數(shù)值分析李慶揚(yáng)第9章常微分方程初值問題數(shù)值解法講義

2024年11月19日1例如：時，第9章常微分方程初值問題數(shù)值解法9.1引言微分方程：包含自變量、未知函數(shù)和未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)或微分的方程。例如：，求定解條件：求解微分方程時，所附加的條件——定解問題。初始條件：給出積分曲線在初始時刻的值——初值問題。例如：時，邊界條件：給出積分曲線在首末兩端的值——邊值問題。常微分方程：未知函數(shù)為一元函數(shù)。偏微分方程：未知函數(shù)為多元函數(shù)。2024年11月19日2一階常微分方程的初值問題：求解注意：——解函數(shù)、積分曲線；——微分函數(shù)。確定初值問題的解存在而且唯一：李普希茲條件。，2024年11月19日3如果存在實(shí)數(shù)，使得稱關(guān)于滿足利普希茨條件，為的利普希茨常數(shù)。說明：條件可理解為解函數(shù)無限接近時，微分函數(shù)也無限接近。定理1設(shè)在區(qū)域上連續(xù)，且關(guān)于滿足利普希茨條件，則對任意常微分方程初值問題當(dāng)時存在唯一的連續(xù)可微解。2024年11月19日4關(guān)于方程的解對擾動的敏感性，有結(jié)論：定理2設(shè)在區(qū)域上連續(xù)，且關(guān)于滿足利普希茨條件，設(shè)初值問題，，其解為，則說明：①定理表明解對初值的敏感性，即初值不同，解也有差異；②解得敏感性與微分函數(shù)有關(guān)：當(dāng)?shù)睦障４某?shù)較小時，解對初值相對不敏感；當(dāng)較大時，初值的擾動會引起解劇烈變化—病態(tài)問題；2024年11月19日5數(shù)值解法：在一系列離散點(diǎn)上，求解近似值?！安竭M(jìn)式”：順著節(jié)點(diǎn)排列順序，一步一步地向前推進(jìn)。步長：常用等步長，節(jié)點(diǎn)為單步法：計算時，只用到前一點(diǎn)的值步法：計算時，用到前面點(diǎn)的值2024年11月19日69.2簡單的數(shù)值方法9.2.1歐拉法與后退歐拉法初值問題：解的形式：是通過點(diǎn)的一條曲線——積分曲線。特點(diǎn)：積分曲線上每一點(diǎn)的切線斜率為2024年11月19日7尤拉方法：①將解區(qū)間離散化，選擇步長，得到離散點(diǎn)：；②由切線，切線與交點(diǎn)：的近似值；③再由向前推進(jìn)到，得到折線，近似。2024年11月19日8任意折線：過點(diǎn)作直線，斜率，——?dú)W拉方法若初值已知，由此可逐次算出：2024年11月19日9P281例1求解初值問題解：歐拉公式為，2024年11月19日10局部截斷誤差：設(shè)前一步值準(zhǔn)確，算下一步出現(xiàn)的誤差假設(shè)：泰勒展開函數(shù)：局部截斷誤差：2024年11月19日11后退的歐拉法：離散化：求解微分方程的關(guān)鍵，消除導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，

基本方法之一是用差商替代導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。例如：——向前的歐拉公式（顯式）2024年11月19日12同理：——后退的歐拉公式（隱式）注意：①顯式計算方便，隱式穩(wěn)定性較好；②上式隱含，采用迭代法求解。2024年11月19日13歐拉公式的另一種理解：將常微分方程改寫對微分方程從到積分由積分左矩形公式得再以代替，以代替——向前的歐拉公式2024年11月19日14對微分方程從到積分由積分右矩形公式得再以代替，以代替——后退的歐拉公式同理：2024年11月19日15迭代法求解：后退的歐拉公式——逐步顯示①先用尤拉格式，求出初值：②再將結(jié)果代入微分函數(shù)：③反復(fù)迭代，直到收斂：2024年11月19日16討論迭代的收斂性：因函數(shù)對滿足利普希茨條件比較歐拉的后退公式和其次迭代結(jié)果兩式相減得由此可知：只要迭代法就收斂到解。2024年11月19日17可以證明：局部截斷誤差后退的歐拉公式向前的歐拉公式因此：平均可減少誤差——梯形格式。（注意：誤差不可能消除，兩公式不同。）2024年11月19日189.2.2梯形方法向前歐拉方法：后退歐拉方法：梯形方法：兩者平均注意：梯形公式可有效減小誤差，計算結(jié)果更接近實(shí)際值。（圖示表示梯形法計算結(jié)果）2024年11月19日19用迭代法求解：梯形法（用向前公式求初值）（即將上次結(jié)果代入）反復(fù)迭代，直到兩次迭代結(jié)果達(dá)到誤差要求。問題：每個節(jié)點(diǎn)，都需迭代計算，計算量太大。2024年11月19日20分析迭代過程的收斂性：比較梯形公式和其迭代公式，并相減兩式由利普希茨條件，有若選取充分小，使得，則時有2024年11月19日219.2.3改進(jìn)歐拉公式①先用向前歐拉公式，求得一個初步的近似值預(yù)測：②再用梯形公式，將結(jié)果校正一次校正：平均化形式：2024年11月19日22P284例2用改進(jìn)的歐拉方法求解初值問題：解：2024年11月19日239.2.4單步法的局部截斷誤差與階初值問題單步法求解的一般形式為（其中多元函數(shù)與有關(guān)）當(dāng)含有時，方法是隱式的，否則為顯式方法。顯式單步法可表示為稱為增量函數(shù)，例如對歐拉法有2024年11月19日24定義1設(shè)是初值問題的準(zhǔn)確解，稱為顯式單步法的局部截斷誤差。注意：上述中假設(shè)在前各步?jīng)]有誤差，故誤差是局部的。當(dāng)時，計算一步，則有局部截斷誤差：是計算一步的誤差，也是公式誤差。2024年11月19日25如果將函數(shù)在處泰勒展開歐拉法的局部截斷誤差為這里稱為局部截斷誤差主項(xiàng)。顯然2024年11月19日26定義2設(shè)是初值問題的準(zhǔn)確解，若存在最大整數(shù)使顯式單步法的局部截斷誤差滿足則稱該方法具有階精度。若將局部截斷誤差展開，寫成則稱為局部截斷誤差主項(xiàng)。2024年11月19日27以上定義對隱式單步法也適用。同樣將函數(shù)在處泰勒展開后退歐拉法的局部截斷誤差為這里是一階方法，局部截斷誤差主項(xiàng)為2024年11月19日28同樣對梯形公式局部截斷誤差為故梯形法是二階方法，局部截斷誤差主項(xiàng)為2024年11月19日299.3龍格-庫塔方法9.3.1顯式龍格-庫塔法的一般形式對歐拉法歐拉法為階，其增量函數(shù)為對改進(jìn)的歐拉法其增量函數(shù)為比起歐拉法，增加了計算一個右函數(shù)的值，有階精度。2024年11月19日30提高公式階數(shù)：增加增量函數(shù)中的值對于一階常微分方程，等價的積分形式提高公式階數(shù)：必須提高數(shù)值求積精度，需增加求積節(jié)點(diǎn)說明：①求積節(jié)點(diǎn)越多，積分精度越高，求解公式階數(shù)越大②增量函數(shù)注意：——級數(shù)，——階數(shù)，兩者不同2024年11月19日31對于二級顯式龍格-庫塔法：考察區(qū)間內(nèi)一點(diǎn)用、兩點(diǎn)的函數(shù)值、：構(gòu)造增量函數(shù)2024年11月19日32對于可用歐拉公式預(yù)測：因此有二級顯式龍格-庫塔法：2024年11月19日33同理，三級顯式龍格-庫塔法：注意：需用、的線性組合計算2024年11月19日34

級顯式龍格-庫塔法：R-K方法這里均為常數(shù)時為歐拉法，階數(shù)2024年11月19日359.3.2二階顯式

R-K法

時，R-K方法計算公式：這里均為待定常數(shù)期望：適當(dāng)選取系數(shù)，使公式階數(shù)盡量提高2024年11月19日36局部截斷誤差為這里將函數(shù)在處泰勒展開注意是二元函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)應(yīng)為全導(dǎo)數(shù)。2024年11月19日372024年11月19日38將結(jié)果代入局部截斷誤差：2024年11月19日39要使公式具有階，必有即非線性方程組的解不是唯一的?？闪?024年11月19日40若?。?，——改進(jìn)的歐拉法若?。?，，中點(diǎn)公式：相當(dāng)于數(shù)值積分的中矩形公式2024年11月19日419.3.3三階與四階顯式

R-K方法要得到三階顯式R-K

方法，必須取均為待定參數(shù)2024年11月19日42公式的局部截斷誤差為將按二元函數(shù)泰勒展開，使這是8個未知量、6個方程的非線性方程組，解不是唯一的。2024年11月19日43常見的公式之一：庫塔三階方法2024年11月19日44經(jīng)典公式之一：四階龍格-庫塔方法可以證明：四階龍格-庫塔方法的截斷誤差為2024年11月19日45P289例3設(shè)取步長，從到用四階龍格-庫塔方法求解初值問題：解：公式為2024年11月19日46計算結(jié)果：注意：這里步長增大為，

計算精度比改進(jìn)的歐拉法要高。2024年11月19日479.3.4變步長的龍格-庫塔方法步長減小，局部截斷誤差減小，但：①求解范圍內(nèi)的計算步數(shù)增加，計算量增大；②步數(shù)增加會導(dǎo)致舍入誤差的嚴(yán)重積累。選擇步長時，需要考慮的兩個問題：①怎樣衡量和檢驗(yàn)計算結(jié)果的精度？②如何依據(jù)所獲得的精度處理步長？2024年11月19日48考察經(jīng)典的四階龍格-庫塔公式：從節(jié)點(diǎn)出發(fā)，先以為步長求出一個近似值將步長折半，從跨兩步到，再求得近似值比較兩者的局部截斷誤差：步長折半后，誤差減小2024年11月19日49因而，可得誤差估計式步長折半前后兩次計算結(jié)果的偏差檢查偏差是否滿足給定精度要求，來選擇合適步長：①若，