2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.2.1常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)含解析蘇教版選修2-2

PAGE課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)三常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(25分鐘·60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.函數(shù)y=sinQUOTE的導(dǎo)數(shù)是 ()A.sinx B.cosx C.-sinx D.-cosx【解析】選C.y=sinQUOTE=cosx,所以y′=-sinx.2.f(x)=a3(a>0,a≠1),則f′(2)= ()A.8 B.12 C.8ln3 【解析】選D.f(x)=a3(a>0,a≠1)是常數(shù)函數(shù),所以f′(x)=0.所以f′(2)=0.3.若函數(shù)f(x)=QUOTE,則f′(1)= ()A.0B.-QUOTEC.1D.QUOTE【解析】選B.因?yàn)閒(x)=QUOTE,所以f′(x)=-QUOTE,f′(1)=-QUOTE.4.曲線y=QUOTE在點(diǎn)M(3,3)處的切線方程是 ()A.x-y-6=0 B.x+y-6=0C.x+y+6=0 D.x-y+6=0【解析】選B.因?yàn)閥′=-QUOTE,所以當(dāng)x=3時(shí),y′=-1,所以過(guò)點(diǎn)(3,3)的切線方程為y-3=-(x-3),即x+y-6=0.5.已知直線l是曲線y=QUOTEx3+x的切線中傾斜角最小的切線,則l的方程是()A.y=QUOTEx B.y=xC.y=2x D.y=4x【解析】選B.因?yàn)閥′=x2+1≥1,所以過(guò)點(diǎn)(0,0)且斜率為1的切線傾斜角最小,所以直線l的方程是y=x.二、填空題(每小題5分,共15分)6.物體的運(yùn)動(dòng)方程為s=t3,則物體在t=1時(shí)的速度為____________,在t=4時(shí)的速度為____________.

【解析】s′=3t2,當(dāng)t=1時(shí),s′=3,當(dāng)t=4時(shí),s′=48.答案:3487.過(guò)曲線y=QUOTE上一點(diǎn)P的切線的斜率為-4,則P的坐標(biāo)為____________.

【解析】因?yàn)閥′=-QUOTE,令-QUOTE=-4,得x=±QUOTE,P的坐標(biāo)為QUOTE或QUOTE.答案:QUOTE或QUOTE8.與直線2x-y-4=0平行且與曲線y=QUOTE相切的直線方程是____________.

【解析】因?yàn)橹本€2x-y-4=0的斜率為k=2,又因?yàn)閥′=(QUOTE)′=QUOTE,所以QUOTE=2,解得x=QUOTE.所以切點(diǎn)的坐標(biāo)為QUOTE.故切線方程為y-QUOTE=2QUOTE.即16x-8y+1=0.答案:16x-8y+1=0三、解答題(每小題10分,共20分)9.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)y=sinQUOTE.(2)y=QUOTE.(3)y=3-x.(4)y=-2sinQUOTE.【解析】(1)y=sinQUOTE=QUOTE為常數(shù),所以y′=0.(2)y=QUOTE=x-2,所以y′=-2x-3=-QUOTE.(3)y=3-x=QUOTE,所以y′=QUOTElnQUOTE=-3-xln3.(4)y=-2sinQUOTE=-2sinQUOTE·QUOTE=2sinQUOTEcosQUOTE=sinx,y′=cosx.10.求經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0)且與曲線y=QUOTE相切的直線方程.【解題指南】先驗(yàn)證點(diǎn)是否在曲線上,然后依據(jù)導(dǎo)數(shù)公式進(jìn)行求導(dǎo).【解析】可以驗(yàn)證點(diǎn)(2,0)不在曲線上,故設(shè)切點(diǎn)為P(x0,y0).由y′=-QUOTE,得所求直線方程為y-y0=-QUOTE(x-x0).由點(diǎn)(2,0)在直線上,得QUOTEy0=2-x0,再由P(x0,y0)在曲線上,得x0y0=1,聯(lián)立可解得x0=1,y0=1.所求直線方程為x+y-2=0.(20分鐘·40分)1.(5分)若函數(shù)y=x5(-1≤x≤2)圖象上任一點(diǎn)處的切線斜率為k,則k的最小值為 ()A.0B.5C.-1D.32【解析】選A.因?yàn)閥=x5,所以y′=5x4,因?yàn)閥′=5x4在[-1,2]上的最小值為0,故切線斜率的最小值為0.2.(5分)(多選題)若f(x)=sinx,f′(α)=QUOTE,則下列α的值中滿意條件的是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTEπ D.QUOTEπ【解析】選AD.因?yàn)閒(x)=sinx,所以f′(x)=cosx.又因?yàn)閒′(α)=cosα=QUOTE,所以α=2kπ±QUOTE(k∈Z).當(dāng)k=0時(shí),α=±QUOTE.當(dāng)k=1時(shí),α=QUOTEπ或α=QUOTEπ,故AD滿意條件.3.(5分)正弦曲線y=sinx上一點(diǎn)P,以點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線為直線l,則直線l的傾斜角αl的取值范圍是____________.

【解析】因?yàn)?sinx)′=cosx,所以kl=cosx,所以-1≤kl≤1,所以αl∈QUOTE∪QUOTE.答案:QUOTE∪QUOTE4.(5分)已知函數(shù)y=kx是曲線y=lnx的一條切線,則k=____________.

【解析】設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),因?yàn)閥′=QUOTE,所以k=QUOTE,所以y=QUOTE·x,又點(diǎn)(x0,y0)在曲線y=lnx上,所以y0=lnx0,所以lnx0=QUOTE,所以x0=e,所以k=QUOTE.答案:QUOTE5.(10分)證明曲線xy=1上隨意一點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積等于常數(shù).【證明】由xy=1得y=QUOTE(x≠0),y′=-QUOTE,設(shè)切點(diǎn)QUOTE,則當(dāng)x=x0時(shí),k=-QUOTE,切線方程為y-QUOTE=-QUOTE(x-x0),即y=-QUOTE+QUOTE,當(dāng)x=0時(shí),y=QUOTE,當(dāng)y=0時(shí),x=2x0,S△=QUOTE·|2x0|=2為常數(shù),故曲線xy=1上隨意一點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積等于常數(shù).【拓展延長(zhǎng)】求切線方程的常見方法(1)數(shù)形結(jié)合.(2)將直線方程代入曲線方程利用判別式.(3)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義.6.(10分)已知函數(shù)f(x)=QUOTE其圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=2x+1,求它在點(diǎn)(-3,f(-3))處的切線方程.【解析】當(dāng)x<-1時(shí),-x-2>-1,故f(-x-2)=a(-x-2)2+b(-x-2)+c=ax2+(4a-b)x+4a-2b+c,由圖象