第五章　平面向量、復(fù)數(shù) 第一節(jié)　平面向量的概念與線性運(yùn)算

平面向量、復(fù)數(shù)第一節(jié)平面向量的概念與線性運(yùn)算1．已知向量e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，a＝2e1－e2與b＝e1＋λe2共線，則λ等于()A．2 B．－2C．－12 D．2．(多選題)(2024·濟(jì)寧模擬)已知A，B，C是三個(gè)不同的點(diǎn)，OA＝a－b，OB＝A．AC＝2AB C．AC＝3BC D．A，B3．若向量OA＝3OB－2OC(O，A，B，A．2 B．2C．32 D．4．已知平面內(nèi)一點(diǎn)P及△ABC，若PA+PB+PC＝AB，A．點(diǎn)P在線段AB上B．點(diǎn)P在線段BC上C．點(diǎn)P在線段AC上D．點(diǎn)P在△ABC外部5．(2024·山西大學(xué)附中診斷)如圖所示，已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過(guò)點(diǎn)G作直線分別與AB，AC兩邊交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)xAB＝AM，yA．3 B．4C．5 D．66．已知A，B，C三點(diǎn)共線，且AC＝3BC，若AB＝λCB7．設(shè)向量a，b不平行，向量ta＋b與a＋3b平行，則實(shí)數(shù)t的值為_(kāi)_______．8．若點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足AM＝35AB+25AC，則9．已知O，A，B是不共線的三點(diǎn)，且OP＝mOA+nOB((1)若m＋n＝1，求證：A，P，B三點(diǎn)共線；(2)若A，P，B三點(diǎn)共線，求證：m＋n＝1.高考模擬10．(多選題)(2024·石家莊模擬)下列說(shuō)法，正確的為()A．若a∥b，b∥c，則a∥cB．S△AOC，S△ABC分別表示△AOC，△ABC的面積，若2OA+OB+3OC＝0，則S△AOC∶SC．兩個(gè)非零向量a，b，若|a－b|＝|a|＋|b|，則a與b共線且反向D．若a∥b，則存在唯一實(shí)數(shù)λ使得a＝λb11．(數(shù)學(xué)與生活)圖1是世界最高橋——貴州北盤(pán)江大橋，圖2是根據(jù)圖1作的簡(jiǎn)易側(cè)視圖(為便于計(jì)算，側(cè)視圖與實(shí)物有區(qū)別)．在側(cè)視圖中，斜拉桿PA，PB，PC，PD的一端P在垂直于水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D與塔柱上的點(diǎn)O都在橋面同一側(cè)的水平直線上．已知AB＝8m，BO＝16m，PO＝12m，PB⊥PC.根據(jù)物理學(xué)知識(shí)得12PA+PB＋12PC+A．28m B．20mC．31m D．22m12．(多選題)(數(shù)學(xué)與文化)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學(xué)》一書(shū)中有這樣一個(gè)定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一條直線上，而且外心和重心的距離是垂心和重心的距離的一半．這個(gè)定理就是著名的歐拉線定理．設(shè)在△ABC中，點(diǎn)O，H，G分別是其外心、垂心、重心，則下列結(jié)論正確的有()A．GHB．GA+C．設(shè)BC邊的中點(diǎn)為D，則有AHD．OA13．(多選題)設(shè)點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是()A．若BM＝13B．若AM＝2AC－3AB，則點(diǎn)C．若點(diǎn)M是△ABC的重心，則MA+D．若AM＝xAB+yAC且x＋y＝13，則14．如圖，在?ABCD中，BM＝23(1)試用向量a，b來(lái)表示DN，(2)AM交DN于點(diǎn)O，若AO＝λOM，求15．經(jīng)過(guò)△OAB的重心G的直線與OA，OB分別交于點(diǎn)P，Q，設(shè)OP＝mOA，OQ＝nOB，m＞0，n答案解析1、C解析：因?yàn)閍＝2e1－e2與b＝e1＋λe2共線，所以存在實(shí)數(shù)k(k≠0)，使得ka＝b，所以k(2e1－e2)＝e1＋λe2.因?yàn)橄蛄縠1，e2是兩個(gè)不共線的向量，所以2k＝1，－k2、ABD解析：由題可得AB＝OB－OA＝a－2b，AC＝AB＝BC，故AC＝2BC，故由AC＝2AB可得AC∥AB.又A為公共點(diǎn)，所以A，B，C三點(diǎn)共線，故3、D解析：由已知可得OA－OB＝2OB－OC因?yàn)镃A＝CB+BA，所以CA＝4、C解析：由PA+PB+PC＝AB，得PA+PB+PC5、A解析：延長(zhǎng)AG交BC于點(diǎn)H(圖略)，則H為BC的中點(diǎn)．因?yàn)镚為△ABC的重心，所以AG＝23AH＝因?yàn)镸，G，N三點(diǎn)共線，所以13x+13y6、－2解析：已知點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)共線，且AC＝3BC，即－BA＝2BC，故AB＝－2CB7、13解析：因?yàn)橄蛄縯a＋b與a＋3b平行，所以存在實(shí)數(shù)k使得ta＋b＝k(a＋3b)因?yàn)橄蛄縜，b不平行，所以t＝k，1＝3k8、2∶5解析：因?yàn)锳M＝35AB+25所以點(diǎn)M在邊BC上，且BM＝25故S△所以△ABM與△ABC的面積之比為2∶5.9、證明：(1)若m＋n＝1，則OP＝mOA＋(1－m)OB＝OB＋所以O(shè)P－OB＝m即BP＝mBA，所以又因?yàn)锽P與BA有公共點(diǎn)則A，P，B三點(diǎn)共線．(2)若A，P，B三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)λ，使得BP＝所以O(shè)P－OB＝λ所以O(shè)P＝λOA＋(1－λ)又OP＝所以由①②得λOA＋(1－λ)OB＝因?yàn)镺A，OB不共線，所以λ＝m，110、BC解析：對(duì)于A，若a∥b，b∥c，則a∥c不成立，比如b＝0，a，c可以不共線，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，若2OA+OB+3OC＝0，延長(zhǎng)OA到A′，使得OA′＝2OA，延長(zhǎng)OC到C′，使得OC′＝3OC，可得O為△設(shè)△AOC，△BOA，△BOC的面積分別為x，y，z，則△A′OB的面積為2y，△C′OB的面積為3z，△A′OC′的面積為6x.由三角形的重心的性質(zhì)可得2y＝3z＝6x.則S△AOC∶S△ABC＝x∶(x＋y＋z)＝1∶6，正確；對(duì)于C，兩個(gè)非零向量a，b，若|a－b|＝a+b，則a－b2＝(|a|＋|b|)2，|a|2＋|b|2－2|a|·|b|cos〈a，b〉＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|，所以a與b共線且反向，正確；對(duì)于D，若a∥b，則存在唯一實(shí)數(shù)λ使得a＝λb，不正確，比如a≠0，b＝0，不存在實(shí)數(shù)λ.11、D解析：因?yàn)镻B⊥PC，又PO⊥BC，所以PO2＝BO·OC.因?yàn)锽O＝16m，PO＝12m，所以O(shè)C＝9m.設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，線段CD的中點(diǎn)為N.因?yàn)?2PA+PB＋12PC+PD＝2PO，所以因?yàn)锳B＝8m，所以MO＝20m，即ON＝20m，所以CD＝22m．12、AB解析：由題意作圖，如圖所示．對(duì)于A，根據(jù)歐拉線定理知，O，G，H三點(diǎn)共線，且GH＝2OG，所以GH＝2OG對(duì)于B，取BC的中點(diǎn)D，由題意得GB+GC＝2GD＝－對(duì)于C，由題意知AG＝2GD，又GH＝2OG，∠AGH＝∠DGO，所以△AGH∽△DGO，所以AH＝2OD.因?yàn)镺D⊥BC，AH⊥BC，所以AH∥OD.所以AH＝2OD對(duì)于D，向量OA，OB，OC的模相等，13、ACD解析：對(duì)于A，AM＝AB+BM對(duì)于B，假設(shè)點(diǎn)M，B，C三點(diǎn)共線，則MB＝λBC，即AB－AM＝λAC－AB，整理得AM＝－λAC＋(1＋λ)·AB，當(dāng)λ＝－2時(shí)，AM對(duì)于C，如圖，取BC中點(diǎn)H，連接AH，若點(diǎn)M是△ABC的重心，則點(diǎn)M在AH上，且MA＝2MH，所以－2MH＝MA.又MB+MC＝2MH對(duì)于D，由于AM＝xAB+yAC，而x＋y＝13，所以3AM＝3xAB+3yAC，其中3x＋3y＝1.不妨設(shè)AQ＝3AM，則點(diǎn)Q在直線BC上．由于△MBC與△ABC同底，而高之比等于MQ與14、解：(1)因?yàn)镈N＝所以DN＝14因?yàn)锳M＝所以AM＝(2)因?yàn)镈，O，N三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)k，使得DO＝kDN＝14ka－kb，所以AO＝AD+因?yàn)锳，O，M三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)m，