811向量數(shù)量積的概念課時作業(yè)

8.1.1向量數(shù)量積的概念（課時作業(yè)）(45分鐘）基礎(chǔ)篇基礎(chǔ)篇1．（2021·上海高一課時練習(xí)）下列命題中真命題是（）A．方向相同的向量是平行的向量 B．任意向量與它的負(fù)向量都不相等C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的定義，數(shù)量積的定義判斷．【詳解】由平行向量的定義知A正確；零向量與它的負(fù)向量相等，B錯；設(shè)是向量的夾角，，則，C錯；時，，D錯、故選：A．2．（2021·浙江高一期末）若，，與的夾角為，則等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平面向量數(shù)量積的定義可求得的值.【詳解】由平面向量數(shù)量積的定義可得.故選：B.3．（2021·黑龍江哈爾濱市·哈師大附中高三月考（文））向量與的夾角為，，，在上投影為（）A．2 B． C．1 D．【答案】D【分析】根據(jù)向量投影的概念計算即可.【詳解】解：在上投影為.故選：D4．（2020·廣東河源市·高二期末（理））已知向量，滿足，，，則（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】D【分析】直接用平面向量的數(shù)量積公式求解.【詳解】因?yàn)?，所?故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積公式，屬于基礎(chǔ)題.5．（2021·全國高三其他模擬（理））已知在中，，，是的外心，則的值為（）A．8 B．10C．12 D．16【答案】B【分析】向量，以及,，利用已知邊長進(jìn)行求解.【詳解】．故選：B【點(diǎn)睛】利用向量的線性運(yùn)算和向量投影的概念即可得解，解題時要結(jié)合題目中的信息進(jìn)行靈活運(yùn)用.6．（2021·浙江高一期末）已知為單位向量，且，則與的夾角為_________．【答案】【分析】設(shè)與的夾角為，由算出即可.【詳解】設(shè)與的夾角為，則，所以因?yàn)?，所以故答案為?．已知向量a·b＝15＝3|b|，則向量a在b上投影的數(shù)量為______．【答案】3【解析】因?yàn)閍·b＝15＝3|b|，所以|b|＝5，則向量a在b上投影的數(shù)量為|a|cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|b|)＝3.8．已知點(diǎn)A，B，C滿足|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝3，|eq\o(BC,\s\up7(→))|＝4，|eq\o(CA,\s\up7(→))|＝5，則eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))·eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))的值是________．【答案】－25【解析】因?yàn)閨eq\o(CA,\s\up7(→))|2＝|eq\o(AB,\s\up7(→))|2＋|eq\o(BC,\s\up7(→))|2，所以B＝90°，所以eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝0.因?yàn)閏osC＝eq\f(4,5)，cosA＝eq\f(3,5)，所以eq\o(BC,\s\up7(→))·eq\o(CA,\s\up7(→))＝|eq\o(BC,\s\up7(→))|·|eq\o(CA,\s\up7(→))|cos(180°－C)＝4×5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＝－16.eq\o(CA,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝|eq\o(CA,\s\up7(→))|·|eq\o(AB,\s\up7(→))|cos(180°－A)＝5×3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝－9.所以eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))·eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝－25.9．（2020·全國高一課時練習(xí)）已知，當(dāng)（1）；（2）；（3）與的夾角是30°時，分別求．【答案】（1）見解析；（2）0；（3）【分析】(1)與同向夾角為，與反向夾角為，按向量數(shù)量積定義進(jìn)行計算；(2)當(dāng)時，它們的夾角(3)代入數(shù)量積公式進(jìn)行計算即可.【詳解】（1）當(dāng)時，若與同向，則它們的夾角，∴；若與反向，則它們的夾角，∴．（2）當(dāng)時，它們的夾角，∴．（3）當(dāng)與的夾角是30°時，有．【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的計算，屬于基礎(chǔ)題.10．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，D是BC邊的中點(diǎn)，求：(1)eq\o(AB,\s\up7(→))在eq\o(BD,\s\up7(→))方向上投影的數(shù)量；(2)eq\o(BD,\s\up7(→))在eq\o(AB,\s\up7(→))方向上投影的數(shù)量．解：連接AD，因?yàn)锳B＝AC＝4，∠BAC＝90°，所以△ABC是等腰直角三角形．又因?yàn)镈是BC邊的中點(diǎn)，所以AD⊥BC，∠ABD＝45°，所以BD＝2eq\r(2).延長AB到E(如圖所示)，則eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(BD,\s\up7(→))的夾角為∠DBE＝180°－45°＝135°.因此，(1)eq\o(AB,\s\up7(→))在eq\o(BD,\s\up7(→))方向上投影的數(shù)量是|eq\o(AB,\s\up7(→))|cos135°＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))＝－2eq\r(2).(2)eq\o(BD,\s\up7(→))在eq\o(AB,\s\up7(→))方向上投影的數(shù)量是|eq\o(BD,\s\up7(→))|cos135°＝2eq\r(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))＝－2.提升篇提升篇11．（2021·全國高三專題練習(xí)（文））已知是邊長為2的等邊三角形，其中為邊的中點(diǎn)，的平分線交線段于點(diǎn)，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由平面向量數(shù)量積運(yùn)算的定義即可得解.【詳解】設(shè)交于點(diǎn)，如圖，由題意可得點(diǎn)為的重心，則，，，所以.故選：D.12．（2021·湖南衡陽市八中高三其他模擬）已知是邊長為2的正六邊形邊上一動點(diǎn)，則（）A．最大值是，最小值是 B．最大值是，最小值是C．最大值是，最小值是 D．最大值是，最小值是【答案】C【分析】根據(jù)正六邊形的特征以及向量數(shù)量積的幾何意義，逐項(xiàng)分析判斷即可得解.【詳解】的模為2，根據(jù)正六邊形的特征，當(dāng)和重合時，投影最大，作的延長線于，可以得到在方向上的投影最大值長是3，同理當(dāng)和重合時，可以得到在方向上的投影最小值是1，結(jié)合向量數(shù)量積的定義式，可知等于的模與在方向上的投影的乘積，所以的最大值是6，最小值是2.故選：C13．（2021·安徽馬鞍山市·高三三模（理））在中，，為的外心，若，則的值為______________.【答案】【分析】由向量數(shù)量積的定義以及三角形外心的性質(zhì)，可得，從而求解，然后利用向量數(shù)量積定義代入求解即可.【詳解】如圖，作，，因?yàn)?，由為的外心，所以可知為的中點(diǎn)，所以，得，同理可得，所以.故答案為：14.如圖,在扇形AOB中,AB的中點(diǎn)為M,動點(diǎn)C,D分別在OA,OB上,且OC=BD,OA=1,∠AOB=120°.(1)若D是線段OB靠近點(diǎn)O的四分之一分點(diǎn),用OA,OB表示向量(2)求MC·MD解：(1)由已知可得OC=34OA,MC所以MC=OC?OM=3(2)易知∠DMC=60°,且|MC|=|MD|,那么只需求MC的最大值與最小值即可.當(dāng)MC⊥OA時,MC最小,此時MC=32,則MC·MD=32×當(dāng)MC與MO重合時,MC最大,此時MC=1,則MC·MD=cos60°=所以MC·MD的取值范圍為38素養(yǎng)培優(yōu)篇素養(yǎng)培優(yōu)篇15．已知△ABC的面積為S滿足eq\r(,3)≤2S≤3，且eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝3，eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(BC,\s\up7(→))的夾角為θ.求eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(BC,\s\up7(→))夾角的取值范圍．解：因?yàn)椤鰽BC中，eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝3，eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(BC,\s\up7(→))夾角θ＝π－B，所以eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝|eq\o(AB,\s\up7(→))||eq\o(BC,\s\up7(→))|cos〈eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(BC,\s\up7(→))〉＝3，即|eq\o(AB,\s\up7(→))||eq\o(BC,\s\up7(→))|cosθ＝3，得|eq\o(AB,\s\up7(→))||eq\o(BC,\s\up7(→))|＝eq\f(3,cosθ).又S＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up7(→))||eq\o(BC,\s\up7(→))|sinB＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up7(→))||eq\o(BC,\s\up7(→))|sin(π－θ)＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up7(→))||eq\o(BC,\s\up7(→))|sinθ＝eq