第13講三角函數(shù)的應用（教師版）高一數(shù)學講義（人教A版2019）

第13講三角函數(shù)的應用目標導航目標導航課程標準課標解讀掌握三角函數(shù)的圖象與解析式之間的對應問題的處理方法.能結合實際生產(chǎn)與生活中與三角函數(shù)之間的密切關系，用三角函數(shù)這一數(shù)學模式解決與之相關的問題.能處理三角函數(shù)相關學科之間的問題，用三角函數(shù)這一重要工具解決與數(shù)學、物理學及其它學科與之相關聯(lián)的問題.掌握數(shù)學建模的重要方法與步驟，并能嚴謹?shù)膽脭?shù)學知識解決問題.通過本節(jié)課的學習，要求掌握常見的三角函數(shù)應用問題的處理方法，了解并掌握數(shù)學建模的方法與步驟，能處理與三角函數(shù)相結合的數(shù)學問題、物理問題及與之相關的其它學科與生產(chǎn)、生活有密切聯(lián)系的問題.知識精講知識精講知識點1．三角函數(shù)模型的簡單應用三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學模型，可以用來研究很多問題，在刻畫周期變化規(guī)律、預測等方面發(fā)揮著十分重要的作用．教材中的例2對太陽光照以及潮汐問題的研究為我們展示了怎樣運用模型化的思想建立三角函數(shù)模型的方法和過程．2．三角函數(shù)模型應用的步驟三角函數(shù)模型應用即建模問題，根據(jù)題意建立三角函數(shù)模型，再求出相應的三角函數(shù)在某點處的函數(shù)值，進而使實際問題得到解決．步驟可記為：審讀題意→建立三角函數(shù)式→根據(jù)題意求出某點的三角函數(shù)值→解決實際問題．這里的關鍵是建立數(shù)學模型，一般先根據(jù)題意設出代表函數(shù)，再利用數(shù)據(jù)求出待定系數(shù)，然后寫出具體的三角函數(shù)解析式．3．三角函數(shù)模型的擬合應用我們可以利用搜集到的數(shù)據(jù)，作出相應的“散點圖”，通過觀察散點圖并進行數(shù)據(jù)擬合，從而獲得具體的函數(shù)模型，最后利用這個函數(shù)模型來解決相應的實際問題．【即學即練1】把函數(shù)y=sin的圖象上所有點向右平移個單位長度，再將所得圖象的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變），所得圖象的解析式是y=sin（ωx＋φ）（ω>0，|φ|<π），則（）A．ω=，φ=－ B．ω=2，φ=C．ω=2，φ=0 D．ω=2，φ= 【答案】C【解析】把函數(shù)y=sin的圖象上所有點向右平移個單位長度得到函數(shù)y=sin=sinx的圖象，再將所得圖象的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變），所得圖象的解析式是y=sin2x，故ω=2，φ=0．【即學即練2】電流強度I（單位：安）隨時間t（單位：秒）變化的函數(shù)I=Asin（ωt＋φ）的圖象如圖所示，則當t=秒時，電流強度是（）A．－5安 B．5安C．5安 D．10安【答案】A【解析】由題圖可知A=10，=－，即T=，所以ω==100π，函數(shù)圖象過點（0，5）且0<φ<，所以φ=，所以函數(shù)為I=10sin，當t=秒時，I=－5安．故選A．【即學即練3】如圖，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y=3sin＋k．據(jù)此函數(shù)可知，這段時間水深（單位：m）的最大值為（）A．5 B．6C．8 D．10【答案】C【解析】根據(jù)圖象得函數(shù)的最小值為2，有－3＋k=2，k=5，最大值為3＋k=8．【即學即練4】如圖所示，質點P在半徑為2的圓周上逆時針運動，其初始位置為P0（，－），角速度為1，那么點P到x軸的距離d關于時間t的函數(shù)圖象大致為（）【答案】C【解析】因為P0（，－），所以∠P0Ox=－．因為角速度為1，所以按逆時針旋轉時間t后，得∠POP0=t，所以∠POx=t－．由三角函數(shù)定義，知點P的縱坐標為2sin，因此d=2．令t=0，則d=2=．當t=時，d=0．故選C．【即學即練5】某彈簧振子做簡諧振動，其位移函數(shù)為，其中表示振動的時間，表示振動的位移，當時，該振子剛好經(jīng)過平衡位置（平衡位置即位移為0的位置）5次，則在該過程中該振子有（）次離平衡位置的距離最遠．A．3 B．2 C．5 D．5或6【答案】D【分析】根據(jù)題意畫出函數(shù)的草圖，根據(jù)函數(shù)的圖像，得出該振子離平衡位置的距離最遠的次數(shù).【詳解】根據(jù)題意，畫出草圖，由圖可知，時，該振子離平衡位置的距離最遠的次數(shù)共5或6次，故選：D．【即學即練6】我們學過用角度制與弧度制度量角，最近，有學者提出用“面度制”度量角，因為在半徑不同的同心圓中，同樣的圓心角所對扇形的面積與半徑平方之比是常數(shù)，從而稱這個常數(shù)為該角的面度數(shù)，這種用面度作為單位來度量角的單位制，叫做面度制.在面度制下，角的面度數(shù)為，則角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用扇形面積公式，根據(jù)面度數(shù)定義，求角.【詳解】由面度數(shù)的定義可知，即，.故選：B能力拓展能力拓展考法011．函數(shù)解析式與圖象的對應問題（1）已知函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象，可結合函數(shù)的有關性質排除干擾項即可得到正確的選項.（2）函數(shù)圖象與解析式的對應問題是高考考查的熱點，解決此類問題的一般方法是根據(jù)圖象所反映出的函數(shù)性質來解決，如函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性、單調性、值域，此外零點也可以作為判斷的依據(jù).【典例1】．已知函數(shù)．（1）用“五點法”作出在長度為一個周期的閉區(qū)間上的簡圖；（2）請說明函數(shù)的圖像可以由正弦函數(shù)的圖像經(jīng)過怎樣的變換得到．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）先由函數(shù)解析式，按五個關鍵點列表，再描點連線，即可得出圖像；（2）根據(jù)函數(shù)的平移變換以及伸縮變換的原則，即可得出結果.【詳解】解：（1）按五個關鍵點列表：00300簡圖如圖所示．（2）先將函數(shù)圖像上所有點的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到的圖像；再將得到的圖像向左平移個單位長度，得到的圖像；最后將得到的圖像上所有點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，得到的圖像．【點睛】本題主要考查三角函數(shù)圖像的畫法，以及三角函數(shù)的伸縮變換與平移變換，熟記五點作圖法，以及圖像變換的法則即可，屬于?？碱}型.【即學即練7】函數(shù)的圖象是（）【答案】A【解析】是偶函數(shù)，∴可排除B、D；又當時，，故選A．【名師點睛】該題也可直接利用余弦函數(shù)的定義域得到，顯然只有選項A滿足題意，直接得到正確的選項.所以該類問題抓住函數(shù)的“特性”很重要．【即學即練8】函數(shù)y＝sin|x|的圖象是（）【答案】B【解析】令f(x)＝sin|x|，x∈R，則f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)，∴函數(shù)f(x)＝sin|x|為偶函數(shù)，排除A；又當x＝時，y＝sin||＝sin＝1，排除D；當x＝時，y＝sin||＝sin＝－1，排除C，故選B．【名師點睛】解決函數(shù)圖象與解析式對應問題的策略（1）解決此類問題的一般方法是根據(jù)圖象所反映出的函數(shù)性質來解決，如函數(shù)的奇偶性、周期性、圖象的對稱性、單調性、值域，此外零點也可以作為判斷的依據(jù)．（2）利用圖象確定函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，實質就是確定其中的參數(shù)A，ω，φ．其中A由最值確定；ω由周期確定，而周期由特殊點求得；φ由點在圖象上求得，確定φ時，注意它的不唯一性，一般是求|φ|中最小的φ．考法02函數(shù)解析式的應用（1）已知實際問題的函數(shù)解析式解決相關問題，題目一般很容易，只需將具體的值代入計算即可.（2）三角函數(shù)模型中函數(shù)解析式的應用主要是對相關量物理意義的考查.【典例2】．如圖，某海港一天從的水位高度（單位：）隨時間（單位：）的變化近似滿足函數(shù)．（1）求該函數(shù)的解析式；（2）若該海港在水位高度不低于時為輪船最佳進港時間，那么該海港在，輪船最佳進港時間總共多少小時？【答案】（1），；（2）．【分析】（1）由圖可得，，，再由周期公式可求出，再把將，代入可求出的值，從而可求得函數(shù)的解析式；（2）由可求出結果【詳解】（1）由圖可知，，．∵，∴，解得，∴．將，代入上式，解得，，∵，∴，故該曲線的函數(shù)解析式為，．（2）由題意得，即，解得，，即，．∵，∴當時，即，∴該海港在的輪船最佳進港時間總共為．【即學即練9】如圖，某地一天從6～14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，0<φ<π)，則該函數(shù)的表達式為________．【答案】y＝10sin(x＋)＋20【解析】由題意可知，函數(shù)的周期T＝2×(14－6)＝16，∴ω＝＝.又，∴，∴y＝10sin(x＋φ)＋20.∴20＝10sin(×10＋φ)＋20，∴sin(＋φ)＝0，∴＋φ＝kπ，k∈Z.又∵0<φ<π，∴φ＝，∴y＝10sin(x＋)＋20.考法03三角函數(shù)在物理學中的應用【典例3】下圖是某簡諧運動的圖像.試根據(jù)圖像回答下列問題：（1）寫出這個簡諧運動的振幅?周期與頻率（2）從點算起，到曲線上的哪一點，表示完成了一次往復運動？如果從點算起呢？（3）寫出這個簡諧運動的函數(shù)表達式.【答案】(1)振幅為2cm，周期為0.8s,頻率為；(2)如果從O點算起，到曲線上D點，表示完成了一次往復運動；如果從A點算起，到曲線上E點，表示完成了一次往復運動；(3).【分析】(1)從圖像中可以直接得到振幅、計算周期和頻率；(2)從圖像中可以看出；(3)設這個簡諾動的函數(shù)解析式為從圖像得到，即可得到解析式.【詳解】(1)從圖像中可以看出：這個簡諧運動的振幅為2cm，周期為0.8s,頻率為；(2)如果從O點算起，到曲線上D點，表示完成了一次往復運動；如果從A點算起，到曲線上E點，表示完成了一次往復運動；(3)設這個簡諧運動的函數(shù)解析式為由圖像可知：，又由，得：.所以所求簡諧運動的函數(shù)解析式為.【典例4】彈簧掛著的小球做上下振動，它在時間t(s)內離開平衡位置(靜止時的位置)的距離h(cm)由下面的函數(shù)關系式表示：.（1）求小球開始振動的位置；（2）求小球第一次上升到最高點和下降到最低點時的位置；（3）經(jīng)過多長時間小球往返振動一次?（4）每秒內小球能往返振動多少次?【解析】（1）令t=0，得，所以開始振動的位置為(0，).（2）由題意知，當h=3時，，即最高點為;當h=?3時，t=，即最低點為.（3）≈3.14，即每經(jīng)過約3.14s小球往返振動一次.（4），即每秒內小球往返振動約0.318次.【名師點睛】解決此類問題的關鍵在于明確各個參數(shù)的物理意義，易出現(xiàn)的問題是混淆彼此之間的對應關系導致錯解.【典例5】單擺從某點開始來回擺動，離開平衡位置的距離s(單位：cm)和時間t(單位：s)的函數(shù)關系式為s＝．（1）作出函數(shù)的圖象．（2）當單擺開始擺動(t＝0)時，離開平衡位置的距離是多少？（3）當單擺擺動到最右邊時，離開平衡位置的距離是多少？（4）單擺來回擺動一次需多長時間？【解析】（1）利用“五點法”可作出其圖象．（2）因為當t＝0時，s＝6sin＝3，所以此時離開平衡位置3cm．（3）離開平衡位置6cm．（4）因為T＝＝1，所以單擺來回擺動一次所需的時間為1s．【名師點睛】三角函數(shù)在物理中的應用三角函數(shù)模型在物理中的應用主要體現(xiàn)在簡諧運動中，其中對彈簧振子和單擺的運動等有關問題考查最多，尤其要弄清振幅、頻率、周期、平衡位置等物理概念的意義和表示方法．考法04三角函數(shù)在平面幾何中的應用【典例6】如圖，將矩形紙片的右下角折起，使得該角的頂點落在矩形的左邊上，那么折痕長度l取決于角的大小.探求l，之間的關系式，并導出用表示l的函數(shù)表達式.【答案】【分析】根據(jù)圖形判斷直角三角形，利用直角三角形求解，由，求解即可．【詳解】解：由已知及對稱性知，，，又，，又由得：【典例7】南開園自然環(huán)境清幽，棲居著多種鳥類，熱愛動物的南鳶同學獨愛其中形貌雅致的藍膀香鵲，于是她計劃與生物興趣小組的同學一起在翔字樓前廣場一角架設一臺可轉動鏡頭的相機，希望可以捕捉到這種可愛鳥兒的飄逸瞬間，南同學設計了以下草圖，為簡化模型，假設廣場形狀為正方形，邊長為1，已知相機架設于A點處，其可捕捉到圖象的角度為，即，其中分別在邊上，記.（1）南鳶同學的數(shù)學老師很欣賞她的計劃，并根據(jù)她的設計草圖編制了此刻你正在思考的這道期中考試試題，設與相交于點，當時，請你求出：（i）線段的長為多少？（ii）線段的長為多少？（2）為節(jié)省能源，南鳶同學計劃在廣場上人員較多的時段關閉相機鏡頭的自動轉動功能，為使相機能夠捕捉到的面積(即四邊形的面積，記為)最大，應取何值？的最大值為多少？【答案】（1）（i），（ii），（2）【分析】（1）如圖建立平面直角坐標系，在中，直接求解，從而可得，求出直線的方程，再與直線的方程聯(lián)立可求出點的坐標，再用兩點間的距離公式可求出的長；（2）由于，，從而可求出的值，進而可表示出四邊形的面積，再用三角函數(shù)的性質求出其最大值【詳解】解：（1）如圖建立平面直角坐標系，由于，，所以，由，得，所以,因為，，所以，在中，，則，所以，設直線為，則，解得，所以直線為，直線為，由，得，即，所以（2），，所以，所以，，當且僅當，即時取等號，所以當時，取得最大值，最大值為【點睛】關鍵點點睛：此題考查三角函數(shù)的應用，解題的關鍵是建立平面直角坐標系，求出直線、的方程，從而可求出點的坐標，進而可求出的長，考查數(shù)學轉化思想和計算能力，屬于中檔題考法05三角函數(shù)模型的應用三角函數(shù)應用模型的三種模式：一、給定呈周期變化規(guī)律的三角函數(shù)模型，根據(jù)所給模型，結合三角函數(shù)的性質，解決一些實際問題；二、給定呈周期變化的圖象，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)模型，再解決其他問題；三、搜集一個實際問題的調查數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)作出散點圖，通過擬合函數(shù)圖象，求出可以近似表示變化規(guī)律的函數(shù)模型，進一步用函數(shù)模型來解決問題.【典例8】已知某海濱浴場的海浪高度是時間t(h)的函數(shù)，記作y＝f(t)．下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù).t(h)03691215182124y(m)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5經(jīng)長期觀測，y＝f(t)的曲線可近似地看成是函數(shù)y＝Acosωt＋b.（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)y＝Acosωt＋b的最小正周期T、振幅A及函數(shù)表達式；（2）依據(jù)規(guī)定，當海浪高度高于1米時才對沖浪愛好者開放，請依據(jù)(1)的結論，判斷一天內的上午8時到晚上20時之間，有多長時間可供沖浪者進行運動？【解析】（1）依題意，得T＝12，A＝＝0.5，b＝＝1，∴ω＝＝，故y＝cost＋1.（2）令y＝cost＋1>1，則2kπ－<t<2kπ＋(k∈Z)，∴12k－3<t<12k＋3(k∈Z)．又∵8<t<20，∴9<t<15，∴從9點到15點適合對沖浪愛好者開放，一共有6個小時．【名師點睛】解決此類問題的關鍵在于根據(jù)已知數(shù)據(jù)確定相應的數(shù)學模型，然后根據(jù)已知條件確定函數(shù)解析式中的各個參數(shù)，最后利用模型解決實際問題．【典例9】心臟跳動時，血壓在增加或減少．血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓和舒張壓，血壓計上的讀數(shù)就是收縮壓和舒張壓，讀數(shù)120/80mmHg為標準值．設某人的血壓滿足函數(shù)式p(t)＝115＋25sin160πt，其中p(t)為血壓(mmHg)，t為時間(min)，試回答下列問題：（1）求函數(shù)p(t)的周期；（2）求此人每分鐘心跳的次數(shù)；（3）畫出函數(shù)p(t)的草圖；（4）求出此人的血壓在血壓計上的讀數(shù)．【解析】（1）由于ω＝160π，代入周期公式T＝，可得T＝＝(min)，所以函數(shù)p(t)的周期為min．（2）每分鐘心跳的次數(shù)即為函數(shù)的頻率f＝＝80(次)．（3）列表：t0p(t)11514011590115描點、連線并向左右擴展得到函數(shù)p(t)的簡圖如圖所示：（4）由圖可知此人的收縮壓為140mmHg，舒張壓為90mmHg．【名師點睛】解三角函數(shù)應用問題的基本步驟：【典例10】如圖，在扇形OPQ中，半徑OP=1，圓心角，C是扇形弧上的動點，矩形ABCD內接于扇形.記，求當角取何值時，矩形ABCD的面積最大？并求出這個最大面積.【答案】時，矩形的面積，最大面積為【分析】由題意可得，，從而可得矩形的面積為，再由可得，由此可得時，取得最大值【詳解】在中，，，在中，，所以，所以，設矩形的面積為，則，由，得，所以當，即時，，因此，當時，矩形的面積，最大面積為，【點睛】關鍵點點睛：此題考查三角函數(shù)的應用，解題的關鍵是將四邊形的面積表示為，再利用三角函數(shù)的性質可求得其最大值，屬于中檔題分層提分分層提分題組A基礎過關練1．簡諧運動的相位與初相分別是（）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根據(jù)相位與初相的概念，直接求解即可.【詳解】相位是；當時的相位為初相，即.故選：C2.在兩個彈簧上各掛一個質量分別為M1和M2的小球，它們做上下自由振動．已知它們在時間t（s）時離開平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分別由下列兩式確定：s1＝5sin，s2＝5cos．則在時間t＝時，s1與s2的大小關系是（）A．s1＞s2 B．s1＜s2C．s1＝s2 D．不能確定【答案】C【分析】將t＝代入求值，可得s1＝s2【詳解】當t＝時，s1＝5sin－5，s2＝5cos－5，∴s1＝s2故選：C3.月均溫全稱月平均氣溫，氣象學術語，指一月所有日氣溫的平均氣溫．某城市一年中個月的月均溫（單位：）與月份（單位：月）的關系可近似地用函數(shù)（）來表示，已知月份的月均溫為，月份的月均溫為，則月份的月均溫為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意得出關于、的方程組，可得出函數(shù)解析式，在函數(shù)解析式中令可得結果.【詳解】由題意可得，解得，所以，函數(shù)解析式為，在函數(shù)解析式中，令，可得.因此，月份的月均溫為.故選：A.4.在一個港口，相鄰兩次高潮發(fā)生的時間相距12h，低潮時水深為9m，高潮時水深為15m．每天潮漲潮落時，該港口水的深度y（m）關于時間t（h）的函數(shù)圖象可以近似地看成函數(shù)y＝Asin(ωt＋φ)＋k(A＞0，ω＞0)的圖象，其中0≤t≤24，且t＝3時漲潮到一次高潮，則該函數(shù)的解析式可以是（）A．y＝3sint＋12 B．y＝－3sint＋12C．y＝3sint＋12 D．y＝3cost＋12【答案】A【分析】由兩次高潮的時間間隔知，且得，又由最高水深和最低水深得，，將y＝15代入解析式解出φ，進而求出該函數(shù)的解析式．【詳解】由相鄰兩次高潮的時間間隔為12h，知T＝12，且T＝12＝(ω＞0)，得ω＝，又由高潮時水深15m和低潮時水深9m，得A＝3，k＝12，由題意知當t＝3時，y＝15．故將t＝3，y＝15代入解析式y(tǒng)＝3sin＋12中，得3sin＋12＝15，得×3＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，解得φ＝2kπ(k∈Z)．所以該函數(shù)的解析式可以是y＝3sin＋12＝3sint＋12．5.在圖中，點O為做簡諧運動的物體的平衡位置，取向右的方向為物體位移的正方向，若已知振幅為3cm，周期為3s，且物體向右運動到距離平衡位置最遠處時開始計時．則物體對平衡位置的位移x（單位：cm）和時間t（單位：s）之間的函數(shù)關系式為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】設，根據(jù)振幅確定，根據(jù)周期確定，根據(jù)確定，即可得出結果.【詳解】設位移關于時間的函數(shù)為，根據(jù)題中條件，可得，周期，故，由題意可知當時，取得最大值，故，則，所以.故選：D．【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的應用，考查由三角函數(shù)的性質求參數(shù)，屬于基礎題型.6.若函數(shù)的圖象向右平移個單位得到的圖象對應的函數(shù)為，則下列說法正確的是（）A．的圖象關于對稱 B．在上有2個零點C．在區(qū)間上單調遞減 D．在上的值域為【答案】B【分析】求出的解析式，并整理后，根據(jù)正弦函數(shù)性質判斷．【詳解】由題意，不是函數(shù)的最值，不是對稱軸，A錯；由，，，其中是上的零點，B正確；由得，，因此在是遞減，在上遞增，C錯；時，，，D錯．故選：B．【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象變換，考查三角函數(shù)的性質．掌握正弦函數(shù)性質是解題關鍵．7.某藝術展覽館在開館時間段（9：00—16：00）的參觀人數(shù)（單位：千）隨時間（單位：時）的變化近似滿足函數(shù)關系，且下午兩點整參觀人數(shù)為7千，則開館中參觀人數(shù)的最大值為（）A．1萬 B．9千 C．8千 D．7千【答案】B【分析】利用當時，，求出，由，利用正弦函數(shù)的性質即可求解.【詳解】下午兩點整即，當時，.即，∴，∵當時，，∴當時，取得最大值，且最大值為.故選：B【點睛】本題考查了三角函數(shù)的性質求解析式、三角函數(shù)的應用，考查了基本運算求解能力，屬于基礎題.8.如圖所示為2018年某市某天中6h至14h的溫度變化曲線，其近似滿足函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半個周期的圖象，則該天8h的溫度大約為（）A．16℃ B．15℃ C．14℃ D．13℃【答案】D【分析】由最大值和最小值及中間值求得，由周期求得，再由起點求得（注意圖象起點是最低點）．得函數(shù)解析式，然后令代入即可得．【詳解】由題意得A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20，∵2×(14－6)＝16，∴＝16，∴ω＝，∴y＝10＋20，將x＝6，y＝10代入得10sin＋20＝10，即sin＝－1，由于<φ<π，可得φ＝，∴y＝10sin＋20，x∈[6，14].當x＝8時，y＝10sin＋20＝20－5≈13，即該天8h的溫度大約為13℃，故選:D.【點睛】本題考查的應用，解題關鍵是利用正弦函數(shù)的性質求出函數(shù)解析式．9.．已知函數(shù)，則下列判斷錯誤的是（）A．的最小值為 B．點是的圖象的一個對稱中心C．的最小正周期為 D．在上單調遞增【答案】B【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質，逐項判斷，即可得出結果.【詳解】因為定義域為，所以，即最小值為，故A正確；因為，所以點不是的圖象的一個對稱中心，即B錯；又其最小正周期為，即C正確；因為時，，所以函數(shù)在上單調遞增，即D正確.故選：B.【點睛】本題主要考查正弦型函數(shù)性質的判定，屬于基礎題型.10.已知的最大值為，將圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍得到的函數(shù)解析式為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，的最大值為4且，列式可算出，，利用輔助角公式化簡得，根據(jù)平移伸縮的性質即可得出變換后的解析式.【詳解】解：由題可知，的最大值為4，則，，且，解之得，.故，將圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，得到.故選：B.【點睛】本題考查三角函數(shù)的平移伸縮求解析式，涉及三角函數(shù)最值和輔助角公式的應用，考查計算能力.11.有一塊矩形花圃如圖所示，其中，，現(xiàn)引進了新品種需將其擴大成矩形區(qū)域，點，，，均落在矩形的邊上（不包括頂點），則擴大后的花圃的最大面積為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】設，計算得到，計算得到答案.【詳解】設，則，；，則，.當，即時，面積有最大值為.故選：【點睛】本題考查了四邊形面積的最大值，引入變量是解題的關鍵.12.電流強度（安）隨時間（秒）變化的函數(shù)的圖像如圖所示，則當秒時，電流強度是（）A．10安 B．5安C．安 D．5安【答案】D【分析】根據(jù)所給函數(shù)圖像,即可求得函數(shù)的解析式,再代入即可求解.【詳解】根據(jù)函數(shù)圖像可知,,所以解得由周期公式代入可得所以函數(shù)將代入可得則由可知當時解得所以函數(shù)當時,代入可得故選:D【點睛】本題考查了根據(jù)部分函數(shù)圖像求三角函數(shù)的解析式,注意代入最高點或最低點求的值即可,屬于基礎題.題組B能力提升練1.設函數(shù)在的圖像大致如下圖，則f(x)的最小正周期為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由圖可得：函數(shù)圖象過點，即可得到，結合是函數(shù)圖象與軸負半軸的第一個交點即可得到，即可求得，再利用三角函數(shù)周期公式即可得解.【詳解】由圖可得：函數(shù)圖象過點，將它代入函數(shù)可得：又是函數(shù)圖象與軸負半軸的第一個交點，所以，解得：所以函數(shù)的最小正周期為故選：C【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的性質及轉化能力，還考查了三角函數(shù)周期公式，屬于中檔題.2.若，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用兩角和與差的三角的正弦，將，轉化為，其中，，則有，然后求解、，求出的值，利用二倍角的正切公式可求得的值.【詳解】因為，所以，即，，即，其中，，，，，，，，，．故選：A．【點睛】本題主要考查兩角和與差的三角函數(shù)的正用和逆用，還考查了轉化化歸的思想和運算求解的能力，屬于中檔題．3.．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列敘述正確的是A．函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個單位得到B．函數(shù)的圖象關于直線對稱C．函數(shù)在區(qū)間上是單調遞增的D．函數(shù)圖象的對稱中心為【答案】D【分析】根據(jù)題意求出解析式，利用正弦函數(shù)的對稱性及單調性依次判斷選項.【詳解】由圖象可知A＝2，f（0）＝1，∵f（0）＝2sinφ＝1，且，∴，∴f（x）＝2sin（ωx），∵f（）＝0且為單調遞減時的零點，∴，k∈Z，∴，k∈Z，由圖象知，∴ω，又∵ω＞0，∴ω＝2，∴f（x）＝2sin（2x），∵函數(shù)f（x）的圖象可由y＝Asinωx的圖象向左平移個單位得，∴A錯，令2x，k∈Z，對稱軸為x，則B錯，令2x,則x，則C錯，令2xkπ，k∈Z，則x＝，則D對，故選：D．【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象及其性質，考查了正弦函數(shù)的對稱性及單調性，屬于中檔題．4.(多選題)如圖所示的是一質點做簡諧運動的圖象，則下列結論正確的是（）A．該質點的運動周期為0.7sB．該質點的振幅為5C．該質點在0.1s和0.5s時運動速度為零D．該質點的運動周期為0.8s【答案】BCD【分析】由題圖求得質點的振動周期可判定A錯，D正確；由該質點的振幅，可判定B正確；由簡諧運動的特點，可判定C正確．【詳解】由題圖可知，質點的振動周期為2×(0.7－0.3)＝0.8s，所以A錯，D正確；該質點的振幅為5，所以B正確；由簡諧運動的特點知，質點處于平衡位置時的速度最大，即在0.3s和0.7s時運動速度最大，在0.1s和0.5s時運動速度為零，故C正確．綜上，BCD正確．故選：BCD.5.（多選）水車在古代是進行灌溉引水的工具，是人類的一項古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征．如圖是一個半徑為R的水車，一個水斗從點出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉；且旋轉一周用時60s．經(jīng)過后，水斗旋轉到P點，設P的坐標為，其縱坐標滿足．則下列結論正確的是（）A．，，B．當時，點P到x軸的距離的最大值為6C．當時，函數(shù)是減函數(shù)D．當時，【答案】ABD【分析】對于A，由，可得．由周期求．由，求，即可判斷；對于B，根據(jù)解析式，即可求得點P到x軸的距離最大值；對于C，由正弦函數(shù)的單調性，即可判斷；對于D，根據(jù)解析式即可判斷.【詳解】對于A，由點，可得．由旋轉一周用時，可得，則．由點，可得，則，故A正確；對于B，由A知，當時，，所以當時，點P到x軸的距離最大，為6，故B正確．對于C，當時，，由正弦函數(shù)的單調性，可知函數(shù)在上不單調，故C錯誤．對于D，當時，水斗從點A旋轉了三分之一周期，則，所以，故D正確．故選：ABD6.如圖是某市夏季某一天的溫度變化曲線，若該曲線近似地滿足函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋B(0<φ<π)，則下列說法正確的是（）A．該函數(shù)的周期是16B．該函數(shù)圖象的一條對稱軸是直線x＝14C．該函數(shù)的解析式是y＝10sin＋20(6≤x≤14)D．這一天的函數(shù)關系式也適用于第二天【答案】AB【分析】根據(jù)圖象得出該函數(shù)的周期，可判斷A選項的正誤；根據(jù)圖象可知該函數(shù)在取得最大值，可判斷B選項的正誤；結合圖象求出該函數(shù)的解析式，可判斷C選項的正誤；第二天的函數(shù)關系與第一天的情況不一定一樣，所以，可判斷D選項的正誤.綜合可得出結論.【詳解】對于A選項，由圖象可知，該函數(shù)的最小正周期為，A選項正確；對于B選項，該函數(shù)在取得最大值，所以，該函數(shù)圖象的一條對稱軸是直線，B選項正確；對于C選項，由圖象可得，解得，，圖象經(jīng)過點，，.，，則，，所以，函數(shù)解析式為，C選項錯誤；這一天的函數(shù)關系式不一定適用于第二天，要具體情況具體分析，所以，D選項錯誤.故選：AB【點睛】解題關鍵，根據(jù)函數(shù)關系圖，進行數(shù)形結合的分析即可.7.（多選題）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，所得圖象對應的函數(shù)為，則下列結論正確的是（）A．函數(shù)的圖象關于直線對稱B．函數(shù)的圖象關于點對稱C．函數(shù)在上單調遞減D．函數(shù)在上恰有4個極值點【答案】AD【分析】先根據(jù)圖象變換得，再根據(jù)余弦函數(shù)性質研究對稱性、單調性以及極值點，即可作出選擇.【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得因為，所以函數(shù)的圖象關于直線對稱，即A正確；因為，所以函數(shù)的圖象不關于點對稱，即B錯誤；因為，所以函數(shù)單調遞增，即C錯誤；因為，所以當時函數(shù)取得極值，即函數(shù)在上恰有4個極值點，D正確；故選：AD【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象變換、余弦函數(shù)性質，考查基本分析求解能力，屬中檔題.8.（多選題）已知函數(shù)，則下列判斷正確的是（）A．的周期為B．為偶函數(shù)C．的圖象關于直線對稱D．的值域為E.的圖象關于點對稱【答案】BCD【分析】，根據(jù)三角函數(shù)的性質判斷即可得解.【詳解】，∴為偶函數(shù)，周期為，故A錯誤，B正確；令，得，當時，，故C正確；∵，∴的值域為，故D正確；∵，∴E錯誤.綜上，BCD正確.故選：BCD.【點睛】本題考查三角恒等變換公式，考查三角函數(shù)的圖象與性質，屬于高考?？碱}型.9.下表中給出了在24小時內人的體溫的變化(從夜間零點開始計時)．時間(x)024681012溫度(y)36.836.736.636.736.837.037.2時間(x)141618202224溫度(y)37.337.437.337.237.036.8選用一個三角函數(shù)模型來近似地描述這些數(shù)據(jù)，則該模型為_________【答案】，【分析】設時的體溫為，然后求出，，，的值即可；【詳解】解：設時的體溫為，則，，，由，即，即，解得，不妨取，故可用，來近似地描述這些數(shù)據(jù)；故答案為：，10.如圖，學校有一塊矩形綠地，且，現(xiàn)準備在矩形空地中規(guī)劃一個三角形區(qū)域開挖池塘，其中分別在邊上，若則面積的最小值為___________.【答案】【分析】設，分別求得，再根據(jù)，轉化為，利用三角函數(shù)的性質求解.【詳解】設，由題意得：，則，，，，，，，當即時取得最小值，最小值為故答案為：C培優(yōu)拔尖練1.已知函數(shù)+1.（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)的遞增區(qū)間.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用余弦的二倍角公式化簡函數(shù)，再函數(shù)的周期公式求得其最小正周期；（2）原問題等價為求的遞減區(qū)間，由余弦函數(shù)的性質，整體代入可求得函數(shù)單調遞增區(qū)間.【詳解】解：（1）+1+1，則函數(shù)最小正周期；（2）要求函數(shù)的遞增區(qū)間，等價為求的遞減區(qū)間，由2kπ≤2x﹣≤2kπ+π，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，所以函數(shù)單調遞增區(qū)間為：[kπ+，kπ+]，k∈Z.2.如圖，它表示電流，在一個周期內的圖象．（1）試根據(jù)圖象寫出的解析式；（2）在任意一段秒的時間內，電流既能取得最大值，又能取得最小值嗎？【答案】（1）；（2）不能.【分析】(1)由圖可知振幅、周期、零點，進而可得解析式；(2)用與周期比較即可.【詳解】（1）由題圖知，，∴，所以，又是該函數(shù)圖象的零點，∴結合圖形可得：，即，符合，∴．（2）不能．因為由（1）有，所以不可能．3.心臟跳動時，血壓在增加或減少．血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓和舒張壓，血壓計上的讀數(shù)就是收縮壓和舒張壓，讀數(shù)120/80mmHg為標準值．設某人的血壓滿足函數(shù)式p(t)＝115＋25sin160πt，其中p(t)為血壓(mmHg)，t為時間(min)，試回答下列問題：（1）求函數(shù)p(t)的周期；（2）求此人每分鐘心跳的次數(shù)；（3）畫出函數(shù)p(t)的草圖；（4）求出此人的血壓在血壓計上的讀數(shù)．【答案】（1）min；（2）80(次)；（3）作圖見解析；（4）90mmHg．【分析】（1）由已知可求ω＝160π，利用正弦函數(shù)的周期公式即可求解；（2）函數(shù)的頻率f＝即可求解；（3）根據(jù)函數(shù)解析式利用五點作圖法即可畫出函數(shù)的草圖；（4）由題意根據(jù)函數(shù)的圖象即可得解.【詳解】[解]（1）由于ω＝160π，代入周期公式，可得(min)，所以函數(shù)p(t)的周期為min．（2）每分鐘心跳的次數(shù)即為函數(shù)的頻率f＝＝80(次)．（3）列表：t0p(t)11514011590115描點、連線并向左右擴展得到函數(shù)p(t)的簡圖如圖所示：(4)由圖可知此人的收縮壓為140mmHg，舒張壓為90mmHg．4.如圖，一只螞蟻繞一個豎直放置的圓逆時針勻速爬行，已知圓的半徑為8m，圓的圓心O距離地面的高度為10m，螞蟻每12min爬行一圈，若螞蟻的起始位置在最低點處．（1）將螞蟻距離地面的高度表示為時間的函數(shù)；（2）在螞蟻繞圓爬行的一圈內，有多長時間螞蟻距離地面不低于14m?【答案】（1）（2）【分析】（1）設在時螞蟻到達點P，表示出以Ox為始邊，OP為終邊的角，利用三角函數(shù)表示出P點的縱坐標為即可；（2）由（1）知．利用三角函數(shù)解不等式即可.（1）設在時螞蟻到達點P，則以Ox為始邊，OP為終邊的角為，故P點的縱坐標為，則，所以所求函數(shù)關系式為；（2）由（1）知．令，可得，所以，解得，又，所以．即在螞蟻繞圓爬行的一圈內，有螞蟻距離地面不低于．5.彈簧振子的振動是簡諧振動．某個彈簧振子在完成一次全振動的過程中，時間t（單位：s）與位移y（單位：mm）之間的對應數(shù)據(jù)記錄如下表：t0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.60y20.017.310010.117.220.017.210.3010．117.320.0（1）試根據(jù)這些數(shù)據(jù)確定這個振子的位移關于時間的函數(shù)解析式；（2）畫出該函數(shù)在的圖象；（3）在這次全振動過程中，求位移為10mm時t的取值集合．【答案】（1）（2）圖象見解析（3）【分析】（1）設函數(shù)解析式為，，根據(jù)表格數(shù)據(jù)得出，，的值，即可得出這個振子的位移關于時間的函數(shù)解析式；（2）由五點作圖法作圖即可；（3）解方程，即可得出的取值集合.（1）設函數(shù)解析式為，，由表格可知：，，則，即．由函數(shù)圖象過點，得，即，可?。畡t這個振子的位移關于時間的函數(shù)解析式為；（2）列表：t00.150.30.450.60y20020020由表格數(shù)據(jù)知，，的圖象如圖所示．；（3）由題意得，即，則或，所以或．又，所以或0.4．所以在這次全振動過程中，位移為時t的取值集合為．6.一半徑為4m的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面2m，已知水輪每分鐘逆時針轉動4圈，如果當水輪上點P從水中浮現(xiàn)時(圖中點P0)開始計時．（1）將點P距離水面的高度z(m)表示為時間t(s)的函數(shù)；（2）點P第一次到達最高點要多長時間？（3）在點P每轉動一圈過程中，有多長時間點P距水面的高度不小于(2＋2)m？【答案】（1）z＝4sin＋2；（2）5s；（3）2.5s.【分析】（1）設角φ是