第3章 線性代數(shù)

第3章線性代數(shù)3.1矩陣的概念與運(yùn)算3.2行列式3.3矩陣的秩與矩陣的初等變換3.4逆矩陣3.5線性方程組3.6矩陣的應(yīng)用返回3.1矩陣的概念與運(yùn)算「先行問(wèn)題」在工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)工作和現(xiàn)實(shí)生活中有大量與數(shù)據(jù)及數(shù)表有關(guān)的問(wèn)題，數(shù)學(xué)上如何表示?3.1.1矩陣的概念引例某公司生產(chǎn)甲，乙，丙三種產(chǎn)品，它們的生產(chǎn)成本由原材料費(fèi)用，人工費(fèi)用和其他費(fèi)用三項(xiàng)構(gòu)成.表3-1給出了每種產(chǎn)品的每項(xiàng)費(fèi)用的預(yù)算.下一頁(yè)返回3.1矩陣的概念與運(yùn)算將上表中主要關(guān)心的數(shù)據(jù)按原來(lái)次序排列成矩形數(shù)表，并加上括號(hào)以表示這些數(shù)據(jù)(一個(gè)整體)，就得到矩陣如果該公司2007年各季度產(chǎn)品的計(jì)劃生產(chǎn)數(shù)如表3-2所示.上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.1矩陣的概念與運(yùn)算同樣，由這些數(shù)據(jù)可得到矩陣定義3.1由m×n個(gè)數(shù)(i=1,2,...,m;j=l,2,...,n)排成m行n列的矩形數(shù)表用圓括號(hào)或方括號(hào)將其括起來(lái)，稱為m×n，型矩

陣，通常用大寫字母A,B,C,...表示，即上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.1矩陣的概念與運(yùn)算的第i行第j列處的元素.特殊矩陣:(1)方陣:行數(shù)與列數(shù)相等的矩陣稱為方陣.如:

稱為n階方陣.(2)行矩陣:當(dāng)矩陣滿足m=l,n＞l時(shí)，稱其為行矩陣.如:A=(2453).上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.1矩陣的概念與運(yùn)算(3)列矩陣:當(dāng)矩陣滿足m＞l,n=1時(shí)，稱其為列矩陣.如:(4)零矩陣:所有元素都是零的矩陣，記作

或O.(5)單位矩陣:滿足主對(duì)角線上元素全部為i，其余元素全部為零的方陣稱為單位矩陣，記作

或E,I.上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.1矩陣的概念與運(yùn)算(6)對(duì)角矩陣:滿足除對(duì)角線上元素不全部為零，其余元素全部為零的方陣稱為對(duì)角矩陣，若其對(duì)角線上元素為

則對(duì)角矩陣可記作diag( )(7)數(shù)量矩陣:主對(duì)角線上元素全部不為零的對(duì)角矩陣，稱為數(shù)量矩陣.上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.1矩陣的概念與運(yùn)算

(8)三角矩陣:滿足沿著對(duì)角線以下元素(以上元素)全為零的方陣稱為上(下)三角矩陣.上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.1矩陣的概念與運(yùn)算上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.1矩陣的概念與運(yùn)算3.1.2矩陣的運(yùn)算1.同型矩陣與矩陣的相等定義3.2如果兩個(gè)矩陣的行數(shù)相同，列數(shù)一也相同，就稱它們是同型矩陣.定義3.3如果兩矩陣

和

是同型矩陣，且它們對(duì)應(yīng)的元素相等，即

則稱矩陣A與B相等，記為A=B.2.矩陣的加法、減法與數(shù)乘定義3.4如果兩矩陣

和

是同型矩陣，k為常數(shù).規(guī)定A與B的加法:上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.1矩陣的概念與運(yùn)算上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.1矩陣的概念與運(yùn)算不難驗(yàn)證，上述運(yùn)算滿足下面八條運(yùn)算律:設(shè)A,B,C為同型矩陣，k,l為常數(shù)，則有(1)A+B=B+A(5)1·A=A(2(A+B)+C=A+(B+C);(6)(kl)A=k(lA);(3)A+O=A;(7)(k+l)A=kA+IA;(4)A+(-A)=O;(8)k(A+B)=kA+kB.上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.1矩陣的概念與運(yùn)算上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.1矩陣的概念與運(yùn)算3.矩陣乘法先看一個(gè)實(shí)例，設(shè)有甲、乙、丙三種產(chǎn)品，其中2001年，2002年兩年的銷售量用矩陣A表示，其成本、銷售價(jià)用矩陣B表示.即上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.1矩陣的概念與運(yùn)算分別求兩年成本總額和銷售總額:2001年成本總額為=1000X3X4000X4X3000X6=37000;2001年銷售總額為=1000X3.5X4000X4.4X3000X6.8=41500;2002年成本總額為=700X3X3550X4X4000X6=40300;2002年銷售總額為=700X3.5+3550X4.4X4000X6.8=45270.上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.1矩陣的概念與運(yùn)算用矩陣C表達(dá)上述計(jì)算結(jié)果，即上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.1矩陣的概念與運(yùn)算注意:A的列數(shù)=B的行數(shù);AB的行數(shù)=A的行數(shù);AB的列數(shù)=B的列數(shù).上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.1矩陣的概念與運(yùn)算BA無(wú)意義上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.1矩陣的概念與運(yùn)算上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.1矩陣的概念與運(yùn)算從上面的例子可以看出:C1)矩陣乘法不滿足交換律，即AB筍BA;C2)含零因子，即A≠O,B≠O，但是BA=O或AB=O;(3)消去律不成立，即AB=AC且A≠0，但B≠C.

不難驗(yàn)證，下面的運(yùn)算律成立.(1)(AB)C=A(BC)(乘法結(jié)合律);上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.1矩陣的概念與運(yùn)算(2)A(B+C)=AB+AC(左分配律);(A+B)C=AC+BC(右分配律);(3)k(AB)=(kA)B=A(kB);(4)EA=A,AE=A(單位1).利用矩陣可將線性方程組表示成矩陣方程，設(shè)n元線性方程組上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.1矩陣的概念與運(yùn)算常數(shù)項(xiàng)矩陣為

則線性方程組(3-1)的矩陣形式為AX=B

(3一2)上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.1矩陣的概念與運(yùn)算例3-6設(shè)有A,B,C三國(guó)，它們的城市

之間的交通連接情況(不考慮國(guó)內(nèi)交通)如圖:求A,C兩國(guó)城市之間的交通連接條數(shù).解根據(jù)上圖，A國(guó)和B國(guó)城市之間交通連接情況可用矩陣M=上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.1矩陣的概念與運(yùn)算同樣，B國(guó)和C國(guó)城市之間的交通情況可用矩陣表示為用P來(lái)表示矩陣M與N的乘積，那么可算出上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.1矩陣的概念與運(yùn)算矩陣P正是A,C兩國(guó)城市之間的交通連接條數(shù)矩陣.4.方陣的冪設(shè)A為n階方陣，k,l為正整數(shù)，定義A的方冪如下:可以證明（1）

（2）上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.1矩陣的概念與運(yùn)算 (缺省位置為零元

素，下同.)上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.1矩陣的概念與運(yùn)算上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.1矩陣的概念與運(yùn)算5.矩陣的轉(zhuǎn)置將矩陣A的所有行換

成相應(yīng)的列上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.1矩陣的概念與運(yùn)算容易看出，若矩陣A為n×m矩陣，則為m×n，矩陣;矩陣A的第i行第j列處的元素

，在中則為第j行第i列處的元素.可以證明，轉(zhuǎn)置矩陣具有以下性質(zhì):上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.1矩陣的概念與運(yùn)算上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.1矩陣的概念與運(yùn)算上一頁(yè)返回3.2行列式行列式是一種數(shù)學(xué)工具，行列式與矩陣密切聯(lián)系.3.2.1行列式的概念1.二階、三階行列式的定義一階行列式定義為 =a,二階行列式定義為

下一頁(yè)返回|a|3.2行列式上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.2行列式

上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.2行列式2.余子式與代數(shù)余子式為了定義n階行列式的數(shù)值，我們先來(lái)看行列式的余子式與代數(shù)余子式的概念.定義3.7n階矩陣A(行列式|A|)中，劃去元素所在的行和列，余下的元素按原來(lái)的順序組成的n-1階行列式叫做元素

的余子式，記為

叫做元素

的代數(shù)余子式.對(duì)于二階行列式上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.2行列式上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.2行列式3.n階行列式的定義上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.2行列式這是n階行列式的遞歸定義.二階行列式顯然滿足這個(gè)定義，三階行列式由二階行列式定義上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.2行列式上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.2行列式上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.2行列式上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.2行列式如此下去，由4階行列式定義5階行列式，…，由n一1階行列式定義n階行列式.上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.2行列式上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.2行列式上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.2行列式上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.2行列式上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.2行列式上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.2行列式3.2.2行列式的性質(zhì)上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.2行列式上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.2行列式上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.2行列式上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.2行列式性質(zhì)4滿足下列條件之一的行列式的值為0.(1)行列式中有一行(列)的元素全為0;(2)行列式中有兩行(列)元素對(duì)應(yīng)相等;(3)行列式中有兩行(列)元素對(duì)應(yīng)成比例.性質(zhì)5如果行列式的某一行(列)的元素都可寫成兩項(xiàng)之和，則此行列式可以拆分為兩個(gè)行列式之和，這兩個(gè)行列式分別以這兩項(xiàng)為所在行(列)對(duì)應(yīng)位置的元素，其他位置的元素與原行列式相同.上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.2行列式性質(zhì)6把行列式的某一行(列)的元素都乘以k加到另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素上，行列式的值不變.上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.2行列式上述性質(zhì)在計(jì)算行列式中可以簡(jiǎn)化行列式，提高運(yùn)算的準(zhǔn)確性，應(yīng)用非常廣泛，證明從略.上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.2行列式3.2.3行列式的計(jì)算定理3.1行列式的值等于它的任一行(列)所有元素與其代數(shù)余子式的乘積之和.即上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.2行列式定理3.2若A,B均為n階方陣，則|AB|=|A||B|.上述定理3.1稱為行列式按一行(列)展開(kāi)法則，定理3.2為矩陣的行列式的乘法法則，是很重要的結(jié)論，證明從略，但要注意掌握應(yīng)用.對(duì)于一個(gè)n階行列式，通常是利用性質(zhì)，將其化簡(jiǎn)為三角行列式，或?qū)⑵浠?jiǎn)為某行(列)元素多數(shù)為零，再用展開(kāi)法則降階，直至化到二、三階行列式求值.下面我們結(jié)合實(shí)例，介紹一些行列式的計(jì)算方法.上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.2行列式上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.2行列式上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.2行列式上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.2行列式上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.2行列式上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.2行列式3.2.4行列式的應(yīng)用用行列式可以將方程個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)相等的線性方程組公式化求解.定理3.3(Cramer法則)對(duì)于n元線性方程組上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.2行列式上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.2行列式上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.2行列式上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.2行列式上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.2行列式上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.2行列式上一頁(yè)返回3.3矩陣的秩與矩陣的初等變換3.3.1矩陣的秩「先行問(wèn)顆〕矩陣的秩的概念是為了深入研究線性方程組問(wèn)題.從例3-19看到，矩陣可經(jīng)初等行變換化為行階梯形矩陣，且行階梯形矩陣所含非零行的行數(shù)是唯一確定的，這個(gè)數(shù)實(shí)質(zhì)上就是矩陣的“秩”，下面利用行列式來(lái)定義矩陣的秩，然后給出利用初等變換求矩陣的秩的方法.1.矩陣秋的定義定義3.9在m×n矩陣A中，任取k行k列(1≤k≤m,1≤k≤n)，位于這些行列交又處的k2個(gè)元素，不改變它們?cè)贏中所處的位置次序而得到的k階行列式，稱為矩陣A的k階子式.下一頁(yè)返回3.3矩陣的秩與矩陣的初等變換在A的第一、二行和三、四列交點(diǎn)上的4個(gè)元素按原來(lái)次序組成的行列式為A的二階子式.上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.3矩陣的秩與矩陣的初等變換注:m×n，矩陣A的k階子式共有

個(gè).設(shè)A為m×n矩陣，當(dāng)A=O時(shí)，它的任何子式都為零.當(dāng)A≠O時(shí)，它至少有一個(gè)元素不為零，即它至少有一個(gè)一階子式不為零.再考察二階子式，若A中有一個(gè)二階子式不為零.則往下考察三階子式，如此進(jìn)行下去，最后A中有r階子式不為零，而再?zèng)]有比:更高階的不為零的子式.這個(gè)不為零的子式的最高階數(shù):反映了矩陣A內(nèi)在的重要特征，在矩陣的理論與應(yīng)用中都有重要意義.定義3.10設(shè)A為m×n矩陣，如果存在A的r階子式不為零，而任何r+1階子式(如果存在)皆為零，則稱數(shù)r為矩陣A的秩，記為r(A)或R(A).并規(guī)定零矩陣的秩等于零.顯然，矩陣的秩具有下列性質(zhì)上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.3矩陣的秩與矩陣的初等變換(1)若矩陣A中有某個(gè)s階子式不為0，則r(A}≥0;(2)若A中所有t階子式全為0，則r(A)＜t;(3)若A為m×n矩陣，則0≤r(A)≤min{m,n};(4)r(A)=r .

上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.3矩陣的秩與矩陣的初等變換所以，A的非零子式的最高階數(shù)至少是2,即r(A)≥2.A中共有4個(gè)三階子式:即所有三階子式值為零，故r(A)=2.上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.3矩陣的秩與矩陣的初等變換利用定義計(jì)算矩陣的秩，需要由高階到低階考慮矩陣的子式，當(dāng)矩陣的行數(shù)與列數(shù)較高時(shí)，按定義求秩是非常麻煩的.由于行階梯形矩陣的秩很容易判斷，而任意矩陣都可以經(jīng)過(guò)初等變換化為行階梯形矩陣.因而可考慮借助初等變換法來(lái)求矩陣的秩.上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.3矩陣的秩與矩陣的初等變換3.3.2矩陣的初等變換「先行問(wèn)題」在計(jì)算行列式時(shí)，利用行列式的性質(zhì)可以將給定的行列時(shí)化為上(下)三角形行列式，從而簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算;把行列式的某些性質(zhì)引用到矩陣上，會(huì)給我們研究矩陣帶來(lái)很大的方便，這些性質(zhì)反映到矩陣上就是矩陣的初等變換.定義3.11對(duì)矩陣的行(列)進(jìn)行下列三種變換叫做矩陣的初等行(列)變換.統(tǒng)稱為初等變換.(1)換法變換:矩陣的兩行(列)元素互換，其余元素不變.用

表示i,j兩行交換;用表示i,j兩列交換.(2)倍法變換:用一個(gè)非零數(shù)乘以矩陣某一行(列)的所有元素，其余元素不變.用

表示k乘以第i行;用

表示k乘以第i列.上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.3矩陣的秩與矩陣的初等變換(3)消法變換:矩陣某一行(列)的所有元素都乘以k加到另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素上去，其余元素不變.用

表示第i行乘以k加到第j行;用

表示第i列乘以k加到第i列.

能多的零.上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.3矩陣的秩與矩陣的初等變換上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.3矩陣的秩與矩陣的初等變換「課堂練習(xí)」1.已知矩陣

，對(duì)其作初等行變換，先

化為行階梯形矩陣，再化為行簡(jiǎn)化形矩陣.(參考例3-20結(jié)果)2.用初等變換將矩陣

化為行階梯形矩陣.上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.3矩陣的秩與矩陣的初等變換2.利用初等變換求矩陣的秋定理3.5設(shè)A是m×n，矩陣，則r(A)=k的充分必要條件是把矩陣A用初等行變換變成具有k個(gè)非零行的行階梯形矩陣，即:行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是該矩陣的秩.例3-21已知矩陣求r(a)，r(b)，r(ab)上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.3矩陣的秩與矩陣的初等變換上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.3矩陣的秩與矩陣的初等變換3.滿秩矩陣定義3.12設(shè)A為n階矩陣，若r(A)=n，則稱A為滿秩矩陣或非奇異矩陣.例如，矩陣由此可見(jiàn)，數(shù)量矩陣和單位矩陣都是滿秩矩陣.例3-22判斷下列矩陣是否為滿秩矩陣上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.3矩陣的秩與矩陣的初等變換由于A階數(shù)為3，而r(A)=2＜3，所以該矩陣不是滿秩矩陣.

上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.3矩陣的秩與矩陣的初等變換

上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.3矩陣的秩與矩陣的初等變換上一頁(yè)返回3.4逆矩陣3.4.1逆矩陣的概念「先行問(wèn)題」在矩陣的運(yùn)算中，我們已經(jīng)定義了矩陣的加法、減法、數(shù)乘與乘法，是否可以定義矩陣的除法呢?在數(shù)的乘法中，a除以b等于a乘b的倒數(shù)，即a÷b=a×.因此，除法實(shí)際上可以統(tǒng)一為乘法.我們知道，當(dāng)a≠0時(shí)，存在

，使

，可以類似地定義矩陣的“倒數(shù)”.定義3.13對(duì)于一個(gè)n階方陣A，如果存在一個(gè)n階方陣B，使得AB=BA=E成立，則稱矩陣A是可逆矩陣(或A是可逆的),B是A的逆矩陣.由定義可以驗(yàn)證，如果矩陣A可逆，則A的逆矩陣是唯一的.記A的逆矩陣下一頁(yè)返回3.4逆矩陣?yán)?設(shè)矩陣因?yàn)橐部梢钥闯鼍仃嘇與B地位是平等的，B是A的逆矩陣，而A一也是B的逆矩陣，即A與其逆矩陣B是互逆的.單位矩陣的逆矩陣是其本身.由EE=E，得 =E.定理3.6一個(gè)n階矩陣A可逆的充分必要條件是矩陣A為滿秩矩陣，即r(A)=n.上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.4逆矩陣上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.4逆矩陣3.4.2逆矩陣的性質(zhì)和計(jì)算1.逆矩陣的性質(zhì)根據(jù)逆矩陣的定義可知，逆矩陣具有下列性質(zhì)(1)若矩陣A可逆，則A?1也可逆，并且(A?1)?1=A;(2)若n階方陣A與B都可逆，則AB也可逆，并且(AB)1?=B1?A1?證明因?yàn)锳與B都可逆，所以存在A1?和B1?，而

(AB)(B1?A1?)=A(BB1?)A1?=AIA1?=AA1?=E

(B1?A1?)(AB)=B1?(A1?A)B=B1?IB=B1?B=E由定義知AB可逆，且

(AB)'1?=B1?A1?上一頁(yè)下一頁(yè)返回-3.4逆矩陣此性質(zhì)可以推廣到多個(gè)矩陣相乘的情形，如

均為n階可逆陣，則

也可逆，且注意:雖然多個(gè)方陣都可逆，其乘積就可逆，但其代數(shù)和卻不一定可逆.如矩陣A與B可逆，A士B不一定可逆，反之亦然.

而零矩陣是不可逆的，因此A+B不可逆.上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.4逆矩陣(3)若矩陣A可逆，有常數(shù)k≠0，則kA也可逆，且(kA)1?=k1?A1?(4)若矩陣A可逆，則

也可逆，并且2.逆矩陣的計(jì)算用定義直接判斷一個(gè)矩陣是否可逆，并求其逆矩陣是很困難的，下面我們討論矩陣可逆的判定方法.定理3.7(n階矩陣A可逆的必要條件)方陣A可逆的必要條件為:IAI≠0，其中IAI記為detA，它表示方陣A中元素排列而成的行列式.

上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.4逆矩陣

本定理的逆否命題是:若方陣A是奇異陣，則A一定不可逆.由矩陣可逆的判定定理可知:只有方陣才有可能存在逆矩陣，而零矩陣一定不可逆;同時(shí)并非所有非零方陣都可逆，方陣可逆需滿足detA≠0.例3-25判斷矩陣

是否可逆?解因?yàn)锳中的第一行與第四行相同，所以根據(jù)行列式的性質(zhì)，有：

detA=0上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.4逆矩陣故由定理3.7知，A不可逆.如何求逆矩陣，首先引進(jìn)伴隨矩陣概念.定義3.14對(duì)于n階方陣稱n階方陣上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.4逆矩陣為A的伴隨矩陣，記作

其中的元素

，為行列式detA中的元素

的代數(shù)余子式.

定理3.8(n階矩陣A可逆的充要條件)矩陣A為可逆矩陣的充要條件是:detA≠0且有上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.4逆矩陣說(shuō)明:該定理的重要性在于它揭示了一個(gè)n階矩陣A是否可逆取決于它的行列式是否不等于零,從而可以看到n階矩陣是否可逆與它的行列式之間的密切關(guān)系.例3-26矩陣A=,問(wèn)當(dāng)a,b,c,d滿足什么條件時(shí)矩陣A可逆，并求A1?.所以當(dāng)ad－be≠0時(shí)，有detA≠0，矩陣A可逆.上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.4逆矩陣

上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.4逆矩陣上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.4逆矩陣

「課堂練習(xí)」1.設(shè)

并判斷其是否可逆，若可逆則求出其逆矩陣A1?.上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.4逆矩陣

對(duì)于三階以上的矩陣，由上述方法求逆矩陣運(yùn)算量太大，下面我們介紹用初等變換求逆矩陣的方法.由n階矩陣A與E，構(gòu)造一個(gè)n×2n，矩陣(AE)，對(duì)這個(gè)矩陣作初等行變換，將A化為單位矩陣，則E就化為了A1?.(證明從略)上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.4逆矩陣上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.4逆矩陣上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.4逆矩陣

上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.4逆矩陣3.4.3逆矩陣的應(yīng)用(1)n元線性方程組AX=B，當(dāng)系數(shù)行列式lAl≠0時(shí)，矩陣A可逆，兩邊左乘以A1?得A1?AX=A1?B，從而X=A1?B.(2)更一般地，推)’一到求解下面的三類矩陣方程:設(shè)A可逆，B可逆，且A,B,C已知，則AX=CX=A1?CXB=CX=CB1?AXB=CX=A1?CB1?而求X=A1?B可采用:上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.4逆矩陣

上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.4逆矩陣上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.4逆矩陣上一頁(yè)返回3.5線性方程組在前面我們討論了n個(gè)未知量n個(gè)方程的線性方程組有唯一解的情況，下面我們討論一般n個(gè)未知量m個(gè)方程的線性方程組.設(shè)n元線性方程組

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則線性方程組(3-7)的矩陣形式為

AX=B(3一8)「先行問(wèn)題」我們主要解決以下問(wèn)題:(1)怎樣判定線性方程組有解，無(wú)解?(2)怎樣判定線性方程組有唯一解?有無(wú)窮多解?(3)線性方程組有解時(shí)怎樣求解?上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.5線性方程組3.5.1高斯消元法解方程組的消元過(guò)程與增廣矩陣的初等行變換過(guò)程對(duì)照如下:

上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.5線性方程組上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.5線性方程組所以通過(guò)上表對(duì)照可以看出，對(duì)線性方程組做順序消元的過(guò)程，實(shí)質(zhì)上就是對(duì)其增廣矩陣做初等行變換的過(guò)程.解一般線性方程組，只需寫出增廣矩陣，對(duì)增廣矩陣做初等行變換(消元)，化為行最簡(jiǎn)形式，最后還原為最簡(jiǎn)線性方程組，寫出解.這就是高斯消元法.上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.5線性方程組

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上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.5線性方程組3.5.2方程組的解的判定與求解對(duì)線性方程組(3-9)(或(3-8))增廣矩陣進(jìn)行初等行變換化為行最簡(jiǎn)矩陣形式上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.5線性方程組還原成方程組為線性方程組(3-9)(或(3-8))與線性方程組(3-9)同解.對(duì)于線性方程組(3-9)

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上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.5線性方程組這時(shí)R(A)=r,R()=r,即R(A)=R().且當(dāng)R(A)=r＜n時(shí)，任意取定一組常數(shù)

，都可求得線性方程組的相應(yīng)一組解，此時(shí)線性方程組有無(wú)窮多組解;當(dāng)R(A)=r=n時(shí)，線性方程組有唯一解.定理3.9線性方程組AX=B有解的充分必要條件是R(A)=R().定理3.10若n元線性方程組AX=B有解，則當(dāng)R(A)=r＜n，時(shí)，方程組有無(wú)窮多組解;當(dāng)R(A)=r=n時(shí)，方程組有唯一解.定理3.11n元齊次線性方程組AX=0有非零解的充分必要條件是R(A)＜n.

上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.5線性方程組上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.5線性方程組R()=R(A)=2＜4，有無(wú)窮多解.注意到我們交換了2,3列，而第2列是的系數(shù)，第3列是的系數(shù).所以，在還原方程組時(shí)要記住:

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上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.5線性方程組上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.5線性方程組注:其實(shí)從(*)已經(jīng)可以看出有矛盾方程，不必再做初等行變換了.上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.5線性方程組「課堂練習(xí)」1.線性方程組X=b有無(wú)窮多解的充分必要條件是（）A.r(A)=r()<mB.r()<nC.m<nD.r(A)=r()<n2.設(shè)線性方程組AX=b有唯一解，則相應(yīng)的齊次方程組AX=O解的情況為（）

A.無(wú)解B.只有0解C.有非0解D.不能確定上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.5線性方程組

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上一頁(yè)返回3.6矩陣的應(yīng)用3.6.1設(shè)備更新問(wèn)題今以某企業(yè)的某種機(jī)械設(shè)備為例，四年為一期限.設(shè)在四年內(nèi)各年度新設(shè)備購(gòu)價(jià)，新、舊設(shè)備在使用年度內(nèi)的維修費(fèi)，創(chuàng)造價(jià)值(生產(chǎn)能力)等如表3-3所示.下一頁(yè)返回3.6矩陣的應(yīng)用現(xiàn)在來(lái)構(gòu)造費(fèi)用矩陣S,C和價(jià)值矩陣.由表3-3的第3行可得在不同年度早更新設(shè)備，新設(shè)備的維修費(fèi)用矩陣為由表3-3的第5行可得舊設(shè)備的維修費(fèi)用矩陣為上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.6矩陣的應(yīng)用所以總維修費(fèi)用矩陣為矩陣N和M的第1行，表示第1年就更新了一臺(tái)設(shè)備.因?yàn)樾略O(shè)備在四年內(nèi)各年度均有維修費(fèi)用支出，列于N中，而舊設(shè)備已被換掉，故不再支付舊設(shè)備的維修費(fèi)用，均以零列于M中;矩陣N和M的第2行，表示這臺(tái)設(shè)備是從第2年開(kāi)始更新的，故新設(shè)備的維修費(fèi)用從第2年開(kāi)始支付，列于N的第2行，而舊設(shè)備在第1年仍在使用，仍需支付維修費(fèi)用一年，列于M中;同樣道理，矩陣N和M的第3,4行，則分別表示這臺(tái)設(shè)備是第3或第4年更新及其維修費(fèi)用支出.上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.6矩陣的應(yīng)用可構(gòu)造這臺(tái)設(shè)備的原值費(fèi)用矩陣為還可構(gòu)造新設(shè)備創(chuàng)造價(jià)值矩陣為上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.6矩陣的應(yīng)用舊設(shè)備創(chuàng)造價(jià)值矩陣為所以總創(chuàng)造價(jià)值矩陣認(rèn)上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.6矩陣的應(yīng)用我們的日的是希望在四年期限內(nèi)得到凈剩余最大，于是應(yīng)在矩陣-S-C中，找出同一行元素之和最大者，即計(jì)算因此，在第1年就更新設(shè)備，總效益最大.但如果要求凈價(jià)值不少于28萬(wàn)元，考慮到提高舊設(shè)備的利用率及新設(shè)備的使用壽命和其他原因，在第2年更新設(shè)備也是可以的.上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.6矩陣的應(yīng)用3.6.2投入產(chǎn)出模型在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中分析投入多少財(cái)力、物力、人力，產(chǎn)出多少社會(huì)財(cái)富是衡量經(jīng)濟(jì)效益高低的主要標(biāo)志.投入產(chǎn)出技術(shù)正是研究一個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)各部門間的“投入”與“產(chǎn)出”關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，該方法最早由美國(guó)著名的經(jīng)濟(jì)學(xué)家瓦·列昂捷夫<W.I_eontief)提出，是日前比較成熟的經(jīng)濟(jì)分析方法.按計(jì)量單位不同，該模型可分為價(jià)值型和實(shí)物型.前者投入、產(chǎn)出以貨幣單位表示;后者則以產(chǎn)品的實(shí)物單位表示.例3-38已知某經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)投入產(chǎn)出情況如表3-4所示，試求直接消耗系數(shù)矩陣.第J部門生產(chǎn)單位價(jià)值所消耗第i部門的價(jià)值稱為第J部門對(duì)第i部門的直接消耗系數(shù)，上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.6矩陣的應(yīng)用記作稱n階矩陣A=()為直接消耗系數(shù)矩陣.上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.6矩陣的應(yīng)用解由直接消耗系數(shù)的定義，得直接消耗系數(shù)矩陣?yán)?-39設(shè)某工廠有三個(gè)車間，在某一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)各車間之間的直接消耗系數(shù)及最終需求如表3-5，求各車間的總產(chǎn)值

稱為產(chǎn)品分配平衡方程組，其中

表示部門i的總產(chǎn)出水平;為部門i提供給部門j的使用量

表示部門i的最終需求)上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.6矩陣的應(yīng)用解由直接消耗系數(shù)的定義由此產(chǎn)品分配平衡方程組可變形為AX+Y=X或(E-A)X=Y.(注:稱矩陣E-A為列昂捷夫矩陣)可計(jì)算出上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.6矩陣的應(yīng)用上一頁(yè)下一頁(yè)返回3.6矩陣的應(yīng)用即三個(gè)車間的總產(chǎn)值分別為400,300,350.例3-40假設(shè)一個(gè)經(jīng)