工程數(shù)學(xué) 課件 第5、6章 多元函數(shù)積分、概率論

第5章多元函數(shù)積分第1節(jié)二重積分第2節(jié)二重積分的計算第3節(jié)廣義重積分

第1節(jié)

二

重

積

分

一、

二重積分的概念

1.引例例5.1如圖5.1所示，設(shè)有一立體，它的底是xOy面上的閉區(qū)域D，它的側(cè)面是以D

的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于z軸的柱面，它的頂是曲面z=f(x,y)，這里f(x,y)>0且在D

上連續(xù)。這種立體叫作曲頂柱體.現(xiàn)在要求該曲頂柱體的體積V。圖5.1

由于曲頂柱體的高f(x,y)是變量，它的體積不能直接用體積公式來計算。但仍可采用求曲邊梯形面積的思想方法，即通過

分割：將區(qū)域D

任意分成n

個小區(qū)域

近似：在每個Δδi

上任取一點(ξi,ηi)(見圖5.1)，則

求和：將上式累加，得

取極限：令Δδi

中的最大直徑λ

趨于0，得

例5.2如圖5.2所示，設(shè)有一平面薄片占有xOy面上的閉區(qū)域D，它在點(x,y)處的面密度為ρ(x,y)，這里ρ(x,y)>0且在D

上連續(xù)?，F(xiàn)在要計算該薄片的質(zhì)量

M。圖5.2

2.二重積分的定義

定義5.1設(shè)f(x,y)是有界閉區(qū)域D

上的有界函數(shù)，將閉區(qū)域D

任意分成n個小閉區(qū)域

其中Δσi

表示第i個小閉區(qū)域，也表示它的面積。在每個Δσi

上任取一點(ξi,ηi)，作乘積

并作和

二、

二重積分的性質(zhì)

性質(zhì)5.1設(shè)α、β為常數(shù)，則

性質(zhì)5.2

如果f(x,y)在有界閉區(qū)域D

上可積，D

被連續(xù)曲線分成D1、D2

兩部分，D=D1∪D2

且D1、D2

無公共內(nèi)點，則f(x,y)在區(qū)域D1、D2

上可積，且

這個性質(zhì)說明二重積分對積分區(qū)域具有可加性。

性質(zhì)5.3如果在D

上，f(x,y)=1，σ為D

的面積，則

性質(zhì)5.4如果在D

上，f(x,y)≤g(x,y)，則有

特殊地,由于

又有

性質(zhì)5.5設(shè)

M、m

分別是f(x,y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值，σ是D

的面積，則有

性質(zhì)5.6(二重積分的中值定理)設(shè)函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域

D

上連續(xù)，σ

是D

的面積，則在D

上至少存在一點(ξ,η)，使得

第2節(jié)

二重積分的計算

二重積分是用和式的極限定義的，對一般的函數(shù)和區(qū)域用定義直接計算二重積分是不可行的。計算二重積分的主要方法是將它化為兩次定積分的計算，稱為累次積分法。

一、

在直角坐標(biāo)系下求二重積分

先從幾何上研究二重積分的計算問題，在討論中我們假定f(x,y)≥0。若積分區(qū)域D

可表示為

則稱D為X型區(qū)域，它是由直線x=a、x=b

及曲線y=φ1(x)、y=φ2(x)所圍成(圖5.3)，其中函數(shù)φ1(x)、φ2(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù).X

型區(qū)域的特點是：任何平行于y軸且穿過區(qū)域內(nèi)部的直線與D

的邊界的交點不多于兩個。圖5.3

求以D

為底，曲面z=f(x,y)為頂?shù)那斨w的體積(圖5.4)。先計算截面積。在區(qū)間[a,b]上取定一點x0，作平行于yOz面的平面x=x0。這平面頂柱體所得的截面是一個以區(qū)間[φ1(x0),φ2(x0)]為底、曲線z=f(x0,y)為曲邊的曲邊梯形(圖5.4)所以這個截面的面積為

一般地，過區(qū)間[a,b]上任一點x且平行于yOz

面的平面截曲頂柱體的截面的面積為圖5.4

于是,應(yīng)用計算平行截面面積為已知的立體體積的方法,得曲頂柱體的體積為

這個體積也就是所求二重積分的值,從而有等式

上式右端的積分是先對y、后對x

的二次積分。就是說,先把x

看作常數(shù)，把f(x,y)只看作y的函數(shù)，并對y計算從φ1(x)到φ2(x)的定積分：然后把算得的結(jié)果(是x

的函數(shù))再對x

計算在區(qū)間[a,b]上的定積分。這個先對y、后對x

的二次積分也常記為

因此，等式(5.1)也寫成

這就是把二重積分化為先對y、后對x

的二次積分公式。

在上述討論中，我們假定f(x,y)≥0，實際上公式(5.1)的成立并不受此條件的限制。類似地，若積分區(qū)域D

可表示為

則稱D

為Y

型區(qū)域，它是由直線y=c、y=d及曲線x=ψ1(y)、x=ψ2(y)所圍成，其中函數(shù)ψ1(x)、ψ2(x)在區(qū)間[c,d]上連續(xù)。同樣Y

型區(qū)域的特點是：任何平行于x

軸且穿過區(qū)域內(nèi)部的直線與D

的邊界的交點不多于兩個。圖5.5

例5.5計算二重積分其中D

是由直線y=x，x=1及x軸所圍成的閉區(qū)域。

解

畫出積分區(qū)域D

如圖5.6所示，圖5.6

它既是X

型，又是Y型。若D

看成X

型，則D

可表示為

于是

若將D看成X型,則D可表示為

于是

例5.6

計算二重積分其中D

是由拋物線y=x2

及直線y=x+2所圍成的閉區(qū)域。

解

畫出積分區(qū)域D

如圖5.7所示，圖5.7

若D

看成X

型，則D可表示為

于是

若將D看成Y型,則由于在區(qū)間[0,1]及[1,4]上x

的積分下限不同,所以要用直線y=1把區(qū)域D分成D1

和D2

兩個部分(圖5.8),其中

于是圖5.8

例5.9求兩個圓柱面x2+y2=a2，x2+z2=a2

所圍成的立體體積.

解

由對稱性知,所求立體的體積V

是該立體位于第一卦限部分的體積V1的8倍(見圖5.11).圖5.11

立體在第一卦限部分可以看成一個曲頂柱體，它的底為

它的頂是柱面

于是

二、

在極坐標(biāo)系下求二重積分

在平面上選定一點O，從點O

出發(fā)引一條射線Ox，并在射線上規(guī)定一個單位長度，這就得到了極坐標(biāo)系(如圖5.12)，其中點P

稱為極點，射線Ox

稱為極軸。

平面上每一點

M

都可以用它的極徑r

和極角θ來確定其位置，稱有序數(shù)對(r,θ)為點

M

的極坐標(biāo)。圖5.12

如果我們將直角坐標(biāo)系中的原點O

和x軸的正半軸選為極坐標(biāo)系中的極點和極軸，如圖5.13所示，則平面上點M

的直角坐標(biāo)(x,y)與其極坐標(biāo)(r,θ)有以下的關(guān)系圖5.13

在二重積分的定義中，若函數(shù)f(x,y)可積，則二重積分的存在與區(qū)域D

的劃分無關(guān)。在直角坐標(biāo)系中，我們是用平行于x

軸和y

軸的兩組直線來分割區(qū)域D的，此時面積元素dσ=dxdy。所以有

在極坐標(biāo)系中，點的極坐標(biāo)是(r,θ)，r=常數(shù)，是一簇圓心在極點的同心圓；θ=常數(shù),是一簇從極點出發(fā)的射線。我們用上述的同心圓和射線將區(qū)域

D

分成多個小區(qū)域，如圖5.14所示，其中，任一小區(qū)域Δσ

是由極角為θ

和θ+Δθ

的兩射線與半徑為r和r+Δr的兩圓弧所圍成的區(qū)域，則由扇形面積公式得圖5.14

在極坐標(biāo)系下計算二重積分，仍然需要化為二次積分來計算，通常是按先r后θ的順序進(jìn)行，下面分三種情況予以介紹。

(1)極點O

在區(qū)域D之外，且D

由射線θ=α，θ=β和連續(xù)曲線r=r1(θ)，r=r2(θ)所圍成，如圖5.15所示，這時區(qū)域D

可表示為

于是圖5.15

(2)極點O

在區(qū)域D

的邊界上，且D

由射線θ=α，θ=β和連續(xù)曲線r=r(θ)所圍成，如圖5.16所示，這時區(qū)域D

可表示為

于是圖5.16

(3)極點O

在區(qū)域D

內(nèi)部，且

D的邊界曲線為連續(xù)封閉曲線r=r(θ)，如圖5.17所示，這時區(qū)域D

可表示為

于是圖5.17

例5.10計算二重積分其中D

是由圓x2+y2=a2(a>0)圍成的閉區(qū)域.

解

由于區(qū)域D

在極坐標(biāo)系下表示為

所以

例5.11

計算二重積分其中D

是由圓x2+y2=π2

和x2+y2=4π2

所圍成的閉區(qū)域。

解

積分區(qū)域D是由兩個圓所圍成的圓環(huán)，在極坐標(biāo)系下表示為

于是

例5.12

計算二重積分其中D

是第一象限中同時滿足x2+y2≤1和x2+(y-1)2≤1的點所組成的區(qū)域.

所以得圖5.18

第3節(jié)

廣

義

重

積

分

和一元函數(shù)類似，二重積分也可以推廣到無界區(qū)域上的廣義二重積分，它在概率統(tǒng)計中是一種廣泛應(yīng)用的積分形式。

定義5.2

設(shè)函數(shù)f(x,y)在無界區(qū)域

D

上有定義，用任意光滑或分段光滑的曲線γ在D中劃出有界區(qū)域Dγ，如圖5.19所示，若二重積分存在，且當(dāng)曲線γ

連續(xù)變動，區(qū)域Dγ無限擴展而趨于區(qū)域D

時，如果不論γ

的形狀如何，也不論γ

擴展的過程怎樣，極限

有同一極限值I，則稱I

是函數(shù)f(x,y)在無界區(qū)域D

上的廣義二重積分，記為

這時也稱函數(shù)f(x,y)在D

上的積分收斂。否則，稱為發(fā)散的。圖5.19第6章

概率論第1節(jié)

隨機事件第2節(jié)

概率的定義與性質(zhì)第3節(jié)

條件概率第4節(jié)

獨立性第5節(jié)

隨機變量的分布第6節(jié)

數(shù)學(xué)期望與方差第7節(jié)

常見隨機變量的分布

第1節(jié)

隨

機

事

件

一、

隨機事件

1.隨機試驗滿足下列三個條件的試驗稱為隨機試驗：

(1)試驗可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；

(2)試驗的可能結(jié)果不止一個，且所有可能結(jié)果是已知的；

(3)每次試驗?zāi)膫€結(jié)果出現(xiàn)是未知的。

隨機試驗以后簡稱為試驗，并常記為E。

例如：

E1：擲一骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)；

E2：上拋硬幣兩次，觀察正反面出現(xiàn)的情況；

E3：觀察某電話交換臺在某段時間內(nèi)接到的呼喚次數(shù)。

2.隨機事件

在試驗中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事情稱為隨機事件，常記為A,B,C

等。

例如，在E1

中，A

表示“擲出2點”，B

表示“擲出偶數(shù)點”均為隨機事件。

3.必然事件與不可能事件

每次試驗必發(fā)生的事情稱為必然事件，記為Ω。每次試驗都不可能發(fā)生的事情稱為不可能事件，記為?。

例如,在E1

中，“擲出不大于6點”的事件便是必然事件，而“擲出大于6點”的事件便是不可能事件。

隨機事件，必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為事件。

4.基本事件

試驗中直接觀察到的最簡單的結(jié)果稱為基本事件。由基本事件構(gòu)成的事件稱為復(fù)合事件。

例如，在E1

中，“擲出1點”，“擲出2點”,…,

“擲出6點”均為此試驗的基本事件；“擲出偶數(shù)點”便是復(fù)合事件。

5.樣本空間

從集合觀點看，稱構(gòu)成基本事件的元素為樣本點。試驗中所有樣本點構(gòu)成的集合稱為樣本空間，記為Ω。

例如，在

E1

中，Ω={1,2,3,4,5,6}；在

E2

中，Ω={(H,H)，(H,T)，(T,H)，(T,T)}；在E3

中，Ω={0,1,2,…}

二、

事件間的關(guān)系與運算

1.包含關(guān)系

若事件A

的發(fā)生必導(dǎo)致事件B

發(fā)生，則稱事件B

包含事件A，記為A?B

或B?A。

例如，在E1

中，令A(yù)

表示“擲出2點”的事件，即A={2},B

表示“擲出偶數(shù)”的事件，即B={2,4,6}，則A?B。

2.相等關(guān)系

若A?B

且B?A，則稱事件A

等于事件B，記為A=B(圖6.1)。

例如，從一副54張的撲克牌中任取4張，令A(yù)

表示“取得至少有3張紅桃”的事件；B表示”取得至多有一張不是紅桃”的事件，顯然A=B。

圖6.1

3.和關(guān)系

稱事件A

與B

至少有一個發(fā)生的事件為A與B

的和事件，簡稱為和，記為

A∪B

或A+B(圖6.2)。

例如，甲、乙兩人向目標(biāo)射擊，令A(yù)

表示“甲擊中目標(biāo)”的事件，B

表示“乙擊中目標(biāo)”的事件，則A∪B

表示“目標(biāo)被擊中”的事件。

圖6.2

4.積關(guān)系

稱事件A

與事件B

同時發(fā)生的事件為A

與B的積事件，簡稱為積，記為A∩B

或AB(圖6.3)。

例如，在E3中，觀察某電話交換臺在某時刻接到的呼喚次數(shù)中，令A(yù)={接到2的位數(shù)次呼喚}，B={接到3的倍數(shù)次呼喚}，則A∩B={接到6的倍數(shù)次呼喚}。

圖6.3

5.差關(guān)系

稱事件A

發(fā)生但事件B不發(fā)生的事件為A

減B

的差事件，簡稱為差，記為

A-B(圖6.4)

例如，測量晶體管的β參數(shù)值，令

A={測得β

值不超過50}，B={測得β

值不超過100}，則A-B=?，B-A={測得β值為50<β≤100}。

圖6.4

6.互不相容關(guān)系

若事件A

與事件B不能同時發(fā)生，即AB=?，則稱A

與B

是互不相容的事件，或稱A

與B

為互斥事件(圖6.5)。

例如，觀察某交通路口在某時刻的紅綠燈：若A={紅燈亮}，B={綠燈亮}，則A

與B便是互不相容的。

圖6.5

圖6.6

第2節(jié)

概率的定義與性質(zhì)

一、

概率的定義所謂事件A的概率是指事件A

發(fā)生可能性程度的數(shù)值度量，記為P

(A)。規(guī)定P(A)≥0，P(Ω)=1。以下從不同角度給出概率的定義。

1.古典概型中概率的定義

滿足下列兩個條件的試驗?zāi)Ｐ头Q為古典概型。

(1)所有基本事件是有限個；

(2)各基本事件發(fā)生的可能性相同。

定義6.1

在古典概型中，設(shè)其樣本空間Ω所含的樣本點總數(shù)，即試驗的基本事件總數(shù)為

NΩ

，而事件

A

所含的樣本數(shù)，即有利于事件

A

發(fā)生的基本事件數(shù)為NA

，則事件

A的概率便定義為

古典概型中所定義的概率有以下基本性質(zhì)：

(1)P(A)≥0；(2)P(Ω)=1

例6.1

將n

個球隨機地放到n

個瓶子中去，問每個瓶子恰有1個球的概率是多少?

例6.2

將3個不同的球隨機地放入4個不同的盒子中,問盒子中球的個數(shù)的最大數(shù)分別為1、2、3的概率各是多少?

例6.3

將一枚質(zhì)地均勻的硬幣拋三次，求恰有一次正面向上的概率。

解

用

H

表示正面，T

表示反面，則該試驗的樣本空間

2.概率的統(tǒng)計定義

頻率：在n次重復(fù)試驗中，設(shè)事件A

出現(xiàn)了nA

次，則稱

為事件A

的頻率。

頻率具有一定的穩(wěn)定性，示例如表6.1所示。

頻率有以下基本性質(zhì):

(1)fn(A)≥0；

(2)fn(Ω)=1；

(3)若A1A2,…Ak，兩兩互不相容，則

定義6.2

在相同條件下，將試驗重復(fù)n

次，如果隨著重復(fù)試驗次數(shù)n

的增大，事件A的頻率fn(A)越來越穩(wěn)定地在某一常數(shù)p

附近擺動，則稱常數(shù)p

為事件A

的概率，即P(A)=p。

3.概率的公理化定義

定義6.3

設(shè)某試驗的樣本空間為Ω，對其中每個事件A

定義一個實數(shù)P(A)，如果它滿足下列三條公理：(1)P(A)≥0(非負(fù)性)；

(2)P(Ω)=1，P(?)=0(規(guī)范性)：

(3)若A1,A2,…,An兩兩互不相容，則

(稱為可加性)；則稱P(A)為A

的概率。

例6.7甲、乙兩城市在某季節(jié)內(nèi)下雨的概率分別為0.4和0.35，而同時下雨的概率為0.15，求在此季節(jié)內(nèi)甲、乙兩城市中至少有一個城市下雨的概率。

解

令A(yù)={甲城下雨}，B={乙城下雨},按題意所要求的是

第3節(jié)

條

件

概

率

一、

條件概率的概念及計算

例6.8

一盒子內(nèi)有10只晶體管，其中4只是壞的，6只是好的，從中無放回地取二次晶體管，每次取一只，當(dāng)發(fā)現(xiàn)第一次取得的是好的晶體管時，問第二次取得的也是好的晶體管的概率為多少?

例6.9某種集成電路使用到2000小時還能正常工作的概率為0.94，使用到3000小時還能正常工作的概率為0.87。有一塊集成電路已工作了2000小時，問它還能再工作1000小時的概率為多大?

二、

條件概率的三個重要公式

1.乘法公式

定理6.1

如果P(B)>0，那么

同樣，如果P(A)>0，則

例6.10

已知某產(chǎn)品的不合格品率為4%，而合格品中有75%的一級品，今從這批產(chǎn)品中任取一件，求取得的為一級品的概率。

解

令A(yù)={任取一件產(chǎn)品為一級品}，B={任取一件產(chǎn)品為合格品}，顯然

A?B，即有AB=A，故P(AB)=P(A)。于是，所求概率為

2.全概率公式

定義6.5

如果一組事件

H1,H2,…,Hn

在每次試驗中必發(fā)生且僅發(fā)生一個，即則稱此事件組為該試驗的一個完備事件組。

定理6.2設(shè)

H1,H2,…,Hn

為一完備事件組，且P(Hi)>0(i=1,2,…,n)，則對于任意事件A

有

例6.11

某屆世界女排錦標(biāo)賽半決賽的對陣如圖6.7所示，根據(jù)以往資料可知，中國勝美國的概率為0.4，中國勝日本的概率為0.9，而日本勝美國的概率為0.5，求中國得冠軍的概率。

圖6.7

3.貝葉斯公式

定理6.3

設(shè)

H1,H2,…,Hn為一完備事件組，且P(Hi)>0(i=1,2,…,n)，又設(shè)A為任意事件，且P(A)>0，則有

例6.12某種診斷癌癥的實驗有如下效果：患有癌癥者做此實驗反映為陽性的概率為0.95，不患有癌癥者做此實驗反映為陰的概率也為0.95，并假定就診者中有0.005的人患有癌癥。已知某人做此實驗反應(yīng)為陽性，問他是一個癌癥患者的概率是多少?

第4節(jié)

獨

立

性

一、

事件的獨立性如果事件B

的發(fā)生不影響事件A

的概率(例如：某人擲一顆骰子兩次，第一次骰子出現(xiàn)的點數(shù)A

并不會影響第二次骰子出現(xiàn)的點數(shù)B)，且P(B)>0時，有P(A|B)=P(A)，則稱事件A對事件B

獨立；反之，如果事件A

的發(fā)生不影響事件B

的概率，且P(A)>0時，有P(B|A)=P(B)，則稱事件B

對事件A

獨立．當(dāng)P(A)>0，P(B)>0，上述兩個式子是等價的，因此有下面定義：

定義6.6對任意兩個事件A

與B，若P(AB)=P(A)·P(B)，則稱事件

A

與B

相互獨立．

定理6.4事件A

與B

獨立的充要條件是

例6.13

袋中有3個白球2個黑球，現(xiàn)從袋中分別有放回、無放回的各取兩次球，每次取一球，令A(yù)={第一次取出的是白球}，B={第二次取出的是白球}，問A,B是否獨立?

例6.14

統(tǒng)計浙江浦陽江甲乙兩地在1964-1966年3年內(nèi)6月份90天中降雨的天數(shù)。甲地降雨46天，乙地降雨45天，兩地同時降雨42天．假定兩地6月份任一天為雨日的頻率穩(wěn)定，試問：

(1)6月份兩地降雨是否相互獨立?

(2)6月份任一天至少有一地降雨的概率為多少?

定義6.7

設(shè)A,B,C

為三個事件，如果P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)，P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，則稱A,B,C

是相互獨立的。

定義6.8設(shè)A1,A2,…,An為n個事件，如果對任意正整數(shù)k(k≤n)及上述事件中的任意k

個事件Ai1

，Ai2,…,Aik，有P(Ai1Ai2…Aik)=P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik)，則稱這n

個事件A1,A2,…,An是相互獨立的。

例如：(1)將一骰子擲10次觀察出現(xiàn)6點的次數(shù)——10重伯努利試驗；(2)在裝有8個正品，2個次品的箱子中，有放回地取5次產(chǎn)品，每次取一個,觀察取得次品的次數(shù)——5重伯努利試驗；(3)向目標(biāo)獨立地射擊n

次，每次擊中目標(biāo)的概率為p,觀察擊中目標(biāo)的次數(shù)——n

重伯努利試驗等等。

在n

重伯努利實驗中，假定每次實驗事件A

出現(xiàn)的概率為p(0<p<1)，則在n

重伯努利試驗中，事件A

恰好出現(xiàn)了k次的概率為

其中q=1-p。

例6.18

某彩票每周開獎一次，每次只有百萬分之一中獎的概率。若你每周買一張彩票，盡管你堅持十年(每年52周)之久，但你從未中過獎的概率是多少?

解

每周買一張彩票,不中獎的概率是1-10-6，十年中共購買520次，且每次開獎都相互獨立，所以十年中從未中過獎的概率為

例6.19一副撲克牌(52張)，從中任取13張，求至少有一張”A”的概率.

解

設(shè)A={任取的13張牌中至少有一張”A”}，并設(shè)Ai={任取的13張牌中恰有i張”A”}，i=1,2,3,4,則A=A1∪A2∪A3∪A4,且A1,A2,A3,A4

兩兩互斥.

因此

用另一方法來計算這一概率：

從而

例6.20某射手向某目標(biāo)射擊5次，每次擊中目標(biāo)的概率為p，不擊中目標(biāo)的概率為q，且每次是否擊中目標(biāo)是相互獨立的，求5次射擊當(dāng)中恰好擊中目標(biāo)3次的概率P5(3)

第5節(jié)

隨機變量的分布

一、

隨機變量定義6.9一個變量

X

的取值取決于隨機試驗E(現(xiàn)象)的基本結(jié)果ω，則該變量X(ω)稱為隨機變量。隨機變量常用大寫字母X、Y、Z

等表示，其取值用小寫字母x、y、z

等表示。例如：擲一顆骰子得到的點數(shù)，分別用1、2、3、4、5、6來表示；測試一個燈泡的使用壽命，結(jié)果對應(yīng)著(0,+∞)中的一個實數(shù)；投籃一次”命中”可用1表示，”沒有命中”可用0表示；從一批產(chǎn)品中隨機抽取一個檢驗，”次品”用0表示，”合格品”用1表示等等。

定義6.10

設(shè)X

是一個隨機變量，對于任意實數(shù)x，令F(x)=P{X≤x}，稱F(x)為隨機變量

X

的概率分布函數(shù)，簡稱分布函數(shù)。

分布函數(shù)的性質(zhì)：

二、

離散型隨機變量的分布

定義6.11

設(shè)

X

為離散型隨機變量,其可能取值為x1,x2,…,且

稱上式為隨機變量

X

的概率分布或分布列.

隨機變量

X的概率分布可用如下形式的表格來表示:

離散型隨機變量的概率分布有如下的性質(zhì):

例6.21

設(shè)隨機變量的

X

的概率分布為

試確定常數(shù)a。

三、

連續(xù)型隨機變量的分布

定義6.12如果對于隨機變量X

的分布函數(shù)F(x)，存在函數(shù)f(x)≥0(-∞<x<+∞)，使得對于任意實數(shù)x，有

則稱X為連續(xù)型隨機變量，函

數(shù)f(x)稱為

X的概率密度函數(shù)(簡稱密度函數(shù))。

密度函數(shù)的性質(zhì)和意義:

定義6.13

設(shè)X是一個隨機變量，g(x)為連續(xù)實函數(shù)，則Y=g(X)稱為一維隨機變量的函數(shù)，顯然Y

也是一個隨機變量。

離散型隨機變量函數(shù)分布的求法如下：首先將

X

的取值代入函數(shù)關(guān)系式，求出隨機變量Y

相應(yīng)的取值yi=g(xi)(i=1,2,…)。如果yi(i=1,2,…)的值各不相等，則Y

的概

率分布為

如果yi=g(xi)(i=1,2,…)中出現(xiàn)相同的函數(shù)值，如yi=g(xi)=g(xk)(i≠k)，則在Y

的概率分布列中,Y

取yi

的概率為

例6.23

設(shè)隨機變量X

的概率分布為

求Y=2X+1和Z=X2的概率分布。

解

由Y=2X+1和

X

可能的取值，得Y

相應(yīng)的取值為-3，-1,1,3,5,7,又由Y=2X+1中Y與X

是一一對應(yīng)關(guān)系可得Y

的概率分布為

Z=X2

可能取的值為0,1,4,9,相應(yīng)的概率值為

即Z

的概率分布為

第6節(jié)

數(shù)學(xué)期望與方差

一、

數(shù)學(xué)期望的概念分布函數(shù)在概率意義上給隨機變量以完整的刻畫，但在許多實際問題的研究中，要確定某一隨機變量的概率分布往往并不容易。就某些實際問題而言，我們更關(guān)心隨機變量的某些特征。例如：在研究水稻品種的優(yōu)劣時，往往關(guān)心的是稻穗的平均稻谷粒數(shù)；在評價兩名射手的射擊水平時，通常是通過比較兩名射手在多次射擊試驗中命中環(huán)數(shù)的平均值來區(qū)別水平高低。

例6.25

某商店從工廠進(jìn)貨,該貨物有四個等級：一等、二等、三等和等外，產(chǎn)品屬于這些等級的概率依次是：0.5、0.3、0.15、0.05.若商店每銷出一件一等品獲利10.5元，銷出一件二、三等品分別獲利8元和3元，而銷出一件等外品則虧損6元,問平均銷出一件產(chǎn)品獲利多少元?

二、

離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望

三、

連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望

例6.28

設(shè)

X

的概率分布為

求E[X-E(X)]2。

五、

數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)

1.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

(1)設(shè)c為任意一個常數(shù)，則E(c)=c；

(2)設(shè)

X

為一隨機變量，且E(X)存在，c為常數(shù)，則有E(cX)=cE(X)。

由(1)、(2)可得E(aX+b)=aE(X)+b(a,b

為任意常數(shù))。

2.方差的性質(zhì)

(1)設(shè)c為常數(shù)，則D(c)=0；

(2)如果

X

為隨機變量，c為常數(shù)，則D(cX)=c2D(X)；

(3)如果

X

為隨機變量，c為常數(shù)，則有D(X+c)=D(X)。

由(2)、(3)可得

D(aX+b)=a2D(X)(a,b

為任意常數(shù))。

第7節(jié)

常見隨機變量的分布

一、

離散型隨機變量的分布

1.一點分布(退化分布)一個隨機變量

X

以概率1取某一常數(shù)a，即P{X=a}=1，則稱X服從點a

處的一點分布(退化分布)。數(shù)學(xué)期望E(X)=a，方差D(X)=0。

2.兩點分布(伯努利分布)

若隨機變量X只有兩個可能的取值0和1,其概率分布為

或

則稱

X

服從參數(shù)為p(p>0)的兩點分布(也稱0-1分布)。

數(shù)學(xué)期望E(X)=p，方差D(X)=p(1-p)=pq(q=1-p)。

3.二項分布

設(shè)X

表示n

重伯努利試驗中事件A

發(fā)生的次數(shù)，則X