加法計(jì)數(shù)原理的推廣完成一件事有n類不同的方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，…，在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝__m1＋m2＋…＋mn__種不同的方法．3．分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事須要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝__m×n__種不同的方法．4．分步乘法計(jì)數(shù)原理的推廣完成一件事須要分成n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝__m1×m2×…×mn__種不同的方法．預(yù)習(xí)自測(cè)1．某校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課4門，若要求從兩類課程中選一門，則不同的選法共有(C)A．3種 B．4種C．7種 D．12種[解析]選擇課程的方法有2類：從A類課程中選一門有3種不同方法，從B類課程中選1門有4種不同方法，∴共有不同選法3＋4＝7種．2．已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，則(x，y)可表示不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是(D)A．1 B．3C．6 D．9[解析]這件事可分為兩步完成：第一步，在集合{2,3,7}中任取一個(gè)值x有3種方法；其次步，在集合{－31，－24，4}中任取一個(gè)值y有3種方法．依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知，有3×3＝9個(gè)不同的點(diǎn)．3．現(xiàn)有4件不同款式的上衣與3件不同顏色的長(zhǎng)褲，假如一條長(zhǎng)褲和一件上衣配成一套，則不同選法是(C)A．7 B．64C．12 D．81[解析]∵選定一件上衣時(shí)，有不同顏色的褲子3條，∴有3種不同的穿衣方案，∴共有3×4＝12種不同的搭配方法，故選C．4．某公園休息處東面有8個(gè)空閑的凳子，西面有6個(gè)空閑的凳子，小明與爸爸來這里休息．(1)若小明爸爸任選一個(gè)凳子坐下(小明不坐)，有幾種坐法？(2)若小明與爸爸分別就坐，有多少種坐法？[解析](1)小明爸爸選凳子可以分兩類：第一類：選東面的空閑凳子，有8種坐法；其次類：選西面的空閑凳子，有6種坐法．依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，小明爸爸共有8＋6＝14種坐法．(2)小明與爸爸分別就坐，可以分兩步完成：第一步，小明先就坐，從東西面共8＋6＝14個(gè)凳子中選一個(gè)坐下，共有14種坐法；(小明坐下后，空閑凳子數(shù)變成13)其次步，小明爸爸再就坐，從東西面共13個(gè)空閑凳子中選一個(gè)坐下，共13種坐法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，小明與爸爸分別就坐共有14×13＝182種坐法．互動(dòng)探究·攻重難互動(dòng)探究解疑命題方向?分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用典例1有三個(gè)袋子，分別裝有不同編號(hào)的紅色小球6個(gè)，白色小球5個(gè)，黃色小球4個(gè)．若從三個(gè)袋子中任取1個(gè)小球，有多少種不同的取法？[解析]有3類不同方案：第1類，從第1個(gè)袋子中任取1個(gè)紅色小球，有6種不同的取法；第2類，從第2個(gè)袋子中任取1個(gè)白色小球，有5種不同的取法；第3類，從第3個(gè)袋子中任取1個(gè)黃色小球，有4種不同的取法．其中，從這三個(gè)袋子的隨意一個(gè)袋子中取1個(gè)小球都能獨(dú)立地完成“任取1個(gè)小球”這件事，依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，不同的取法共有6＋5＋4＝15(種)．『規(guī)律總結(jié)』(1)應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理時(shí)，完成這件事的n類方法是相互獨(dú)立的，無論哪種方案中的哪種方法，都可以獨(dú)立完成這件事．(2)利用分類加法計(jì)數(shù)原理解題的一般思路┃┃跟蹤練習(xí)1__■高二(1)班有學(xué)生50人，男生30人；高二(2)班有學(xué)生60人，女生30人；高二(3)班有學(xué)生55人，男生35人．(1)從中選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)主席，有多少種不同選法？(2)從高二(1)班、(2)班男生中或從高二(3)班女生中選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)體育部長(zhǎng)，有多少種不同的選法？[解析](1)選一名學(xué)生有3類不同的選法：第一類，從高二(1)班選一名，有50種不同的方法；其次類，從高二(2)班選一名，有60種不同的方法；第三類，從高二(3)班選一名，有55種不同的方法．故任選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)主席的選法共有50＋60＋55＝165種不同的方法．(2)選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)體育部長(zhǎng)有3類不同的選法；第一類，從高二(1)班男生中選有30種不同的方法；其次類，從高二(2)班男生中選有30種不同的方法；第三類，從高二(3)班女生中選有20種不同的方法．故選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)體育部長(zhǎng)有30＋30＋20＝80種不同選法．命題方向?分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用典例2已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的點(diǎn)(a，b∈M)，問：(1)P(a，b)可表示平面上多少個(gè)不同的點(diǎn)？(2)P(a，b)可表示平面上多少個(gè)其次象限的點(diǎn)？(3)P(a，b)可表示多少個(gè)不在直線y＝x上的點(diǎn)？[解析](1)確定平面上的點(diǎn)P(a，b)可分兩步完成：第一步確定a的值，共有6種確定方法；其次步確定b的值，也有6種確定方法．依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，得到平面上的點(diǎn)數(shù)是6×6＝36個(gè)．(2)確定其次象限的點(diǎn)，可分兩步完成：第一步確定a，由于a<0，所以有3種確定方法；其次步確定b，由于b>0，所以有2種確定方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得到其次象限點(diǎn)的個(gè)數(shù)是3×2＝6個(gè)．(3)點(diǎn)P(a，b)在直線y＝x上的充要條件是a＝b.因此a和b必需在集合M中取同一元素，共有6種取法，即在直線y＝x上的點(diǎn)有6個(gè)．由(1)得不在直線y＝x上的點(diǎn)共有36－6＝30個(gè)．『規(guī)律總結(jié)』本題運(yùn)用了分步乘法計(jì)數(shù)原理．利用此原理解決問題時(shí)要留意：(1)要按事務(wù)發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后依次的．(2)各個(gè)步驟中的方法相互依存，缺一不行，只有各個(gè)步驟都完成了才算完成這件事．┃┃跟蹤練習(xí)2__■書架的第一層放有6本不同的數(shù)學(xué)書，其次層放有6本不同的語文書，第三層放有5本不同的英語書．(1)從這些書中任取一本數(shù)學(xué)、一本語文和一本英語共三本書的不同取法有多少種？(2)從這些書中任取三本，并且在書架上按次序排好，有多少種不同的排法？[解析](1)完成這個(gè)工作可分三個(gè)步驟：第1步，從第一層中任取一本數(shù)學(xué)書；第2步，從其次層中任取一本語文書；第3步，從第三層中任取一本英語書．依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有6×6×5＝180種不同的取法．(2)本題事實(shí)上是從17本書中任取三本放在三個(gè)不同位置．完成這個(gè)工作分三個(gè)步驟：第1步，從17本書中任取一本放在第一個(gè)位置上，共有17種不同的方法；第2步，從16本書中任取一本放在其次個(gè)位置上，共有16種不同的方法；第3步，從15本書中任取一本放在第三個(gè)位置上，共有15種不同的方法．依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有17×16×15＝4080種不同的排法．命題方向?兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的辨析典例3某校中學(xué)三年級(jí)一班有優(yōu)秀團(tuán)員8人，二班有優(yōu)秀團(tuán)員10人，三班有優(yōu)秀團(tuán)員6人，學(xué)校組織他們?nèi)⒂^某愛國(guó)主義教化基地．(1)推選1人為總負(fù)責(zé)人，有多少種不同的選法？(2)每班選1人為小組長(zhǎng)，有多少種不同的選法？(3)從他們中選出2個(gè)人管理生活，要求這2個(gè)人不同班，有多少種不同的選法？[解析](1)分三類，第一類是從一班的8名優(yōu)秀團(tuán)員中產(chǎn)生，共有8種不同的選法；其次類是從二班的10名優(yōu)秀團(tuán)員中產(chǎn)生，共有10種不同的選法；第三類是從三班的6名優(yōu)秀團(tuán)員中產(chǎn)生，共6種不同的選法，由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，共有N＝8＋10＋6＝24(種)不同的選法．(2)分三步，第一步從一班的8名優(yōu)秀團(tuán)員中選1名組長(zhǎng)，共有8種不同的選法；其次步從二班的10名優(yōu)秀團(tuán)員中選1名組長(zhǎng)，共10種不同的選法；第三步是從三班的6名優(yōu)秀團(tuán)員中產(chǎn)生，共6種不同的選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得：共有N＝8×10×6＝480(種)不同的選法．(3)分三類：每一類又分兩步，第一類是從一班、二班的優(yōu)秀團(tuán)員中各選1人，有8×10種不同的選法；其次類是從二班、三班的優(yōu)秀團(tuán)員中各選1人，有10×6種不同的選法；第三類是從一班、三班的優(yōu)秀團(tuán)員中各選1人，有8×6種不同的選法，因此，共有N＝8×10＋10×6＋8×6＝188(種)不同的選法．『規(guī)律總結(jié)』(1)運(yùn)用兩個(gè)原理的關(guān)鍵在于正確區(qū)分“分類”與“分步”，分類就是能“一步到位”，即任何一類中任何一種方法，都能完成這件事；而分步只能是“局部到位”，即任何一步中任何一種方法只能完成事務(wù)中的某一部分．(2)在既有分類又有分步的題型中，一般先分類，然后在每一類中再分步．┃┃跟蹤練習(xí)3__■有一項(xiàng)活動(dòng)，需在3名老師、8名男同學(xué)和5名女同學(xué)中選部分人員參與．(1)若只需一人參與，有多少種不同的選法？(2)若需老師、男同學(xué)、女同學(xué)各一人參與，有多少種不同的選法？(3)若需一名老師、一名同學(xué)參與，有多少種不同的選法？[解析](1)有三類：3名老師中選一人，有3種方法；8名男同學(xué)中選一人，有8種方法；5名女同學(xué)中選一人，有5種方法．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，有3＋8＋5＝16種選法．(2)分三步：第1步選老師，有3種方法；第2步選男同學(xué)，有8種方法；第3步選女同學(xué)，有5種方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有3×8×5＝120種選法．(3)可分兩類，每一類又分兩步．第1類，選一名老師再選一名男同學(xué)，有3×8＝24種選法；第2類，選一名老師再選一名女同學(xué)，有3×5＝15種選法．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有24＋15＝39種選法．學(xué)科核心素養(yǎng)解決計(jì)數(shù)問題的常用的方法(1)枚舉法：將各種狀況通過樹形圖、表格等方法一一列舉出來．它適用于計(jì)數(shù)種數(shù)較少的狀況，分類計(jì)數(shù)時(shí)將問題分類事實(shí)上就是將分類種數(shù)一一列舉出來．枚舉法是一種解決問題的基本方法，當(dāng)計(jì)數(shù)的種數(shù)不是許多時(shí)，都可以用此方法解決．(2)間接法：若計(jì)數(shù)時(shí)分類較多，或無法干脆計(jì)算時(shí)，可用間接法，先求出沒有限制條件的種數(shù)，再減去不滿意條件的種數(shù)．(3)字典排序法：字典排序法就是把全部的字母分為前后，先排前面的字母，前面的字母排完后再依次排后面的字母，最終的字母排完，則排列結(jié)束．利用字典排序法并結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理可以解決與排列依次有關(guān)的計(jì)數(shù)問題，利用字典排序法還可以把這些排列不重不漏地一一列舉出來．(4)模型法：模型法就是通過構(gòu)造圖形，利用形象、直觀的圖形幫助我們分析、解決問題的方法．模型法是解決計(jì)數(shù)問題的重要方法．典例44個(gè)人各寫一張賀年卡，放在一起，然后每個(gè)人取一張不是自己的賀年卡，共有多少種不同取法？[思路分析]可以把4個(gè)人編號(hào)，用一、二、三、四表示，各自的卡片用1,2,3,4表示，用表格的形式一一列舉出來．[解析]解法一：明顯這個(gè)問題難用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理列式計(jì)算，但可以把各種方法一一列舉出來，最終再數(shù)出方法種數(shù)．把4個(gè)人編號(hào)為一、二、三、四，他們寫的4張賀年卡依次為1,2,3,4號(hào)，則取一張不是自己寫的賀年卡的各種方法全部列舉出來為：四個(gè)人取賀年卡的方法一222333444二134144133三441412212四313221321方法編號(hào)法1法2法3法4法5法6法7法8法9共有9種方法．解法二：將該問題轉(zhuǎn)化為“用1,2,3,4四個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，要求1不在個(gè)位、2不在十位、3不在百位、4不在千位的四位數(shù)有多少個(gè)”．因此，可分三步，第一步確定個(gè)位數(shù)，有3種不同的方法；其次步確定把1放到十位、百位、千位中的任一位上，也有3種不同的方法；第三步，余下的兩個(gè)數(shù)字只有一種方法，由分類計(jì)數(shù)原理可得不同的安排方法為3×3＝9種．『規(guī)律總結(jié)』破解此類看似簡(jiǎn)潔，實(shí)則繁難題的關(guān)鍵是選用“枚舉法”，即可輕松破解．用枚舉法須要留意做到不重不漏．┃┃跟蹤練習(xí)4__■某彩票購(gòu)買規(guī)則規(guī)定：從01到36共36個(gè)號(hào)中抽出7個(gè)號(hào)為一注，每注2元．某人想從01到10中選出3個(gè)連續(xù)的號(hào)，從11到20中選2個(gè)連續(xù)的號(hào)，從21到30中選1個(gè)號(hào)，從31至36中選1個(gè)號(hào)組成一注，則這個(gè)人把這種特別要求的號(hào)買全，至少要__8_640__元．[解析]需分步：第1步，從01到10中選3個(gè)連續(xù)的號(hào)，有8種選法，第2步，從11到20中選2個(gè)連續(xù)的號(hào)，有9種選法，第3步，從21到30中選1個(gè)號(hào)，有10種選法，第4步，從31到36中選1個(gè)號(hào)，有6種選法，∴共有N＝8×9×10×6＝4320個(gè)號(hào)，共須要8×9×10×6×2＝8640元．易混易錯(cuò)警示因辨別不清兩個(gè)計(jì)數(shù)原理而致錯(cuò)典例5(1)把3封信投到4個(gè)信箱，全部可能的投法共有(C)A．24種 B．4種C．43種 D．34種(2)某人從甲地到乙地，可以乘火車，也可以坐輪船，在這一天的不同時(shí)間里，火車有4趟，輪船有3班，則此人的走法共有__7__種．[辨析](1)若選擇信箱作為標(biāo)準(zhǔn)，則第一個(gè)信箱可以有3封信去投，共有3種投法；同理其次個(gè)信箱也有3種投法；依次類推共有3×3×3×3＝34種投法，故而錯(cuò)選D；(2)若搞不清分步還是分類，把此題當(dāng)成分步，則有3×4＝12種，從而出錯(cuò)．[正解](1)第1封信投到信箱中有4種投法；第2封信投到信箱中也有4種投法；第3封信投到信箱中也有4種投法，只要把這3封信投完，就完成了這件事情．由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共有43種方法，故選C．(2)因?yàn)槟橙藦募椎氐揭业?，乘火車的走法?種，坐輪船的走法有3種，每一種方法都能從甲地到乙地．依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得此人的走法共有4＋3＝7(種)．[誤區(qū)警示]解決計(jì)數(shù)問題的基本策略是合理分類和分步，然后應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理來計(jì)算．解決本題易出現(xiàn)的問題是對(duì)完成一件事情的標(biāo)準(zhǔn)不清晰導(dǎo)致計(jì)算出現(xiàn)錯(cuò)誤，對(duì)于(1)，選擇的標(biāo)準(zhǔn)不同，誤認(rèn)為每個(gè)信箱有三種選擇，所以可能的投法有34種；對(duì)于(2)，易混淆“類”與“步”，誤認(rèn)為到達(dá)乙地要先乘火車后坐輪船，進(jìn)而運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算．課堂達(dá)