2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用6.4.3.3余弦定理正弦定理應(yīng)用舉例-距離問(wèn)題同步練習(xí)含解析新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)十三余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例——距離問(wèn)題(15分鐘30分)1.輪船A和輪船B在中午12時(shí)同時(shí)離開海港O,兩船航行方向的夾角為120°,兩船的航行速度分別為25nmile/h,15nmile/h,則14時(shí)兩船之間的距離是 ()A.50nmile B.70nmileC.90nmile D.110nmile【解析】選B.到14時(shí),輪船A和輪船B分別走了50nmile,30nmile,由余弦定理得兩船之間的距離為l=QUOTE=70(nmile).【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知A、B兩地的距離為10km,B、C兩地的距離為20km,現(xiàn)測(cè)得∠ABC=120°,則A、C兩地的距離為()A.10km B.QUOTEkmC.10QUOTEkm D.10QUOTEkm【解析】選D.在△ABC中,AB=10km,BC=20km,∠ABC=120°,則由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=100+400-2×10×20cos120°=100+400-2×10×20×QUOTE=700,所以AC=10QUOTE即A、C兩地的距離為10QUOTE2.如圖所示為起重機(jī)裝置示意圖.支桿BC=10m,吊桿AC=15m,吊索AB=5QUOTEm,起吊的貨物與岸的距離AD為()A.30m B.QUOTEmC.15QUOTEm D.45m【解析】選B.在△ABC中,cos∠ABC=QUOTE=QUOTE,∠ABC∈(0,π),所以sin∠ABC=QUOTE=QUOTE,所以在Rt△ABD中,AD=AB·sin∠ABC=5QUOTE×QUOTE=QUOTE(m).3.已知A船在燈塔C北偏東80°,且A到C的距離為2km,B船在燈塔C北偏西40°,A,B兩船的距離為3km,則B到C的距離為.

【解析】如圖所示,在△ABC中,∠ACB=40°+80°=120°,AB=3km,AC=2km.設(shè)BC=akm.由余弦定理的推論,得cos∠ACB=QUOTE,即cos120°=QUOTE,解得a=QUOTE-1或a=-QUOTE-1(舍去),即B到C的距離為a=(QUOTE-1)千米.答案:(QUOTE-1)千米4.有一個(gè)長(zhǎng)為1千米的斜坡,它的傾斜角為75°,現(xiàn)要將其傾斜角改為30°,則坡底要伸長(zhǎng)千米.

【解析】如圖,∠BAO=75°,C=30°,AB=1千米,所以∠ABC=∠BAO-∠BCA=75°-30°=45°.在△ABC中,QUOTE=QUOTE,所以AC=QUOTE=QUOTE=QUOTE(千米).答案:QUOTE5.如圖,甲船以每小時(shí)30QUOTE海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向勻速直線航行.當(dāng)甲船位于A1處時(shí),乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1處,此時(shí)兩船相距20海里,當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2處時(shí),乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2處,此時(shí)兩船相距10QUOTE海里.問(wèn):乙船每小時(shí)航行多少海里?【解析】如圖,連接A1B2,由已知A2B2=10QUOTEA1A2=30QUOTE×QUOTE=10QUOTE(海里),所以A1A2=A2B2又∠A1A2B2=60°,所以△A1A2B2是等邊三角形,所以A1B2=A1A2由已知,A1B1=20海里,∠B1A1B2=180°-75°-60°=45在△A1B2B1中,由余弦定理得B1QUOTE=A1QUOTE+A1QUOTE-2A1B1·A1B2·cos45°=202+(10QUOTE)2-2×20×10QUOTE×QUOTE=200,所以B1B2=10QUOTE因此,乙船的速度為QUOTE×60=30QUOTE(海里/時(shí)).所以乙船每小時(shí)航行30QUOTE(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共30分)1.某人從A處動(dòng)身,沿北偏東60°行走3QUOTEkm到B處,再沿正東方向行走2km到C處,則A,C兩地的距離為()A.4km B.6km C.7km D.9km【解析】選C.如圖所示,由題意可知AB=3QUOTEkm,BC=2km,∠ABC=150°,由余弦定理得AC2=27+4-2×3QUOTE×2×cos150°=49,所以AC=7km,所以A,C兩地的距離為7km.2.一船自西向東勻速航行,上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔P的南偏西75°距燈塔68海里的M處,下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處,則這只船的航行速度為()A.QUOTE海里/小時(shí) B.34QUOTE海里/小時(shí)C.QUOTE海里/小時(shí) D.34QUOTE海里/小時(shí)【解析】選A.如圖所示,在△PMN中,QUOTE=QUOTE.所以MN=QUOTE=34QUOTE(海里),所以v=QUOTE=QUOTE(海里/小時(shí)).3.已知甲船位于小島A的南偏西30°的B處,乙船位于小島A處,AB=20千米,甲船沿的方向以每小時(shí)6千米的速度行駛,同時(shí)乙船以每小時(shí)8千米的速度沿正東方向行駛,當(dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí),他們行駛的時(shí)間為()A.QUOTE小時(shí) B.QUOTE小時(shí)C.QUOTE小時(shí) D.QUOTE小時(shí)【解析】選C.設(shè)當(dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí),他們行駛的時(shí)間為t小時(shí),此時(shí)甲船位于C處,乙船位于D處,則AC=(20-6t)千米,AD=8t千米,由余弦定理可得,CD2=(20-6t)2+(8t)2-2(20-6t)8tcos120°=52t2-80t+400,故當(dāng)CD取最小值時(shí),t=QUOTE.4.如圖,某炮兵陣地位于A點(diǎn),兩視察所分別位于C,D兩點(diǎn).已知△ACD為正三角形,且DC=QUOTEkm,當(dāng)目標(biāo)出現(xiàn)在B點(diǎn)時(shí),測(cè)得∠CDB=45°,∠BCD=75°,則炮兵陣地與目標(biāo)的距離是(精確到0.1) ()A.1.1km B.2.2km C.2.9km 【解析】選C.∠CBD=180°-∠BCD-∠CDB=60°.在△BCD中,由正弦定理,得BD=QUOTE=QUOTE.在△ABD中,∠ADB=45°+60°=105°,由余弦定理,得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos105°=3+QUOTE+2×QUOTE×QUOTE×QUOTE=5+2QUOTE.所以AB=QUOTE≈2.9(km).所以炮兵陣地與目標(biāo)的距離約是2.9km.【誤區(qū)警示】解題時(shí),要分清不同的三角形,在不同的三角形中,依據(jù)條件分別選用正弦定理和余弦定理.5.某人先向正東方向走了xkm,然后他向右轉(zhuǎn)150°,向新的方向走了3km,結(jié)果他離動(dòng)身點(diǎn)恰好為QUOTEkm,那么x的值為()A.QUOTE或2QUOTE B.2QUOTEC.3QUOTE D.3【解析】選A.如圖,在△ABC中由余弦定理得3=9+x2-6xcos30°,即x2-3QUOTEx+6=0,解之得x=2QUOTE或QUOTE.6.甲船在湖中B島的正南A處,AB=3km,甲船以8km/h的速度向正北方向航行,同時(shí)乙船從B島動(dòng)身,以12km/h的速度向北偏東60°方向駛?cè)?則行駛15min時(shí),兩船的距離是()A.QUOTEkm B.QUOTEkmC.QUOTEkm D.QUOTEkm【解析】選B.由題意知AM=8×QUOTE=2(km),BN=12×QUOTE=3(km),MB=AB-AM=3-2=1(km),所以由余弦定理得MN2=MB2+BN2-2MB·BNcos120°=1+9-2×1×3×QUOTE=13,所以MN=QUOTEkm.二、填空題(每小題5分,共10分)7.《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)“折竹抵地”問(wèn)題,2024年第1號(hào)臺(tái)風(fēng)“帕布”(熱帶風(fēng)暴級(jí))登陸時(shí)再現(xiàn)了這一現(xiàn)象,不少大樹被大風(fēng)折斷.某路邊一樹干被臺(tái)風(fēng)吹斷后(如圖所示,沒(méi)有完全斷開),樹干與地面成75°角,折斷部分與地面成45°角,樹干底部與樹尖著地處相距10米,則大樹原來(lái)的高度是米(結(jié)果保留根號(hào)).

【解題指南】依據(jù)題意,畫出示意圖,大樹原來(lái)的高度分為兩部分,利用正弦定理或余弦定理分別求出兩部分的長(zhǎng)度,求和即為大樹原來(lái)的高度.【解析】如圖所示,設(shè)樹干底部為O,樹尖著地處為B,折斷點(diǎn)為A,則∠AOB=75°,∠ABO=45°,所以∠OAB=60°.由正弦定理知,QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以O(shè)A=QUOTE米,AB=QUOTE米,所以O(shè)A+AB=(5QUOTE+5QUOTE)米.答案:(5QUOTE+5QUOTE)8.如圖,海岸線上有相距5海里的兩座燈塔A,B.燈塔B位于燈塔A的正南方向.海上停岸著兩艘輪船,甲船位于燈塔A的北偏西75°,與A相距3QUOTE海里的D處;乙船位于燈塔B的北偏西60°方向,與B相距5海里的C處,此時(shí)乙船與燈塔A之間的距離為海里,兩艘輪船之間的距離為海里.

【解析】連接AC,由題意可知AB=BC=5海里,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,∠CAD=45°,可得:AC=5海里,依據(jù)余弦定理可得CD2=AC2+AD2-2×AC×AD×cos∠CAD=25+18-2×5×3QUOTE×QUOTE=13,故乙船與燈塔A之間的距離為5海里,兩艘輪船之間的距離為QUOTE海里.答案:5QUOTE三、解答題(每小題10分,共20分)9.如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C,另一種是先從A沿索道乘纜車到B,然后從B沿直線步行到C.山路AC長(zhǎng)為1260m,經(jīng)測(cè)量,cosA=QUOTE,cosC=QUOTE.求索道AB的長(zhǎng).【解析】在△ABC中,因?yàn)閏osA=QUOTE,cosC=QUOTE,所以sinA=QUOTE,sinC=QUOTE.從而sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.由QUOTE=QUOTE得AB=QUOTE·sinC=QUOTE×QUOTE=1040(m).所以索道AB的長(zhǎng)為1040m.10.如圖,一人在C地看到建筑物A在正北方向,另一建筑物B在北偏西45°方向,此人向北偏西75°方向前進(jìn)QUOTEkm到達(dá)D處,看到A在他的北偏東45°方向,B在北偏東75°方向,試求這兩座建筑物之間的距離.【解析】依題意得,CD=QUOTEkm,∠ADB=∠BCD=30°=∠BDC,∠DBC=120°,∠ADC=60°,∠DAC=45°.在△BDC中,由正弦定理得BC=QUOTE=QUOTE=QUOTE(km).在△ADC中,由正弦定理得AC=QUOTE=QUOTE=3QUOTE(km).在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=(3QUOTE)2+(QUOTE)2-2×3QUOTE×QUOTEcos45°=25.所以AB=5km,故這兩座建筑物之間的距離為5km.1.某觀測(cè)站C在A城的南偏西20°的方向,由A城動(dòng)身有一條馬路,馬路走向是南偏東40°,在馬路上測(cè)得距離C31km的B處有一人正沿馬路向A城走去,走了20km后到達(dá)D處,此時(shí)C,D之間相距21km,問(wèn)此人還要走km才能到達(dá)A城.

【解析】如圖,∠CAB=60°,BD=20km,CB=31km,CD=21km.在△BCD中,由余弦定理的推論,得cos∠BDC=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,則sin∠BDC=QUOTE.在△ACD中,∠ACD=∠BDC-∠CAD=∠BDC-60°.由正弦定理,得AD=QUOTE.因?yàn)閟in∠ACD=sin(∠BDC-60°)=sin∠BDCcos60°-cos∠BDCsin60°=QUOTE,所以AD=QUOTE=15(km).答案:15【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖,為了測(cè)量A,C兩點(diǎn)間的距離,選取同一平面上B,D兩點(diǎn),測(cè)