861直線與直線垂直精練-2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)（人教A版2019）

8.6.1直線與直線垂直(精練）A學(xué)業(yè)基礎(chǔ)一、單選題1．（2021·安徽·六安市裕安區(qū)新安中學(xué)高一期末）如圖，在長(zhǎng)方體的棱中，與棱垂直的棱有（）A．2條 B．4條C．6條 D．8條【答案】D【詳解】在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的棱中，與棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8條．故選：D.2．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在正方體中，下列直線與垂直的是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】四邊形為正方形故選：3．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，正方體中，①與平行；②與垂直；③與垂直．以上三個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是（）A．①② B．②③ C．③ D．①②③【答案】C【詳解】解：對(duì)于①，在正方體中，由圖可知與異面，故①不正確．對(duì)于②，因?yàn)?，不垂直，所以與不垂直，故②不正確．對(duì)于③，在正方體中，平面，又∵平面，∴與垂直.故③正確．故選：C．4．（2021·全國(guó)·高一課前預(yù)習(xí)）已知正三棱柱中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，可得，所以異面直線與所成角即為直線與所成角，設(shè)，在正中，由，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，在中，由余弦定理可得.故選：A.5．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在三棱柱中，若，，則異面直線與所成角的大小為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)锽C∥B1C1，所以∠ACB(或它的補(bǔ)角)為異面直線B1C1與AC所成角，因?yàn)?，AB=BC=1，所以，所以異面直線B1C1與AC所成角為．故選：A.6．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）在正方體各個(gè)表面的對(duì)角線中，與所成角為的有A．4條 B．6條 C．8條 D．10條【答案】C【詳解】以為一邊的面對(duì)角線構(gòu)成的等邊三角形如上圖為：和可知與夾角為的面對(duì)角線有：根據(jù)平行關(guān)系可知也與成角可知滿足題意的面對(duì)角線共有條本題正確選項(xiàng)：7．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在矩形中，，為邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將繞直線翻轉(zhuǎn)至處，若為線段的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正切值為（）A． B．2 C． D．4【答案】A【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接為線段的中點(diǎn)，，且.又矩形中，為邊的中點(diǎn)，，且.，且，四邊形為平行四邊形，，(或其補(bǔ)角)是異面直線與所成角．在直角中，，異面直線與所成角的正切值為.故選：A.8．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知三棱柱的各條棱長(zhǎng)都相等，且底面，是側(cè)棱的中點(diǎn)，則異面直線和所成的角為()A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)棱長(zhǎng)為a，補(bǔ)正三棱柱ABCA2B2C2（如圖）．

平移AB1至A2B，連接A2M，∠MBA2即為AB1與BM所成的角，

在△A2BM中，．

故選A．二、填空題9．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知兩異面直線所成的角為，過(guò)空間一點(diǎn)作直線，使得與，的夾角均為，那么這樣的直線有_______條．【答案】2【詳解】可將a，b通過(guò)平移相交于點(diǎn)P，如圖所示，則，則的角平分線與直線a，b所成的角均為，的角平分線與直線a，b所成的角均為，因?yàn)?，所以與直線a，b所成的角均為9°的直線l有且只有2條（直線），故答案為：2.10．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知在長(zhǎng)方體中，，，分別是和中點(diǎn)，則異面直線，所成的角的大小為_(kāi)____.

【答案】90°【詳解】取CD1的中點(diǎn)G，連接EG，DG.∵E是BD1的中點(diǎn)，∴EG∥BC，EG=BC.∵F是AD的中點(diǎn)，且AD∥BC，AD=BC，∴DF∥BC，DF=BC，∴EG∥DF，EG=DF，∴四邊形EFDG是平行四邊形，∴EF∥DG，∴∠DGD1(或其補(bǔ)角)是異面直線CD1與EF所成的角.又A1A=AB，∴四邊形ABB1A1，四邊形CDD1C1都是正方形，且G為CD1的中點(diǎn)，∴DG⊥CD1，∴∠D1GD=90°，∴異面直線CD1，EF所成的角為90°.故答案為：90°.11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知正四棱錐，，，是側(cè)棱的中點(diǎn)，且，則異面直線與所成角為_(kāi)_______．【答案】45°【詳解】如圖，連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接OM，則∠OMB為異面直線PA與BM所成角．由O，M分別為AC，PC中點(diǎn)，得OM＝PA＝1．在RtAOB中，易得OB＝AB·tan·45°＝1．又BM＝，即OB2＋OM2＝BM2，所以O(shè)MB為直角三角形，且∠OMB＝45°．故答案為：45°.12．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在四面體中，，與所成的角為，、分別為、的中點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】或【詳解】取的中點(diǎn)，連接、，、分別為、的中點(diǎn)，且，同理可得且，為異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，則或.在中，.若，則為等邊三角形，此時(shí)，；若，由余弦定理可得.綜上所述，或.故答案為：或.三、解答題13．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））如圖，在四棱柱中，側(cè)面都是矩形，底面四邊形是菱形且，，若異面直線和所成的角為，試求的長(zhǎng).【答案】【詳解】如圖，連接，在四棱柱中，，，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以（或其補(bǔ)角）為和所成的角，因?yàn)楫惷嬷本€和所成的角為，所以，因?yàn)樗睦庵?，?cè)面都是矩形，底面四邊形是菱形，所以是等腰直角三角形，所以，因?yàn)榈酌嫠倪呅问橇庑吻?，，所以，，所?14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)在圓柱的底面上，，，，分別為，的直徑，且.若圓柱的體積，，，回答下列問(wèn)題：（1）求三棱錐的體積.（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使異面直線與所成的角的余弦值為？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)的位置，并證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）存在，點(diǎn)M為AP的中點(diǎn)【詳解】解：（1）由題意，得，解得.由，，得，，，∴，∴三棱錐的體積.（2）當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，異面直線與所成的角的余弦值為.證明如下：∵，分別為，的中點(diǎn)，∴，∴就是異面直線與所成的角.∵，，，∴.又，∴，∴當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，異面直線與所成的角的余弦值為.B應(yīng)考能力15．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，，，則異面直線與所成的角為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：如圖，連接，因?yàn)?，所以為異面直線與所成的角.因?yàn)?，所以，故選：16．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在正三角形中，分別為各邊的中點(diǎn)，分別為的中點(diǎn).將沿折成三棱錐以后，與所成角的度數(shù)為A． B． C． D．【答案】B【詳解】將△ABC沿DE，EF，DF折成三棱錐以后，I、J分別為BE、DE的中點(diǎn)，則IJ∥側(cè)棱AD，故GH與IJ所成角與側(cè)棱AD與GH所成的角相等；AD為折成三棱錐的側(cè)棱，因?yàn)椤螦HG=60°，故GH與IJ所成角的度數(shù)為60°，

故選:B．17．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）點(diǎn)、分別是三棱錐的棱、的中點(diǎn)，，，，則異面直線與所成的角為()A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連結(jié)、，則，，則(或其補(bǔ)角)即為與所成的角，在中，，，，所以，即異面直線與所成的角為，故選D.18．（2022·四川眉山·高二期末（理））如圖，在正方體中，，分別是，的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.（1）在正方體中，取中點(diǎn)G，連接FG，，如圖，而F是CD的中點(diǎn)，則，，又E是的中點(diǎn)，則，，因此，，，四邊形是平行四邊形，有，而平面，平面，平面.（2）連AC，取AC中點(diǎn)T，連接ET，，，E，T分別為，AC中點(diǎn)，則，即有為異面直線與所成角或其補(bǔ)角，令正方體棱長(zhǎng)為2，則，，而，則，在中，由余弦定理得，所以異面直線與所成角的余弦值為.C新素養(yǎng)新題型19．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））如圖，三棱柱中，底面三角形是正三角形，是的中點(diǎn)，則下列敘述錯(cuò)誤的是（）A．與是異面直線 B．與共面C．與是異面直線 D．與所成的角為【答案】ABD【詳解】由于CC1與B1E都在平面C1B1BC內(nèi)，故C1C與B1E共面，A錯(cuò)誤；由于C1C在平面C1B1BC內(nèi)，而AE與平面C1B1BC相交于E點(diǎn)，點(diǎn)E不在C1C上，故C1C與AE是異面直線，B錯(cuò)誤；同理AE與B1C1是異面直線，C正確；AE與B1C1所成的角就是AE與BC所成的角，而E為BC中點(diǎn)，△ABC為正三角形，所以AE⊥BC，即AE與B1C1所成為90°，D錯(cuò)誤.故選：ABD.20．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）一個(gè)正方體紙盒展開(kāi)后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論，正確的是（）A．B．與所成的角為C．與是異面直線D．【答案】AC【詳解】還原正方體,以正方形為底面有對(duì)選項(xiàng)A,因?yàn)椤?且有,故A正確.對(duì)選項(xiàng)B,因?yàn)椤?所以B錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)C,由圖可得顯然正確.對(duì)選項(xiàng)D,,故D錯(cuò)誤.故選：AC21．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）如圖，在四面體中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，截面是正方形，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．截面C． D．異面直線與所成的角為【答案】ABD【詳解】解：因?yàn)榻孛媸钦叫?，所以，又平面，平面所以平面又平?平面平面所以因?yàn)榻孛?，截面，所以截面，故B正確同理可證因?yàn)?，所以，故A正確又所以異面直線與所成的角為，故D正確和不一定相等，故C錯(cuò)誤故選：ABD22．（2021·黑龍江·大慶市東風(fēng)中學(xué)高一期末）已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在球的球面上，，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，分別是，的中點(diǎn)，，則三棱錐的體積為_(kāi)___