線性代數(shù)課后習(xí)題答案第習(xí)題詳解

線性代數(shù)課后習(xí)題答案第習(xí)題詳解習(xí)題一：矩陣運(yùn)算$$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix},\quadB=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}$$解答：我們需要回顧矩陣乘法的規(guī)則。矩陣乘法是將第一個矩陣的每一行與第二個矩陣的每一列相乘，然后將結(jié)果相加。所以，對于給定的矩陣$A$和$B$，我們有：$$A\timesB=\begin{pmatrix}1\times5+2\times7&1\times6+2\times8\\3\times5+4\times7&3\times6+4\times8\end{pmatrix}$$計算這個乘積，我們得到：$$A\timesB=\begin{pmatrix}19&22\\43&50\end{pmatrix}$$因此，矩陣$A$和$B$的乘積是$\begin{pmatrix}19&22\\43&50\end{pmatrix}$。線性代數(shù)課后習(xí)題答案第習(xí)題詳解習(xí)題二：行列式計算$$C=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}$$解答：行列式的計算有多種方法，這里我們使用拉普拉斯展開法。對于3x3矩陣，我們可以沿著第一行展開：$$\text{det}(C)=1\times\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}2\times\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}+3\times\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}$$計算每個2x2子矩陣的行列式：$$\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}=5\times96\times8=3$$$$\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}=4\times96\times7=6$$$$\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}=4\times85\times7=3$$將這些值代入原來的公式：$$\text{det}(C)=1\times(3)2\times(6)+3\times(3)=3+129=0$$因此，矩陣$C$的行列式是0。習(xí)題三：向量空間基$$\{\mathbf{v}_1=(1,2,3),\mathbf{v}_2=(4,5,6),\mathbf{v}_3=(7,8,9)\}$$解答：一個向量集合構(gòu)成向量空間的基，當(dāng)且僅當(dāng)這些向量線性無關(guān)。為了檢查這些向量是否線性無關(guān)，我們可以將它們作為列向量構(gòu)成一個矩陣，然后計算這個矩陣的行列式。所以，我們構(gòu)造矩陣$D$：$$D=\begin{pmatrix}1&4&7\\2&5&8\\3&6&9\end{pmatrix}$$計算$D$的行列式：$$\text{det}(D)=1\times\begin{vmatrix}5&8\\6&9\end{vmatrix}4\times\begin{vmatrix}2&8\\3&9\end{vmatrix}+7\times\begin{vmatrix}2&5\\3&6\end{vmatrix}$$計算每個2x2子矩陣的行列式：$$\begin{vmatrix}5&8\\6&9\end{vmatrix}=5\times98\times6=3$$$$\begin{vmatrix}2&8\\3&9\end{vmatrix}=2\times98\times3=0$$$$\begin{vmatrix}2&5\\3&6\end{vmatrix}=2\times65\times3=3$$將這些值代入原來的公式：$$\text{det}(D)=1\times(3)4\times0+7\times(3)=321=24$$由于$\tex