2024-2025學(xué)年山東省青島市黃島區(qū)高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年山東省青島市黃島區(qū)高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(cosα,sinα)，B(cosβ,?sinβ)，C(cos(α+β),sin(α+β))，D(1,0)，則A.OC?OD B.OA?OC C.2.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，取正方形ABCD各邊的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，作第2個(gè)正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的中點(diǎn)I，J，K，L，作第3個(gè)正方形IJKL，依此方法一直繼續(xù)下去.則從正方形ABCD開(kāi)始，連續(xù)5個(gè)正方形面積之和為31，則a=(

)A.1 B.2 C.3 D.43.已知平面向量a、b滿足|b|=2|a|=2，若a⊥(a+bA.π6 B.5π6 C.π34.設(shè)集合A={x|x2?3x+2≤0}，B={x|a<x<a+2}，則a>0是A?B的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.若正數(shù)x，y滿足x2?2xy+2=0，則x+y的最小值是(

)A.6 B.62 C.26.如圖，已知函數(shù)f(x)=cos(ωx?φ)，點(diǎn)A，B是直線y=12與函數(shù)y=f(x)的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)，若|AB|=π3A.?32

B.?227.2024年1月1日，第五次全國(guó)經(jīng)濟(jì)普查正式啟動(dòng).甲、乙、丙、丁、戊5名普查員分別去城東、城南、城西、城北四個(gè)小區(qū)進(jìn)行數(shù)據(jù)采集，每個(gè)小區(qū)至少去一名普查員，若甲不去城東，則不同的安排方法共有(

)A.36種 B.60種 C.96種 D.180種8.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(12)=12，f(1)=1，f(x)=1則f(10)=(

)A.2 B.1 C.12 D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知二項(xiàng)式(x?1y)6A.x4y?2的系數(shù)為15 B.各項(xiàng)系數(shù)之和為1

C.二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是第3項(xiàng) D.系數(shù)最大項(xiàng)是第310.數(shù)列{an}滿足a1=1，A.數(shù)列{an}為等差數(shù)列 B.an=n(n+1)11.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，a=2,c=5，已知點(diǎn)O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)Q為AC中點(diǎn)，OA+2OBA.若(AB+AC)?BC=0，則△ABC的面積為2

B.若CA在CB方向上的投影向量為CB，則PQ的最小值為54

C.若點(diǎn)P為BC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知函數(shù)f(x)=ln(1+x),x≥0,g(x),x<0,為R上增函數(shù)，寫(xiě)出一個(gè)滿足要求的g(x)13.記Tn為正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積，Tn=14.某警察學(xué)院體育比賽包括“射擊”、“游泳”、“折返跑”、“百米接力”、“傷員搬運(yùn)”、“400米障礙”六個(gè)項(xiàng)目，規(guī)定：每個(gè)項(xiàng)目前三名得分依次為a，b，c，其中(a>b>c,a,b,c∈N?)，選手的最終得分為各場(chǎng)得分之和.最終甲、乙、丙三人包攬了每個(gè)項(xiàng)目的前三名，在六個(gè)項(xiàng)目中，已知甲最終得分為26分，乙最終得分為12分，丙最終得分為10分，且丙在“射擊”這個(gè)項(xiàng)目中獲得了第一名，那么a=四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=(1?2sin2x)sin2x+12cos4x．

(1)求f(x)的最大值及相應(yīng)x的取值集合；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(ωx)(ω>0)，若g(x)16.(本小題15分)

記數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，a1=2，且a2是a1和a4的等比中項(xiàng)．

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)數(shù)列{bn}滿足：b1=a117.(本小題15分)

在△ABC中，記角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，acosC+3asinC?b?c=0．

(1)求A；

(2)若b=c=4，D為BC中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別在線段AB，AC上，且∠EDF=90°，∠CDF=θ(0°<θ<90°)，求△DEF面積S的最小值及此時(shí)對(duì)應(yīng)的θ18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=eax?x?1．

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求證：當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)f(x)只有兩個(gè)零點(diǎn)；

(3)若對(duì)任意的實(shí)數(shù)k，b，曲線y=f(x)+kx+b與直線y=kx+b總相切，則稱函數(shù)f(x)為“A函數(shù)”.當(dāng)a=1時(shí)，若函數(shù)g(x)=ex[f(x)?x+1]+m是“19.(本小題17分)

給定正整數(shù)m，n(2≤m≤n)，設(shè)a1，a2，…，am是1，2，…，n中任取m個(gè)互不相同的數(shù)構(gòu)成的一個(gè)遞增數(shù)列.對(duì)?i∈{1,2,…,m}，如果i是奇數(shù)，則ai是奇數(shù)，如果i是偶數(shù)，則ai是偶數(shù)，就稱a1，a2，…，am為“W數(shù)列”．

(1)若m=3，n=5，寫(xiě)出所有“W數(shù)列”；

(2)對(duì)任意“W數(shù)列”a1，a2，…，am，1≤k≤m，證明：ak+k2∈{1,2,?,[m+n參考答案1.A

2.D

3.D

4.B

5.A

6.D

7.D

8.A

9.AD

10.BCD

11.ACD

12.g(x)=x?1(答案不唯一)

13.2025

14.5

乙

15.解：(1)f(x)=(1?2sin2x)sin2x+12cos4x=12sin4x+12cos4x=22sin(4x+π4)；

當(dāng)4x+π4=2kπ+π2(k∈Z)，整理得x=kπ2+π8(k∈Z)，函數(shù)f(x)取得最大值22；16.解：(1)設(shè){an}的公差為d，則(a1+d)2=a1(a1+3d)，

∴d2?a1d=0，即d2?2d=0，

∵d≠0，∴d=2，

∴an=2+(n?1)×2=2n．

(2)(i)證明：b1=a1?1=1，b2=a3+3=9，

而bn+2=3bn+1?2bn?10，

∴bn+2?b17.解：(1)由acosC+3asinC?b?c=0及正弦定理，

得sinAcosC+3sinAsinC?sinB?sinC=0，

因?yàn)閟inB=sin(π?A?C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，

所以3sinAsinC?cosAsinC?sinC=0，

由于sinC≠0，所以3sinA?cosA?1=0，

所以sin(A?π6)=12，

又因?yàn)?<A<π，所以A=π3；

(2)因?yàn)閎=c=4，A=π3，所以△ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，

由題可得：CD=BD=2，∠DFC=23π?θ，∠BED=π6+θ，

在△BDE中，由正弦定理有：BDsin∠BED=DEsinB，

所以DE=BDsinBsin∠BED=2×32sin(π618.解：(1)易知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，

可得f′(x)=aeax?1，

當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)=aeax?1≤?1，

所以f(x)在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)，

令f′(x)=0，

解得x=ln1aa=?lnaa，

易知函數(shù)y=aeax?1在R上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x<?lnaa時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>?lnaa時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

綜上：當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(?∞,?lnaa)上單調(diào)遞減，在(?lnaa,+∞)上單調(diào)遞增；

(2)證明：令f(x)=0，

解得eax=x+1，

當(dāng)x≤?1時(shí)，eax>0≥x+1，

此時(shí)方程eax=x+1無(wú)解，

即f(x)無(wú)零點(diǎn)，

若f(x)有零點(diǎn)，

此時(shí)零點(diǎn)只能在區(qū)間(?1,+∞)上，

當(dāng)x>?1時(shí)，易知ax=ln(x+1)，

設(shè)g(x)=ax?ln(x+1)，函數(shù)定義域?yàn)??1,+∞)，

可得g′(x)=ax+a?1x+1，

設(shè)?(x)=ax+a?1，函數(shù)定義域?yàn)??1,+∞)，

因?yàn)?<a<1，

所以?(x)在(?1,+∞)上單調(diào)遞增，

又?(0)=a?1<0，

當(dāng)x→+∞時(shí)，?(x)→+∞，

所以?x0∈(0,+∞)，使得?(x0)=0，

當(dāng)x∈(?1,x0)時(shí)，?(x)<0；當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí)，?(x)>0，

即g(x)在(?1,x0)上單調(diào)遞減，在(x0,+∞)上單調(diào)遞增，

又g(0)=0，

所以g(x0)<0，

當(dāng)x→?1時(shí)，g(x)→+∞，

所以g(x)在(?1,x0)內(nèi)存在唯一零點(diǎn)x=0，

當(dāng)x→+∞時(shí)，g(x)→+∞，

則g(x)在(x0,+∞)內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，

所以當(dāng)0<a<1時(shí)，g(x)只有兩個(gè)零點(diǎn)，

故當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)f(x)只有兩個(gè)零點(diǎn)；

(3)當(dāng)a=1時(shí)，g(x)=ex[f(x)?x+1]+m=ex(ex?2x)+m是“A函數(shù)”，

可得g′(x)=2ex(ex?x?1)，

設(shè)函數(shù)y=g(x)+kx+b與直線y=kx+b的切點(diǎn)為(x0,y0)，

19.解：(1)“W數(shù)列”如下：1，2，3；1，2，5；1，4，5；3，4，5．

(2)證明：因?yàn)閍k≤n，k≤m，

若k=2p?1(p∈N?)，則ak=2q?1(q∈N?)，

所以ak+k2=2q?1+2p?12=(p+q)?1；

因?yàn)?q?1≤n，2p?1≤m，

所以(p+q)?1≤m+n2；

若k=2p(p∈N?)，則ak