重難點27拋物線2023年高考數(shù)學專練

重難點27拋物線1.通徑：過焦點且垂直于對稱軸的弦長等于2p，通徑是過焦點最短的弦.2.焦半徑公式(1)若點P(x0，y0)是拋物線y2＝2px(p>0)上一點，拋物線的焦點為F，準線為l，則線段PF叫做拋物線的焦半徑，則|PF|＝x0＋eq\f(p,2).(2)若點P(x0，y0)是拋物線y2＝－2px(p>0)上一點，拋物線的焦點為F，準線為l，則線段PF叫做拋物線的焦半徑，則|PF|＝－x0＋eq\f(p,2).(3)若點P(x0，y0)是拋物線x2＝2py(p>0)上一點，拋物線的焦點為F，準線為l，則線段PF叫做拋物線的焦半徑，則|PF|＝y(tǒng)0＋eq\f(p,2).(4)若點P(x0，y0)是拋物線x2＝－2py(p>0)上一點，拋物線的焦點為F，準線為l，則線段PF叫做拋物線的焦半徑，則|PF|＝－y0＋eq\f(p,2).3．過x2＝2py的準線上任意一點D作拋物線的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2))).2023年命題角度：（1）拋物線的定義及應用；（2）拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)；（3）直線與拋物線的位置關系．（建議用時：40分鐘）一、單選題1．已知A為拋物線C:y2=2px（p>0）上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p=（

）A．2 B．3 C．6 D．9【答案】C【解析】設拋物線的焦點為F，由拋物線的定義知，即，解得.故選：C.2．設F為拋物線的焦點，點A在C上，點，若，則（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【解析】由題意得，，則，即點到準線的距離為2，所以點的橫坐標為，不妨設點在軸上方，代入得，，所以.故選：B3．已知拋物線C：的焦點為F，準線為，P是上一點，Q是直線PF與C得一個交點，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設準線與軸的交點為，則，如圖所示，因為，故，過點作，垂足為M，則軸，所以，所以，由拋物線定義知，，故選：B．4．設拋物線的頂點為，焦點為，準線為．是拋物線上異于的一點，過作于，則線段的垂直平分線（

）．A．經(jīng)過點 B．經(jīng)過點C．平行于直線 D．垂直于直線【答案】B【解析】如圖所示：．因為線段的垂直平分線上的點到的距離相等，又點在拋物線上，根據(jù)定義可知，，所以線段的垂直平分線經(jīng)過點.故選：B.5．拋物線的焦點到直線的距離為，則（

）A．1 B．2 C． D．4【答案】B【解析】拋物線的焦點坐標為，其到直線的距離：，解得：(舍去).故選：B.6．若拋物線y2=2px（p>0）的焦點是橢圓的一個焦點，則p=A．2 B．3C．4 D．8【答案】D【解析】因為拋物線的焦點是橢圓的一個焦點，所以，解得，故選D．7．已知雙曲線的一條漸近線過點，且雙曲線的一個焦點在拋物線的準線上，則雙曲線的方程為A． B． C． D．【答案】D【解析】雙曲線的一條漸近線是，則①，拋物線的準線是，因此，即②，由①②聯(lián)立解得，所以雙曲線方程為．故選D．8．已知橢圓E的中心為坐標原點，離心率為，E的右焦點與拋物線的焦點重合，是C的準線與E的兩個交點，則A． B． C． D．【答案】B【解析】拋物線的焦點為所以橢圓的右焦點為即且橢圓的方程為拋物線準線為代入橢圓方程中得故選B.9．設為拋物線的焦點，曲線與交于點，軸，則A． B． C． D．【答案】D【解析】由拋物線的性質(zhì)可得，故選D.10．已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，拋物線的準線交雙曲線于A，B兩點，交雙曲線的漸近線于C、D兩點，若．則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【解析】設雙曲線與拋物線的公共焦點為，則拋物線的準線為，令，則，解得，所以,又因為雙曲線的漸近線方程為，所以，所以，即，所以，所以雙曲線的離心率.故選：A.11．已知拋物線分別是雙曲線的左、右焦點，拋物線的準線過雙曲線的左焦點，與雙曲線的漸近線交于點A，若，則雙曲線的標準方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】拋物線的準線方程為，則，則、，不妨設點為第二象限內(nèi)的點，聯(lián)立，可得，即點，因為且，則為等腰直角三角形，且，即，可得，所以，，解得，因此，雙曲線的標準方程為.故選：C.12．已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為A．16 B．14 C．12 D．10【答案】A【解析】設，直線的方程為，聯(lián)立方程，得，∴，同理直線與拋物線的交點滿足，由拋物線定義可知，當且僅當（或）時，取等號.二、填空題13．已知為坐標原點，拋物線：()的焦點為，為上一點，與軸垂直，為軸上一點，且，若，則的準線方程為______.【答案】【解析】拋物線：()的焦點,∵P為上一點，與軸垂直，所以P的橫坐標為，代入拋物線方程求得P的縱坐標為,不妨設,因為Q為軸上一點，且，所以Q在F的右側，又，因為，所以,，所以的準線方程為故答案為：.14．設拋物線y2=4x的焦點為F，準線為l.則以F為圓心，且與l相切的圓的方程為__________．【答案】(x1)2+y2=4.【解析】拋物線y2=4x中，2p=4，p=2，焦點F（1,0），準線l的方程為x=1，以F為圓心，且與l相切的圓的方程為(x1)2+y2=22,即為(x1)2+y2=4.15．設已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點為F(1，0)，直線與拋物線相交于A，B兩點.若AB的中點為（2，2），則直線的方程為_____________.【答案】【解析】拋物線的方程為，16．已知點和拋物線，過的焦點且斜率為的直線與交于，兩點．若，則________．【答案】2【解析】［方法一］：點差法設，則，所以所以，取AB中點,分別過點A,B作準線的垂線，垂足分別為因為,，因為為AB中點，所以平行于x軸，因為M(1,1)，所以，則即．故答案為：2.［方法二］：【最優(yōu)解】焦點弦的性質(zhì)記拋物線的焦點為F，因為，則以為直徑的圓與準線相切于點M，由拋物線的焦點弦性質(zhì)可知，所以．［方法三］：焦點弦性質(zhì)+韋達定理記拋物線的焦點為F，因為，則以為直徑的圓與準線相切于點M，記中點為N，則，設，代入中，得，所以，得，所以．［方法四］：【通性通法】暴力硬算由題知拋物線的焦點為，設直線的方程為，代入中得，設，則，同理有，由，即．又，所以，得．［方法五］：距離公式+直角三角形的性質(zhì)設直線為，與聯(lián)立得，則從而，可得的中點，所以．又由弦長公式知．由得，解得，所以．［方法六］：焦點弦的性質(zhì)應用由題可知，線段為拋物線的焦點弦，，由于以拋物線的焦點弦為直徑的圓必與準線相切，又點M恰為拋物線準線上的點，因此，以為直徑的圓必與準線相切于點M．過點M作平行于軸的直線交于點N，則N為圓心．設，則．又因為，所以聯(lián)立解得．將的值代入中求得．因為拋物線C的焦點，所以．三、解答題17．已知拋物線C：y2=3x的焦點為F，斜率為的直線l與C的交點為A，B，與x軸的交點為P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設直線方程為：，，由拋物線焦半徑公式可知：

聯(lián)立得：則

，解得：直線的方程為：，即：（2）設，則可設直線方程為：聯(lián)立得：則

，

，

則18．已知橢圓C1：(a>b>0)的右焦點F與拋物線C2的焦點重合，C1的中心與C2的頂點重合.過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點，交C2于C，D兩點，且|CD|=|AB|.（1）求C1的離心率；（2）設M是C1與C2的公共點，若|MF|=5，求C1與C2的標準方程.【答案】（1）；（2），.【解析】（1），軸且與橢圓相交于、兩點，則直線的方程為，聯(lián)立，解得，則，拋物線的方程為，聯(lián)立，解得，，，即，，即，即，，解得，因此，橢圓的離心率為；（2）[方法一]：橢圓的第二定義由橢圓的第二定義知，則有，所以，即．又由，得．從而，解得．所以．故橢圓與拋物線的標準方程分別是．[方法二]：圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標公式以為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系．由（Ⅰ）知，又由圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標公式，得，由，得，兩式聯(lián)立解得．故的標準方程為，的標準方程為．[方法三]：參數(shù)方程由（1