福建省泉州市安溪縣2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期11月期中測評試題 數(shù)學(xué)（含解析）

絕密★啟用前2024~2025學(xué)年高三11月測評（福建）數(shù)學(xué)全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚。4．考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．若和是兩個(gè)互不相等的正實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知，是兩個(gè)非零平面向量，，則在方向上的投影向量為（）A． B． C． D．5．在平面直角坐標(biāo)系中，將角的終邊順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后經(jīng)過點(diǎn)，則（）A． B． C． D．6．定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足，若函數(shù)的最小值為，則（）A．1 B．3 C． D．7．?dāng)?shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為．，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A． B． C． D．8．函數(shù)的定義域?yàn)?，為的?dǎo)函數(shù)，滿足，，則的最小值為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．下列函數(shù)最小值為4的是（）A． B．C． D．10．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，的最小正周期為B．函數(shù)過定點(diǎn)C．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)是偶函數(shù)，則的最小值為D．函數(shù)在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為11．已知正方體的棱長為2，，，分別是，，的中點(diǎn)，點(diǎn)為正方體表面上的一動點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．的面積為B．三棱錐體積的最大值為C．若平面，則點(diǎn)的軌跡長度為D．當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，到直線的距離為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．函數(shù)，則________．13．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，滿足，，，則________．14．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對任意的正整數(shù)，函數(shù)均存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且滿足，則________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15．（本小題滿分13分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和。16．（本小題滿分15分）如圖所示，，分別為半圓錐的底面半圓弧上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，為中點(diǎn)，為母線的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若為等邊三角形，求平面與平面的夾角的余弦值．17．（本小題滿分15分）函數(shù)，其中為整數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的最大值．18．（本小題滿分17分）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，．（1）求；（2）求的面積；（3）在所在的平面內(nèi)有一動點(diǎn)，滿足，求的最小值．19．（本小題滿分17分）設(shè)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則稱為區(qū)間上的凹函數(shù)，區(qū)間稱作函數(shù)的凹區(qū)間；反之，則稱為區(qū)間上的凸函數(shù)，區(qū)間稱作函數(shù)的凸區(qū)間．（1）已知函數(shù)，求的凹、凸區(qū)間；（2）如圖所示為某個(gè)凹函數(shù)的圖象，在圖象上任取兩個(gè)不同的點(diǎn)，，過線段的中點(diǎn)作軸的垂線，與函數(shù)圖象和軸分別交于，兩點(diǎn)，則有．①將不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的不等式；②證明：當(dāng)，時(shí)，恒成立．

2024~2025學(xué)年高三11月測評（福建）·數(shù)學(xué)參考答案、提示及評分細(xì)則題號12345678答案BCACBCBD題號91011答案BCDBCACD一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．【答案】B【解析】易得，，則，所以，故選B．2．【答案】C【解析】，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，故選C．3．【答案】A【解析】若，易得，或者，，可推出，反之，若，無法推出，故選A．4．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，即，可得，則在方向上的投影向量為，故選C．5．【答案】B【解析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，，即，解得，即，易得是第四象限角，，，解得，故選B．6．【答案】C【解析】，，解得，，，設(shè)，函數(shù)的對稱軸為，當(dāng)時(shí)，，解得或者（舍）．當(dāng)時(shí)，，解得（舍）．故選C．7．【答案】B【解析】易得，，所以，顯然當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，此時(shí)，因此．故選B．8．【答案】D【解析】將條件變形為，構(gòu)造函數(shù)，則，則，即，所以，，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為。故選D。二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．【答案】BCD（全部選對得6分，選對1個(gè)得2分，選對2個(gè)得4分，有選錯的得0分）【解析】A選項(xiàng)錯誤，，當(dāng)時(shí)，最小值為2；B選項(xiàng)正確，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立；C選項(xiàng)正確，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立．D選項(xiàng)正確，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故選BCD．10．【答案】BC（全部選對得6分，選對1個(gè)得3分，有選錯的得0分）【解析】A選項(xiàng)錯誤，當(dāng)時(shí)，最小正周期；B選項(xiàng)正確，，與的取值無關(guān)；C選項(xiàng)正確，向左平移個(gè)單位長度后的函數(shù)解析式，令，，解得，當(dāng)時(shí)，的最小正值為；D選項(xiàng)錯誤，令，即，解得或，，，即或者，要使得在區(qū)間上恰好有5個(gè)零點(diǎn)，令，滿足，解得．故選BC．11．【答案】ACD（全部選對得6分，選對1個(gè)得2分，選對2個(gè)得4分，有選錯的得0分）【解析】A選項(xiàng)正確，是邊長為的等邊三角形，；B選項(xiàng)錯誤，由三垂線定理易得，平面，要使得三棱錐體積達(dá)到最大值，只需點(diǎn)與點(diǎn)重合．設(shè)與平面的交點(diǎn)為，由等體積法得，，而，所以，此時(shí)三棱錐的體積為；C選項(xiàng)正確，點(diǎn)在正三角形上，其軌跡長度為；D選項(xiàng)正確，以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，在上的投影長度為，故到的距離為，故選ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．【答案及評分細(xì)則】1（5分，其他結(jié)果均不得分）【解析】，，．13．【答案及評分細(xì)則】2（5分，其他結(jié)果均不得分）【解析】，由正弦定理得，，解得，由余弦定理得，，，解得，（舍），所以．14．【答案及評分細(xì)則】（或或）（5分，結(jié)果正確均得分）【解析】的定義域?yàn)椋?，即，如圖所示，不妨設(shè)，因?yàn)?，，所以，解得：，代入條件得：，化簡得：，即，，所以．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15．【答案】（1），（2）【解析及評分細(xì)則】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由題意得：，解得：，……3分通項(xiàng)公式，……4分前項(xiàng)和；……6分（2），……7分……9分①-②：……12分所以．……13分16．【答案】（1）詳見解析（2）【解析及評分細(xì)則】（1）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，，，，在中，為三角形的中位線，所以，，……2分因?yàn)椋謩e為半圓弧上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，為等邊三角形，，所以，，……4分易得四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面；……6分（2）解法一：過作的垂線，則垂足為的中點(diǎn)，過作的垂線，設(shè)垂足為，連接，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，所以平面，，…?分又因?yàn)椋?，所以平面，，則為平面與平面的夾角，設(shè)底面半徑為，則，……11分，，……13分在中，，即，……14分所以，即平面與平面的夾角的余弦值為．……15分解法二：作的中點(diǎn)，連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)底面半圓的半徑為2，則，，，，，，……9分由圖形可知平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以是平面的一個(gè)法向量，……13分，即平面與平面的夾角的余弦值為．……15分17．【答案】（1）（2）2【解析及評分細(xì)則】（1）當(dāng)時(shí)，，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，，切線斜率，……3分由點(diǎn)斜式得，切線方程為，即；……5分（2）當(dāng)時(shí)，，則恒成立，……6分當(dāng)時(shí)，，，……8分兩邊同時(shí)取對數(shù)，則，問題等價(jià)于恒成立，……10分設(shè)且，，……11分當(dāng)時(shí)，顯然恒成立，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，，滿足題意，當(dāng)時(shí)，令，即，解得，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時(shí)，不符合題意，……14分綜上所述，整數(shù)的最大值為2．……15分18．【答案】（1）（2）（3）【解析及評分細(xì)則】（1），……1分因?yàn)?，所以，…?分由正弦定理得：，即，所以；……4分（2）將余弦定理：代入得：，……5分兩邊同時(shí)除以，，……7分，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，即，由余弦定理得：，……9分即，的面積；……11分（3）由（1），（2）可知，，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在的直線分別為，軸建立直角坐標(biāo)，，……12分則，，，∴，所以（為變量），則，……16分所以的最小值為．……17分19．【答案】（1）詳見解析（2）①②詳見解析【解析及評分細(xì)則】（1）易得函數(shù)的定義域?yàn)椋?，…?分設(shè)，，……3分當(dāng)時(shí)，恒成立，