數(shù)學(xué)學(xué)案：函數(shù)的平均變化率

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精數(shù)學(xué)人教B選修1—1第三章3.1.1函數(shù)的平均變化率1．了解函數(shù)的平均變化率．2．會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的平均變化率．1．直線的斜率k、傾斜角α及直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x0，y0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x1，y1)（x0≠x1），自變量x的改變量x1－x0記為Δx,函數(shù)值的改變量y1－y0記為Δy，即______＝x1－x0，______＝y(tǒng)1－y0。直線AB的傾斜角為α，斜率為k，則有k＝______＝eq\f（y1－y0,x1－x0)＝________?！咀鲆蛔?】直線l過(guò)點(diǎn)A（3,6）和B(4，7)，求直線l的斜率k。2．平均變化率已知函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x＝x0及其附近有定義,令Δx＝x－x0，Δy＝y(tǒng)－y0＝f（x)－f(x0)＝__________，則當(dāng)Δx≠0時(shí)，比值____________＝eq\f(Δy,Δx）叫做函數(shù)y＝f(x）在x0到x0＋Δx之間的平均變化率．（1)Δx和Δy是整體符號(hào)而不是乘積，它們分別表示自變量和函數(shù)值的改變量；(2)Δy與Δx是對(duì)應(yīng)的，當(dāng)Δx＝x－x0時(shí)，Δy＝y(tǒng)－y0.它們可正可負(fù)，但Δx≠0,Δy可為0?！咀鲆蛔?】若函數(shù)f(x)＝x2的圖象上一點(diǎn)（1，1）及鄰近一點(diǎn)(1＋Δx,1＋Δy),則eq\f(Δy,Δx)＝__________。1．對(duì)平均變化率概念的理解．剖析：（1）函數(shù)f(x)在x0處有定義;（2)x是x0附近的任意一點(diǎn)，即Δx＝x－x0≠0，Δx可正可負(fù)，并且它的絕對(duì)值是一個(gè)較小的正數(shù);(3）改變量的對(duì)應(yīng):若Δx＝x－x0,則Δy＝f(x）－f(x0），而不是Δy＝f（x0)－f(x)；(4)平均變化率可正可負(fù)也可為零．2．對(duì)平均變化率的意義的認(rèn)識(shí)：剖析:函數(shù)的平均變化率可以體現(xiàn)出函數(shù)的變化趨勢(shì)，增量Δx越小，越能準(zhǔn)確體現(xiàn)函數(shù)的變化情況．題型一平均變化率的概念【例1】在平均變化率的定義中對(duì)自變量的增量Δx的要求是(）A．大于零B．小于零C．等于零D．不等于零題型二求函數(shù)的平均變化率【例2】試比較正弦函數(shù)y＝sinx在x＝0和x＝eq\f(π，2)附近的平均變化率的大?。治觯合惹蟪稣液瘮?shù)在x＝0和x＝eq\f（π，2）附近的平均變化率，然后比較大?。此迹?1)求函數(shù)f（x）的平均變化率的一般步驟為：①計(jì)算函數(shù)值的改變量:Δy＝f(x）－f(x0）＝f(x0＋Δx）－f（x0)；②計(jì)算自變量的改變量Δx＝x－x0；③計(jì)算平均變化率：eq\f(Δy,Δx）＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx）。（2）比較平均變化率哪一個(gè)大，實(shí)際則是比較大小的問(wèn)題，應(yīng)按作差法或作商法的步驟進(jìn)行判斷，關(guān)鍵是對(duì)差的符號(hào)進(jìn)行判斷．1在平均變化率的定義中對(duì)函數(shù)值的改變量Δy的要求是（)A．大于零B．小于零C．等于零D．可正可負(fù)可為零2在平均變化率的定義中，函數(shù)值的改變量Δy與自變量的改變量Δx的對(duì)應(yīng)關(guān)系是指()A．當(dāng)Δx＝x－x0時(shí)，Δy＝f(x)－f(x0)B．當(dāng)Δx＝x－x0時(shí),Δy＝f(x0）－f（x）C．當(dāng)Δx＝x0－x時(shí),Δy＝f(x)－f(x0)D．以上答案都不正確3已知函數(shù)f（x）＝x2＋1的圖象上一點(diǎn)(1，2）及鄰近一點(diǎn)（1＋Δx,2＋Δy),則eq\f（Δy，Δx）＝（)A．2B．2ΔxC．Δx＋2D．(Δx）2＋24函數(shù)f（x）＝x2＋1在2到2.5之間的平均變化率為_(kāi)_________．5函數(shù)f(x)＝2x2＋1在x＝1附近的平均變化率__________在x＝3附近的變化率（填“大于”“小于”“等于”）．答案：基礎(chǔ)知識(shí)·梳理1．ΔxΔytanαeq\f（Δy，Δx)【做一做1】解:k＝eq\f(y1－y0,x1－x0）＝eq\f(7－6,4－3）＝1。2．f（x0＋Δx）－f(x0)eq\f（fx0＋Δx－fx0，Δx）【做一做2】Δx＋2先計(jì)算Δy＝f（1＋Δx）－f（1)＝(1＋Δx）2－1＝(Δx）2＋2Δx，再算eq\f(Δy，Δx)＝Δx＋2。典型例題·領(lǐng)悟【例1】D由平均變化率的定義知Δx≠0。【例2】解：當(dāng)自變量從0變到Δx時(shí)，函數(shù)的平均變化率為k1＝eq\f（sinΔx－sin0，Δx)＝eq\f（sinΔx，Δx)。當(dāng)自變量從eq\f（π,2)變到Δx＋eq\f(π，2）時(shí)，函數(shù)的平均變化率為k2＝eq\f（sin\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（π,2）＋Δx）)－sin\f（π，2),Δx)＝eq\f（cosΔx－1,Δx)，由于是在x＝0和x＝eq\f(π，2）的附近的平均變化率,可知Δx較小，但Δx既可為正,又可為負(fù)．當(dāng)Δx＞0時(shí)，k1＞0,k2＜0，此時(shí)有k1＞k2。當(dāng)Δx＜0時(shí)，k1－k2＝eq\f(sinΔx,Δx）－eq\f（cosΔx－1，Δx）＝eq\f(sinΔx－cosΔx＋1，Δx)＝eq\f（\r（2）sin\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（Δx－\f（π,4))）＋1，Δx）.∵Δx＜0，∴Δx－eq\f(π,4）＜－eq\f(π,4)，∴sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(Δx－\f（π，4)）)＜－eq\f(\r（2）,2）。從而有eq\r(2）sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(Δx－\f（π，4））)＋1＜0，∴k1－k2＞0，即k1＞k2.綜上可知，正弦函數(shù)y＝sinx在x＝0附近的平均變化率大于在x＝eq\f(π,2）附近的平均變化率．隨堂練習(xí)·鞏固1．D2．A3．C先算Δy＝f（1＋Δx)－f（1）＝(1＋Δx)2＋1－12－1＝(Δx)2＋2(Δx），再算eq\f（Δy，Δx）＝Δx＋2，從而選C。4．4。55．小于先求x＝3附近的平均變化率，k1＝eq