2015中考數(shù)學(xué)真題分類匯編：二次函數(shù)(壓軸題)

26.(13分)(2015?福州)如圖，拋物線y=x?-4x與x軸交于O,A兩點，P為拋物線上一

點，過點P的直線y=x+m與對稱軸交于點Q.

(1)這條拋物線的對稱軸是,直線PQ與x軸所夾銳角的度數(shù)是；

(2)若兩個三角形面積滿足SAPOQ」SZXPAQ，求m的值；

3

(3)當(dāng)點P在x軸下方的拋物線上時，過點C(2,2)的直線AC與直線PQ交于點D,

求：①PD+DQ的最大值；②PD?DQ的最大值.

考點：二次函數(shù)綜合題.

分析：(1)把拋物線的解析式化成頂點式即可求得對稱軸；求得直線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，

即可證得直線和坐標(biāo)軸圍成的圖形是等腰直角三角形，從而求得直線PQ與x軸所夾

銳角的度數(shù)；

(2)分三種情況分別討論根據(jù)已知條件，通過△OBES/^ABF對應(yīng)邊成比例即可求

得；

(3)①過點C作CH〃x軸交直線PQ于點H,可得aCKQ是等腰三角形，進而得出

AD±PH,得出DQ=DH,從而得出PD+DQ=PH,過P點作PM±CH于點M,則△PMH

是等腰直角三角形，得出PHSPM,因為當(dāng)PM最大時，PH最大，通過求得PM

的最大值，從而求得PH的最大值；由①可知：PD+PHV&Z^,設(shè)PD=a,則

-a,得出PD?DQSa(&匹-a)=-a2+&/&=-(a-3A/2)2+lS.當(dāng)點P在拋物線

的頂點時，a=3\巧，得出PD?DQR8.

解答：解：(1)Vy=x2-4x=(x-2)2-4,

.??拋物線的對稱軸是x=2,

,直線y=x+m,

.??直線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)為(-m,0),(0,m),

.??交點到原點的距離相等，

二直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰直角三角形，

.??直線PQ與x軸所夾銳角的度數(shù)是45。，

故答案為x=2、45。.

(2)設(shè)直線PQ交x軸于點B,分別過。點，A點作PQ的垂線，垂足分別是E、F,

顯然當(dāng)點B在OA的延長線時，SAPOQ=^SAPAQ不成立；

①當(dāng)點B落在線段OA上時，如圖①，

SAPOQ_OE_1

^APAQ川3

由△OBEsZ\ABF得，.咽」屈二,

ABAF3

.,.AB=3OB,

.?.OB」OA,

4

由y=x2-4x得點A(4,0),

/.OB=1,

AB(1,0),

/.l+m=0,

/.m=-1；

②當(dāng)點B落在線段AO的延長線上時，如圖②，同理可得OB」OA=2,

2

AB(-2,0),

:.-2+m=0,

:.m=2,

綜上，當(dāng)m=-1或2時，S△POQ^S△PAQ;

(3)①過點C作CH〃x軸交直線PQ于點H,如圖③，可得ACKQ是等腰三角形,

ZCDQ=45°445°=90°,

AAD±PH,

???DQ=DH,

???PD+DQ=PH,

過P點作PMLCH于點M,則△PMH是等腰直角三角形，

.,.PH=V2PM,

.?.當(dāng)PM最大時，PH最大，

二當(dāng)點P在拋物線頂點出時，PM最大，此時PM=6,

」.PH的最大值為丐，_

即PD+DQ的最大值為6我.

②由①可知1：PD+PHS6&,

設(shè)PD=a,則DQ<W^-a,

.,.PD?DQ<a(65/2-a)=3+6^=-(a-3&)2+18,

當(dāng)點P在拋物線的頂點時，a=3、歷，

.,.PD?DQ<18.

；.PD?DQ的最大值為18.

圖①

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了拋物線的性質(zhì)，直線的性質(zhì)，三角形相似的判定和

性質(zhì)，難度較大.

25.(10分)(2015?莆田)拋物線y=ax?+bx+c,若a,b,c滿足b=a+c,則稱拋物線y=ax2+bx+c

為“恒定"拋物線.

(1)求證：“恒定"拋物線y=ax2+bx+c必過x軸上的一個定點A；

(2)已知"恒定"拋物線y-V3x2-遙的頂點為P,與x軸另一個交點為B,是否存在以Q

為頂點，與x軸另一個交點為C的"恒定"拋物線，使得以PA,CQ為邊的四邊形是平行四

邊形？若存在，求出拋物線解析式；若不存在，請說明理由.

考點：二次函數(shù)綜合題.

專題：綜合題.

分析：(1)由"恒定"拋物線丫=2*2+6*+。，得到b=a+c,即a-b+c=0,即可確定出拋物線恒

過定點(-1,0)；__

(2)先求出拋物線y=V3x2-代的頂點坐標(biāo)和B的坐標(biāo)，由題意得出PA//CQ,

PA=CQ；存在兩種情況：_

①作QM_LAC于M,則QM=OP=V^，證明Rt4QMC絲RtaPOA,MC=OA=1,得

出點Q的坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為y=a(X+2)2-JW把點A坐標(biāo)代入求出a的

值即可；_

②頂點Q在y軸上，此時點C與點B重合；證明△OQCgZXOPA,得出OQ=OPS，

得出點Q坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+V^，把點C坐標(biāo)代入求出a的值即可.

解答：(1)證明：由“恒定"拋物線y=ax?+bx+c,

得：b=a+c,

即a-b+c=0,

,拋物線y=ax2+bx+c,

當(dāng)x=-1時，y=0,

二"恒定"拋物線y=ax2+bx+c必過x軸上的一個定點A(-I,0)；

(2)解：存在；理由如下：

，恒定“拋物線y=V3x2-V3>

當(dāng)y=0時，V3x2-75=0,

解得：x=±l,

VA(-1,0),

AB(1,0)；

：x=0時，y=-遙，_

二頂點P的坐標(biāo)為(0,-遙)，

以PA,CQ為邊的平行四邊形，PA、CQ是對邊，

，PA〃CQ,PA=CQ,

,存在兩種情況：

①如圖1所示：作QM_LAC于M,

則QM=OP=?,ZQMC=90°=ZPOA,

在RtAQMC和RtAPOA中,

[CQ=PA,

ARtAQMC^RtAPOA(HL),

，MC=OA=1,

，OM=2,

???點A和點C是拋物線上的對稱點，

，AM=MC=1,

.?.點Q的坐標(biāo)為(-2,-遙)，_

設(shè)以Q為頂點，與x軸另一個交點為C的"恒定"拋物線的解析式為y=a(x+2)2-b,

把點A(-1,0)代入得：

...拋物線的解析式為：y=V3(X+2)2-

即y=V3X2+4A/3X+3V3；

②如圖2所示：頂點Q在y軸上，此時點C與點B重合，

.?.點C坐標(biāo)為(1,0),

；CQ〃PA,

二ZOQC=ZOPA,

在△OQC和AOPA中，

'/0QC=N0PA

<ZCOQ=ZAOP，

,CQ=PA

.,.△OQC^AOPA(AAS),

.,.OQ=OP=V3，

.?.點Q坐標(biāo)為(0,b)，_

設(shè)以Q為頂點，與x軸另一個交點為C的"恒定"拋物線的解析式為y=ax2+V3，

把點C(1,0)代入得：a=-V3，_

，拋物線的解析式為：丫=-后2+愿；

綜上所述：存在以Q為頂點，與x軸另一個交點為C的“恒定”拋物線，使得以PA,

CQ為邊的四邊形是平行四邊形，___

拋物線的解析式為：丫=心2+4揚+3典，gJcy=-V3X2+V3.

點評：本題是二次函數(shù)綜合題目，考查了新定義"恒定"拋物線、用待定系數(shù)法求拋物線的解

析式、全等三角形的判定與性質(zhì)、拋物線的對稱性、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知識；本題難

度較大，綜合性強，特別是（2）中，需要作輔助線證明三角形全等求出點的坐標(biāo)才

能得出拋物線的解析式.

26.（13分）（2015?泉州）閱讀理解

拋物線y號X?上任意一點到點（0,1）的距離與到直線y=-1的距離相等，你可以利用這

-性質(zhì)解決問題.

問題解決

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=kx+l與y軸交于C點，與函數(shù)y=x2的圖象交于A,

B兩點，分別過A,B兩點作直線y=-1的垂線，交于E,F兩點.

（1）寫出點C的坐標(biāo)，并說明NECF=90。；

（2）在aPEF中，M為EF中點，P為動點.

①求證：PE^+PF1^（PM2+EM2）；

②已知PE=PF=3,以EF為一條對角線作平行四邊形CEDF,若1<PD<2,試求CP的取值

范圍.

考點：二次函數(shù)綜合題；勾股定理；矩形的判定與性質(zhì).

專題：綜合題；閱讀型.

分析：（1）如圖1,只需令x=0,即可得到點C的坐標(biāo).根據(jù)題意可得AC=AE,從而有

ZAEC=ZACE.易證AE〃CO,從而有/AEC=/OCE,即可得到NACE=NOCE,

同理可得/OCF=/BCF,然后利用平角的定義即可證到NECF=90。；

(2))①過點P作PHJ_EF于H,分點H在線段EF上(如圖2①)和點H在線段EF

的延長線(或反向延長線)上(如圖2②)兩種情況討論，然后只需運用勾股定理及

平方差公式即可證到PE\PF2-2PM2=2EM2,即PE2+PF2=2(PM2+EM2)；

②連接CD,PM,如圖3.易證CEDF是矩形，從而得到M是CD的中點，且MC=EM,

然后根據(jù)①中的結(jié)論，可得：在APEF中，#PE^P^(PM2+EM2),在4PCD中，

WPC2+PD2=2(PM2+CM2).FhMC=EMnJWPC2+PD2=PE2+PF2.根據(jù)PE=PF=3可

求得PC?+PD2=18.根據(jù)1<PD<2可得IVPDWd,BPI<18-PC2<4,從而可求出

PC的取值范圍.

解答：解:(1)當(dāng)x=0時，y=k?O+l=l,

則點C的坐標(biāo)為(0,1).

根據(jù)題意可得：AC=AE,

.*.ZAEC=ZACE.

VAE1EF,CO1EF,

，AE〃CO,

，/AEC=/OCE,

ZACE=ZOCE.

同理可得：ZOCF=ZBCF.

ZACE+ZOCE+ZOCF+ZBCF=180\

A2ZOCE+2ZOCF=180",

AZOCE+ZOCF=90°,即/ECF=90°；

(2)①過點P作PH1EF于H,

I.若點H在線段EF±,如圖2①.

?.?M為EF中點，

，EM=FM」EF.

2

根據(jù)勾股定理可得：

PE2+PF2-2PM2=PH2+EH2+PH2+HF2-2PM2

=2PH2+EH2+HF2-2(PH2+MH2)

=EH2-MH2+HF2-MH2

=(EH+MH)(EH-MH)+(HF+MH)(HF-MH)

=EM(EH+MH)+MF(HF-MH)

=EM(EH+MH)+EM(HF-MH)

=EM(EH+MH+HF-MH)

=EM?EF=2EM2,

：.?^+?^=2(PM2+EM2)；

H.若點H在線段EF的延長線(或反向延長線)上，如圖2②.

同理可得：PE2+PF2=2(PM2+EM2).

綜上所述：當(dāng)點H在直線EF上時，都有PEZ+PF^Z(PN^+EM?)；

②連接CD、PM,如圖3.

：ZECF=90°,

二CEDF是矩形，

是EF的中點，

，M是CD的中點，且MC=EM.

山①中的結(jié)論可得：

在4PEF中，<(PM2+EM2),

在4PCD中，有PC?+PD2=2(PM2+CM2).

VMC=EM,

.,.PC^PDWE^PF2.

：PE=PF=3,

.,.PC2+PD2=18.

Vl<PD<2,

Al<PD2<4,

A1<18-PC2<4,

.,.14<PC2<17.

VPOO,

???Vn<pc<VT7

圖2①

圖1

24.(12分)(2015?福建)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點為A(1,-I)的拋物線經(jīng)過

點B(5,3),且與x軸交于C,D兩點(點C在點D的左側(cè)).

(1)求拋物線的解析式；

(2)求點O到直線AB的距離；

(3)點M在第二象限內(nèi)的拋物線上，點N在x軸上，且NMND=/OAB,當(dāng)△DMN與AOAB

相似時，請你直接寫出點M的坐標(biāo).

考點：二次函數(shù)綜合題.

分析：(1)根據(jù)待定系數(shù)法，可得拋物線的解析式；

(2)根據(jù)勾股定理，可得OA2、OB2、AB?的長，根據(jù)勾股定理的逆定理，可得NOAB

的度數(shù)，根據(jù)點到直線的距離的定義，可得答案；

(3)根據(jù)拋物線上的點滿足函數(shù)解析式，可得方程②，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可

得方程①③，根據(jù)解方程組，可得M點的坐標(biāo).

解答：解：(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-1)2-1,

將B點坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得

(5-1)2a-1=3,

解得a」.

4

故拋物線的解析式為y=1(x-1)2-1；

(2)由勾股定理,得OA2=P+12=2,OB2=52+32=34,AB2=(5-1)2+(3+1)2=32,

OA2+AB2=OB2,

...ZOAB=90°,

O到直線AB的距離是OA=&；

(3)設(shè)M(a,b),N(a,0)

當(dāng)y=0時，'（x-1）之-1=0,

解得X]=3,X2=-1，

D（3,0）,DN=3-a.

①當(dāng)△MNDs^OAB忖，頤-DIj,即”3二

OAABV2W2

化簡，得4b=a-3①

M在拋物線上，得b,（a-1）2-1②

4

'4b=3-a

聯(lián)立①②，得1,,、2,，

b號（a-1）z-1

解得ai=3（不符合題意，舍），a2=-2,b^,

4

Mi（-2,白），

4

當(dāng)△MNDs/\BAO時、期-她,即*31a,

BAOA4V2V2

化簡，得b=12-4a③，

rb=12~4a

聯(lián)立②③，得[1,.2,

西（a-1）z-1

解得ai=3（不符合題意,舍），a2=-17,b=12-4x（-17）=80,

M2（-17,80）.

綜上所述：當(dāng)△DMN與AOAB相似時，點M的坐標(biāo)（-2,2），（-17,80）.

4

點評：本題考查了二次函數(shù)綜合題，（1）設(shè)成頂點式的解析式是解題關(guān)鍵，（2）利用了勾股

定理及勾股定理的逆定理，點到直線的距離；（3）利用了相似三角形的性質(zhì)，圖象上

的點滿足函數(shù)解析式得出方程組是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏.

25.（14分）（2015?漳州）如圖，拋物線y=-x?+2x+3與x軸交于A,B兩點，與y軸交于

點C,點D為拋物線的頂點，請解決下列問題.

（1）填空：點C的坐標(biāo)為（0,3）,點D的坐標(biāo)為（1,4）：

（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為（a,0）,當(dāng)IPD-PCI最大時，求a的值并在圖中標(biāo)出點P的位置；

（3）在（2）的條件下，將4BCP沿x軸的正方向平移得到aB'C'P',設(shè)點C對應(yīng)點C'

的橫坐標(biāo)為t（其中0<tV6）,在運動過程中aB'C'P'與4BCD重疊部分的面積為S,

求S與t之間的關(guān)系式，并直接寫出當(dāng)t為何值時S最大，最大值為多少？

備用圖1備用圖2

考點：二次函數(shù)綜合題.

分析：(1)根據(jù)拋物線與坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)求法和頂點坐標(biāo)求法計算即可；

(2)求IPD-PCI的值最大時點P的坐標(biāo)，應(yīng)延長CD交x軸于點P.因為IPD-PCI

小于或等于第三邊CD,所以當(dāng)IPC-PDI等于CD時，IPC-PDI的值最大.因此求出

過CD兩點的解析式，求它與x軸交點坐標(biāo)即可；

(3)過C點作CE〃x軸l,交DB于點E,求出直線BD的解析式，求出點E的坐標(biāo),

求出P'C'與BC的交點M的坐標(biāo)，分點C'在線段CE上和在線段CE的延長線上

兩種情況，再分別求得N點坐標(biāo)，再利用圖形的面積的差，可表示出S,再求得其最

大值即可.

解答：解：(1)*.*y=-x~+2x+3=-(x-1)~+4,

：.C(0,3),D(1,4),

故答案為：0；3；1；4；

(2)?.?在三角形中兩邊之差小于第三邊，

,延長DC交x軸于點P,

設(shè)直線DC的解析式為y=kx+b,把D、C兩點坐標(biāo)代入可得(k+b=4,解得［k=l,

Ib=3Ib=3

直線DC的解析式為y=x+3,

將點P的坐標(biāo)(a,0)代入得a+3=0,求得a=-3,

如圖1,點P(-3,0)即為所求；

(3)過點C作CE〃x,交直線BD于點E,如圖2,

由(2)得直線DC的解析式為y=x+3,

由法可求得直線BD的解析式為y=-2x+6,直線BC的解析式為y=-x+3,

在y=-2x+6中，當(dāng)y=3時，x=-1,

???E點坐標(biāo)為3),

2

設(shè)直線P'C'與直線BC交于點M,

"：P'C//DC,P'C與y軸交于點（0,3-t）,

二直線P'C'的解析式為y=x+3-t,

t

XR

y=-x+3,/

聯(lián)立，，解得《

尸x+3-t6-t,

二點M坐標(biāo)為（上,

29

VBZC//BC,B'坐標(biāo)為（3+t,0）,

二直線B'C'的解析式為y=-x+3+t,

分兩種情況討論：

①當(dāng)0<t<心時，如圖2,B'C'與BD交于點N,

2

y=-2x+6”,x=3-t

聯(lián)立，解得I

y=-x+3+t,y=2t

.?.N點坐標(biāo)為(3-t,2t),

,_

S=SABc'PSABMP-SABNB'-X6X3--(6-t)x-1(6-t)--tx2t=--t-+3t,

22224

其對稱軸為仁^,可知當(dāng)0<t<衛(wèi)時，S隨t的增大而增大,當(dāng)t及時，有最大值

52216

??.N點坐標(biāo)為（支電，12~2t）,

33

S—S/^BNP'-(6-t)x------Ax(6-t)---------1(6-t)2-1t~~

23221212

t+3；

顯然當(dāng)？<t<6時，S隨t的增大而減小，當(dāng)t學(xué)時，S-2Z

2216

-^t2+3t(0<t<^)

42Q

綜上所述，S與t之間的關(guān)系式為s=,且當(dāng)t二時，S

徐2-t+3(卞t<6)2

有最大值，最大值為21

16

點評：本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、三角形三邊關(guān)系、平移的性質(zhì)

和二次函數(shù)的性質(zhì)等知識點.在（1）中掌握二次函數(shù)的頂點式是解題的關(guān)鍵，在（2）

中確定出P點的位置是解題的關(guān)鍵，在（3）中用t分別表示HIE、M、N的坐標(biāo)是解

題的關(guān)鍵，注意分類討論思想的應(yīng)用.本題考查知識點較多，綜合性較強，計算量較

大.

28.（12分）（2015?甘南州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-2x2+bx+c,經(jīng)過A

3

(0,-4）,B（xi,0）,C（X2?0）二點，且lx2-X]l=5.

(1)求b,c的值；

(2)在拋物線上求一點D,使得四邊形BDCE是以BC為對角線的菱形；

(3)在拋物線上是否存在一點P,使得四邊形BPOH是以O(shè)B為對角線的菱形？若存在,

求出點P的坐標(biāo)，并判斷這個菱形是否為正方形？若不存在，請說明理山.

X

考點：二次函數(shù)綜合題.

分析：（1）把A（0,-4）代入可求c,運用兩根關(guān)系及1X2-X,l=5,對式子合理變形，求b；

（2）因為菱形的對角線互相垂直平分，故菱形的另外一條對角線必在拋物線的對稱

軸上，滿足條件的D點，就是拋物線的頂點；

（3）由四邊形BPOH是以O(shè)B為對角線的菱形，可得PH垂直平分OB,求出OB的

中點坐標(biāo)，代入拋物線解析式即可,，再根據(jù)所求點的坐標(biāo)與線段OB的長度關(guān)系，判

斷是否為正方形即可.

解答：解：（1）?.?拋物線y=-2x2+bx+c,經(jīng)過點A（0,-4）,

3

/.c=-4

又?.?由題意可知，XI、X2是方程-2x2+bx-4=0的兩個根,

3

.*.xi+xi=-?b.X|X2=6

2

由已知得⑻-xi)2=25

又?:（X2-X1）2=（X2+X1）2-4x|X2=^b2-24

_24=25

解得b=±M,當(dāng)b=&時，拋物線與x軸的交點在x軸的正半軸上，不合題意，舍去.

33

3

(2)?.?四邊形BDCE是以BC為對角線的菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)，點D必在拋物線

的對稱軸匕

2

又：y=-2X-罵-4=-2(x+工)2國，

33326

.??拋物線的頂點(-1，里)即為所求的點D.

26

(3):四邊形BPOH是以0B為對角線的菱形，點B的坐標(biāo)為(-6,0),根據(jù)菱形

的性質(zhì)，點P必是直線x=-3與

拋物線丫=-&2_超*-4的交點，

33

當(dāng)x=-3時，y=--x(-3)2-Mx(-3)-4=4,

33

二在拋物線上存在一點P(-3,4),使得四邊形BPOH為菱形.

四邊形BPOH不能成為正方形，因為如果四邊形BPOH為正方形，點P的坐標(biāo)只能

是(-3,3),但這一點不在拋物線上

點評：本題考查了拋物線解析式的求法，根據(jù)菱形，正方形的性質(zhì)求拋物線上符合條件的點

的方法.

28.(10分)(2015?酒泉)如圖，在直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點A(0,4),B(1,0),

C(5,0),其對稱軸與x軸相交于點M.

(1)求拋物線的解析式和對稱軸；

(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使APAB的周長最??？若存在，請求出點P的

坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

(3)連接AC,在直線AC的下方的拋物線上，是否存在一點N,使ANAC的面積最大？

若存在，請求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

考點：二次函數(shù)綜合題.

分析：(1)拋物線經(jīng)過點A(0,4),B(1,0),C(5,0),可利用兩點式法設(shè)拋物線的

解析式為y=a(x-1)(x-5),代入A(0,4)即可求得函數(shù)的解析式，則可求得拋

物線的對稱軸；

(2)點A關(guān)于對稱軸的對稱點A'的坐標(biāo)為(6,4),連接BA'交對稱軸于點P,

連接AP,此時4PAB的周長最小，可求出直線BA'的解析式，即可得出點P的坐

標(biāo).

(3)在直線AC的下方的拋物線上存在點N,使aNAC面積最大.設(shè)N點的橫坐標(biāo)

為t,此時點N(t,芻2一罵+4)(0<t<5),再求得直線AC的解析式，即可求得

55

NG的長與4ACN的面積，由二次函數(shù)最大值的問題即可求得答案.

解答：解：(1)根據(jù)已知條件可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-1)(x-5),

把點A(0,4)代入上式得：a=^,

5

.?.y=J(x-1)(x-5)工2_型*+4/(x-3)2-以，

55555

.??拋物線的對稱軸是：X=3；

(2)P點坐標(biāo)為(3,3).

5

理由如下：

?.?點A(0,4),拋物線的對稱軸是x=3,

...點A關(guān)于對稱軸的對稱點A'的坐標(biāo)為(6,4)

如圖1,連接BA'交對稱軸于點P,連接AP,此時4PAB的周長最小.

設(shè)直線BA'的解析式為y=kx+b,

把A'(6.4),B(1,0)代入得(*6k+b

[0=k+b

；.y=_|x-

?.?點P的橫坐標(biāo)為3,

：.P(3,W).

5

(3)在直線AC的下方的拋物線上存在點N,使ANAC面積最大.

設(shè)N點的橫坐標(biāo)為t,此時點N（t,it2-駕+4）（0<t<5）,

55

如圖2,過點N作NG〃y軸交AC于G；作AD_LNG于D,

02

由點A（0,4）和點C（5,0）可求出直線AC的解析式為：y=-A+4,

5

把x=t代入得：y=-&+4,則G（t,-當(dāng)+4）,

55

此時：NG=-&+4-一駕+4）=-S2+4t,

5555

VAD+CF=CO=5,

?，-SAACN=SAANG+SACGN=^AMXNG+ANGXCF=ANG?OC=^X（-￡+4t）x5=-

22225

2t2+10t=-2（t-2）2國,

22

/.當(dāng)tg時，4CAN面積的最大值為名，

22

由t至，得：尸&2-建1+4=-3,

255

AN走，-3）.

2

點評：本題主要考查了二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)

形結(jié)合思想的靈活應(yīng)用.

28.（12分）（2015?蘭州）已知二次函數(shù)y=ax?的圖象經(jīng)過點（2,1）.

（1）求二次函數(shù)y=ax?的解析式；

（2）一次函數(shù)y=mx+4的圖象與二次函數(shù)y=ax?的圖象交于點A（x］、yi）>B（x?、y2）兩

點.

①當(dāng)m二時（圖①），求證：AAOB為直角三角形；

2

②試判斷當(dāng)mH衛(wèi)時（圖②），Z^AOB的形狀，并證明；

2

（3）根據(jù)第（2）問，說出一?條你能得到的結(jié)論.（不要求證明）

考點：二次函數(shù)綜合題.

分析：（1）把點（2,1）代入可求得a的值，可求得拋物線的解析式；

（2）①可先求得A、B兩點的坐標(biāo)，過A、B兩點作x軸的垂線，結(jié)合條件可證明

△ACO-AODB,可證明NAOB=90。，可判定aAOB為直角三角形；②可用m分別

表示出A、B兩點的坐標(biāo)，過A、B兩點作x軸的垂線，表示出AC、BD的長，可證

明△ACOSAODB,結(jié)合條件可得到/AOB=90。，可判定aAOB為直角三角形；

（3）結(jié)合（2）的過程可得到aAOB恒為直角三角形等結(jié)論.

解答：（1）解：；y=ax2過點（2,1）,

/.l=4a,解得a=^,

4

.??拋物線解析式為

(2)①證明:

3

y=5x+4

x=-2或x=8

當(dāng)m=^時,聯(lián)立直線和拋物線解析式可得〈,，解得.

212y=ly=16

y=4x

AA（-2,1）,B（8,16）,

分別過A、B作ACLx軸，BDJ_x軸，垂足分別為C、D,如圖1,

圖1

；.AC=1,OC=2,OD=8,BD=16,

..絲旦/，且NACO=/ODB,

OCBD2

.,.△ACO^AODB,

.,.ZAOC=ZOBD,

XVZOBD+ZBOD=90°,

AZAOC+ZBOD=90°,即NAOB=90°,

.?.△AOB為直角三角形；

②解：AAOB為直角三角形.

證明如下：

y=mx+4x=2m-2dm2+4

當(dāng)mQ時，聯(lián)立直線和拋物線解析式可得.

12，解得<.____2或

2尸廠(m-Vin2+4)

x=2nH-27m2+4

<,f

2

y=("正+4)

二A(2m-紂1rl2+,(m-42+4)?),B(2m+%再(m+41n2+4)?),

分別過A、B作AC_Lx軸，BDJ_x軸，如圖2,

BD=(m+7^；)之

OD=2m+2^in2+4,

...ACLOELm-Jin'+q,且/ACO=/ODB,

OCBD2

.,.△ACO^AOBD,

，ZAOC=ZOBD,

又?.?NOBD+/BOD=90。，

，/AOC+/BOD=90°,即/AOB=90°,

.?.△AOB為直角三角形；

（3）解：由（2）可知，一次函數(shù)丫=11^+4的圖象與二次函數(shù)y=ax?的交點為A、B,

則AAOB恒為直角三角形.（答案不唯一）.

點評：本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、相似三角的判定和性質(zhì)、直角

三角形的判定等知識點.在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用步驟，在（2）中注意表示

出A、B兩點的坐標(biāo)，構(gòu)造三角形相似是解題的關(guān)鍵，在（3）中答案不唯一，可結(jié)

合（2）的過程得出.本題知識點較多，綜合性很強，難度較大.

26.（12分）（2015?天水）在平面直角坐標(biāo)系中，已知y=-&?+bx+c（b、c為常數(shù)）的頂

2

點為P，等腰直角三角形ABC的頂點A的坐標(biāo)為（0,-1）,點C的坐標(biāo)為（4,3）,直角

頂點B在第四象限.

（1）如圖，若拋物線經(jīng)過A、B兩點，求拋物線的解析式._

（2）平移（1）中的拋物線，使頂點P在直線AC上并沿AC方向滑動距離為我時，試證

明：平移后的拋物線與直線AC交于x軸上的同一點.

（3）在（2）的情況下，若沿AC方向任意滑動時，設(shè)拋物線與直線AC的另一交點為Q,

取BC的中點N,試探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，請

說明理由.

考點：二次函數(shù)綜合題.

分析：（1）先求出點B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如答題圖2,設(shè)頂點P在直線AC匕并沿AC方向滑動距離正時，到達(dá)P',

作P，M〃y軸，PM〃x軸，交于M點，根據(jù)直線AC的斜率求得AP'PM是等腰直

角三角形，進而求得拋物線向上平移1個單位，向右平移1個單位，從而求得平移后

的解析式，進而求得與x軸的交點，與直線AC的交點，即可證得結(jié)論；

（3）如答圖3所示，作點B關(guān)于直線AC的對稱點B',由分析可知，當(dāng)B'、Q、

F（AB中點）三點共線時，NP+BQ最小，最小值為線段B'F的長度.

解答：解：（1）???等腰直角三角形ABC的頂點A的坐標(biāo)為（0,-1）,C的坐標(biāo)為（4,3）

，點B的坐標(biāo)為（4,-1）.

?.?拋物線過A（0,-1）,B（4,-1）兩點，

c=-1

?**1?

-=X16+4b+c=-l

2

解得：b=2,c=-1,

...拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y=--ix2+2x-1.

2_

（2）如答題圖2,設(shè)頂點P在直線AC上并沿AC方向滑動距離加時，到達(dá)P',

作P'M〃y軸，PM〃x軸，交于M點，

:點A的坐標(biāo)為（0,-1）,點C的坐標(biāo)為（4,3）,

二直線AC的解析式為y=x-1,

,??直線的斜率為1,

...△P'PM是等腰直角三角形，

?.*PP'=y/2>

：.P'M=PM=1,

.??拋物線向上平移1個單位，向右平移1個單位，

Vy=-AX2+2X-1=-—（x-2）2+1,

22

平移后的拋物線的解析式為y=-工（x-3）2+2,

2

令y=o,則0=-A（X-3）2+2,

2

解得X1=1,X=52，

，平移后的拋物線與x軸的交點為（1,0）,（5,0）,

翻尸一萬（X-3）‘2（X=1rx=3

解<z,得4或4

y=x-l1尸01尸2

二平移后的拋物線與AC的交點為（1,0）,

...平移后的拋物線與直線AC交于x軸上的同一點（1,0）.

（3）如答圖3,取點B關(guān)于AC的對稱點B',易得點B'的坐標(biāo)為（0,3）,BQ=B'Q,

取AB中點E

連接QF,FN,QB',易得FN〃PQ,且FN=PQ,

四邊形PQFN為平行四邊形.

，NP=FQ.

.,.NP+BQ=FQ+B,Q>FBZ={22+42=2后.

.?.當(dāng)B'、Q、F三點共線時，NP+BQ最小，最小值為2代.

點評：本題為二次函數(shù)中考壓軸題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、一次函數(shù)、

幾何變換（平移，對稱）、等腰直角三角形、平行四邊形、軸對稱-最短路線問題等

知識點，考查了存在型問題和分類討論的數(shù)學(xué)思想，試題難度較大.

28.(10分)(2015?酒泉)如圖，在直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點A(0,4),B(1,0),

C(5,0),其對稱軸與x軸相交于點M.

(1)求拋物線的解析式和對稱軸；

(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使4PAB的周長最??？若存在，請求出點P的

坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

(3)連接AC,在直線AC的下方的拋物線上，是否存在一點N,使aNAC的面積最大？

若存在，請求出點N的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由.

考點：二次函數(shù)綜合題.

分析：(1)拋物線經(jīng)過點A(0,4),B(1,0),C(5,0),可利用兩點式法設(shè)拋物線的

解析式為y=a(x-1)(x-5),代入A(0,4)即可求得函數(shù)的解析式，則可求得拋

物線的對稱軸；

(2)點A關(guān)于對稱軸的對稱點A'的坐標(biāo)為(6,4),連接BA'交對稱軸于點P,

連接AP,此時aPAB的周長最小，可求出直線BA'的解析式，即可得出點P的坐

標(biāo).

(3)在直線AC的下方的拋物線上存在點N,使aNAC面積最大.設(shè)N點的橫坐標(biāo)

為t,此時點N(t,g2一罵+4)(0<t<5),再求得直線AC的解析式，即可求得

55

NG的長與4ACN的面積，由二次函數(shù)最大值的問題即可求得答案.

解答：解：(1)根據(jù)已知條件可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-1)(x-5),

把點A(0,4)代入上式得：a=l

5

/.y」(x-1)(x-5)=^x2--i^x+4=-^(x-3)2--,

55555

拋物線的對稱軸是：x=3；

(2)P點坐標(biāo)為(3,m).

5

理由如下：

;點A(0,4),拋物線的對稱軸是x=3,

.??點A關(guān)于對稱軸的對稱點A'的坐標(biāo)為(6,4)

如圖1,連接BA'交對稱軸于點P,連接AP,此時4PAB的周長最小.

圖1

設(shè)直線BA'的解析式為y=kx+b,

把A'(6,4),B(1,0)代入得＜P=6k+b

I0=k+b

???點P的橫坐標(biāo)為3,

555

,*.P(3,§).

5

(3)在直線AC的下方的拋物線上存在點N,使aNAC面積最大.

設(shè)N點的橫坐標(biāo)為t,此時點N(t,&2一駕+4)(0<t<5),

55

如圖2,過點N作NG〃y軸交AC于G；作ADLNG于D,

02

由點A(0,4)和點C(5,0)可求出直線AC的解析式為：y=-&+4,

5

把x=t代入得：y=-&+4,則G(t,-3+4),

55

此時：NG=-3+4-(當(dāng)？-罵+4)=-9t2+4t,

5555

?；AD+CF=CO=5,

?',SAACN=SAANG+SACGN=--AMxNG+—NGxCF=-^-NG?OC=^-x(-&~+4t)x5=-

22225

2t2+10t=-2(t-22+—,

22

當(dāng)tW時，4CAN面積的最大值為世，

22

由t=2得：丫=_￡一駕+4=-3,

2