4.3.1 等比數(shù)列的概念課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊

4.3.1等比數(shù)列的概念(1)復(fù)習(xí)引入1.兩河流域發(fā)掘的古巴比倫時期的泥板上記錄了下面的數(shù)列：

情境引入第2項起，每一項分別是前一項的9，100，5倍.2.《莊子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭.”如果把“一尺之棰”的長度看成單位“1”，那么從第1天開始，各天得到的“棰”的長度依次是：

木棰長度第一天取半第二天取半第三天取半第四天取半.........第天取半n設(shè)木棰長度為13.在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細(xì)菌每20分鐘就通過分裂繁殖一代，那么一個這種細(xì)菌從第1次分裂開始，各次分裂產(chǎn)生的后代個數(shù)依次是？第2項起,每一項是前一項的2倍2,4,8,16,32,64,…54.某人存入銀行元，存期為5年，年利率為，那么按照復(fù)利，他5年內(nèi)每年末得到的本利和分別是：6思考1：請同學(xué)們仔細(xì)觀察以下六個數(shù)列,類比等差數(shù)列的研究,你認(rèn)為可以通過怎樣的運算發(fā)現(xiàn)以下數(shù)列的取值規(guī)律?你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?共同特點:從第二項起，每一項與前一項的比都等于同一個常數(shù).如果用{an}表示數(shù)列①，那么有

取值規(guī)律:從第2項起,每一項與它的前一項的比都等于9．探究一:等比數(shù)列的概念6如果一個數(shù)列從第____項起，每一項與它的前一項的____都等于___一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做__________.常數(shù)叫做等____數(shù)列的_____.等比數(shù)列2比同等比數(shù)列公比等差數(shù)列如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列.常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差.公差通常用字母d表示公比通常用字母q表示(q≠0)比思考2：類比等差數(shù)列的概念，你能抽象出等比數(shù)列的概念嗎？定義符號思考3：等差數(shù)列的項、公差均可以是0嗎？等比數(shù)列呢？思考4：常數(shù)列是等差數(shù)列嗎？是等比數(shù)列嗎？思考5：是否存在既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列？常數(shù)列一定是等差數(shù)列，公差為0；非零常數(shù)列是等比數(shù)列，公比為1.非零常數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列,公差為0,公比為1.等差數(shù)列的項、公差均可以是0,但等比數(shù)列的項和公比均不可以是0.等比數(shù)列的概念

一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列.這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示.例如數(shù)列①~⑥的公比依次為9,100,5,0.5,2,1+r.等比數(shù)列的符號語言：歸納總結(jié)（2）因為等比數(shù)列的每一項都可能作分母，所以等比數(shù)列的每一項均不為0，即注：（1）等比數(shù)列的公比可正，可負(fù)，但不可為0；判斷下列數(shù)列是否是等比數(shù)列.如果是，寫出它的公比.練習(xí)課本P31等差中項

等比中項

如果三個數(shù)a,A,b組成等差數(shù)列，那么A叫做a和b的等差中項.如果三個數(shù)a,G,b組成等比數(shù)列，那么G叫做a和b的等比中項.定義a,A,b成等差數(shù)列a,G,b成等比數(shù)列關(guān)系思考6：類比等差中項的概念，你能抽象出等比中項的概念嗎？探究二:等比中項等比中項

如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a,G,b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項.此時，G2=ab.歸納總結(jié)注意：若a,b同號,則有兩個等比中項;若a,b異號,則無等比中項.

下列兩個數(shù)是否有等比中項？（1）1，9

（2）-1，-4（3）-1，1練習(xí)思考7：類比等差數(shù)列的通項公式，你能根據(jù)等比數(shù)列的定義推導(dǎo)它的通項公式嗎？等差數(shù)列

等比數(shù)列不完全歸納法探究三:等比數(shù)列的通項公式累乘法累加法等差數(shù)列

等比數(shù)列歸納總結(jié)等比數(shù)列通項公式的推廣:對任意的、，在等比數(shù)列中，有兩式相除，得∴a1,an,n,q知三求一等比數(shù)列的任意一項都可以由該數(shù)列的某一項和公比表示.a1a3a5a7q2820.2已知{an}是一個公比為q等比數(shù)列，請在下表中的空格處填入適當(dāng)?shù)臄?shù).416500.080.0032練習(xí)課本P31指數(shù)型函數(shù)思考9：類比指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，判斷公比q>0的等比數(shù)列的單調(diào)性？思考8：類比等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系，等比數(shù)列可以與哪類函數(shù)建立關(guān)系？qq>10<q<1a1>0a1<0q=1a1從圖象上看，表示等比數(shù)列{an}中的各項的點是指數(shù)型函數(shù)圖象上一群孤立的點.思考10：公比q＞0且q≠1的等比數(shù)列的圖象有什么特點？對于數(shù)列{an},若點(n,an)(n∈N*)都在函數(shù)y=cqx的圖象上，其中c,q為常數(shù)，且c≠0,q≠0,q≠1，試判斷數(shù)列{an}是否是等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論.練習(xí)課本P31

例題解法1:課本P29

解法2:等比中項課本P29在等比數(shù)列{an}中，(1)a1＝1，a4＝8，求an；(2)an＝625，n＝4，q＝5，求a1；(3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.練習(xí)例2：數(shù)列{an}共有5項，前三項成等比數(shù)列，后三項成等差數(shù)列，第3項等于80,第2項與第4項的和等于136，第1項與第5項的和等于132.求這個數(shù)列.例題課本P30(1)如果是三個數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)為

，a，aq對稱設(shè)元法(2)如果是四個數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)為

，，aq，aq31.與等差數(shù)列有關(guān)的數(shù)的設(shè)元技巧：2.與等比數(shù)列有關(guān)的數(shù)的設(shè)元技巧：(1)如果是三個數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)為a-d，a，a+d(2)如果是四個數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)為a+3d，a-d，a+d，a+3d反思?xì)w納有四個實數(shù)，前三個數(shù)依次成等比數(shù)列，它們的積是－8；后三個數(shù)依次成等差數(shù)列，它們的積為－80，求出這四個數(shù)．練習(xí)隨堂檢測1.等比數(shù)列x,3x＋3,6x＋6，…的第4項等于（

）A.－24 B.0 C.12 D.24解析：由x,3x＋3,6x＋6成等比數(shù)列得，(3x＋3)2＝x(6x＋6)，解得x1＝－3或x2＝－1(不合題意，舍去).第2項為－6，故數(shù)列的第4項為－24.2.已知a，b，c∈R，如果－1，a，b，c，－9成等比數(shù)列，那么（

）A.b＝3，ac＝9 B.b＝－3，ac＝9C.b＝3，ac＝－9 D.b＝－3，ac＝－9解析：∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b與首項－1同號，∴b＝－3，且a，c必同號，∴ac＝b2＝9.4.在等比數(shù)列{an}中.(1)已知a3＝2，a5＝8，求a7；所以q2＝4，所以a7＝a5q2＝8×4＝32.(2)已知a3＋a1＝5，a5－a1＝15，求通項公式an.解：a3＋a1＝a1(q2＋1)＝5，a5－a1＝a1(q4－1)＝15，所以q2－1＝3，所以q2＝4，所以a1＝1，q＝±2，所以an＝a1qn－1＝(±2)n－1.5.已知四個數(shù),前三個數(shù)成等差數(shù)列,后三個數(shù)成等比數(shù)列,中間兩個之積為16，前后兩個數(shù)之積為-128.求這四