經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)電子教案 3.3隨機(jī)變量的數(shù)字特征1

經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)課題隨機(jī)變量的數(shù)字特征1（2學(xué)時(shí)）時(shí)間年月日教學(xué)目的要求1.理解隨機(jī)變量的期望的概念。2.熟練掌握離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求解。重點(diǎn)理解隨機(jī)變量的期望的概念。難點(diǎn)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求解。教學(xué)方法手段結(jié)合案例，講授為主。主要內(nèi)容時(shí)間分配引例5分鐘一、均值的概念10分鐘例1-310分鐘二、隨機(jī)變量函數(shù)的均值10分鐘例4-510分鐘三、均值的性質(zhì)10分鐘例65分鐘四、常見的隨機(jī)變量的均值25分鐘練習(xí)10分鐘小結(jié)5分鐘作業(yè)備注【引例】甲、乙二人進(jìn)行飛鏢比賽，以分別表示他們命中的環(huán)數(shù)，其分布列分別為試問誰的技術(shù)好些?這個(gè)問題的答案并不是一眼看得出的．這說明了分布列雖然完整地描述了離散型隨機(jī)變量的概率特征，但是卻不夠“集中”地反映出它的變化情況.因此我們有必要找出一個(gè)量來更集中、更概括地描述隨機(jī)變量，這些量多是某種平均值．若在上述問題中，他們射中靶的總環(huán)數(shù)大約是甲：乙：平均起來甲每槍射中9.3環(huán)，乙每槍射中9.1環(huán)，因此可以認(rèn)為甲射手的本領(lǐng)要好些．【主要內(nèi)容】一、均值的概念1.離散型隨機(jī)變量的均值定義1設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為稱為的均值或數(shù)學(xué)期望，記作，即．【例1】有一批鋼筋共10根，抗拉強(qiáng)度指標(biāo)為120和130的各有2根，125的有3根，110，135，140的各有一根，求它們的平均抗拉強(qiáng)度指標(biāo)．解設(shè)抗拉強(qiáng)度為隨機(jī)變量，其分布列為則所以平均抗拉強(qiáng)度為126．【例2】每張福利彩票售價(jià)5元，各有一個(gè)對(duì)獎(jiǎng)號(hào)另外規(guī)定，只領(lǐng)取之中最高額的獎(jiǎng)金解設(shè)為一張彩票的中獎(jiǎng)金額，其分布列為所以,每張彩票的平均所得獎(jiǎng)金為這也意味，每一開獎(jiǎng)組把籌得的500萬元中的320萬元已獎(jiǎng)金的形式返給彩民，其余180萬元?jiǎng)t可用于福利事業(yè)及管理費(fèi)用.2.連續(xù)型隨機(jī)變量的均值定義2設(shè)為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為，如果絕對(duì)收斂，則稱為的均值或數(shù)學(xué)期望，記作，即．【例3】設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為，求．解由連續(xù)型隨機(jī)變量均值的概念二、隨機(jī)變量函數(shù)的均值定理1設(shè)是隨機(jī)變量的函數(shù)：（其中是連續(xù)函數(shù)），（1）是離散型隨機(jī)變量，它的分布列為，則.（2）是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為，則．注意：定理的重要意義在于當(dāng)我們求時(shí)，不必算出的分布列或密度函數(shù)，而只需利用的分布列或密度函數(shù)就可以求出．【例4】設(shè)的概率分布為求．解；；．【例5】已知,求．解因?yàn)?，則概率密度函數(shù)為，則＝=．三、均值的性質(zhì)1.常數(shù)的均值等于常數(shù)本身，即(為常數(shù)).2.設(shè)為隨機(jī)變量，為常數(shù)，則.3.設(shè)為隨機(jī)變量，為常數(shù)，則.4.設(shè)為隨機(jī)變量，為常數(shù)，則.5.設(shè)，為隨機(jī)變量，則.6.設(shè)，為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則．【例6】假定國(guó)際市場(chǎng)上每年對(duì)我國(guó)某種出口商品的需求量是隨機(jī)變量（單位:千噸），其密度函數(shù)為．設(shè)每售出這種商品一千噸，可為國(guó)家掙得外匯3千萬元；但假如銷售不了而囤積于倉(cāng)庫(kù)，則每噸須花保養(yǎng)費(fèi)1千萬元，問需要組織多少貨源，才能使國(guó)家收益最大？解設(shè)為一年預(yù)備出口的該種商品量，由于外國(guó)的需求量為，則國(guó)家收入（單位:千萬元）是的函數(shù)，且若收益達(dá)到最大，那么其平均值也達(dá)到最大．而==+=解得，當(dāng)=3500時(shí)，取得最大值．所以，須組織3500千噸該商品，平均說來能使國(guó)家的收益最大，這最好的決策．四、幾種典型分布的均值1.兩點(diǎn)分布設(shè)服從兩點(diǎn)分布，其概率分布為，由離散型隨機(jī)變量均值的概念.2.二項(xiàng)分布設(shè)服從二項(xiàng)分布，即，由離散型隨機(jī)變量均值的概念===．3.泊松分布設(shè)隨機(jī)變量服從泊松分布，即由離散型隨機(jī)變量均值的概念====．4.均勻分布設(shè)服從均勻分布，其概率密度函數(shù)為由連續(xù)型隨機(jī)變量均值的概念＝．5.指數(shù)分布設(shè)服從指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為由連續(xù)型隨機(jī)變量均值的概念===．6.正態(tài)分布設(shè)，其概率密度函數(shù)為由連續(xù)型隨機(jī)變量均值的概念．所以，正態(tài)分布的均值．【課堂練習(xí)】1.一民航送旅客車載有20位旅客自機(jī)場(chǎng)開出，旅客有10個(gè)車站可以下車.設(shè)每