專題09排列組合二項(xiàng)式定理與概率統(tǒng)計(jì)綜合真題專項(xiàng)訓(xùn)練（全國(guó)競(jìng)賽強(qiáng)基計(jì)劃專用）

【高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽真題?強(qiáng)基計(jì)劃真題考前適應(yīng)性訓(xùn)練】專題09排列組合二項(xiàng)式定理與概率統(tǒng)計(jì)綜合真題專項(xiàng)訓(xùn)練（全國(guó)競(jìng)賽+強(qiáng)基計(jì)劃專用）一、單選題1．（2021·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）在十進(jìn)制下的末兩位數(shù)字是（

）A．01 B．21 C．81 D．前三個(gè)選項(xiàng)都不對(duì)【答案】A【分析】根據(jù)同余及二項(xiàng)定理可判斷末兩位數(shù)字，也可以利用歐拉函數(shù)的性質(zhì)來判斷末兩位數(shù)字.【詳解】法1：根據(jù)題意，有:．法2：根據(jù)歐拉函數(shù)的性質(zhì)由，而，故，故，而，因此．故選：A2．（2021·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）如果一個(gè)十位數(shù)F的各位數(shù)字之和為81，則稱F是一個(gè)“好數(shù)”，則“好數(shù)”的個(gè)數(shù)為（

）A．48618個(gè) B．48619個(gè)C．48620個(gè) D．以上答案都不對(duì)【答案】B【分析】利用隔板法可求“好數(shù)”的個(gè)數(shù).【詳解】設(shè)好數(shù)，則，設(shè)，則，且，考慮的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)，去掉對(duì)應(yīng)的一組解，所求個(gè)數(shù)為個(gè)．故選：B.3．（2021·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)數(shù)表的每一行和每一列的乘積均為1，其中包含的每個(gè)的數(shù)表的4個(gè)數(shù)的乘積為2，則滿足題意的數(shù)表的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．前三個(gè)選項(xiàng)都不對(duì)【答案】B【分析】根據(jù)題設(shè)條件可得四個(gè)角的數(shù)字相同，四邊中間的數(shù)字也相同，從而可求這兩類數(shù)字，故可得正確的選項(xiàng).【詳解】設(shè)數(shù)表為，如圖．根據(jù)題意，有，類似可得數(shù)表外圍一圈任意兩個(gè)相鄰的位置上的數(shù)的乘積均為0.5，進(jìn)而四個(gè)角的數(shù)字相同，四邊中間的數(shù)字也相同，分別設(shè)為a，b，再設(shè)中間的數(shù)為c，則有因此滿足題意的數(shù)表唯一．4．（2020·北京·高三?？紡?qiáng)基計(jì)劃）設(shè)A，B，C是集合的子集，且滿足，這樣的有序組的總數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用分步計(jì)數(shù)法可求有序組的總數(shù).【詳解】考慮A，B，C把集合劃分為5個(gè)集合：，接下來將集合P中的元素逐一安排到集合中即可得所求總數(shù)為．故選：C.5．（2020·北京·高三?？紡?qiáng)基計(jì)劃）設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為，Y表示X被3除的余數(shù)，則數(shù)學(xué)期望（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】利用無窮遞縮等比數(shù)列的和的公式可求的分布列，從而可求其數(shù)學(xué)期望.【詳解】根據(jù)題意：有分別是以為首項(xiàng)，為公比的無窮遞縮等比數(shù)列的和，因此，因此．故選：B.6．（2021·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）現(xiàn)有7把鑰匙和7把鎖．用這些鑰匙隨機(jī)開鎖，則這三把鑰匙不能打開對(duì)應(yīng)的鎖的概率是（

）A． B． C． D．以上答案都不對(duì)【答案】B【分析】利用對(duì)立事件可求這三把鑰匙不能打開對(duì)應(yīng)的鎖的概率.【詳解】設(shè)打開對(duì)應(yīng)的鎖的事件為，其中，則，，且，因此所求概率為．故選：B.7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）除以7的余數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】把轉(zhuǎn)化成，再結(jié)合二項(xiàng)展開式即可求解.【詳解】，則，又是7的倍數(shù)，故余數(shù)為3.故選：D.8．（2020·湖北武漢·高三統(tǒng)考強(qiáng)基計(jì)劃）圓周上有10個(gè)等分點(diǎn)，以這10個(gè)等分點(diǎn)的4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成四邊形，其中梯形的個(gè)數(shù)為（

）A．10 B．20 C．40 D．60【答案】D【分析】把10個(gè)點(diǎn)看成5條線段的組合，再利用組合公式計(jì)算即可.【詳解】梯形的兩條邊平行，可以從5組平行于直徑的5條平行弦中選取，也可以從5組不平行于直徑的4條平行弦中選取，去除矩形后，梯形共有60個(gè).故選：D9．（2020·湖北武漢·高三統(tǒng)考強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)A是集合的子集，只含有3個(gè)元素，且不含相鄰的整數(shù)，則這種子集A的個(gè)數(shù)為（

）A．32 B．56 C．72 D．84【答案】B【分析】分類列舉出每一種可能性即可得到答案.【詳解】若1,3在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為5,6,7,8,9,10中的一個(gè)；若1,4在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為6,7,8,9,10中的一個(gè)；若1,8在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為10；共有6+5+4+3+2+1=21個(gè).若2,4在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為6,7,8,9,10中的一個(gè)；若2,5在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為7,8,9,10中的一個(gè)；若2,8在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為10；共有5+4+3+2+1=15個(gè).若3,5在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為7,8,9,10中的一個(gè)；若3,6在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為8,9,10中的一個(gè)；若3,8在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為10；共有4+3+2+1=10個(gè).若4,6在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為8,9,10中的一個(gè)；若4,7在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為9,10中的一個(gè)；若4,8在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為10；共有3+2+1=6個(gè).若5,7在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為9,10中的一個(gè)；若5,8在集合A內(nèi)，則還有一個(gè)元素為10；共有2+1=3個(gè).若6,8,10在集合A內(nèi)，只有1個(gè).總共有21+15+10+6+3+1=56個(gè)故選：B.10．（2020·北京·高三校考強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)袋中裝有編號(hào)從0到9的10個(gè)球，隨機(jī)從中抽取5個(gè)球，然后排成一行，構(gòu)成的數(shù)（0在首位時(shí)看成4位數(shù)）能被396整除的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)所求數(shù)的形式為，根據(jù)同余可判斷出，再通過列舉法可求滿足條件的數(shù)的個(gè)數(shù)，從而可求概率.【詳解】所有可能的取法有種，因此問題即能被396整除的個(gè)數(shù)．各選項(xiàng)中對(duì)應(yīng)的個(gè)數(shù)為：．由于，因此能被396整除的數(shù)的各位數(shù)字之和，于是或，且有，因此．情形一

．有e2604604826082048264共64個(gè)．情形

二．有e4648262648264共32個(gè)．綜上所述，所求概率為．故選：C.二、填空題11．（2018·安徽·高三競(jìng)賽）從1，2，…，10中隨機(jī)抽取三個(gè)各不相同的數(shù)字，其樣本方差的概率=_________.【答案】【詳解】的樣本方差，當(dāng)且僅當(dāng)、、是連續(xù)的正整數(shù).故.故答案為12．（2021·全國(guó)·高三競(jìng)賽）在1，2，3，…，10這10個(gè)正整數(shù)中任取4個(gè)，記為這四個(gè)數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù)，則的數(shù)學(xué)期望__________．【答案】【詳解】易知的取值為1,2,3，且：．故答案為：.13．（2022·浙江·高二競(jìng)賽）二項(xiàng)式的展開式中，整數(shù)項(xiàng)共有______項(xiàng).【答案】14【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，很明顯整數(shù)項(xiàng)應(yīng)滿足且為6的倍數(shù)，即且為6的倍數(shù)，這樣的數(shù)可以是：120，126，132，138，144，150，156，162，168，174，180，186，192，198，共有14個(gè).故答案為：14.14．（2022·福建·高二統(tǒng)考競(jìng)賽）的末三位數(shù)是___________.【答案】881【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，因此的末三位?shù)是881.故答案為：881.15．（2022·貴州·高二統(tǒng)考競(jìng)賽）如圖，“愛心”是由曲線和所圍成的封閉圖形，在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)A，則A取自“愛心”內(nèi)的概率_____．【答案】【詳解】解法1．區(qū)域的面積為，愛心面積，∴．故答案為：.解法2．在圖中的陰影部分面積，所以愛心面積為，∴．故答案為：.16．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）設(shè)n為正整數(shù).從集合中任取一個(gè)正整數(shù)n恰為方程的解的概率為_______（表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)）.【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，，.滿足題中方程的n為6，12，…，2010，共335個(gè)；當(dāng)時(shí)，，.滿足題中方程的n為1，7，13，…，2011，共336個(gè)；當(dāng)時(shí)，，.滿足題中方程的n不存在；當(dāng)時(shí)，，.滿足題中方程的n為3，9，15，…，2013，共336個(gè)；當(dāng)時(shí)，，.滿足題中方程的n不存在；當(dāng)時(shí)，，.滿足題中方程的n不存在.因此，從集合中任取一個(gè)正整數(shù)n恰為題中方程的解的概率為.17．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）小明、小紅分別獨(dú)立重復(fù)投擲均勻的色子，直到第次出現(xiàn)6點(diǎn)為止．則小明和小紅投擲的次數(shù)相差不超過1的概率為________．【答案】【詳解】設(shè)小明、小紅投擲次數(shù)分別為.則所求為.由獨(dú)立性,知所求概率為==.18．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）從集合中隨機(jī)地、不放回地取出三個(gè)數(shù)，然后再?gòu)氖Ｏ碌?011個(gè)數(shù)中同樣隨機(jī)地、不放回地取出三個(gè)數(shù).則將為長(zhǎng)、寬、高的磚能放進(jìn)以為長(zhǎng)、寬、高的盒子中的概率為__________．【答案】【詳解】不妨設(shè)，，當(dāng)且僅當(dāng)，，時(shí)磚可放入盒中.設(shè)是從中選出的六個(gè)數(shù)，再?gòu)闹羞x出三個(gè)，有=20種方法.這三個(gè)作為，剩下三個(gè)作為，符合要求的只能為.若為，則可為或或；若為，則可為或.故符合要求的取法為5種，概率.19．（2021·全國(guó)·高三競(jìng)賽）有甲乙兩個(gè)盒子，甲盒中有5個(gè)球，乙盒中有6個(gè)球（所有球都是一樣的）.每次隨機(jī)選擇一個(gè)盒子，并從中取出一個(gè)球，直到某個(gè)盒子中不再有球時(shí)結(jié)束.則結(jié)束時(shí)是甲盒中沒有球的概率為______.【答案】【詳解】相當(dāng)于前十次中至少有五次選擇了甲盒的概率，即.故答案為：.20．（2021·全國(guó)·高三競(jìng)賽）先后三次擲一顆骰子，則其中某兩次的點(diǎn)數(shù)和為10的概率為___________．【答案】【詳解】有兩次為5的概率為，有兩次為6和4的概率為，所以概率為.故答案為：.21．（2021·浙江金華·高三浙江金華第一中學(xué)?？几?jìng)賽）甲，乙兩人進(jìn)行一場(chǎng)七局四勝制的游戲，任何一人累計(jì)獲勝四局即為勝方，同時(shí)游戲結(jié)束，另一人為負(fù)方．若在每局中，雙方各有的概率獲勝，則游戲結(jié)束時(shí)勝方比負(fù)方多獲勝的局?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為______．【答案】【詳解】由題可設(shè)游戲結(jié)束時(shí)勝方比負(fù)方多獲勝的局?jǐn)?shù)為,則可能取值為1,2,3,4,比七局,前六場(chǎng)兩人三勝三負(fù),勝方比負(fù)方多獲勝一場(chǎng),;比六局,前五場(chǎng)勝方三勝兩負(fù),勝方比負(fù)方多獲勝兩場(chǎng),;比五局,前四場(chǎng)勝方三勝一負(fù),勝方比負(fù)方多獲勝三場(chǎng),,比四局,勝方連勝四局,,所以.故答案為：.22．（2022·北京·高三?？紡?qiáng)基計(jì)劃）將不大于12的正整數(shù)分為6個(gè)兩兩交集為空的二元集合，且每個(gè)集合中兩個(gè)元素互質(zhì)，則不同的分法有___________種.【答案】252【分析】依題意恰好在6個(gè)不同的集合中，設(shè)依次為，則可以任意放，5不能放在中，3，9不能放在或中，分兩種情況討論，按照分類、分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得；【詳解】解：易知中的元素兩兩不互質(zhì)，因此恰好在6個(gè)不同的集合中.設(shè)依次為.此時(shí)剩余的正整數(shù)中可以任意放在上述6個(gè)集合中，5不能放在中，3，9不能放在或中，分兩種情況：①若5放入了或中，有兩種情況，此時(shí)3與9可在4個(gè)集合中選擇，有種情況，而放入集合有種情況.②若5沒有放入或中，則5有3個(gè)集合可以選擇，進(jìn)而3與9可在3個(gè)集合中選擇，有種情況，而放入集合有種情況.綜上所述，不同的集合拆分方法共有種.故答案為：23．（2022·浙江金華·高三浙江金華第一中學(xué)校考競(jìng)賽）定義：如果甲隊(duì)贏了乙隊(duì)，乙隊(duì)贏了丙隊(duì)，而丙隊(duì)又贏了甲隊(duì)，則稱甲乙丙為一個(gè)“友好組”.如果20支球隊(duì)參加單循環(huán)比賽，則友好組個(gè)數(shù)的最大值為__________.【答案】330【分析】從反面考慮非友好組的個(gè)數(shù)的最小值，后者可用逐步調(diào)整法來處理.【詳解】當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，令，則總共有場(chǎng)比賽.不妨設(shè)有個(gè)友好組，考慮其反面，若甲乙丙三對(duì)為非友好組，不妨設(shè)甲隊(duì)贏了乙隊(duì)和丙隊(duì)，此時(shí)，記甲隊(duì)為非友好組的組長(zhǎng).對(duì)甲隊(duì)而言，可以在贏的所有隊(duì)伍中任意選擇兩隊(duì)構(gòu)成非友好組.因此，若隊(duì)在比賽中贏了場(chǎng)，則，且以為組長(zhǎng)的非友好組有個(gè)（補(bǔ)充定義：，于是所有非友好組的個(gè)數(shù)為.下求最小值.若在中，有.則令，其余且，，故調(diào)整后的總和變小.重復(fù)上述操作，直至任意兩個(gè)數(shù)的差最多為1.不妨設(shè)有個(gè)個(gè)，則有整理有.由于，故.由等式兩邊對(duì)應(yīng)相等可知，，即調(diào)整后有個(gè)個(gè).此時(shí)的值為，則，故友好組個(gè)數(shù)的最大值為，即.下面為取到最大值的例子：設(shè)在.共支球隊(duì)中，當(dāng)時(shí)，隊(duì)勝；當(dāng)時(shí)，隊(duì)勝，下標(biāo)均是在模的意義下.綜上所述，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，友好組個(gè)數(shù)的最大值為.故如果20支球隊(duì)參加單循環(huán)比賽，友好組個(gè)數(shù)的最大值為330.故答案為：33024．（2019·河南·高二校聯(lián)考競(jìng)賽）計(jì)算：=____________.【答案】【詳解】由二項(xiàng)式定理得，兩邊同時(shí)積分得：，從而得到如下等式：，故答案為：.25．（2022·北京·高三?？紡?qiáng)基計(jì)劃）已知數(shù)列各項(xiàng)均為正整數(shù)，且中存在一項(xiàng)為3，可能的數(shù)列的個(gè)數(shù)為___________.【答案】211【分析】由題意記，則，設(shè)，則，對(duì)于給定的可唯一確定一組數(shù)列，從而可求出數(shù)列的個(gè)數(shù)【詳解】解：記，則，對(duì)確定的，數(shù)列各項(xiàng)間的大小順序即確定，設(shè)，則，對(duì)于給定的可唯一確定一組數(shù)列，由于且，這樣的數(shù)列共個(gè)，其中不符合題設(shè)條件的數(shù)列各項(xiàng)均為1或2，這樣的數(shù)列有個(gè)，綜上所述，符合要求的數(shù)列共有個(gè).故答案為：211三、解答題26．（2022·江蘇南京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)的兩個(gè)根分別為，，設(shè).(1)求證：；(2)求的個(gè)位數(shù)字.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由題意可知，，此時(shí)：，，則：，此時(shí).（2）因?yàn)椋?，上述兩式相加可得，設(shè)為的個(gè)位數(shù)字，則：，，，，，，，，則數(shù)列是以6為周期的數(shù)列，則.27．（2018·全國(guó)·高三競(jìng)賽）已知數(shù)列滿足，并且對(duì)任意的的概率均為．（1）設(shè)的值為隨機(jī)變量X，試求X的概率分布；（2）求X的絕對(duì)值的數(shù)學(xué)期望E|X|．【答案】（1）見解析；（2）【詳解】（1）設(shè).則對(duì)任意正整數(shù)取1或1的概率均為，且.設(shè).顯然，，并設(shè)此時(shí)中有x個(gè)1,2nx個(gè)1.則X(2nx)=k.因此，k=2(xn)只能取[2n,2n]之間的偶數(shù)值.對(duì)于偶數(shù)2m(m=0,±1,...,±n)，事件{X=2m}相當(dāng)于在2n個(gè)數(shù)中，有n+m個(gè)取1，nm個(gè)取1，因此，X的概率分布可表示為（2）對(duì)任意1≤i≤n，易知P(X=2m)=P(X=2m).從而，.28．（2022·湖北武漢·高三統(tǒng)考強(qiáng)基計(jì)劃）連續(xù)地隨機(jī)擲1顆骰子，一直擲到6點(diǎn)出現(xiàn)3次為止.用表示停止時(shí)已經(jīng)擲的次數(shù).(1)求的分布列，；(2)令，求數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)答案見解析.(2).【詳解】（1）顯然當(dāng)擲次才停止時(shí),必有第次擲出的是6,前中有2次擲出次擲出的是其它數(shù)字.所以.由于，，，故其分布列為：X34（2）當(dāng)時(shí),有,故.當(dāng)時(shí),有,故于是可得29．（2022·江蘇南京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）已知整數(shù)，證明：.【答案】證明見解析【詳解】解同除：，設(shè)，原題即證：，而，所以，即，，又，所以，即，，綜上可得：時(shí)，，即.30．（2022·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考競(jìng)賽）定義：如果甲隊(duì)贏了乙隊(duì)，乙隊(duì)贏了丙隊(duì)，而丙隊(duì)又贏了甲隊(duì)，則稱甲乙丙為一個(gè)“友好組”.(1)如果19支球隊(duì)參加單循環(huán)比賽，求友好組個(gè)數(shù)的最大值；(2)如果20支球隊(duì)參加單循環(huán)比賽，求友好組個(gè)數(shù)的最大值.【答案】(1)285(2)330【分析】設(shè)有x個(gè)友好組，考慮其反面，證明一般性結(jié)論：當(dāng)球隊(duì)個(gè)數(shù)m為奇數(shù)時(shí)，友好組個(gè)數(shù)最大值為；當(dāng)球隊(duì)個(gè)數(shù)m為偶數(shù)時(shí)，友好組個(gè)數(shù)最