2024-2025版高中數(shù)學(xué)第三章不等式3.4.2基本不等式的應(yīng)用學(xué)案新人教A版必修5

PAGE第2課時(shí)基本不等式的應(yīng)用鍵實(shí)力·合作學(xué)習(xí)類型一“1”代換求最值(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模)1.已知mn>0,2m+n=1,則QUOTE+QUOTE的最小值是()A.4 B.6 C.8 D.16【解析】選C.因?yàn)閙n>0,2m+n=1,則QUOTE+QUOTE=QUOTE(2m+n)=4+QUOTE+QUOTE≥4+2QUOTE=8,當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=QUOTE且2m+n=1即m=QUOTE,n=QUOTE時(shí)取等號,此時(shí)取得最小值8.2.已知x+2y=xy(x>0,y>0),則2x+y的最小值為()A.10 B.9 C.8 D.7【解析】選B.由x+2y=xy(x>0,y>0),可得QUOTE+QUOTE=1,則2x+y=(2x+y)QUOTE=5+QUOTE+QUOTE≥5+4=9,當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=QUOTE且QUOTE+QUOTE=1,即x=3,y=3時(shí)取等號,此時(shí)取得最小值9.3.已知實(shí)數(shù)a>0,b>0,QUOTE是8a與2b的等比中項(xiàng),則QUOTE+QUOTE的最小值是______.

【解析】因?yàn)閷?shí)數(shù)a>0,b>0,QUOTE是8a與2b的等比中項(xiàng),所以8a·2b所以23a+b=2,解得3a則QUOTE+QUOTE=(3a+b)QUOTE=5+QUOTE+QUOTE≥5+2QUOTE=5+2QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)b=QUOTEa=QUOTE-2時(shí)取等號.答案:5+2QUOTE常數(shù)代換法求最值的方法步驟常數(shù)代換法適用于求解條件最值問題.應(yīng)用此種方法求解最值的基本步驟為:(1)依據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù)).(2)把確定的定值(常數(shù))變形為“1”.(3)把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除,進(jìn)而構(gòu)造和或積的形式.(4)利用基本不等式求解最值.【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.若a>0,b>0,2a+b=6,則QUOTE+QUOTE的最小值為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.因?yàn)閍>0,b>0,2a+b=6,則QUOTE+QUOTE=QUOTE(2a+b)=QUOTE≥QUOTE×(4+4)=QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=QUOTE且2a+b=6,即a=QUOTE,b=3時(shí)取得最小值QUOTE.2.已知x>0,y>0,2x-QUOTE=QUOTE-y,則2x+y的最小值為()A.QUOTE B.2QUOTE C.3QUOTE D.4【解析】選C.由x>0,y>0,2x-QUOTE=QUOTE-y,可得2x+y=QUOTE+QUOTE,即有(2x+y)2=QUOTE(2x+y)=10+QUOTE+QUOTE≥10+2QUOTE=18,即有2x+y≥3QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)y=2QUOTE,x=QUOTE時(shí)等號成立,故2x+y的最小值為3QUOTE.3.設(shè)正實(shí)數(shù)x,y滿意x+2y=1,則QUOTE+QUOTE的最小值為()A.4 B.6 C.7 D.8【解析】選B.由正實(shí)數(shù)x,y滿意x+2y=1,得QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=2+QUOTE+QUOTE≥2+2QUOTE=6,當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=QUOTE,即x=QUOTE,y=QUOTE時(shí)取等號,故QUOTE+QUOTE的最小值為6.類型二基本不等式的實(shí)際應(yīng)用(數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模)【典例】某機(jī)械附件廠去年的年產(chǎn)量為10萬件,每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為100元,固定成本為80元.從今年起,工廠投入100萬元科技成本.并安排以后每年比上一年多投入100萬元科技成本.預(yù)料產(chǎn)量每年遞增1萬件,每件產(chǎn)品的固定成本g(n)元與科技成本的投入次數(shù)n的關(guān)系是g(n)=QUOTE.若產(chǎn)品的銷售價(jià)格不變,第n次投入后的年利潤為f(n)萬元.(1)求出f(n)的表達(dá)式;(2)求從今年算起第幾年利潤最高?最高利潤為多少萬元?四步內(nèi)容理解題意條件:(1)去年的年產(chǎn)量為10萬件,每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為100元,固定成本為80元.(2)今年起,工廠投入100萬元科技成本.(3)安排以后每年比上一年多投入100萬元科技成本.(4)預(yù)料產(chǎn)量每年遞增1萬件,每件產(chǎn)品的固定成本g(n)元與科技成本的投入次數(shù)n的關(guān)系是g(n)=QUOTE.結(jié)論:(1)求出f(n)的表達(dá)式;(2)求從今年算起第幾年利潤最高?最高利潤為多少萬元?思路探求(1)分別列出銷量、每件產(chǎn)品的利潤、科技成本投入后可得出f(n);(2)利用基本不等式求最值.書寫表達(dá)(1)第n次投入后,產(chǎn)量為(10+n)萬件,銷售價(jià)格為100元,固定成本為QUOTE元,科技成本投入為100n萬元.所以年利潤為f(n)=(10+n)QUOTE-100n(n∈N*).(2)由(1)知f(n)=(10+n)QUOTE-100n,f(n)=1000-80QUOTE≤1000-80×6=520(萬元).當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=QUOTE,即n=8時(shí),利潤最高,最高利潤為520萬元.所以,從今年算起第8年利潤最高,最高利潤為520萬元.題后反思一般要理清銷售量、售價(jià)、成本或其他投入;或者是銷售量、每件產(chǎn)品的利潤、其他投入.應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問題的思路和方法(1)設(shè):先理解題意,設(shè)出變量,一般把要求最值的量定為函數(shù);(2)建:建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系,把實(shí)際問題抽象成函數(shù)的最大值或最小值問題;(3)求:在定義域內(nèi),求出函數(shù)的最大值或最小值;(4)寫:正確寫出答案.某廠家擬在2024年實(shí)行促銷活動,經(jīng)調(diào)查測算,該產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)x(萬件)與年促銷費(fèi)用m(萬元)(m≥0)滿意x=3-QUOTE(k為常數(shù)),假如不搞促銷活動,那么該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件.已知2024年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元,每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品須要再投入16萬元,廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金,不包括促銷費(fèi)用).(1)將2024年該產(chǎn)品的利潤y(萬元)表示為年促銷費(fèi)用m(萬元)的函數(shù);(2)該廠家2024年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí),廠家的利潤最大,并求出最大利潤.【解析】(1)由題意可知當(dāng)m=0時(shí),x=1,所以1=3-k,所以k=2,所以x=3-QUOTE,每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為1.5×QUOTE,所以2024年的利潤y=xQUOTE-(8+16x+m)=4+8x-m=4+8QUOTE-m=-QUOTE+29(m≥0).(2)當(dāng)m≥0時(shí),QUOTE+(m+1)≥2QUOTE=8,所以y≤-8+29=21,當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=m+1,即m=3時(shí),ymax=21.即該廠家2024年的促銷費(fèi)用投入3萬元時(shí),廠家的利潤最大,最大利潤為21萬元.【拓展延長】基本不等式失效時(shí)求最值在求最值的一些問題中,由于其中的等號取不到,此時(shí)不能應(yīng)用基本不等式求最值,這時(shí)通常可以借助函數(shù)y=x+QUOTE(k>0)的單調(diào)性求得函數(shù)的最值.對于函數(shù)y=x+QUOTE(k>0),可以證明x∈(0,QUOTE]及[-QUOTE,0)上均為減函數(shù),在[QUOTE,+∞)及(-∞,-QUOTE]上都是增函數(shù).求此函數(shù)的最值時(shí),若所給的范圍含±QUOTE,可用基本不等式,不包含±QUOTE就用函數(shù)的單調(diào)性.【拓展訓(xùn)練】新余到吉安相距120千米,汽車從新余勻速行駛到吉安速度不超過120km/h,已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(單位:元)由可變部分和固定部分兩部分組成:可變部分與速度v(km/h)的平方成正比,比例系數(shù)為b,固定部分為a元.(1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示成速度v(km/h)的函數(shù);并求出當(dāng)a=50,b=QUOTE時(shí),汽車應(yīng)以多大速度行駛,才能使得全程運(yùn)輸成本最小;(2)隨著汽車的折舊,運(yùn)輸成本會發(fā)生一些改變,那么當(dāng)a=QUOTE,b=QUOTE,此時(shí)汽車的速度應(yīng)調(diào)整為多大,才會使得運(yùn)輸成本最小.【解析】(1)由題意可知,汽車從新余勻速到吉安所用時(shí)間為QUOTE,全程成本為y=(bv2+a)·QUOTE=120(bv+QUOTE),v∈(0,120];當(dāng)a=50,b=QUOTE時(shí),y=120QUOTE≥240·QUOTE=120(當(dāng)且僅當(dāng)v=100時(shí)取等號).所以汽車應(yīng)以100km/h的速度行駛,能使得全程運(yùn)輸成本最小.(2)當(dāng)a=QUOTE,b=QUOTE時(shí),y=120QUOTE.由對勾函數(shù)的單調(diào)性可知,當(dāng)v=120時(shí),y有最小值.所以汽車應(yīng)以120km/h的速度行駛,才能使得全程運(yùn)輸成本最小.類型三基本不等式的綜合應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模)角度1轉(zhuǎn)化為不等式求范圍

【典例】若a,b∈(0,+∞),ab=a+b+8,試求ab的范圍.【思路導(dǎo)引】利用a+b≥2QUOTE,構(gòu)造關(guān)于ab的不等式.【解析】因?yàn)閍,b∈(0,+∞),所以ab=a+b+8≥2QUOTE+8,即ab-2QUOTE-8≥0,解得QUOTE≥4,所以ab≥16.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=4時(shí)取等號.本例的條件不變,試求a+b的范圍.【解析】因?yàn)閍,b∈(0,+∞),所以a+b+8=ab≤QUOTE,即(a+b)2-4(a+b)-32≥0,解得a+b≥8,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=4時(shí)等號成立.角度2代入、構(gòu)造求最值

【典例】1.已知實(shí)數(shù)a>0,b>0,a+b=2,則QUOTE+QUOTE的最小值為()A.QUOTE B.QUOTE C.2QUOTE D.QUOTE【思路導(dǎo)引】利用a+b=2,把式子QUOTE+QUOTE中的b用a表示,再對式子變形.【解析】選D.a>0,b>0,a+b=2,則QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE-2,=QUOTE-2,=QUOTE-2≥QUOTE×(5+4)-2=QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=QUOTE,即a=QUOTE,b=QUOTE時(shí)取等號,此時(shí)取得最小值QUOTE.2.已知正數(shù)a,b滿意QUOTE+QUOTE=1,則QUOTE+QUOTE的最小值是()A.6 B.12 C.24 D.36【思路導(dǎo)引】依據(jù)題意可以將QUOTE+QUOTE=1轉(zhuǎn)化成a+b=ab,再將QUOTE+QUOTE通分轉(zhuǎn)化即可得到9b+4a-13,最終利用1的代換求出9b+4a的最小值即可.【解析】選B.因?yàn)閍,b為正數(shù),且QUOTE+QUOTE=1,所以a+b=ab,所以QUOTE+QUOTE=QUOTE=QUOTE=9b+4a-13,因?yàn)?b+4a=(9b+4a)×1=(9b+4a)×QUOTE=QUOTE+QUOTE+13≥2QUOTE+13=25,當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=QUOTE,即a=QUOTE,b=QUOTE時(shí)取等號,所以QUOTE+QUOTE=9b+4a-13≥12.3.已知正實(shí)數(shù)a,b,c滿意a2-2ab+9b2-c=0,則QUOTE的最大值為________.

【解析】由a2-2ab+9b2-c=0,可得c=a2-2ab+9b2,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE≤QUOTE=QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=QUOTE時(shí),即當(dāng)a=3b時(shí),等號成立,答案:QUOTE1.轉(zhuǎn)化為解不等式求范圍涉及與ab、a+b等相關(guān)的式子,可以利用基本不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式,通過解不等式求范圍,體現(xiàn)了整體轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.2.構(gòu)造定值求最值綜合已知條件、要求的因式的特點(diǎn),適當(dāng)變形,構(gòu)造出與要求因式相關(guān)的定值,再利用“1”的代換,整體構(gòu)造等方法求最值.1.已知正數(shù)x、y滿意x2+2xy-3=0,則2x+y的最小值是()A.1 B.3 C.6 D.12【解析】選B.因?yàn)閤2+2xy-3=0,所以y=QUOTE,所以2x+y=2x+QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTE≥2QUOTE=3.當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=QUOTE即x=1時(shí)取等號.2.已知a>2,b>2,則QUOTE+QUOTE的最小值為()A.2 B.4 C.6 D.16【解析】選D.令x=b-2,y=a-2,則原式=QUOTE+QUOTE≥2QUOTE=2QUOTE≥2QUOTE=2QUOTE≥2QUOTE=2QUOTE=16.當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2,即a=b=4時(shí)取等號.3.設(shè)x>0,y>0,x+2y=4,則QUOTE的最小值為______.

【解析】因?yàn)閤+2y=4,x>0,y>0,所以x+2y=4≥2QUOTE(當(dāng)且僅當(dāng)x=2,y=1時(shí)取等號),所以QUOTE≥QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=1+QUOTE≥1+8=9(當(dāng)且僅當(dāng)x=2,y=1時(shí)取等號).答案:9課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.函數(shù)y=log2QUOTE(x>1)的最小值為()A.-3 B.3 C.4 D.-4【解析】選B.因?yàn)閤+QUOTE+5=(x-1)+QUOTE+6≥2QUOTE+6=8.所以log2QUOTE≥3,所以ymin=3.當(dāng)且僅當(dāng)x-1=QUOTE,即x=2時(shí),等號成立.2.(教材二次開發(fā):例題改編)如圖所示,矩形ABCD的邊AB靠在墻PQ上,另外三邊是由籬笆圍成的.若該矩形的面積為4,則圍成矩形ABCD所須要籬笆的()A.最小長度為8 B.最小長度為4QUOTEC.最大長度為8 D.最大長度為4QUOTE【解析】選B.設(shè)BC=a,CD=b,則ab=4,所以圍成矩形ABCD所須要的籬笆長度為2a+b=2a+QUOTE≥2QUOTE=4QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)2a=QUOTE,即a=QUOTE時(shí)取等號,此時(shí)長度取得最小值4QUOTE.3.周長為QUOTE+1的直角三角形面積的最大值為________