第四章　三角函數(shù)與解三角形 第七節(jié)　解三角形應(yīng)用舉例

三角函數(shù)與解三角形第七節(jié)解三角形應(yīng)用舉例1．如圖所示，兩座相距60m的建筑物AB，CD的高度分別為20m，50m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角∠CAD＝()A．30? B．45?C．60? D．75?2．(2024·瀘州模擬)如圖，航空測(cè)量的飛機(jī)航線(xiàn)和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)飛行的高度為10000m，速度為50m/s.某一時(shí)刻飛機(jī)看山頂?shù)母┙菫?5?，經(jīng)過(guò)420s后看山頂?shù)母┙菫?5?，則山頂?shù)母叨却蠹s為(2≈1.4，3≈1.7)()A．7350m B．2650mC．3650m D．4650m3．(數(shù)學(xué)與生活)我國(guó)無(wú)人機(jī)技術(shù)處于世界領(lǐng)先水平，并廣泛用于搶險(xiǎn)救災(zāi)、視頻拍攝、環(huán)保監(jiān)測(cè)等領(lǐng)域．如圖，有一個(gè)從地面A處垂直上升的無(wú)人機(jī)P，對(duì)地面B，C兩受災(zāi)點(diǎn)的視角為∠BPC，且tan∠BPC＝13.已知地面上三處受災(zāi)點(diǎn)B，C，D共線(xiàn)，且∠ADB＝90?，BC＝CD＝DA＝1km，則無(wú)人機(jī)P到地面受災(zāi)點(diǎn)D處的遙測(cè)距離PDA．2km B．2kmC．3km D．4km4．(多選題)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，3(acosC＋ccosA)＝2bsinB，且∠CAB＝π3.若點(diǎn)D是△ABC外一點(diǎn)，DC＝1，DAA．△ABC的內(nèi)角B等于πB．△ABC的內(nèi)角C等于πC．△ACD的面積為3D．四邊形ABCD面積的最大值為5325．甲船在A處發(fā)現(xiàn)乙船在其北偏東60?方向上的B處，乙船正在以anmile/h的速度向北行駛，已知甲船的速度是3anmile/h，則甲船應(yīng)沿著______方向前進(jìn)，才能最快與乙船相遇．6．(2023·全國(guó)甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60?，AB＝2，BC＝6，∠BAC的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)D，則AD＝________.7．如圖，在△ABC中，D是AB邊上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足AD＝3BD，AD＋AC＝BD＋BC＝2，CD＝2，則△BCD的面積為_(kāi)_______.高考模擬8．如圖，在100m高的山頂B處，測(cè)得山下一塔頂D與塔底C的俯角分別為30?和60?，則塔高CD＝()A．4003m B．400C．20033m D．9．(多選題)一艘輪船航行到A處時(shí)看燈塔B在其北偏東75?方向，距離為126海里，燈塔C在其北偏西30?方向，距離為123海里，該輪船由A沿正北方向繼續(xù)航行到D處時(shí)再看燈塔B在其南偏東60?方向，下面結(jié)論正確的有()A．AD＝24B．CD＝12C．∠CDA＝60?或∠CDA＝120?D．∠CDA＝60?10．如圖，在四邊形ABCD中，已知AB⊥BC，AB＝5，AD＝7，∠BCD＝3π4，cosA＝17，則BC11．如圖，在△ABC中，AB＝2，3acosB－bcosC＝ccosB，點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上．(1)若∠ADC＝3π4，求AD(2)若BD＝2DC，△ACD的面積為423，求12．(2024·濟(jì)寧模擬)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且(2a＋c)·cos(A＋C)＋b＝2bcos2C2(1)求B；(2)如圖，若D為△ABC外一點(diǎn)，且∠BCD＝7π12，AB⊥AD，AB＝1，AD＝3，求AC答案解析1、B解析：依題意可得AD＝2010m，AC＝305m，又CD＝50m，所以在△ACD中，由余弦定理的推論，得cos∠CAD＝AC2+AD2－CD2又0?<∠CAD<180?，所以∠CAD＝45?，所以從頂端A看建筑物CD的張角為45?.2、B解析：如圖，設(shè)飛機(jī)的初始位置為點(diǎn)A，經(jīng)過(guò)420s后的位置為點(diǎn)B，山頂為點(diǎn)C，作CD⊥AB于點(diǎn)D，則∠BAC＝15?，∠CBD＝45?，所以∠ACB＝30?.在△ABC中，AB＝50×420＝21000(m)，由正弦定理得ABsin∠ACB＝BCsin∠因?yàn)镃D⊥AB，所以CD＝BCsin45?＝10500(6－2)×22＝10500(3－所以山頂?shù)暮０胃叨却蠹s為10000－7350＝2650(m)．3、B解析：(方法一)由題意得BD⊥平面PAD，所以BD⊥PD.設(shè)PD＝xkm，記∠PBD＝α，∠PCD＝β，所以tanα＝x2，tanβ＝x所以tan∠BPC＝tan(β－α)＝x－x21+x·x2又在Rt△PDA中，有PD>AD，所以x＝2，即PD＝2km.(方法二)由題意知BD⊥平面PAD，所以BD⊥PD.設(shè)PA＝xkm，則PB2＝x2＋5，PC2＝x2＋2.由tan∠BPC＝13，可得cos∠BPC＝3在△PBC中，由余弦定理得x2＋5＋x2＋2－1＝2x2+5·x2+2進(jìn)而PD＝PA24、ABD解析：因?yàn)?(acosC＋ccosA)＝2bsinB，由正弦定理得3(sinAcosC＋sinCcosA)＝2sinBsinB，所以sinB＝32，所以B＝π又因?yàn)椤螩AB＝π3，所以∠ACB＝πS△ACD＝12×1×3sinD＝32sinD，由于角D無(wú)法確定，故在等邊三角形ABC中，設(shè)AC＝x，x>0，在△ACD中，由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcosD，將DA＝3，DC＝1，代入上式可得x2＝10－6cosD，所以四邊形ABCD的面積S＝S△ABC＋S△ACD＝12x·xsinπ3+12×1×3sinD＝34＝34(10－6cosD)＋32sinD＝3sin(D－π3)所以當(dāng)D＝5π6時(shí)，四邊形ABCD的面積取得最大值，最大值為535、北偏東30?解析：如圖所示，設(shè)經(jīng)過(guò)th兩船在C點(diǎn)相遇．在△ABC中，BC＝at，AC＝3at，B＝180?－60?＝120?.由正弦定理BCsin∠CAB＝ACsinB，得sin∠CAB＝因?yàn)??<∠CAB<60?，所以∠CAB＝30?，所以∠DAC＝60?－30?＝30?，即甲船應(yīng)沿北偏東30?的方向前進(jìn)，才能最快與乙船相遇．6、2解析：在△ABC中，由余弦定理得cos60?＝AC2整理得AC2－2AC－2＝0，得AC＝1＋3.因?yàn)镾△ABC＝S△ABD＋S△ACD，所以12×2ACsin60?＝12×2ADsin30?＋12AC所以AD＝23ACAC7、16解析：設(shè)BD＝x，則AD＝3x，AC＝2－3x，BC＝2－x.因?yàn)椤螦DC＋∠BDC＝π，所以cos∠ADC＝－cos∠BDC，由余弦定理可得9x2+2－2－3x22×2×3x＝－x2+2－2－x228、D解析：由題圖可知，山高AB＝100m，∠EBD＝30?，∠EBC＝60?，所以∠BCA＝60?，∠CBD＝30?.在Rt△ABC中，BC＝ABsin∠BCA＝在△BCD中，∠CBD＝∠BCD＝30?，則∠BDC＝120?，由正弦定理CDsin30?＝BCsin120?，得CD＝9、ABD解析：如圖，在△ABD中，B＝45?，由正弦定理得ADsin45?＝ABsin在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2×AC·AD·cos30?，因?yàn)锳C＝123，AD＝24，所以CD＝12，故B正確；由正弦定理得CDsin30?＝ACsin∠CDA，所以sin∠CDA＝3因?yàn)锳D>AC，故∠CDA為銳角，所以∠CDA＝60?，故C不正確，D正確．10、4(3－1)解析：在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cosA＝64，所以BD＝8，所以cos∠ABD＝AB2+BD又因?yàn)锳B⊥BC，所以sin∠CBD＝cos∠ABD＝12又∠CBD∈0，π4，所以cos∠CBD＝1所以sin∠BDC＝sin(∠BCD＋∠CBD)＝sin∠BCDcos∠CBD＋cos∠BCDsin∠CBD＝22×3在△BCD中，由正弦定理得BCsin∠BDC＝BDsin所以BC＝82sin∠BDC＝82×6－211、解：(1)因?yàn)?acosB－bcosC＝ccosB，由正弦定理可得3sinAcosB＝sinBcosC＋cosB·sinC＝sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sinA.因?yàn)锳∈(0，π)，則sinA>0，故cosB＝13，則B為銳角，所以sinB＝1－cos因?yàn)椤螦DC＝3π4，所以∠ADB＝π在△ABD中，由正弦定理得ADsinB＝ABsin∠ADB，所以AD2(2)設(shè)CD＝t，則BD＝2t.因?yàn)镾△ACD＝423，則S△ABC＝3S△ACD＝4即12×2×3t×223＝42，解得t＝2，故BC在△ABC中，由余弦定理可得AC＝AB2+BC2－在△ABD中，由正弦定理可得BDsin∠BAD＝ABsin∠在△ACD中，由正弦定理可得CDsin∠CAD＝ACsin∠ADC，故sin因?yàn)閟in∠ADB＝sin(π－∠ADC)＝sin∠ADC，所以sin∠BADsin12、解：(1)由(2a＋c)cos(A＋C)＋b＝2bcos2C2，得(2a＋c)cos(π－B)＝b2即－(2a＋c)cosB＝bcosC.由正弦定理得－(2sinA＋sinC)cosB＝sinBcosC，整理得－2sinAcosB＝sinCcosB＋sinBcosC，所以－2sinAcosB＝sin(B＋C)＝sinA.又A∈(0，π)，所以sinA>0，所以cosB＝－12又B∈(0，π)，所以B＝2π3(2)如圖，連接BD.因?yàn)锳B⊥AD，AB＝1，AD＝3，所以