高職數(shù)學(xué)課件 8.5 矩陣

8.5矩陣及其運算1.線性方程組的解取決于矩陣概念的引入對線性方程組的研究可轉(zhuǎn)化為對這張表的研究.線性方程組的系數(shù)與常數(shù)項按原位置可排為四城市間的航班圖情況常用表格來表示:發(fā)站到站其中表示有航班.

把表中的改成1,空白地方填上0,就得到一個數(shù)表:

2.某航空公司在A,B,C,D四城市之間開辟了若干航線,如圖所示表示了四城市間的航班圖,

如果從A到B有航班,則用帶箭頭的線連接A與B.這個數(shù)表反映了四城市間交通聯(lián)接情況.把表中的改成1,空白地方填上0,就得到一個數(shù)表:§1矩陣由m×n

個數(shù)aij

排成m

行，n

列矩形表稱為m×n矩陣?；蛘哂洖锳=其中m表示矩形的行數(shù)，n表示矩形的列數(shù)，數(shù)aij

的第一個下標i表示這個數(shù)所在的行，第二個下標j

表示這個數(shù)所在的列。數(shù)aij

稱為元素，當所有元都是實數(shù)時A稱為實矩陣.例如3×3

矩陣.列標行標例（價格矩陣）四種食品在三家商店中，單位量的售價（以某貨幣單位計）可用以下矩陣給出：

這里的行表示商店，而列表示食品，比如第2列就是第2種食品，其3個分量表示該食品在3家商店中的售價.矩陣問題的例子§1矩陣由m×n

個數(shù)aij

排成m

行，n

列矩形表稱為m×n矩陣。

當m=1時，稱為行矩陣。當n=1時，稱為列矩陣。當m=n

時，稱為n

階方陣。同型矩陣：行列相同的矩陣。矩陣的相等：設(shè)A=(aij)m×n，B=(bij)m×n

則A=B

aij=bij.特殊矩陣方陣行矩陣與列矩陣;單位矩陣;對角矩陣;零矩陣.

E

O

Λ=diag(λ1,λ2,···,λn)

上三角矩陣和下三角矩陣．形如的矩陣分別稱為上三角矩陣和下三角矩陣．

把矩陣的行與列依次互換，得到的矩陣稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣．即矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣一個m行n列矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣是一個n行m列的矩陣．矩陣與行列式的有何區(qū)別?思考題

矩陣與行列式有本質(zhì)的區(qū)別，行列式是一個算式，一個數(shù)字行列式經(jīng)過計算可求得其值，而矩陣僅僅是一個數(shù)表，它的行數(shù)和列數(shù)可以不同.§2矩陣的運算一、矩陣的加法設(shè)A=(aij)m×n，B=(bij)m×n則A+B=(aij+

bij)m×n即A=B=A+B=說明

只有當兩個矩陣是同型矩陣時，才能進行加減法運算.說明

只有當兩個矩陣是同型矩陣時，才能進行加法運算.例如12+13+8–5+91+6–9+50+43+36+28+1

矩陣的加法具有下列基本性質(zhì)：1)加法交換律A+B=B+A2)加法結(jié)合律(A+B)+C=A+(B+C)3)零矩陣A+O=A

負矩陣A+(–A)=O于是可規(guī)定減法A–B=A+(–B)二、數(shù)與矩陣的乘法§2矩陣的運算設(shè)A=(aij)m×n

，k

為常數(shù)，則kA=即

A=kA=(kaij)m×n例：設(shè)求(1)2A+B；(2)A–3B．

解：

(1)2A+B=(2)A–3B練習(xí)：如果矩陣X

滿足

X–2A=B–X,其中

求X.解：矩陣的數(shù)乘法具有下列基本性質(zhì)：1)數(shù)乘結(jié)合律(k

l)A=k(lA)

矩陣對數(shù)分配律(k+l)A=kA+lA

數(shù)對矩陣分配律k(A+B)=kA+kB§2矩陣的運算

一、矩陣的加(減)法設(shè)A=(aij)m×n，B=(bij)m×nA±B=(aij±

bij)m×n

二、矩陣的數(shù)乘法

kA=(kaij)m×n矩陣相加與數(shù)乘矩陣統(tǒng)稱為矩陣的線性運算.

關(guān)于矩陣加法和數(shù)乘法的一些基本規(guī)律與中學(xué)的代數(shù)中字母運算基本一致.三、矩陣的乘法

§2矩陣的運算引例：一小學(xué)生買了12支鉛筆，每支0.5元，8個作業(yè)本，每本1.2元，1瓶墨水2.4元，一共花了多少錢？

0.5×12+1.2×8+2.4×1=18(元)寫成形式：

(0.51.22.4)=0.5×12+1.2×8+2.4×11、定義設(shè)A=(aij)m×p，B=(bij)p×n則AB=C=(cij)m×n三、矩陣的乘法§2矩陣的運算其中例如

c22+a2pbp2=a21b12+a22b22+a23b32+…設(shè)A=(aij)m×p，B=(bij)p×n則AB=C=(cij)m×n三、矩陣的乘法§2矩陣的運算其中例如

cm1+ampbp1=am1b11+am2b21+am3b31+…三、矩陣的乘法§2矩陣的運算例：計算解：原式=3×2+2×0+(–1)(–2)3(–1)+2×5+(–1)(–3)1×2+(–2)0+0(–2)1(–1)+(–2)5+0(–3)2×2+1×0+(–3)(–2)2(–1)+1×5+(–3)(–3)=8102–111012練習(xí)：

由上例可知，1、矩陣不滿足交換律；2、單位矩陣I在矩陣的乘法中與數(shù)1在數(shù)中的乘法中所起的作用相似．

若兩個矩陣A與B滿足AB=BA，則稱A與B是可交換的

由于矩陣乘法不滿足交換律，所以在進行運算時，千萬要注意，不能把左、右次序顛倒．矩陣乘法滿足如下運算規(guī)律：（１）結(jié)合律：(AB)C=A(BC)；（２）分配律：A(B+C)=AB+AC，(B+C)A=BA+CA；（３）k(AB)=

(kA)B=A(kB)，k為任意常數(shù)．例：用矩陣乘法來表示線性方程組?？慈€性方程組線性方程組的矩陣形式為Ax=b

得：Ax==b

x=b

一般地：n

元線性方程組的矩陣形式為Ax=b

其中：

A=系數(shù)矩陣

未知矩陣

常數(shù)矩陣

例3若變量

y1,y2

,···,yn

可由變量

x1,x2

,···,xn線性表示,即稱由變量x1,x2

,···,xn到變量