2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用6.1.2導(dǎo)數(shù)及其幾何意義學(xué)案含解析新人教B版選擇性必修第三冊1

PAGE6.1.2導(dǎo)數(shù)及其幾何意義必備學(xué)問·素養(yǎng)奠基1.(1)定義:一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0旁邊有定義,自變量在x=x0處的變更量為Δx,當(dāng)Δx無限接近于0時,若平均變更率QUOTE=QUOTE無限接近于一個常數(shù)k,那么稱常數(shù)k為函數(shù)f(x)在x=x0處的瞬時變更率,此時,也稱f(x)在x0處可導(dǎo),并稱k為f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù),記作f′(x0)=k.“當(dāng)Δx無限接近于0時,QUOTE無限接近于常數(shù)k”還可以怎樣表示?提示:還可以表示為,當(dāng)Δx→0時,QUOTE→k,或者寫成QUOTE=k,即f′(x0)=QUOTE.(2)瞬時變更率f′(x0)的實(shí)際意義:當(dāng)自變量在x=x0處變更量Δx很小時,因變量對應(yīng)的變更量的近似值為f′(x0)Δx.(1)函數(shù)y=fQUOTE在x=x0處的導(dǎo)數(shù)肯定存在嗎?提示:當(dāng)Δx→0時,平均變更率QUOTE的極限存在,則函數(shù)y=fQUOTE在x=x0處可導(dǎo),否則在x=x0處不行導(dǎo)或無導(dǎo)數(shù).(2)函數(shù)y=fQUOTE在x=x0處的導(dǎo)數(shù)的定義還可以用別的式子表示嗎?提示:還可以表示為f′QUOTE=QUOTE=QUOTE等.2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1)割線:一般地,設(shè)S是平面上的一條曲線,P0是曲線S上的一個定點(diǎn),P是曲線S上P0旁邊的點(diǎn),則稱直線PP0為曲線S的割線.(2)切線:假如P無限接近于P0時,割線PP0無限接近于通過P0的一條直線l,則稱直線l為曲線S在點(diǎn)P0處的切線.f′(x0)就是曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處(也稱在x=x0處)的切線的斜率.切線方程為y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).(1)曲線的切線與曲線肯定只有一個公共點(diǎn)嗎?提示:曲線的切線并不肯定與曲線只有一個公共點(diǎn),可以有多個,甚至可以有無窮多個.(2)曲線的切線與導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系?提示:①函數(shù)f(x)在x=x0處有導(dǎo)數(shù),則函數(shù)f(x)在該點(diǎn)處必有切線,并且導(dǎo)數(shù)值就是該切線的斜率.②函數(shù)f(x)表示的曲線在點(diǎn)(x0,f(x0))處有切線,但函數(shù)f(x)在該點(diǎn)處不肯定可導(dǎo),例如f(x)=QUOTE在x=0處有切線,但不行導(dǎo).1.思維辨析(對的打“√”,錯的打“×”)(1)函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x0處的函數(shù)值. ()(2)函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線與x軸所夾銳角的正切值. ()(3)函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線的斜率. ()(4)函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是點(diǎn)(x0,f(x0))與點(diǎn)(0,0)連線的斜率. ()提示:(1)×.函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x0處的導(dǎo)數(shù)值.(2)×.函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線傾斜角的正切值.(3)√.函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義就是曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線的斜率.(4)×.函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線的斜率,不是點(diǎn)(x0,f(x0))與點(diǎn)(0,0)連線的斜率.2.函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo),則QUOTE ()A.與x0,h都有關(guān) B.僅與x0有關(guān),而與h無關(guān)C.與x0,h均無關(guān) D.僅與h有關(guān),而與x0無關(guān)【解析】選B.因?yàn)閒′(x0)=QUOTE,所以f′(x0)僅與x0有關(guān),與h無關(guān).3.已知函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)(2,1)處的切線與直線3x-y-2=0平行,則y′|x=2等于________.

【解析】因?yàn)橹本€3x-y-2=0的斜率為3,所以由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知y′|x=2=3.答案:3關(guān)鍵實(shí)力·素養(yǎng)形成類型一求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)【典例】求函數(shù)y=x+QUOTE在x=1處的導(dǎo)數(shù).【思維·引】先求QUOTE,再求QUOTE得結(jié)果.【解析】因?yàn)棣=(1+Δx)+QUOTE-(1+1)=Δx+QUOTE-1,所以QUOTE=1-QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=0.【素養(yǎng)·探】在求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)時,常常利用核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)運(yùn)算,運(yùn)用導(dǎo)數(shù)定義,通過計(jì)算求得.將本例中的函數(shù)改為y=3x+2,結(jié)果如何?【解析】QUOTE=QUOTE=QUOTE=3.【類題·通】求函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的導(dǎo)數(shù)的三個步驟簡稱:一差、二比、三極限.【習(xí)練·破】利用導(dǎo)數(shù)的定義,求函數(shù)y=QUOTE+2在x=1處的導(dǎo)數(shù).【解析】因?yàn)棣=QUOTE-QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以y′|x=1=QUOTE=QUOTE=-2.【加練·固】已知函數(shù)f(x)在x=1處存在導(dǎo)數(shù),則QUOTE= ()A.f′(1)B.3f′(1)C.QUOTEf′(1)D.f′(3)【解析】選C.QUOTE=QUOTE=QUOTEf′(1).類型二導(dǎo)數(shù)的意義在實(shí)際問題中的應(yīng)用【典例】一質(zhì)點(diǎn)做拋物線運(yùn)動,已知在ts時,質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動路程(單位:m)為sQUOTE=8-3t2.(1)求質(zhì)點(diǎn)在[1,1+Δt]這段時間內(nèi)的平均速度;(2)求質(zhì)點(diǎn)在t=1s時的瞬時速度,并說明它們的意義.【思維·引】(1)依據(jù)平均速度的定義式計(jì)算;(2)取平均速度的極限即為瞬時速度.【解析】(1)因?yàn)閟QUOTE=8-3t2,所以Δs=8-3(1+Δt)2-(8-3×12)=-6Δt-3(Δt)2,所以質(zhì)點(diǎn)在[1,1+Δt]這段時間內(nèi)的平均速度為:QUOTE=QUOTE=-6-3Δt.(2)質(zhì)點(diǎn)在t=1s時的瞬時速度即s′(1).s′QUOTE=QUOTE=QUOTE(-6-3Δt)=-6.質(zhì)點(diǎn)在t=1s時的瞬時速度為-6m/s,說明在第1s旁邊,質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動路程每秒大約削減6m.【內(nèi)化·悟】本例中當(dāng)導(dǎo)數(shù)值為正或負(fù)時,有什么不同的意義?提示:當(dāng)導(dǎo)數(shù)值為正時,則在某一時刻旁邊,質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動路程是增加的;當(dāng)導(dǎo)數(shù)值為負(fù)時,則在某一時刻旁邊,質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動路程是削減的.【類題·通】關(guān)于導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義依據(jù)物體的路程關(guān)于時間的函數(shù)求速度與加速度、求已知曲線的切線干脆促使了導(dǎo)數(shù)的產(chǎn)生.可以利用上述實(shí)際問題理解導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義,導(dǎo)數(shù)是在某一時刻旁邊的瞬時變更率,是路程、速度等在這一時刻旁邊增加(減小)的大小.【習(xí)練·破】柏油路是用瀝青和大小石子等材料混合后鋪成的.鋪路工人須要對瀝青加熱使其由固體變成粘稠液體,假如起先加熱后第xh的瀝青溫度(單位:℃)為y=f(x)=80x2+20,0≤x≤1,求f′(0.25),并說明它的實(shí)際意義.【解析】因?yàn)閒(x)=80x2+20,0≤x≤1,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=40+80Δx.所以f′QUOTE=QUOTE=40.它的實(shí)際意義表示,在x=0.25h旁邊,瀝青的溫度以40℃/h速率上升.【加練·固】一杯80℃的熱紅茶置于20℃的房間里,它的溫度會漸漸下降,溫度T(單位:℃)與時間t(單位:min)之間的關(guān)系由函數(shù)T=f(t)給出,請問(1)f′(t)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)?有什么實(shí)際意義?(2)f′(3)=-4的實(shí)際意義是什么?【解析】(1)f′(t)<0,其意義為在t旁邊溫度的瞬時變更率,f′(t)為負(fù)數(shù),說明f(t)的值在t旁邊紅茶的溫度降低.(2)f′(3)=-4的實(shí)際意義是:在3min旁邊紅茶的溫度以4℃/min的速率下降.類型三導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用【典例】已知直線l1為曲線y=x2+x-2在(1,0)處的切線,l2為該曲線的另一條切線,且l1⊥l2.(1)求直線l2的方程.(2)求由直線l1,l2和x軸圍成的三角形的面積.【思維·引】(1)先由已知求出l1的斜率,再由l1⊥l2,求出l2的斜率,進(jìn)而求出切點(diǎn)坐標(biāo),得出l2的方程.(2)先求出l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo),l1,l2與x軸的交點(diǎn),進(jìn)而求出直線l1,l2和x軸圍成的三角形的面積.【解析】(1)y′=QUOTE=QUOTE=QUOTE(2x+Δx+1)=2x+1.所以y′|x=1=2×1+1=3,所以直線l1的方程為y=3(x-1),即y=3x-3.設(shè)直線l2過曲線y=x2+x-2上的點(diǎn)B(b,b2+b-2),則l2的方程為y=(2b+1)x-b2-2.因?yàn)閘1⊥l2,則有2b+1=-QUOTE,b=-QUOTE,BQUOTE,所以直線l2的方程為y=-QUOTEx-QUOTE.(2)解方程組QUOTE得QUOTE所以直線l1和l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為QUOTE.l1,l2與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1,0),QUOTE.所以所求三角形的面積S=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.【素養(yǎng)·探】在導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用問題中,常常利用核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)運(yùn)算,運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的雙重性和切點(diǎn)的雙重性,列方程,通過計(jì)算得到答案.將本例中“l(fā)1⊥l2”改為“l(fā)1與l2傾斜角互補(bǔ)”結(jié)果如何?【解析】(1)由典例可知直線l1的斜率為3,方程為y=3x-3.因?yàn)閘1與l2傾斜角互補(bǔ),所以直線l2的斜率為-3,所以2b+1=-3,b=-2,B(-2,0),所以直線l2的方程為y=-3x-6.(2)解方程組QUOTE解得QUOTE所以直線l1和l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為QUOTE,l1,l2與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1,0),(-2,0),所以所求三角形的面積S=QUOTE×3×QUOTE=QUOTE.【類題·通】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義處理綜合應(yīng)用題的兩種思路(1)與導(dǎo)數(shù)的幾何意義相關(guān)的題目往往涉及解析幾何的相關(guān)學(xué)問,如直線的方程、直線間的位置關(guān)系等,因此要綜合應(yīng)用所學(xué)學(xué)問解題.(2)與導(dǎo)數(shù)的幾何意義相關(guān)的綜合問題解題的關(guān)鍵是函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),已知切點(diǎn)可以求斜率,已知斜率也可以求切點(diǎn),切點(diǎn)的坐標(biāo)是常設(shè)的未知量.【習(xí)練·破】1.若曲線y=x2上的點(diǎn)P處的切線與直線y=-QUOTEx+1垂直,則在點(diǎn)P處的切線方程為 ()A.2x-y-1=0B.2x-y-2=0C.x+2y+2=0 D.2x-y+1=0【解析】選A.與直線y=-QUOTEx+1垂直的直線的斜率為k=2.由y=x2知,y′=QUOTE=QUOTE(2x+Δx)=2x.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),則2x0=2,即x0=1,故y0=1.所以在點(diǎn)P處的切線方程為y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.2.求拋物線y=x2上的一點(diǎn)到直線x-y-2=0的最短距離.【解析】依據(jù)題意可得,與直線x-y-2=0平行的拋物線y=x2的切線對應(yīng)的切點(diǎn)到直線x-y-2=0的距離最短,由y=x2知,y′=QUOTE=QUOTE(2x+Δx)=2x.設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,QUOTE).依據(jù)定義可求導(dǎo)數(shù)y′QUOTE=2x0=1,所以x0=QUOTE,所以切點(diǎn)坐標(biāo)為QUOTE.切點(diǎn)到直線x-y-2=0的距離d=QUOTE=QUOTE.所以拋物線上的點(diǎn)到直線x-y-2=0的最短距離為QUOTE.課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.設(shè)f′(x0)=0,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線 ()A.不存在 B.與x軸平行或重合C.與x軸垂直 D.與x軸斜交【解析】選B.f′(x0)=0,說明曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線斜率為0,所以與x軸平行或重合.2.已知函數(shù)y=f(x)的圖象如圖,則f′(xA)與f′(xB)的大小關(guān)系是 ()A.0>f′(xA)>f′(xB) B.f′(xA)<f′(xB)<0C.f′(xA)=f′(xB) D.f′(xA)>f′(xB)>0【解析】選B.f′(xA)和f′(xB)分別表示函數(shù)圖象在點(diǎn)A,B處的切線斜率,故f′(xA)<f′(xB)<0.3.若函數(shù)y=f(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)為1,則QUOTE= ()A.2 B.1 C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.依據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,QUOTE=