第三章　導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第一節(jié)　導(dǎo)數(shù)的概念及運算

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運算1．已知曲線y＝f(x)＝2xcosx在x＝0處的切線為l，則l的斜率為()A．ln2 B．－ln2C．1 D．－12．(2024·邢臺模擬)在一次跳水運動中，某運動員跳水過程中的重心相對于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t(單位：s)存在函數(shù)關(guān)系：h(t)＝－4t2＋4t＋A．－4 B．4C．11 D．－113．函數(shù)y＝f(x)的圖象與其在點P處的切線如圖所示，則f(1)－f′(1)等于()A．－2 B．0C．2 D．44．(2024·揭陽模擬)已知曲線y＝f(x)＝x3＋2ax2＋x＋b在點(1，0)處的切線的傾斜角為3π4，則a＋bA．－34 B．－C．－2 D．－115．已知函數(shù)f(x)＝3x+1，則曲線y＝f(xA．3x＋4y＋5＝0 B．3x－4y＋5＝0C．x＋4y＋7＝0 D．x－4y＋7＝06．(多選題)已知函數(shù)y＝f(x)(x∈R)圖象上任一點(x0，y0)處的切線方程為y－y0＝(x0－2)(x0＋4)(x－x0)，那么下列結(jié)論正確的是()A．f′(1)＝－5B．在x＝2處的切線平行或重合于x軸C．切線斜率的最小值為1D．f′(4)＝127．(多選題)已知函數(shù)f(x)＝ex，則下列結(jié)論正確的是()A．曲線y＝f(x)的切線斜率可以是1B．曲線y＝f(x)的切線斜率可以是－1C．過點(0，1)且與曲線y＝f(x)相切的直線有且只有1條D．過點(0，0)且與曲線y＝f(x)相切的直線有且只有2條8．已知函數(shù)f(x)＝1ax－1＋excosx，若f′(0)＝－1，則9．一個小球作簡諧振動，其運動方程為s＝2sinπ6t+π3，其中s(單位：cm)是小球相對于平衡點的位移，t(單位：s10．(2024·許昌模擬)點P是曲線y＝f(x)＝2x2－3lnx上任意一點，則點P到直線y＝x－4的最短距離為________.高考模擬11．已知曲線y＝2ax＋lnx在點(1，2a)處的切線與直線y＝12x＋2垂直，則常數(shù)aA．－12 B．C．－32 D．12．(多選題)已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，則稱x0是f(x)的一個“巧值點”．下列選項中有“巧值點”的函數(shù)是()A．f(x)＝x2 B．f(x)＝e－xC．f(x)＝lnx D．f(x)＝tanx13．若直線y＝kx＋b是曲線y＝lnx＋2的切線，也是曲線y＝ln(x＋2)的切線，則b的值為()A．0 B．1C．0或1 D．0或－114．(2024·綿陽模擬)若函數(shù)f(x)＝x2－ax與g(x)＝lnx＋2x的圖象在公共點處有相同的切線，則實數(shù)a＝()A．－2 B．－1C．e D．－2e15．(開放思維)請寫出與曲線y＝f(x)＝x3＋1在點(0，1)處具有相同切線的一個函數(shù)(非常數(shù)函數(shù))的解析式為g(x)＝________.16．我國魏晉時期的科學(xué)家劉徽創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，實施“以直代曲”的近似計算，用正n邊形進行“內(nèi)外夾逼”的辦法求出了圓周率π的精度較高的近似值，這是我國最優(yōu)秀的傳統(tǒng)科學(xué)文化之一．借用“以直代曲”的近似計算方法，在切點附近，可以用函數(shù)圖象的切線近似代替在切點附近的曲線來近似計算．設(shè)f(x)＝ln(1＋x)，則曲線y＝f(x)在點(0，0)處的切線方程為________，用此結(jié)論計算ln2022－ln2021≈________.17．(2024·銀川模擬)已知過點A(a，0)可作兩條不同的直線與曲線C：f(x)＝xex相切，則實數(shù)a的取值范圍是__________.答案解析1、A解析：對f(x)＝2xcosx求導(dǎo)，得f′(x)＝(ln2)×2xcosx－2xsinx，由題意可知曲線y＝f(x)＝2xcosx在x＝0處的切線l的斜率為kl＝f′(0)＝(ln2)×20·cos0－20·sin0＝ln2.2、A解析：由h(t)＝－4t2＋4t＋11，得h′(t)＝－8t＋4，故h′(1)＝－4，即該運動員在t＝1s時的瞬時速度為－4m/s.3、D解析：由題圖可知切線經(jīng)過點(2，0)，(0，4)，可得切線的斜率為k＝4－00－2＝－2，即f′(1)＝－2，則切線方程為y＝－2x＋4.令x＝1，可得y＝2，即f(1)＝2，所以f(1)4、A解析：f′(x)＝3x2＋4ax＋1，由題意可知曲線在點(1，0)處的切線斜率k＝tan3π4＝－1，則f1=2+2a+b=0，f'15、B解析：由已知可得，f(x)＝3x+1＝3x+112，所以f′(x)＝123x+1－12×3＝323x+1－12.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線的斜率為k6、AB解析：由題意可得f′(x)＝(x－2)(x＋4)．對于A，f′(1)＝－5，A正確；對于B，當(dāng)x＝2時，f′(2)＝0，故在x＝2處的切線平行或重合于x軸，B正確；對于C，f′(x)＝(x－2)(x＋4)＝x2＋2x－8＝(x＋1)2－9≥－9，最小值為－9，故C錯誤；對于D，f′(4)＝(4－2)(4＋4)＝16，D錯誤．7、AC解析：因為函數(shù)f(x)＝ex，所以f′(x)＝ex.對于A，令f′(x)＝ex＝1，得x＝0，所以曲線y＝f(x)的切線斜率可以是1，故A正確；對于B，令f′(x)＝ex＝－1，此方程無解，所以曲線y＝f(x)的切線斜率不可以是－1，故B錯誤；對于C，設(shè)切點為(x0，ex0)，則切線方程為y?ex0＝ex0(x－x0)，因為直線經(jīng)過(0，1)，所以有1?ex0＝ex0(0－x0)，解得x0＝0，所以(0，1)即為切點，過點(0，1)且與曲線y＝f(x)相切的直線有且只有一條，故C正確；對于D，設(shè)切點為(x0，ex8、2解析：因為f′(x)＝－aax－12＋excosx－exsinx，所以f′(0)＝－a＋9、0解析：由s＝2sinπ6t+π3，得s′＝π3cosπ610、522解析：由題可得f′(x)＝4x－3x(x>0)，令f′(x)＝4x－3x＝1，解得x＝1x=－34舍去.又f(1)＝2，所以與直線y＝x－4平行且與曲線y＝f(x)相切的直線的切點為(1，2)，所以點P到直線11、C解析：由y＝2ax＋lnx，得y′＝2a＋1x，所以在點(1，2a)處的切線的斜率為k＝2a＋1.又曲線y＝2ax＋lnx在點(1，2a)處的切線與直線y＝12x＋2垂直，所以2a＋1＝－2，解得a＝－12、AC解析：若f(x)＝x2，則f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，故A符合要求；若f(x)＝e－x，則f′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程無解，故B不符合要求；若f(x)＝lnx，則f′(x)＝1x，令lnx＝1x，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y＝lnx與y＝1x的圖象(作圖略)，可得兩函數(shù)的圖象有一個交點，所以方程f(x)＝f′(x)存在實數(shù)解，故C符合要求；若f(x)＝tanx，則f′(x)＝sinxcosx′＝1cos2x，令tanx＝13、B解析：設(shè)y＝kx＋b是y＝lnx＋2在點(a，lna＋2)處的切線，則k=1a，lna+2=ka+b.同理設(shè)y＝kx＋b是y＝ln(x＋2)在點(c，ln(c＋2))處的切線，則k=14、B解析：設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－ax與函數(shù)g(x)＝lnx＋2x的圖象公共點的坐標(biāo)為(x0，y0)，求導(dǎo)得f′(x)＝2x－a，g′(x)＝1x＋2，依題意，得于是x02+lnx0－1=0，a=2x0－1x0－2.令函數(shù)h(x)＝x2＋lnx－1，顯然函數(shù)h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且h(1)＝0，則當(dāng)h15、x2＋1(答案不唯一)解析：f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，曲線y＝f(x)＝x3＋1在點(0，1)處的切線方程為y＝1，所有在點(0，1)處的切線方程為y＝1的函數(shù)都是正確答案．16、y＝x12021解析：函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)，則f′(x)＝11+x，f′(0)＝1，f(0)＝0，所以切線方程為y＝x，所以ln2022－ln2021＝ln1+12021＝f12021.根據(jù)以直代曲，x＝1217、(－∞，－4)∪(0，＋∞)解析：由f(