計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)復(fù)習(xí)試題

2.1.對于人均存款與人均收入之間的關(guān)系式S,=a+夕匕+4使用美國36年的年度數(shù)據(jù)得如

下估計(jì)模型，括號內(nèi)為標(biāo)準(zhǔn)差：

R2=0.5386-=199.023

(1)4的經(jīng)濟(jì)解釋是什么

(2)a和￡的符號是什么為什么實(shí)際的符號與你的直覺一致嗎如果有沖突的話，你可以給出

可能的原因嗎

(3)對于擬合優(yōu)度你有什么看法嗎

(4)檢驗(yàn)是否每一個(gè)回歸系數(shù)都與零顯著不同(在1%水平下)。同時(shí)對零假設(shè)和備擇假設(shè)、

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值、其分布和自由度以及拒絕零假設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)展陳述。你的結(jié)論是什么

解答：(1)夕為收入的邊際儲蓄傾向，表示人均收入每增加1美元時(shí)人均儲蓄的預(yù)期平均變化

量。

(2)由于收入為零時(shí)，家庭仍會(huì)有支出，可預(yù)期零收入時(shí)的平均儲蓄為負(fù)，因此。符號應(yīng)

為負(fù)。儲蓄是收入的一局部，且會(huì)隨著收入的增加而增加，因此預(yù)期夕的符號為正。實(shí)際的回

歸式中，夕的符號為正，與預(yù)期的一致。但截距項(xiàng)為負(fù)，與預(yù)期不符。這可能與由于模型的錯(cuò)

誤設(shè)定形造成的。如家庭的人口數(shù)可能影響家庭的儲蓄形為，省略該變量將對截距項(xiàng)的估計(jì)產(chǎn)

生影響；另一種可能就是線性設(shè)定可能不正確。

(3)擬合優(yōu)度刻畫解釋變量對被解釋變量變化的解釋能力。模型中53.8%的擬合優(yōu)度，說

明收入的變化可以解釋儲蓄中53.8%的變動(dòng)。

(4)檢驗(yàn)單個(gè)參數(shù)采用t檢驗(yàn)，零假設(shè)為參數(shù)為零，備擇假設(shè)為參數(shù)不為零。雙變量情形下在

零假設(shè)下t分布的自由度為12=36-2=34。由t分布表知，雙側(cè)1%下的臨界值位于2.750與2.704

之間。斜率項(xiàng)計(jì)算的I值為0.067/0.011=6.09,截距項(xiàng)計(jì)算的t值為384.為5/151.105=2.54?？梢?/p>

斜率項(xiàng)計(jì)算的t值大于臨界值，截距項(xiàng)小于臨界值，因此拒絕斜率項(xiàng)為零的假設(shè)，但不拒絕截

距項(xiàng)為零的假設(shè)。

2-2.判斷正誤并說明理由：

1)隨機(jī)誤差項(xiàng)5和殘差項(xiàng)0是一回事

2)總體回歸函數(shù)給出了對應(yīng)于每一個(gè)自變量的因變量的值

3)線性回歸模型意味著變量是線性的

4)在線性回歸模型中，解釋變量是原因，被解釋變量是結(jié)果

5)隨機(jī)變量的條件均值與非條件均值是一回事

答：錯(cuò)；錯(cuò)；錯(cuò)；錯(cuò)；錯(cuò)。

2-3.試證明：

(1)Z，=0，從而：e=0

⑵》七=。

(3)Z，%=°；即殘差4與匕的估計(jì)值之積的和為零。

答：⑴根據(jù)定義得知，

從而使得：0=

n

證畢。

(2)

證畢。

(3)

證畢。

2-4.下面數(shù)據(jù)是對X和Y的觀察值得到的。

EYi=1110；EXi=168O；EXiYi=204200

EXr=315400；EYr=133300

假定滿足所有的古典線性回歸模型的假設(shè),要求：(1)0］和p2(2)仇和例的標(biāo)準(zhǔn)差⑶R2

(4)對仇、仇分別建設(shè)95%的置信區(qū)間利用置信區(qū)間法，你可以承受零假設(shè)：仇=()嗎

彳X_彳Y

解：(DvX=^—^-=168,Y=^-=\\\

WX肯區(qū)―匕/z(匕2—2丫/+疔)

⑵才2

n-2~-10-2--F

:.Va^)=2=7760x315400=738se(p)=J73.8I=8.5913

1〃Z(X,-X)210x331601

Vag)==0.0023，se(4)=JO.OO23=0.0484

2^x-33160

(3)/=i

Z(x-廳

(4)vp(|/|<2,306)=95%,自由度為8

/.-2.306<2L22~^<2.306,解得：1.4085工qW41.0315為/的95%的置信區(qū)間。

13

同理，-2.3064券募券<2.306,解得：0.4227</32<0.646為其的95%的置信區(qū)間。

由于人=0不在△的置信區(qū)間內(nèi)，故拒絕零假設(shè)：凡=0。

3.1以企業(yè)研發(fā)支出(R&D)占銷售額的比重為被解釋變量(Y),以企業(yè)銷售額(XI)與

利潤占銷售額的比重(X2)為解釋變量，一個(gè)有32容量的樣本企業(yè)的估計(jì)結(jié)果如下：

其中括號中為系數(shù)估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差。

(1)解釋log(XI)的系數(shù)。如果XI增加10%,估計(jì)Y會(huì)變化多少個(gè)百分點(diǎn)這在經(jīng)濟(jì)上是

一個(gè)很大的影響嗎

(2)針對R&D強(qiáng)度隨銷售額的增加而提高這一備擇假設(shè)，檢驗(yàn)它不雖XI而變化的假設(shè)。

分別在5%和10%的顯著性水平上進(jìn)展這個(gè)檢驗(yàn)。

(3)利潤占銷售額的比重X2對R&D強(qiáng)度Y是否在統(tǒng)計(jì)上有顯著的影響

解答：

(1)log(xl)的系數(shù)說明在其他條件不變時(shí)，log(xl)變化1個(gè)單位，Y變化的單位數(shù)，即

AY=0.32Alog(X1)^0.32(AX1ZX1)=0.32x100%,換言之，當(dāng)企業(yè)銷售XI增長100%時(shí)，企業(yè)研發(fā)

支出占銷售額的比重Y會(huì)增加0.32個(gè)百分點(diǎn)。由此，如果XI增加10%,Y會(huì)增加0.032個(gè)百

分點(diǎn)。這在經(jīng)濟(jì)上不是一個(gè)較大的影響。

(2)針對備擇假設(shè)Hl：AX),檢驗(yàn)原假設(shè)HO：A=0o易知計(jì)算的t統(tǒng)計(jì)量的值為

1=0.32/0.22=1.468o在5%的顯著性水平下,自由度為32-3=29的t分布的臨界值為1.699(單

側(cè))，計(jì)算的t值小于該臨界值，所以不拒絕原假設(shè)。意味著R&D強(qiáng)度不隨銷售額的增加而變

化。在10%的顯著性水平下，t分布的臨界值為1.311,計(jì)算的t值小于該值，拒絕原假設(shè)，意

味著R&D強(qiáng)度隨銷售額的增加而增加。

(3)對X2,參數(shù)估計(jì)值的t統(tǒng)計(jì)值為0.05/0.46=1.087,它比在10%的顯著性水平下的臨

界值還小，因此可以認(rèn)為它對Y在統(tǒng)計(jì)上沒有顯著的影響。

3-2.多元線性回歸模型的基本假設(shè)是什么試說明在證明最小二乘估計(jì)量的無偏性和有效性的

過程中，哪些基本假設(shè)起了作用

答：多元線性回歸模型的基本假定有：零均值假定、隨機(jī)項(xiàng)獨(dú)立同方差假定、解釋變量的非

隨機(jī)性假定、解釋變量之間不存在線性相關(guān)關(guān)系假定、隨機(jī)誤差項(xiàng)應(yīng)服從均值為。方差為人的

正態(tài)分布假定。在證明最小二乘估計(jì)量的無偏性中，利用了解釋變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)不相關(guān)的假

定；在有效性的證明中，利用了隨機(jī)項(xiàng)獨(dú)立同方差假定。

3-3.什么是正規(guī)方程組分別用非矩陣形式和矩陣形式寫出模型：

+x+x

必=0oP\uPi2i+,?,+Pkxki+Uj,i=1,2,…,〃的正規(guī)方程組。

答：含有待估關(guān)系估計(jì)量的方程組稱為正規(guī)方程組。

正規(guī)方程組的非矩陣形式如下：

正規(guī)方程組的矩陣形式如下：

3?4.假設(shè)要求你建設(shè)一個(gè)計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型來說明在學(xué)校跑道上慢跑一英里或一英里以上的人數(shù)，

以便決定是否修建第二條跑道以滿足所有的鍛煉者。你通過整個(gè)學(xué)年收集數(shù)據(jù)，得到兩個(gè)可能

的。

8)回歸模型中誤差項(xiàng)〃，存在異方差時(shí)，OLS估計(jì)不再是有效的；

9)回歸模型中誤差項(xiàng)〃，存在序列相關(guān)時(shí)，OLS估計(jì)不再是無偏的；

答：⑴錯(cuò)。當(dāng)存在異方差情況下，OLS法估計(jì)最是無偏的但不具有有效性。

⑵對。如果存在異方差，通常使用的I檢驗(yàn)和F檢驗(yàn)是無效的。

⑶錯(cuò)。實(shí)際情況可能是高估也可能是低估。

⑷對。通過將殘差對其相應(yīng)的觀察值描圖，了解變量與殘差之間是否存在可以觀察到的系統(tǒng)模

式，就可以判斷數(shù)據(jù)中是否存在異方差。

⑸錯(cuò)。當(dāng)存在序列相關(guān)時(shí)，OLS法估計(jì)量是無偏的但不具有有效性。

對。即假設(shè)誤差項(xiàng)之間是完全正序列相關(guān)的，這樣廣義差分方程就轉(zhuǎn)化為一階差分方程。

⑺對。

(8)對。

⑼錯(cuò)。仍是無偏的。

4.3、模型丫廣為”網(wǎng)+吟1%

式中，匕為某公司在第i個(gè)地區(qū)的銷售額；?為該地區(qū)的總收入；為該公司在該地區(qū)投入

的廣告費(fèi)用(i=0,1,2……,50)。

(1)由于不同地區(qū)人口規(guī)?！昕赡苡绊懼摴驹谠摰貐^(qū)的銷售，因此有理由疑心隨機(jī)誤

差項(xiàng)U是異方差的。假設(shè)巴依賴于總體乙的容量，請逐步描述你若何對此進(jìn)展檢驗(yàn)。需說明：

1)零假設(shè)和備擇假設(shè)；2)要進(jìn)展的回歸；3)要計(jì)算的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值及它的分布(包括自由度)；

4)承受或拒絕零假設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)。

(2)假設(shè)5=回。逐步描述若何求得BLUE并給出理論依據(jù)。

解答：

(1)如果。，依賴于總體片的容量，則隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的方差依賴于彳。因此，要進(jìn)展的回

歸的一種形式為W=a0+a附+不于是，要檢驗(yàn)的零假設(shè)H0：d=0,備擇假設(shè)H1：%工0。

檢驗(yàn)步驟如下：

第一步：使用OLS方法估計(jì)模型，并保存殘差平方項(xiàng)行；

第二步：做泮對常數(shù)項(xiàng)C和月的回歸

第三步：考察估計(jì)的參數(shù)名的t統(tǒng)計(jì)量，它在零假設(shè)下服從自由度為2的t分布。

第四步：給定顯著性水平面().()5(或其他)，查相應(yīng)的自由度為2的t分布的臨界值，如果

估計(jì)的參數(shù)名的t統(tǒng)計(jì)值大于該臨界值，則拒絕同方差的零假設(shè)。

(2)假設(shè)丐=0甘時(shí)，模型除以匕有：

由于以〃(%/匕)=0■〃尸=/，所以在該變換模型中可以使用0LS方法，得出BLUE估計(jì)值。

方法是對工/巴關(guān)于1/耳、X./P「X2JC做回歸，不包括常數(shù)項(xiàng)。

4.4、以某地區(qū)22年的年度數(shù)據(jù)估計(jì)了如下工業(yè)就業(yè)回歸方程

(-0.56)(2.3)(-1.7)(5.8)

式中，Y為總就業(yè)量；XI為總收入；X2為平均月工資率；X3為地方政府的總支出。

(1)試證明：一階自相關(guān)的DW檢驗(yàn)是無定論的。

(2)逐步描述若何使用LM檢驗(yàn)

解答：

(1)由于樣本容量n=22,解釋變量個(gè)數(shù)為k=3,在5%在顯著性水平下，相應(yīng)的上下臨界值

為九=1.664、dL=1.5030由于DW=1.147位于這兩個(gè)值之間，所以DW檢驗(yàn)是無定論的。

(2)進(jìn)展LM檢驗(yàn)：

第一步，做Y關(guān)于常數(shù)項(xiàng)、InXi、lnX2和lnX3的回歸并保存殘差自；

第二步，做自關(guān)于常數(shù)項(xiàng)、InXi、lnX2和lnX3和a的回歸并計(jì)算代

第三步，計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值(n-1)2=21x0.996=20,916；

第四步，由于在不存在一階序列相關(guān)的零假設(shè)下(n-1)2呈自由度為1的/分布。在5%的顯

著性水平下，該分布的相應(yīng)臨界值為3.841。由于20.916>3.841,因此拒絕零假設(shè)，意味著原模

型隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)存在一階序列相關(guān)。

4-5.消費(fèi)模型：y,=aQ+axxu+a2x2l+u,

其中：H一—消費(fèi)支出

”----個(gè)人可支配收入

4一—消費(fèi)者的流動(dòng)資產(chǎn)

要求：進(jìn)展適當(dāng)變換消除異方差，并證明之；

答：模型兩邊同時(shí)除以A進(jìn)展變換，得：&=2+%+。29+生

陽,乙AA

其中：匕=生，可以證明誤差項(xiàng)匕="是同方差的。證明如下:

Mr

：巳=生，匕2=4,4匕2）=鳳陰）=石（厘）=&『）”2（根據(jù)條件/為常數(shù)），證得變

X]JxXtxltxu

換后的誤差項(xiàng)是同方差的。

6-1.簡單的Keynesian收入決定模型如下：

G=旬+4匕+對（消費(fèi)方程）

/,=尸。+4匕+為%+匕（投資方程）

匕=G+/,+G（定義方程）

要求：（1）導(dǎo)出簡化型方程；

（2）試證明：簡化型參數(shù)是用來測定外生變量變化對內(nèi)生變量所起的直接與間接的總影

響〔以投資方程的簡化型為例來加以說明）。

（3）試用階條件與秩條件確定每個(gè)構(gòu)造方程的識別狀態(tài)；整個(gè)模型的識別狀態(tài)若何

解答：（1）將題中構(gòu)造式模型進(jìn)展變量連續(xù)替代后得到

（2）例如04一即4=4+I*4A表示對/，的影響,即一增加1個(gè)單位時(shí)對

。的影響。這種影響被分成兩局部，其中前?項(xiàng)4正是構(gòu)造式方程中反映13對/,的直接

影響的參數(shù)，后一項(xiàng)反映Z-對。的間接影響。

（3）構(gòu)造參數(shù)矩陣為：

模型系統(tǒng)中內(nèi)生變量的數(shù)目為g=3,先決變量的數(shù)目為k=3o

首先判斷第1個(gè)構(gòu)造方程的識別狀態(tài)。對于第1個(gè)方程，有

又因?yàn)橛校?/p>

所以，第1個(gè)構(gòu)造方程為過度識別的構(gòu)造方程。

再看第2個(gè)構(gòu)造方程,有

所以，該方程可以識別。并且

所以，第2個(gè)構(gòu)造方程為恰好識別的構(gòu)造方程。

第3個(gè)方程是平衡方程，不存在識別問題。

綜合以上結(jié)果，該聯(lián)立方程模型是可以識別的。

6-2.以下為一完備的聯(lián)立方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型：

其中：M為貨幣供給量，Y為國內(nèi)生產(chǎn)總值，P為價(jià)格總指數(shù)。

要求：（1）指出模型的內(nèi)生變量、外生變量、先決變量；

(2)寫出簡化式模型，并導(dǎo)出構(gòu)造式參數(shù)與簡化式參數(shù)之間的關(guān)系；

(3)用構(gòu)造式條件確定模型的識別狀態(tài)；

(4)從方程之間的關(guān)系出發(fā)確定模型的識別狀態(tài)；

(5)如果模型不可識別，試作簡單的修改使之可以識別；

(6)指出ILS、IV、2sLs中哪些可用于原模型第1、2個(gè)方程的參數(shù)估計(jì)。

解答.(1)內(nèi)生變量為匕；外生變量為巴和常數(shù)項(xiàng)；先決變量為匕和常數(shù)項(xiàng)。