深圳市中薈高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)參考答案

深圳市中薈高級中學(xué)高三年級期中考試試題數(shù)學(xué)答案以及解析單項選擇題1.答案：B2.答案：D解析：由，所以，故選D.3.答案：C解析：，，，又，.故選C.4.【答案】C【解析】在等差數(shù)列中，，，所以，故構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，所以，即.故選：C5.答案：B解析：設(shè)該圓錐的母線長為l，底面圓的半徑為r，由已知條件可得解得故圓錐的高，所以該圓錐的體積為.故選B.6.答案：A解析：作出曲線與大致圖象，可知，而，由曲線與圖象知，曲線與有3個交點.故選：A.7.答案：D解析：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增且；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增且，所以在R上單調(diào)遞增.所以由，可得，由題可知的解集為R，當(dāng)時，恒成立，符合題意；當(dāng)時，則有解不等式組得.綜上可得，當(dāng)時，的解集為R.故選D.8.答案：B解析：由，且，得.令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.因為，所以.由的定義域為，得，得，所以不等式可以變形為，即，所以，即，所以.故選B.多選題9.答案：ABD解析：因為直線是圖象的一條對稱軸，所以，，所以，.又因為，所以，所以.，故A正確；，故B正確；的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，顯然不關(guān)于原點對稱，故C錯誤；當(dāng)時，，令，，則，，所以在上有67個零點，故D正確.故選ABD.10.答案：AC解析：因為，所以，令，得.由，得或；由，得.所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有兩個極值點，故A正確.因為，，所以函數(shù)在R上有且只有一個零點，故B錯誤.因為函數(shù)的圖象向上平移一個單位長度得函數(shù)的圖象，函數(shù)的圖象關(guān)于原點中心對稱，所以點是曲線的對稱中心，故C正確.假設(shè)直線是曲線的切線，切點為，則，解得.若，則切點坐標(biāo)為，但點不在直線上，若，則切點坐標(biāo)為，但點不在直線上，所以假設(shè)不成立，故D錯誤.11.【答案】AD【詳解】當(dāng)時，，得，因①，當(dāng)時，②，由①②，，即，取時，滿足題意，故數(shù)列的通項公式為，又因，故.當(dāng)時，；當(dāng)時，，因時，符合題意，故，則，故A正確；對于B，由A已得，，則，因時，，時，，而，故沒有最大值，也沒有最小值，故B錯誤；對于C，由，可得，易得,且，故的最大項為，故C錯誤；對于D，由，可得，由C項分析已得為的最大項，故得，解得或，故D正確.故選：AD.填空題12.【答案】/60°【詳解】對于，由正弦定理得，即，由余弦定理得，又，所以.故答案為：.13.答案：解析：，依題意知有兩個不同的實數(shù)解，即有兩個不同的實數(shù)解，即有兩個不同的實數(shù)解.令，則，所以有兩個不同的實數(shù)解，所以與的圖象有兩個交點.，因為，所以，又，故.故實數(shù)a的取值范圍是.14.【答案】【詳解】任意的正實數(shù)，，，滿足，所以，由于，為正實數(shù)，故由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，綜上，的最小值為16．故答案為：16．解答題15.答案：（1）（2）解析：（1）由結(jié)合正弦定理可得......................2分因為，所以，所以，即......................4分因為，所以，因為，所以............................................6分（2）如圖，在中，，..............................................7在中，，，由正弦定理可得，故，.........................................................10即，所以....................................................................1316．（15分）解：（1）當(dāng)時，，..............................................................................................1解得..............................................................................................................................3又因為，.............................................................................................................................4所以切線方程為：....................................................................................................5（2）的定義域為，........................................................................6當(dāng)時，得恒成立，在單調(diào)遞增.........................................................8當(dāng)時，令，（i）當(dāng)即時，恒成立，在單調(diào)遞增...............................................................................................10（ii）當(dāng)即時，由得，或，由得，所以在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減...............................................................................................13綜上：當(dāng)時，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，在，單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減.................................................................................1517.(15分)解析：（1）證明：因為四邊形ABCD是菱形，所以，又平面PBC，平面PBC，所以平面PBC.又，平面，平面PBC，所以平面PBC.又，平面ADM，所以平面平面PBC.又平面AMD，所以平面PBC，所以平面MABN與PC必有交點，且該交點為N，使.................................6（2）以D為原點，DC，DM所在直線分別為y，z軸，過點D在平面ABCD內(nèi)作垂直于DC的直線為x軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因為四邊形ABCD是菱形，，所以，又，，平面ABCD，所以，，，，.................................8設(shè)平面AMP的法向量為.則有即取，則............................................................................................10設(shè)平面MPC的法向量為，則有即取，則....................................................12則，..............................................................14所以二面角的正弦值為.........................................................1518.（17分）解析：（1）函數(shù)的定義域是，...................1當(dāng)時，恒成立，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間和最大值；............................................3當(dāng)時，令，得；令，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，...................................6.................................................7（答案沒有寫成單調(diào)區(qū)間形式的扣1分）（2）證明：，因為，為的兩個零點，所以，不妨設(shè).因為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.證明等價于證明，.....................................................................................9又因為，，在上單調(diào)遞增，因此證明原不等式等價于證明，即需證明，...............10即要證明，即恒成立...............................................................12令，則（等號不恒成立），所以在上單調(diào)遞減，所以，又當(dāng)時，取不到0，..........................................................................................16所以在時恒成立，因此不等式恒成立，即成立.................17（若有其他證法，酌情給分）19.（17分）解析：（1）當(dāng)時正整數(shù)a的4個正約數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，比如1，2，4，8為8的所有正約數(shù)，即.................................................................4分（2）由題意可知，，，，因為，依題意可知，所以，化簡可得，所以，因為，所以，因此可知是完全平方數(shù).由于是整數(shù)的最小非1因子，是的因子，且，所以，所以，，…，為，，…，，所以. ..........................