滬教版 九年級(上)數(shù)學(xué) 秋季課程 第5講 期中練習(xí)(解析版)

w期中練習(xí)

M內(nèi)容分析

本講整理了關(guān)于前兩章相似三角形和銳角三角比的相關(guān)練習(xí)，以幫助同學(xué)們

鞏固所學(xué).

知識結(jié)構(gòu)

L向量的分解」

H已知銳角，求三角比

銳角的三角比的概念］-

U已知銳角的三角比，求銳角

選擇題

【練習(xí)1］已知在AABC中，ZC=90°,ZA=cr,4c=3,那么48的長為（）

33

A.3sinaB.3cosaC.-------D.-------

sinacosa

【答案】D

【解析】根據(jù)銳角三角比的概念，可得COSA=4S,即得：AB=-=-^-.

ABcosAcosa

【總結(jié)】本題主要考查銳角三角比的概念.

【練習(xí)2】在A4BC中，若（sinA-；）+cotB-f=0,則AABC的形狀是（）

A.等邊三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.鈍角三角形

【答案】B

【解析】由（sinA-'］+cotB--=0,即可得sinA=—,cot8=—,由此可得ZA=30°，

<2；323

ZB=60。，則"=180。-/4-4=90。，故選B.

【總結(jié)】本題主要考查兩非負(fù)數(shù)相加和為0,則兩個(gè)數(shù)均為0的知識點(diǎn)，結(jié)合特殊角的銳角

三角比進(jìn)行計(jì)算.

【練習(xí)3】已知在AABC中，NC=90。，設(shè)cos8=〃，當(dāng)是最小的內(nèi)角時(shí)，〃的取值范

圍是（)

A.0<n<—B.0<n<—

22

C.等<〃<1

D.—</?<!

2

【答案】C

根據(jù)余弦值的增減性‘3〃>8,45。=苧

【解析】NB是最小內(nèi)角，則0。<々<45。,

根據(jù)OvcosBvl,故選C.

【總結(jié)】本題主要考查銳角三角比的增減性.

【練習(xí)4］如果向量。與單位向量e方向相反，且長度為,，那么向量。用單位向量e表示

2

為（）

A.a=—eB.a=2eC.a=——eD.a=—2e

22

2/26

【答案】C

【解析】方向相反，即可表示為1=>0）,長度為g,可得〃=！，故選C.

【總結(jié)】考查平行向量的表示.

【練習(xí)5】如圖，在平行四邊形/BCQ中，如果麗=￡,AD=b,那么￡+石等于（）

A.m3B.ACC.Dti

【答案】B

【解析】根據(jù)向量的“平行四邊形法則"，得A月+g=4e.

【總結(jié)】考查向量運(yùn)算的“平行四邊形”法則.

【練習(xí)6】下列不等式中正確的個(gè)數(shù)是（）

①sin47°>sin48°；（2）cos70°>sin30°；③tan55°>cot55°；?cos46°>sin46°；

@sin80°>cot42°.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】A

【解析】根據(jù)正弦值增減性，銳角正弦值隨著角度增大而變大，①錯(cuò)誤；cos700-sin200,

②錯(cuò)誤；銳角正切值隨著角度增大而變大，cot55o=tan35。，③正確；cos46。=sin44。，

④錯(cuò)誤；cot42°=tan48°>tan45°=1,0<sin800<l,⑤錯(cuò)誤；③正確，故選A.

【總結(jié)】考查銳角三角比的轉(zhuǎn)化和相關(guān)增減性.

【練習(xí)7】如圖，已知AO〃8C,AC與8。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)G是8。的中點(diǎn)，過點(diǎn)G作

GE〃BC交AC于點(diǎn)￡如果AO=1,BC=3,那么GE:BC等于（）

A.1:2B.1:3C.1:4D.2:3

【答案】B4-D

【解析】根據(jù)三角形一邊平行線的性質(zhì)定理，可得：變=絲=4，%

BOBC3金后

點(diǎn)G是9中點(diǎn)，可得：DO=GO,則有空=絲=1,/\

GEGO/\

B

則有GE:BC=AD:BC=\:3.

【總結(jié)】考查三角形一邊平行線性質(zhì)定理的應(yīng)用.

【練習(xí)8］下列命題正確的個(gè)數(shù)有（）個(gè)

（1）長度相等的兩個(gè)非零向量相等

（2）平行向量一定在同一直線上

（3）與零向量相等的向量必定是零向量

（4）任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】B

【解析】相等的向量需確保方向相同，（1）錯(cuò)誤；平行向量是同一平面內(nèi)平行的兩條有向線

段，不一定在同一直線上，（2）錯(cuò)誤；只有零向量模長為0,可知與零向量相等的必定

是零向量，（3）正確；相等向量可以在同一直線上，此時(shí)四個(gè)點(diǎn)不能構(gòu)成四邊形，

（4）錯(cuò)誤.綜上所述，只有（3）正確，故選B.

【總結(jié)】考查與向量有關(guān)的相關(guān)定義的理解和把握.

【練習(xí)9】如圖，已知邊長為5的等邊三角形ABC紙片，點(diǎn)E在AC邊上，點(diǎn)F在AB邊上,

沿著E尸折疊，使點(diǎn)4落在BC邊上的點(diǎn)。的位置，且則CE的長是（）

A.10x/3-15B.10-5石C.573-5D.20-10有

【答案】D

【解析】是等邊三角形，則有NC=60。，由E￡）_L8C,

可得：DE=CEsinC=—CE,翻折可得=

2

即有4C=AE+CE=1#

+1CE=5,得：CE=20-10G.

4/26

【總結(jié)】考查特殊圖形結(jié)合特殊銳角三角比的相關(guān)應(yīng)用.

a

【練習(xí)10］如圖，己知是等腰AA3C底邊上的高，J.tanZB=-,/C上有一點(diǎn)E,滿

4

足/E:CE=2:3,則tan/ADE的值是（

94C8

A.8-B.5-9-

【答案】C

【解析】作跖_LAZ)交AD于點(diǎn)尸，

AF_AE_2

則有所//8,——

CD7D-7C-5

a

因?yàn)锳ABC是等腰二角形，則有tanC=tan3=—,設(shè)AD=3a,則CD=4</,

4

由止匕可得：AF=-a,EF=-a,貝U￡>尸=AO-=,tanZADE=-=-.

555DF9

【總結(jié)】考查相似三角形和相關(guān)銳角三角比的應(yīng)用，通過作高把所求銳角放到直角三角形中

即可.

【練習(xí)11］如圖，D、E分別是AABC的邊A3、AC上的點(diǎn)，S.DE//BC,BE交DC于點(diǎn)、F,

EF:FB=l:3,則SMDE:SMCF的值為（）

A.1:9B.1:3C.2:9D.1:7

【答案】C

【解析】由。E〃BC,即得：-=—=--則有絲=」,

BCFB3ABDB2

FF11

設(shè)風(fēng)￡)￡=〃，則S液￡=2。，由不=￡，即可得

rB32

/

t9

由此可得：:S^CF=a:—a=2:9.

【總結(jié)】考查三角形一邊平行線性質(zhì)定理的應(yīng)用，“A”字型和“8”字型的疊合應(yīng)用，同時(shí)注意

等高三角形面積和相似三角形面積比與相應(yīng)邊長的關(guān)系.

【練習(xí)12】在一次夏令營活動(dòng)中，小智從位于A點(diǎn)的營地出發(fā)，沿北偏東60。方向走了5km

到達(dá)B地，然后再沿北偏西30。方向走了若干千米到達(dá)C地，測得A地在C地南偏西

30。方向，貝IJA、C兩地的距離為（）km

108萬

D.573

33

【答案】A

【解析】依題意可得到如圖所示的圖形，則有ZME=60。,北

N2=Z3=30。，的EF//MN//PQ,可得：N2=N4=

Nl=NE4￡=60。，則有ZABC=180?！狽l-N2=90。，

Z5=ZE4B-ZC4E=3O°,則有NACB=60。，

AR

由此可得：一=sinZACB,又AB=5,

AC

即得：AC=-^—=^^hn.

sin6003

【總結(jié)】考查方位角知識的綜合應(yīng)用，結(jié)合特殊角的銳角三角比進(jìn)行求解計(jì)算.

【練習(xí)13］如圖，小方同學(xué)在晚上由路燈AC走向路燈BZ）,當(dāng)他走到點(diǎn)P時(shí)，發(fā)現(xiàn)身后他

影子的頂部剛好接觸到路燈AC的底部，當(dāng)他向前再步行20m到達(dá)。點(diǎn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)身前

他影子的頂部剛好接觸到路燈8。的底部，已知小方的身高是1.5m,兩個(gè)路燈的高度

都是9m,則兩路燈之間的距離是（）米

A.20B.25C.30D.35

【答案】C

【解析】設(shè)=依題意可得：BQ=AP,—=

BDAB

15r

W—=---------,解得：x=5,則AB=2O+2x=3O,

92x+20

故選C.

【總結(jié)】考查三角形一邊平行線性質(zhì)定理的實(shí)際應(yīng)用.

6/26

【練習(xí)14］如圖，在用AABC中，NABC=90。，氏4=BC,點(diǎn)。是Z8的中點(diǎn)，連接C7),

過點(diǎn)8作BG，8,分別交CD、C4于點(diǎn)￡、F,與過點(diǎn)工且垂直于AB的直線相交于

點(diǎn)G,連接。尸.給出以下四個(gè)結(jié)論:

小AGFG

(1)=(2)點(diǎn)尸是GE的中點(diǎn)；(3)AF=—AB；(4)^MBC=5邑切"

ABFB3

其中正確的個(gè)數(shù)有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【解析】由ZS4G=Z/WC=90。，ZABG=NBCD,AB^AC,

可得：AABGwABCD,且有AG//BC,則有4G=BD=』8C,

2

由此可得：-=—=—=可知(1)正確；同時(shí)，CQ不

CFBFBC2

是/ACB的角平分線，可得BE#FE,則尸不是GE中點(diǎn)，

A

?行D

(2)錯(cuò)誤；此時(shí)可得AF=±AC=、^AB,(3)正確；則有S'MBC=3sJF

tM=6S.DF

33

(4)錯(cuò)誤；綜上所述，正確的是(1)(3),故選B.

【總結(jié)】考查等腰直角三角形結(jié)合平行問題中特殊邊角關(guān)系的綜合應(yīng)用.

【練習(xí)15］如圖，在正方形/8C。中，點(diǎn)P是上一動(dòng)點(diǎn)(不與2、8重合)，對角線/C、

8。相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)尸分別作/C、8。的垂線，分別交/C、BD于點(diǎn)、E、F,交4D、

8c于點(diǎn)A/、N,下列結(jié)論:

(1)AAPE絲MAZE；(2)PM+PN=AC；(3)PE2+PF2=PO2；(4)APOFsABNF；

(5)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)尸是48的中點(diǎn).

其中正確的結(jié)論有()

A.5個(gè)B.4個(gè)C.3個(gè)D.2個(gè)

【答案】B

【解析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，即可得NE4E=NM4E=45。,

由PMJLAE,AE=AE,可得AAPE絲A/VWE,(1)正確;

同理可得APBFMAVBF,則有尸PN=6PB,

則有PM+PN=0(P4+P8)=&4B=AC,(2)正確;

由/4OB=90。，可知四邊形PEO尸是矩形，貝IJ有+

為等腰直角三角形，AP。尸是直角三角形，但不能確定為等腰，(4)錯(cuò)誤；"MNs

AAMP時(shí),則有PA/=PN,即JL4P=由止匕可得AP=BP,P為中點(diǎn)，(5)

正確；綜上所述，正確的是(1)(2)(3)(5),故選B.

【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，主要考查正方形性質(zhì)的綜合應(yīng)用，注意題目中由正方形得到的邊

角關(guān)系，從而利用勾股定理完成解題.

填空題

7

【練習(xí)16]a為銳角，(1)sina=—，則tanc=：(2)cota=3,則sina=

3

【答案】(1)述；(2)叵.

510

【解析】(1)由sin2a+cos*2o3*5=l,可得：cosa=^~,則tana==3叵

3cosay/55

(2)由cota=0°s°=3,可得cosa=3sina,又si—a+cos2a=1,即lOsin2a=1,

sina

即得：sina=@^.

10

【總結(jié)】考查銳角三角比之間的相互關(guān)系的轉(zhuǎn)化，或利用設(shè)“6'法表示長度進(jìn)行求解.

【練習(xí)17]。為銳角，且cosa='，則Jl-2sina?cosa=.

2

【答案】@二L

2

【解析】a為銳角，cosa=-f可得：a=60。，貝Usina=@,由此即可化簡得

22

V1-2sina?cosa=7sin2a+cos2a-2sinacosa=|sina-cosa\=",1.

【總結(jié)】考查sin2a+cos20=l公式的靈活運(yùn)用進(jìn)行銳角三角比化簡，也可利用特殊角的銳

角三角比的值進(jìn)行計(jì)算求值.

【練習(xí)18】在正方形網(wǎng)格中，AABC的位置如圖所示，貝iJcosNB的值為

【答案】-.

2

【解析】由圖中所示格點(diǎn)位置，知N3=45。，則cos/B=立.

2

【總結(jié)】考查利用格點(diǎn)三角形得到相關(guān)角的銳角三角比.

8/26

【練習(xí)19］如圖，在正方形網(wǎng)格上有6個(gè)三角形:①M(fèi)BC；②4CDB；③ADEB；④AFBG；

⑤AHGF;?AEKF,在②~⑥中，與①相似的三角形是（填序號）.

【答案】③④⑤

【解析】由圖示可得：NR4c=135。，且有

—=72,滿足條件的圖形只有③⑤.同時(shí)

AB

利用三邊對應(yīng)成比例，也可證得④成立.

【總結(jié)】考查“格點(diǎn)三角形''中根據(jù)勾股定理得

到特殊邊角關(guān)系和長度的應(yīng)用.

【練習(xí)20］已知P是線段AB的一個(gè)黃金分割點(diǎn)，且AB=20cm,AP<BP,那么AP=

【答案】（30-10方上機(jī).

【解析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的意義，由AP<8P,可得BP=@」AB=104-10,則有

2

AP=A8_8P=20-（10A/5-10）=00-10⑹的.

【總結(jié)】考查線段的黃金分割點(diǎn)和相應(yīng)的黃金比，注意線段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè).

【練習(xí)21】如果從燈塔A處觀察到船B在它的北偏東35。方向上，那么從船B觀察燈塔A

的方向是.

【答案】南偏西35。.

【解析】換位觀察，方向變?yōu)橄喾?，偏離角度大小不變，即得.

【總結(jié)】考查方位角的基本性質(zhì).

3

【練習(xí)22］如圖，A48C中，ZC=90°,sinA=-,。為AC上

5

一點(diǎn)，且8。=AC,0c=7cm,則AO=.

【答案】（4\萬一7卜利.

354

【解析】設(shè)3C=acm,由sinA=-,可得：AB=-a,AC=—a,根據(jù)勾股定理可得

533

BD7BC?+CD?=J/+49=4C=3a,即可解得：a=3不，貝UAC=4>/7,

3

AD=AC-DC=（4y/7-l）cm.

【總結(jié)】考查共直角邊的兩個(gè)直角三角形結(jié)合銳角三角比的應(yīng)用，根據(jù)題目條件進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)

換即可.

【練習(xí)23】傳送帶和地面所成斜坡的坡度為1:0.75,它把物體從地面送到離地面高8米的

地方，物體在傳送帶上所經(jīng)過的路程為米.

【答案】10.

【解析】傳送帶和地面所成坡度，=1:0.75,可知物體傳送的水平距離即為§=6〃?，根據(jù)勾

i

股定理即可得物體在傳送帶經(jīng)過路程為x/82+62=\0m.

【總結(jié)】考查坡度的意義和應(yīng)用.

【練習(xí)24］如圖，在坡度為1:2.5的樓梯表面鋪地毯,己知樓梯高度4c=2米，則地毯長

度至少是.

【答案】1m.

【解析】樓梯的坡度為1：2.5,可得樓梯水平長度

AC

BC=—5/72,則地毯長度至少為2+5=7〃?.

【總結(jié)】考查坡度意義的綜合應(yīng)用，注意地毯要沿著

樓梯鋪設(shè)，完全覆蓋.

【練習(xí)25］如圖，正方形A3CQ中，M是邊3c上一點(diǎn)，且8c.若,AD=b,

4

試用a,h表不DM=

10/26

B]C

M

【答案】a--b.

4

【解析】DM=DC-MC,根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得：DC=AB=a,BC=AD=b,由

可得：BM=-BC=-h,則有

444

____3

MC=-b,DM=a——b.

44

【總結(jié)】考查平面向量的線性運(yùn)算，注意把握好相等向量的定義.

【練習(xí)26］如圖，點(diǎn)G是AABC的重心，AG1GC,4c=4,那么8G的長為

【答案】4

【解析】延長3G交AC于點(diǎn)。，則。是AC中點(diǎn)，

由AGLGC,則有GO=lAC=2,根據(jù)重心性質(zhì),

2

即可得3G=2GZ)=4.

【總結(jié)】本題主要考查重心性質(zhì)的應(yīng)用.

【練習(xí)27］如圖，在梯形中，AD//BC,8E平分NABC交8于E,且BE_LC￡),

CE:ED=2tI,如果ABEC的面積為2,那么四邊形的面積是

由3EJ.CD,AG//CD,得AFLBH,又BE平打ZABC,則有AF=FG=，AG,

2

即得：￡>E=，C￡>=[AG=24F,由止匕可得：^-=

f—T=f-T=-4#S_w=-)

333S^FHVAF)⑴9MFH&

由/D〃8C,BE平分ZABC,可知AABH為等腰三角形,

917

則有S四邊形田=2sFH一S"H=2xq-彳=：.

4st1AoZ4

【總結(jié)】考查根據(jù)平行構(gòu)造相似三角形“A”字型和“8”字型的應(yīng)用，相似三角形面積比即為相

似比的平方，同時(shí)考查平行線與角平分線得到等腰三角形的基本圖形.

【練習(xí)28】某學(xué)校為新生設(shè)計(jì)的學(xué)生板凳的正面視圖如圖所示,其中BA=CD,8c=20cm,

BC、EF平行于地面AD且到地面的距離分別為40。，“、8cm.為使板凳兩腿底端A、

。之間的距離為50a”，那么橫梁EF=.（材質(zhì)及其厚度等暫忽略不計(jì)）.

【答案】44cm.

【解析】如圖，分別延長8M、CN交于點(diǎn)P和點(diǎn)①

在等腰梯形中易得AP=OQ,EM=FN,

由3C7/EFV/AD,即得：BC=MN=PQ=2Q,則有

AP=15,題中3M=40-8=32,3尸=40,由EF/MP,

FM32

即——=—,得EM=12=fM,則￡F=￡M+M?V+/VF=44cm.

1540

【總結(jié)】考查三角形一邊平行線性質(zhì)定理的實(shí)際應(yīng)用.

【練習(xí)29］如圖，在AABC中，NA=a,￡B="AB=c,用a、/?、c表示%時(shí)=

［分案］一tanatan［5

2(tana+tan/?)

【解析】作CD,A3交AB于點(diǎn)。，

則有tanA=,tanB=,由此可得AD=

ADBD

CDCD市田Of*魯小則加式詈黑

即Hn----+-----=c,可得:

tanatanp

【總結(jié)】考查銳角三角比性質(zhì)的綜合應(yīng)用，通過作高實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)換.

【練習(xí)30］在Rt^ABC中，斜邊A3=26，且tanA+tan8=』，則Rt^ABC的面積是

2

【答案】4.

12/26

【解析】設(shè)兩直角邊長分別為a、b,根據(jù)銳角三角比的定義，tanA+tanB=-,即？+3=9,

2ab2

J生=*,由勾股定理可得4+/二人笈=20,則有必=8,SMBC=~ab=4.

ab22

【總結(jié)】考查銳角三角比的基本定義結(jié)合勾股定理的應(yīng)用.

AP1

【練習(xí)31］已知：如圖，是AABC的中線，E為AD上的一點(diǎn)，且色一=一，射線CE交

EDk

AF

AB于F,

FB

【答案】—.

2k

【解析】作DG//5F交4?于點(diǎn)G,則有.竺=空=，

FGEDk

D

因?yàn)?。?C中點(diǎn)，且￡)G//b,則G為即中點(diǎn),

即有B尸=2FG,貝|絲=四"=」一.

FB2FG2k

【總結(jié)】考查三角形一邊平行線性質(zhì)定理的應(yīng)用，構(gòu)造“A”“8”疊加的基本圖形.

【練習(xí)32］如圖，在A4BC中，力。是8c上的高，且8c=5,4。=3,矩形E/G”的頂點(diǎn)

F、G在邊8c上，頂點(diǎn)E、H分別在邊48和/C上，如果設(shè)邊EF的長為x(0<x<3),

矩形EFGH的面積為y,那么y關(guān)于x的函數(shù)解析式是.

【答案】y=5x-*尤2

3

【解析】由EH//3C,斯//4),根據(jù)三角形一邊平行線的性質(zhì),

即得：變=些EHAE加心EFEH,

——=一，則有——4-——=1,

ADABBCABADBC

即2+空=1,得：EH=5--X,y=EH-EF=5x--x2.

3533

【總結(jié)】考查三角形一邊平行線性質(zhì)定理的綜合應(yīng)用，進(jìn)行比例轉(zhuǎn)

化解決問題.

4

【練習(xí)33］已知：在A/WC中，AC=mcosC二一，AB與8C所在直線成45。角，則AC邊

5

上的高的長是______.A

【答案】或a.

【解析】作A￡>_L8C所在直線于點(diǎn)O,/\\\

由AC=a,cosC=3,可得C￡)=&a,勾股定理得A^=-a,—AB由BC所5

555少

45。角，由此需進(jìn)行分類討論，

27

(1)B在。點(diǎn)左側(cè)，有NB=45。，可得30=45=3。，則5。=8+即=一〃，

55

37

由面積法可得AC邊上的高長為-D—==—a；

ACa25

31

(2)8'在。點(diǎn)右側(cè)，有N8'=45。，可得9。=AD=2Q,則B'C=CO-*D=-a,

55

31

—ct.——ci

由面積法可得AC邊上的高長為處匹=匚"

ACa25

【總結(jié)】考查多解性問題，由直線可知題目存在多解，結(jié)合銳角三角比和面積法即可求得高

長，也可直接利用銳角三角比求高長.

【練習(xí)34］如圖所示，在AABC中，BC=6,E、尸分別是/8、ZC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在射線

EF上,BP交CE于D,ZCBP的平分線交CE于0,當(dāng)CQ=』CE時(shí),EP+8P=.

A

【答案】12.

［解析］延長BQ交EF延長線于點(diǎn)G./尸

由￡、尸分別是48、NC中點(diǎn)，得/為A4BC中位線，

則有EF//8C,可得:NG=NGBC,由NPBQ=NCBG,c

則有3P=PG,EP+BP=EG,由CQ=」CE,則有CQ=」EQ,則有生=絲=」，

32EGEQ2

由8c=6,則EG=2BC=12,即￡P(guān)+8P=12.

【總結(jié)】考查角平分線與平行線產(chǎn)生等腰三角形的基本圖形，構(gòu)成“8”字型比例轉(zhuǎn)換即可.

14/26

【練習(xí)35］已知在AABC中，N4cB=60。，AC=2,BC=6,將AABC沿著DE翻折，使

點(diǎn)8與點(diǎn)C重合，折痕。E交于點(diǎn)。，交8c于點(diǎn)E,那么zMCD的面積為

【答案】述.

54

（解析】作A尸_L交BC于點(diǎn)F,

由AC=2,ZACB=60°,可得：AF=ACsinZACB=

CF=ACco&ZACB=\,依題意可得垂直平分BC,

DE_BE_3徂口_3n?_11門.,_6>/3

-~7）倚：DE=——,S=S-S=-AF-BC--DE-BC=——.

AFBF55&ACDMBCSBCD225

【總結(jié)】考查特殊角的銳角三角比的應(yīng)用和翻折性質(zhì)的理解應(yīng)用.

【練習(xí)36】根據(jù)三角形外心的概念，我們可引入如下一個(gè)新定義：

定義：到三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，叫做此三角形的準(zhǔn)外心.

根據(jù)準(zhǔn)外心的定義，探究如下問題：如圖，在用AABC中，ZA=90°,BC=10,AB=6,

如果準(zhǔn)外心P在邊AC上，那么PA的長為

【答案】4或N.

4

【解析】根據(jù)勾股定理，可得：AC=^BC2-AB2=8.

（I）點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)C距離相等，則P為AC中點(diǎn)，此時(shí)則有尸A=

（2）點(diǎn)P到點(diǎn)8和點(diǎn)C距離相等，則有P8=PC,設(shè)24=x,則PC=8-x=P8,

在RrAABP中用勾股定理，則有尸，B|J（8-x）2=62+x2,解得：x=（.

故NP的長為4或Z.

4

【總結(jié)】本題應(yīng)注意多解問題的存在性，也可采用銳角三角比進(jìn)行求解.

【練習(xí)37］如圖，在A4O8中，已知NAOB=90。，AO=3,BO=6,將AAO8繞頂點(diǎn)。逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)到AA'OB'處，此時(shí)線段49與8。的交點(diǎn)E為8。的中點(diǎn)，那么線段B'E的

長度為______.

【答案】型.

5

【解析】作。/，49交于點(diǎn)尸，根據(jù)勾股定理可得：

AB=VAO2+BO2=3后,根據(jù)面積法可得：OF==°亞,

AB5

勾股定理可得：EF=4EO'-OF1=空,根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)tan8=0=』=tan9=絲，

5OB2B,F

由此可得：方尸=坦叵，B'E=B'F-EF=^~.

55

【總結(jié)】考查旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的綜合應(yīng)用.

【練習(xí)38］如圖,在直線m上擺放著三個(gè)正三角形：MBC、NHFG、ADCE，已知8c=1CE,

2

F、G分別是8C、CE的中點(diǎn)，F(xiàn)M//AC,GN//DC.設(shè)圖中三個(gè)平行四邊形的面積依

次是$、邑、S},若R+$3=10,則$2=

BFC

則有S：=2S2=4S],由E+S3EO,可得：鳥=2,則S2=2S1=4.

【總結(jié)】考查平行線分等邊三角形也得到等邊三角形以及面積等比的轉(zhuǎn)化.

【練習(xí)39］如圖，在矩形/8CO中，已知48=12,AD=S,如果將矩形沿直線/翻折后點(diǎn)

4落在邊CD的中點(diǎn)E處，直線/分別與邊/8、交于點(diǎn)M、N,那么MN=

BC

【解析】連結(jié)ME,依題意可得MN垂直平分AE,則有=

設(shè)4W=x,貝情ME=x,AD^S-x,

在Rt\DME中用勾股定理，則有DM'+DE2=ME2,

25

即(8-X)9-+62=V,解得：X=Z，MN1AE,ZBAD=90°,易得NDAE=ZANM,

勾股定理得：AE=^jAD2+DE2=10,則有sinND4E=S^=3=sinNAMW=A^,

AE5MN

25

即-4，,=—,得：MN-

MN512

【總結(jié)】考查翻折的性質(zhì)和銳角三角比的綜合應(yīng)用.

【練習(xí)40］如圖，在矩形/8CZ)中，AB=8,8c=9,點(diǎn)P在BC邊上，CP=3,點(diǎn)。為線

段AP上的動(dòng)點(diǎn)，射線BQ與矩形ABCD的一邊交于點(diǎn)R,且4P=BR,則空=.

BQ------

【答案】.y..vg

【解析】由BC=9,CP=3,可得BP=BC-CP=6,

勾股定理可得：AP=^AB2+BP-=10=B/?./、

(1)當(dāng)射線3。與4)交于點(diǎn)R時(shí)，可得4?=3P=6,由則有送上更二f；

BQBP

(2)射線8Q與CD交于點(diǎn)R,延長"交DC延長線于點(diǎn)E,

勾股定理可得：CR=NBR2-叱=M,

則有理=組，即9=且，得8=4,

CPCE3CE

,?QRRE4+V19

由此可得：—=——=—―.

BQAB8

【總結(jié)】考查三角形一邊平行線性質(zhì)定理的綜合應(yīng)用，注意題目的多解性.

解答題

2

【練習(xí)41】(1)-------2sin60°cos450+3tan300sin45°.

tan30°

(2)Vtan2300-2tan300+1-A/tan70°.tan200-4cos300+4cos230°.

(3)7(l-tan6O0)2+|tan600-3tan45°|-cot40°.cot50°-|sin260°.

【答案】(1)2百；(2)2-生巨：(3)1.

3

【解析】(1)原式=/-2x更x也+3x更X也=26;

由2232

、4A/3

(2)原式=|l-tan30q-|2cos30。-Z-----

3

原式=恤1160。-1|+2-3xl1-]-gx與

(3)

【總結(jié)】考查特殊角銳角三角比的計(jì)算，去絕對值注意符號.

【練習(xí)42］如圖，D、E是AABC邊上的點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是邊ZC、BC上的點(diǎn)，且滿足

AD=DE=EB,DF//BC,EGHAC.

(1)求證：FG//AB；

(2)設(shè)m=￡,CB=h,請用向量￡、B表示向量聲.

【答案】⑴略;(2)GF=|(a-^).

nrAnii

【解析】(1)證明：.DF//BC,——=——=上，即0尸=L8。，

BCAB33

■：EGIIAC,—=—=-,即BG=、BC,

BCAB33

:.BG=DF.

,BG//DF,四邊形8G。是平行四邊形.

:.FG/BD,B[JFG//ABi

(2)由(1)可得：—=1,又FG//AB,則有絲=空=2,

BCAB3ABBC3

即得訐=：麗=|#_司=|僅_孫

【總結(jié)】考查三角形一邊平行線性質(zhì)定理的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查同向向量的意義和向量的線

性運(yùn)算.

18/26

【練習(xí)43］如圖，AABC中，AC=BC,廠為底邊A8上一點(diǎn)，—=-(?、”>0),。是

AFn

CF中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AD并延長交BC于E.

(1)求生的值；

EC

(2)若BE=2EC,求證：CF1AB.

【答案】(1)竺也；(2)略.

n

【解析】(1)過點(diǎn)尸作FG//DE交8C于點(diǎn)G,

則有些=§￡=',又。為CF中點(diǎn)，可知E為GC中點(diǎn),

GEAFn

...—TABBEm+n

由此|(可得：一=----;

CEn

(2)證明：BE=2EC,則有些=絲衛(wèi)=2,

CEn